Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока на тему: " Производная сложной функции"

Разработка урока на тему: " Производная сложной функции"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема урока: Производная сложной функции.

Тип урока: комбинированный

Цели урока:

образовательная:

формирование понятия сложной функции;

- изучение правила нахождения производной сложной функции.

- отработка алгоритма применения правила нахождения производной сложной функции при решении примеров.

развивающая:

- развивать логику, умение анализировать, планировать свою учебную деятельность, логически излагать свои мысли

- развивать познавательный интерес.

воспитательная:

- воспитание и развитие разносторонних интересов личности;

- воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;



План урока:

1. Организационный .момент: готовность группы к уроку, проверка отсутствующих на уроке.

2.Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний : повторение пройденного материала.

4.Изучение нового материала.

5. Закрепление материала

6. Домашнее задание

Ход урока:

1.Орг.момент: Приветствие, проверка готовности группы на уроке, сообщение темы и цели урока, мотивация учебной деятельности.

2. Проверка домашнего задания: Учащиеся показывают выполнение домашнего задания по пройденной теме.

3. Актуализация знаний учащихся:

1. Ребята, давайте вспомним, что же такое производная функции?

Ответ: производной функции в точке hello_html_m6b138df1.gif называется предел отношения приращения функции hello_html_md4eaed8.gif к вызвавшему его приращению аргумента hello_html_m1e8961c0.gif в этой точке при hello_html_m7abd85b2.gif.
hello_html_7d4bc688.gif

2.Геометрический смысл производной в каком уравнение выражается?

Ответ: Выражается в уравнение касательной.

3.В механическом смысле первая производная пути по времени это?

Ответ: Скорость

4. Как по другому называют точки экстремума и минимума?

Ответ: Критические точки производной.

5.Чему равна производная постоянной?

Ответ: 0

6. Карточки с примерами:

а) у=5x+3x2; б) у = hello_html_c16088b.png;в) у= ; г) у= ; д)2x7+; е) у=

7. Постановка проблемной ситуации:  найти производную функции

 у =ln( sin x).

Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х, а функция  sin x этого переменного. 

1.Как вы думаете, называются эти функции?

Ответ: функции называются сложными функциями или функциями от функций.

2.Умеем ли мы находить производные сложных функций?

Ответ: Нет.

3.Значит, с чем мы должны сейчас познакомиться?

Ответ: С нахождением производной сложных функций.

4.Как будет звучать тема нашего сегодняшнего занятия?

Ответ: Производная сложной функции

4. Изучение нового материала.

Правила и формулы дифференцирования, которые мы рассмотрели на прошлом занятии, является основными при вычислении производных. Но, если для несложных выражений пользование основными правилами не представляет особого труда, то для сложных выражений, применение общего правила может оказаться делом очень непростым.

Цель нашего сегодняшнего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

Производная  сложной функции

Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение: Функция вида y = f ( g (x) )         называется сложной функцией,  составленной  из функ ций  f u g, или суперпозицией функций f и g. 

Пример: Функция  у =ln(sin x) есть сложная функция, составленная из функций

у = ln u    и    u = sin x .

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

y = f(u),         где        u = g(x)

  Внешняя функция         Промежуточная функция

                                                                       

При этом аргумент х называют независимой переменной, а  u - промежуточным аргументом.

Вернемся к примеру. Производную каждой из этих функций мы можем вычислить, используя таблицу производных.

Как же вычислить производную сложной функции?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если функция u = g(x) дифференци руема в некоторой точке х0, а функция y=f(u)дифференцируема в точке u0 = g(x0), то сложная функция у=f(g(x))  дифференцируема в данной точке x0.

Правило:

  1. Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;

  2. Чтобы правильно прочитать функцию, надо определить в ней порядок действий;

  3. Функцию читаем в обратном порядку действий направлении;

  4. Производную  находим по ходу чтения функции.

А теперь разберем это на примере:

Пример1:  Функция  у =ln( sin x) получается последовательным выполнением двух операций: взятия синуса угла х и нахождения от этого числа натурального логарифма:

Функция читается так:  логарифмическая  функция  от  тригонометрической функции.

Продифференцируем функцию:  у = ln( sin x)=ln u,  u=sin x.

.Будем использовать при дифференцировании  дополненную таблицу производных.

Далее получаем (u)=(sin x)=cosx

У= ’ ==ctg x

Пример2: Найти производную функции h(x)=(2x+3)100.

Решение: Функцию h можно представить в виде сложной функции h(x) = g(f(x)), где g(y)= y100, y=f(x)=2x+3, так как fI(x)=2, gI(y)=100y99, hI(x)=2*100y9=200(2x+3)99.

5.Закрепление материала:( К доске выходят учащиеся и решают примеры)

1.Найдите область определения функции.

А) y= ; б) y=;

В); г) у=

2. Найдите производную функции:

А) ( 2x-7)14

Б) ( 3+5x)10

В) ( 7x-1) 3

Г) ( 8x+6) 55

Д)

Е) ( 7x-1) 5

3. Заданы функции f(x) = 2- x-x2 ; g(x) = ; p(x) = .

Задайте с помощью формул функции:

А) f(g(x)) ; б) g(f(x)); в) f(p(x))

6. Домашнее задание:

Найти производную функции: а) ( 5x-7)17; б) ( 7x+6)14; В) y=; г) y=;




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 29.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров21
Номер материала ДБ-220338
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх