Разработка урока "Квадратный корень из степени"

Тема: Квадратный корень из степени

Цели:

ü Рассмотреть извлечение квадратного корня из степени числа.

ü Формировать умение его применять при вычислении выражений с корнем.

ü Развивать память, внимание и логическое мышление у учащихся

ü Вырабатывать трудолюбие

Ход урока

                  I.            Организационные моменты.

Сообщение темы и цели урока

               II.            Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Сформулируйте и запишите теорему о квадратном корне из произведения чисел.

2. Вычислите значение выражения:

Вариант 2

1. Сформулируйте и запишите теорему о квадратном корне из частного.

2. Вычислите значение выражения:

           III.            Изучение нового материала (основные понятия)

Сначала рассмотрим числовые примеры. Найдем значение выражения  при х = 8 и при х = -7. Получаем:  В каждом из этих примеров корень из квадрата числа равнялся модулю этого числа:  Обобщим результаты этих примеров и докажем теорему.

Теорема: при любом значении х верно равенство 

Рассмотрим два случая.

а) Если x ≥ 0, то по определению арифметического корня  Так как х ≥ 0, то х = |х| и равенство может быть записано в виде 

б) Если х < 0, то величина -х > 0 и получаем  Так как х < 0, то -x = |х| и равенство можно записать в виде 

Значит, при любом значении х выполнено равенство 

Такое тождество очень часто применяется при извлечении квадратного корня из степени с четным показателем. При этом, чтобы извлечь корень из степени с четным показателем, надо представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и использовать рассмотренное тождество.

Пример 1

Извлечем корень 

Представим степень а8 в виде квадрата степени , т. е.  =  и используем тождество:  Учтено, что при всех значениях а величина  ≥ 0 и || = .

Пример 2

Извлечем корень  при с < 0.

Представим с6 в виде с6 = ()2 и используем тождество. Получаем  Учтено, что с < 0, тогда  < 0 и || = - (по определению модуля).

Пример 3

Найдем значение выражения 

Разложим число 63504 на произведение простых множителей и получим: 63504 = 24 · 34 · 72. Теперь найдем 

Полученное тождество позволяет решать и более сложные задачи.

Пример 4

Найдем значение выражения 

Учтем теорему о корне из произведения и формулу разности квадратов.

Получаем: 

Пример 5

Докажем, что значение выражения  является целым числом.

В каждом подкоренном выражении выделим квадраты разности чисел:  Теперь преобразуем данное выражение:  Было учтено, что  (для оценок можно считать ). Поэтому  Итак, значение данного выражения является целым (и даже натуральным) числом 2.

            IV.            Формирование умений и навыков.

  Решение примеров из учебника

  Урок № 33.

№№ 393 (а, в, д, ж, и); 394 (а, б); 402; 403; допол.задание 482.

   Урок № 34.

Первая группа заданий.

     №№ 395; 396 (а, б, г, д, ж); 484 (устно); 487 (а, б, г, ж); 402; 403.

Вторая группа заданий. Задания повышенной сложности.

     №№ 397; 400 (а, б); 485(а, г); 488.

               V.            Контрольные вопросы

1. Сформулируйте и докажите теорему о корне из квадрата числа (выражения).

2. Как извлечь корень из степени с четным показателем?

            VI.            Подведение итогов урока

        VII.            Задание на дом.

Прочитать п. 17. Выполнить номера

Урок № 33.№№ 393 (б, г, е, з); 394 (в); 401; 404.

Урок № 34.№№ 396 (в, е, з); 487 (в, д, е, з); 398; 485(б, в) - дополнительно.

    VIII.            Творческие задания

1. Найдите значение выражения:

Ответы: а) 2; б) 4; в) 6; г) 5.

2. Упростите выражение:

Ответы: 

3. Вычислите:

Ответы: а) 5; б) 6; в) 1; г) 6.