Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока - модуля "Решение тригонометрических уравнений"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Разработка урока - модуля "Решение тригонометрических уравнений"

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
библиотека
материалов

hello_html_76450f47.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_76450f47.gifhello_html_m39954e59.gifhello_html_76450f47.gifhello_html_m1a870894.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m39954e59.gifhello_html_m1a870894.gifhello_html_m3d52d3f4.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m3d52d3f4.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m3d52d3f4.gifhello_html_m6f622974.gifhello_html_4c447aec.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m6f622974.gifhello_html_m3d52d3f4.gifhello_html_1ff102e.gifhello_html_m3d52d3f4.gifhello_html_4f171b3b.gifhello_html_m3d52d3f4.gifhello_html_m6f622974.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_1ff102e.gifhello_html_4f171b3b.gifhello_html_m6f622974.gifhello_html_76450f47.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_76450f47.gifhello_html_m39954e59.gifhello_html_76450f47.gifhello_html_m1a870894.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m39954e59.gifhello_html_m1a870894.gifhello_html_m3d52d3f4.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m3d52d3f4.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m3d52d3f4.gifhello_html_m6f622974.gifhello_html_4c447aec.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m6f622974.gifhello_html_m3d52d3f4.gifhello_html_1ff102e.gifhello_html_m3d52d3f4.gifhello_html_4f171b3b.gifhello_html_m3d52d3f4.gifhello_html_m6f622974.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_1ff102e.gifhello_html_4f171b3b.gifhello_html_m6f622974.gifПредмет: алгебра и начала анализа

Тема. “Решение тригонометрических уравнений”

Цели:

Формировать у учащихся навыки решения некоторых видов тригонометрических уравнений.

Развивать: - представления о тригонометрических уравнениях как об уравнениях, сводящихся к алгебраическим уравнениям;

- практические навыки при решении тригонометрических уравнений;

- умение работать со справочной литературой; по заданному алгоритму; математически грамотно давать объяснения, как в устной, так и письменной форме.

Содействовать воспитанию у учащихся интереса к изучению данной темы, организованности, культуры и дисциплины умственного труда, формированию самообразовательной, коммуникативной, социальной и информационной компетентностей.

Оборудование:

  • карточки, доска, таблицы;

  • задания на печатной основе;

  • блок-схема по решению тригонометрических уравнений;

  • справочные пособия.

Тип модуля: семинар по изучению нового материала ( дополнительный объём)

Формы и методы работы.

Первый мини-модуль.

  1. Организационный момент.

  2. Тема и цели урока (беседа).

  3. Прикладная направленность данной темы (сообщения учащихся).

  4. «Лови ошибку» (актуализация опорных знаний).

  5. «Повторяем вместе» (фронтально).

  6. «Ажурная пилка» (коллективная групповая деятельность): «Обучая других – учусь сам».

  7. Итог: «Создай свой ОК».

Второй мини-модуль.

  1. Цели, план работы.

  2. «Ажурная пилка» (работа в «домашних» группах). «Проверь себя сам».

  3. Промежуточный итог (слово учителя).

  4. Разбор блок – схемы «Спасательный алгоритм» (коллективная деятельность).

  5. Решение тригонометрических уравнений, используя блок – схему «Спасательный алгоритм», под руководством учителя.

  6. Итог. «Незаконченное предложение».

Третий мини – модуль.

  1. Цели, план работы.

  2. Самостоятельная деятельность (коллективная групповая работа).

  3. Задание Д/З (дифференцированно, массивом)

  4. Итог урока. Метод «Пресс».

Содержание урока

Виды компетентностей

  1. Организационный момент.

Слово учителя.

  1. Сообщение темы урока. Определение целей на модуль.

  2. Мотивация учебной деятельности.

Прикладная направленность данной темы.

( Учащиеся на примерах знакомят с применением тригонометрических уравнений для решения задач в других областях науки)

  1. Актуализация опорных знаний.

  1. «Лови ошибку».

Учащимся предлагается найти ошибку в решении простейших тригонометрических уравнений.

  1. «Повторяем вместе»

Каждая «домашняя» группа предлагает формулы для повторения, учитывая предварительную подготовку к уроку.

  1. «Ажурная пилка».

Работа в «экспертных» группах. В процессе учебной деятельности учащиеся должны научиться решать тригонометрические уравнения трёх видов.

  1. Подведение итогов.

Группы составляют опорный конспект: «Алгоритмы решения данных уравнений»

  1. Постановка целей и сообщение плана работы на второй мини – модуль.

  2. «Ажурная пилка»

  3. Работа в «домашних» группах.

«Проверь себя сам»

(учащимся предлагается решить тригонометрические уравнения трёх изученных видов на печатной основе (два варианта, см. Приложение №1); после чего они могут их самостоятельно проверить, используя образцы решения этих уравнений и выполнить самокоррекцию или убедиться в правильности своих действий; они также могут обратиться за помощью к членам своей группы)

  1. Промежуточный итог.

Слово учителя.

В чём причина затруднений при решении школьниками тригонометрических уравнений?

Установить факт, что уравнение является тригонометрическим нетрудно. Сложности возникают при нахождении порядка действий, которые бы привели к положительному результату.

Чтобы помочь вам найти верную дорогу в сложном лабиринте тригонометрических уравнений мы сначала познакомились с уравнениями, которые после введения новой переменной приводились к квадратным. Затем решали однородные уравнения и уравнения, левую часть которых можно было разложить на множители, а затем каждый из них приравнять к нулю.

А сейчас, перед тем как пустить вас в самостоятельное плавание по тригонометрическому «морю», я предлагаю вам алгоритм решения тригонометрических уравнений, оформленный в виде блок – схемы.

  1. Знакомство с блок – схемой и её применением.

Решение тригонометрических уравнений под руководством учителя.

  1. Итог.

Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться…….

- сделать у функций, входящих в уравнение, «одинаковые углы»;

- привести уравнение к «одинаковым функциям»;

- разложить левую часть уравнения на множители и т. п.

  1. Самостоятельная деятельность учащихся по формированию умений и навыков решения тригонометрических уравнений с использованием блок – схемы (работа в группах, парах)

  2. Задание Д/З ( дифференцированно, массивом по сб. Федченко)

  3. Итог урока. Метод «Пресс».




Социальная



Информационная



Коммуникативная,


социальная,


самообразовательная



Информационная,


самообразовательная,


социальная,


коммуникативная







Самообразовательная,


социальная





















Информационная,




социальная,




самообразовательная,




коммуникативная


Приложение №1

I вариант

№ 1 6 cos2 x + cos x – 1 = 0

Пусть y = …………., тогда 6……..+ …… - 1 = 0

D = b2 – 4ac, D =……………………………………..

Т. к. D >0, то y1 =………………………, y2 =………………….., т.к. y = ……….., то

cos x = ……….. или cos x = ……………

x =……………………….. x = ……………………….

x1 =……………………….. x2 = ……………………….

Ответ:……………………………………………………………………….

2 2cos2 x + sin x + 1 = 0

2( 1 -……….) + sin x + 1 = 0

2 – 2 ……….+ sin x + 1 + 0

-2……… + sin x - …….. = 0

2……….+ sin x - ……= 0

Пусть y = ……….., тогда 2……. – y - …….= 0

D = ……………………………………………….

Т.к. D>0, то y1 = ………………………, y2= …………………………., т.к. y = ……….., то

sin x = ……….. или sin x = ……………

x =……………………….. Уравнение не имеет решений, т.к.

x1 =……………………….. …………………..

Ответ:……………………………………………….

№ 3 tg x – 2ctg x + 1 = 0

tg x – 2 …./….. + 1 = 0, y = tg x, …… - 2 / ….. + 1 = 0,

y2 +y – 2 = 0, D = ………………….., y1=……………….., y2=………………..

tg x = …….; x = ………………………..; x =………………………………,

tg x = ……., x =…………………………, x = ………………………………

Ответ: ……………………………………………….


4 3sin2 x + 4sinxcos x + cos2 x = 0

3……. + 4………+ 1 = 0

Пусть y = …….., тогда 3…. + 4 …. + 1 = 0

D = …………………………….., y1 = …………………, y2 = ………………..

tg x = …….., x = ………………………….., x = ………………………….

tg x = …….., x = ………………………….., x = …………………………

Ответ: …………………………………………………………………………….


5 sin2x + sin 2x = 0

sin2x + 2………….. = 0

sin x (…….. + 2……..) = 0

sin x = 0, x = ……………………….. или

...... + 2……… = 0, …….. + 2 = 0, ……… = -2, x = …………………..


Ответ: …………………………………………………………………………….


6 cos 5x – cos 3x = 0

-2sin…………..sin …..……… = 0

-2sin…....sin ….... = 0

sin…....= 0; 4x = …………………….; x =………………………………,

sin …... = 0, x =……………………… x = …………………………….

Ответ: …………………………………………………………………………….






II вариант

№ 1 2sin2 x + sin x – 1 = 0

Пусть y = …………., тогда 2……..+ …… - 1 = 0

D = b2 – 4ac, D =……………………………………..

Т. к. D >0, то y1 =………………………, y2 =………………….., т.к. y = ……….., то

sin x = ……….. или sin x = ……………

x =……………………….. x = ……………………….

x1 =……………………….. x2 = ……………………….

Ответ:……………………………………………………………………….

2 6sin2 x +5cos x - 2 = 0

6( 1 -……….) + 5cos x - 2 = 0

6 – 6 ……….+ 5cos x – 2 = 0

-6……… + 5cos x + …….. = 0

6………. – 5cos x - ……= 0

Пусть y = ……….., тогда 6……. –5 y - …….= 0

D = ……………………………………………….

Т.к. D>0, то y1 = ………………………, y2= …………………………., т.к. y = ……….., то

cos x = ……….. или cos x = ……………

x =……………………….. Уравнение не имеет решений, т.к.

x1 =……………………….. …………………..

Ответ:……………………………………………….

3 tg x + 2ctg x – 3 = 0

tg x + 2 …./….. – 3 = 0, y = tg x, …… + 2 / ….. – 3 = 0,

y2 - 3y + 2 = 0, D = ………………….., y1=……………….., y2=………………..

tg x = …….; x = ………………………..; x =………………………………,

tg x = ……., x =…………………………, x = ………………………………

Ответ: ……………………………………………….


4 9sinxcos x – 7 cos2 x = 2sin2 x

9..…… – 7 – 2……... = 0

-2……… + 9…….. – 7 = 0

Пусть y = …….., тогда 2…. – 9 …. + 7 = 0

D = …………………………….., y1 = …………………, y2 = ………………..

tg x = …….., x = ………………………….., x = ………………………….

tg x = …….., x = ………………………….., x = …………………………

Ответ: …………………………………………………………………………….


5 4sin2x – sin 2x = 0

4 sin2x - 2………….. = 0

2 sin x ( 2……. – ……..) = 0

sin x = 0, x = ……………………….. или

2…...... – ……… = 0, 2 …….. – 1 = 0, ……… = 1/2, x = …………………..


Ответ: …………………………………………………………………………….


6 cos 6x + cos 2x = 0

2 cos ………….cos …..……… = 0

2 cos…......cos ..….... = 0

cos…....= 0; 4x = …………………….; x =………………………………,

cos …... = 0, 2x =……………………… x = …………………………….

Ответ: …………………………………………………………………………….











 Блок # 1. Формулы приведения тригонометрических функций к одинаковым углам:

1. sin2a = 2 sina . cosa 3. 2sin 2 a/2 = 1 - cosa

2. cos2a = cos2 a – sin 2 a 4. 2cos 2 a/2 = 1 + cosa

Блок # 2. Формулы приведения тригонометрических уравнений к одинаковым функциям:

1. cos 2 a = 1 – sin 2 a 3. ctga = 1 / tga

2. sin 2 a = 1 – cos 2 a 4. tga = 1 / ctga

5. Формулы приведения

 Блок # 3. Формулы приведения тригонометрических уравнений к функциям синус и косинус:

1. tga = sina / cosa 2. ctga = cosa / sina

Блок # 4. Формулы изменения углов в тригонометрических уравнениях:

1. cos2a = cos 2 a – sin 2 a 5. cos3а =4cos3 а - 3 cos а

2. sin2a = 2 sina · cosa 6. sin3a =3sin a – 4sin3 a

3. cos а = 2 cos2 a/2 - 1

4. cos а = 1 – 2 sin 2 a /2

Блок # 5. Формулы и приемы разложения левой части тригонометрического уравнения на множители:

1. Вынесение за скобку. 7. а2 b2 = (a - b)(a + b)

2. Способ группировки. 8. a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

3. sina + sinb = 2 sin(a + b)/2 · cos(a - b)/2 9. a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

4. sina - sinb = 2 cos(a + b)/2 · sin(a - b)/2 10. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

5. cosa + cosb=2 cos(a + b)/2 · cos(a - b)/2 11. a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

6. cosa - cosb = -2 sin(a + b)/2 · sin(a - b)/2




Определение 1. Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком тригонометрических функций.

 Определение 2. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые углы, если все тригонометрические функции, входящие в него, имеют равные аргументы.

Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые функции, если оно содержит только одну из тригонометрических функций.

 Определение 3. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней, входящих в него переменных.

 Определение 4. Степенью одночлена, содержащего тригонометрические функции, называется сумма показателей степеней тригонометрических функций, входящих в него.

 Определение 5. Уравнение называется однородным, если все одночлены, входящие в него, имеют одну и ту же степень. Эта степень называется порядком уравнения.

Например, уравнения вида: asinx + bcosx = 0 (однородное 1-й степени); asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (однородное 2-й степени); asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + + dcos3x = 0(однородное 3-й степени). Сумма показателей степеней каждого слагаемого должна быть одинаковой. Эта сумма называется степенью однородного уравнения.

 Определение 6. Тригонометрическое уравнение, содержащее только функции sin и cos, называется однородным, если все одночлены относительно тригонометрических функций имеют одинаковую степень, а сами тригонометрические функции имеют равные углы и число одночленов на 1 больше порядка уравнения (смотри выше примеры уравнений).

 Определение 7. Тригонометрическое уравнение называется почти однородным, если один одночлен является числом, а степени остальных одночленов равны.

Например, уравнение: cos2x – 3cosxsinx + 1 = 0 - почти однородное 2-го порядка.

 Определение 8. Уравнения вида: asin2x + bsinx + c = 0; asin2x + bcosx + c = 0; acos2x + bsinx + c = 0; atgx + bctgx = 0 и другие - не являются алгебраическими, но их можно привести к алгебраическим, введя новую переменную (sinx = t , cosx = t или tgx = t), относительно тригонометрической функции получится квадратное уравнение.




Общая информация

Номер материала: ДВ-480888

Похожие материалы