Разработка урока -конференции на тему " Октаэдр"

Урок – конференция «Октаэдр».

Цель:

 Расширить, упрочить, углубить знания и обогатить кругозор учащихся, развить навыки самостоятельного пополнения знаний по теме «Правильные многогранники.  Октаэдр».

Оборудование: Проектор. Модель октаэдра.

Девиз урока – конференции: «Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии.  А.С. Пушкин»

Ход конференции

Учитель:

         Сегодня ученической конференцией никого не удивишь. В мою будничную работу прочно вошли уроки – конференции. Движущей силой её является дискуссия. Огромны обучающие и воспитывающие возможности ученической конференции. Я провожу конференции так, чтобы было по силам участие в ней каждому школьнику – старшекласснику, интересно не только группе докладчиков, но и всем участникам. Вокруг себя объединяю группу учащихся, которые могут самостоятельно решить вопросы, связанные с содержательной стороной конференции. Перед выбором темы урока –конференции, я всегда продумываю меру самостоятельности учащихся в решении вопросов, связанных с содержательной стороной. Таким образом, воспитываю у учащихся стремление добывать знания самостоятельно, творчески их перерабатывать. При этом старшеклассники  знакомятся с тем богатством знаний, которое накопило человечество. Узкие рамки   школьной программы не позволяют ответить на все вопросы, связанные с темой « Правильные многогранники». При подготовке конференции проявляется познавательная деятельность учащихся: индивидуальная, групповая, коллективная. Среди других форм учебно – воспитательного процесса конференция занимает особое место. Она как бы находится на стыке урочной и внеурочной деятельности учащихся. Я преследую ту цель, чтобы результаты конференции были зримыми. Ученический коллектив разбиваю на группы. Каждая группа получает задание по теме «Правильные многогранники.  Октаэдр». Кроме того, есть и индивидуальные задания. Все учащиеся готовят модель октаэдра. Группы получают задания.

Примерное их содержание:

а) Красота и совершенство октаэдра.

б) Историческая справка об октаэдре.

в) Свойства октаэдра.

г) Место октаэдра в природе.

д) Решение  задач,  связанные с октаэдром.

         Я считаю, что такую тему в школьной геометрии ждешь с нетерпением, ведь на уроке встречаешься с невероятно красивым материалом. Здесь не только открывается удивительный   мир геометрических тел, которые обладают неповторимыми свойствами, но и интересные историко – философские концепции, оригинальные научные гипотезы. Я стремлюсь, чтобы  урок – конференция стал своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного «сухого» предмета – геометрии. Я думаю, что такой материал будет полезен каждому: и тому, кто готовил этот материал и тому, кто просто являлся слушателем.

Название  правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе  с греческого «тетраэдр», «октаэдр», «гексаэдр», «додекаэдр», «икосаэдр»  означают: «четырехгранник», «восьмигранник», «шестигранник», «двенадцатигранник», «двадцатигранник». Этим  красивым телам  посвящена 13-я книга «Начал» Евклида. Их  ещё   называют телами Платона,  так как  они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал огонь, так как его вершина устремлена вверх; икосаэдр – воду, так как он самый «обтекаемый»; куб – землю, как самый «устойчивый»; октаэдр – воздух, как самый «воздушный».   Додекаэдр, пятый многогранник, воплощал в себе «все сущее», символизировал все мироздание, считался главным. Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля: вода=воздух : огонь. Атомы «стихий» настраивались Платоном в совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Консонансом называется приятное созвучие. Надо сказать, что своеобразные музыкальные отношения в платоновых телах являются чисто умозрительными и не имеют под собой никакой геометрической основы. Этими отношениями не связаны ни число вершин платоновых тел, ни объ     ёмы  правильных многогранников, ни число рёбер ни число граней. В связи с этими телами уместно будет сказать, что первая система элементов, включавшая четыре элемента – землю, воду, воздух и огонь, - было канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались с четырьмя краеугольными камнями мироздания в течении многих веков. Вполне возможно отождествить их с известными нам четырьмя состояниями вещества – твердым, жидким, газообразным и плазменным.  Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера.  Всё та же вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела И. Кеплера к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют только шесть планет. По его мнению,    сферы планет связаны между собой вписанными в них платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце. Проделав огромную вычислительную работу, в 1596 году И. Кеплер в книге «Тайна мироздания» опубликовал результаты своего открытия. В 1597 году, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет солнечной системы.   В сферу орбиты Сатурна он вписывает куб, в куб-сферу Юпитера, в сферу Юпитера – тетраэдр, и так далее последовательно вписываются друг в друга сфера Марса – додекаэдр, сфера Земли -= икосаэдр, сфера Венеры – октаэдр, сфера Меркурия. Сегодня можно с уверенностью можно сказать, что расстояния между планетами не связаны ни с какими многогранниками. Впрочем, возможно, что без «Тайны мироздания», «Гармонии мира» И. Кеплера, правильных многогранников не было бы трех знаменитых законов И. Кеплера, которые играют важную роль в описании движения планет.  Где ещё можно увидеть удивительные тела? В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля «Красота форм в природе» можно прочитать такие строки: «Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество  удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством  человека формы». Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь мы видим и одноклеточные организма – феодарии, форма  которых точно передает  икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем , что  из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший  объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. Интересно  и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус.  Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию.  Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществв имеют форму правильных многогранников. Так, куб передаёт форму кристаллов поваренной соли  NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов (KAlSO₄)₂ 12H₂O имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS  имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий – тетраэдра, бор – икосаэдра. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решёток   некоторых химических веществ.

         Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой  вершине равна 240 градусов.

Ученик 1.Как связаны между собой количество ребер, граней, вершин? Пусть f – число граней, k – число ребер, e – число вершин, n –число ребер каждой грани, m – число  ребер, сходящихся к каждой вершине. Поскольку каждое ребро принадлежит двум граням, то  nf=2k, а каждое ребро содержит две вершины то me=2k  и по теореме Эйлера f+e-k=2. Из этих трех равенств находим           

У правильного октаэдра                n=3,  m=4;

                                                     f=8,  k=12,  e= 6.

Ученик 2. Элементы симметрии. Правильный  октаэдр имеет центр симметрии несколько осей и плоскостей симметрии.

 

Вопросы для исследования:

1.  Сколько осей симметрии?

2.  Сколько плоскостей симметрии?

3. Почему правильных многогранников только 5?

4. Вывести формулы для нахождения площади полной поверхности.

5. Вывести формулы для нахождения объёма.

6. Изготовить модель ( задача №273).

Рефлексия. Правильные многогранники открыли нам попытки учёных приблизиться к тайне мировой гармонии и показали неотразимую привлекательность геометрии.