Разработка урока на тему: "Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости. Самостоятельная работа"

Урок №

Тема: «Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости. Самостоятельная работа».

Цель: закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;

вырабатывать навыки применения теоретических знаний к решению типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Ход урока.

1.     Организационный момент.

Проверить готовность к уроку. Отметить отсутствующих. Организовать учащихся на дальнейшую работу.

3. Проверка домашнего задания.

Проверить наличие домашнего задания, разобрать те задания, которые вызвали затруднения при выполнении.

2.     Актуализация опорных знаний.

I. Теоретический опрос (4 ученика у доски)

1) доказать лемму о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к третьей;
2) доказать теорему о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости;
3) доказать обратную теорему о параллельности 2-ух прямых, перпендикулярных к плоскости;
4) доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Пока ученики готовятся у доски к ответу, с классом проводится фронтальный опрос.
(С помощью мультимедиапроектора на экране появляются вопросы (Приложение 1), и ученики отвечают на них)

1. Закончить предложение:

а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если… (угол между ними равен 90°)
б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… (она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости)
в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они… (параллельны)
г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она… (перпендикулярна и к другой прямой)
д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… (параллельны)

2. Дан параллелепипед

а) Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC₁) (ответ: AD; A₁D₁; B₁C₁; BC) 
2) плоскости, перпендикулярные ребру BB₁ (ответ: (АВС); (A₁B₁C₁))

б) Определите взаимное расположение:
1) прямой CC₁ и плоскости (DСВ) (ответ: они перпендикулярны)
2) прямой D₁C₁ и плоскости (DCB) (ответ: они параллельны)

3.      Изучение нового материала.

Учебник п.18, стр. 38.

– Как проверить, перпендикулярна ли прямая к плоскости?
– Надо ли проверять перпендикулярность прямой к каждой прямой, лежащей в плоскости?

4.     Закрепление материала.

№1.2 (№125 учебника)

Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках P₁ и Q₁. Найдите P₁Q₁, если PQ = 15 cм; PP₁ = 21,5 cм; QQ₁ = 33,5 cм.
Решение:

1) PP₁ ⊥ α и QQ₁ ⊥ α по условию ⇒ PP₁ ∥ QQ₁ (обосновать);

2) PP₁ и QQ₁ определяют некоторую плоскость β, α ⋂ β = P₁Q₁;

3) PP₁Q₁Q - трапеция с основаниями PP₁ и QQ₁, проведём PK ∥ P₁Q₁;
4) QK = 33,5 - 21,5 = 12 (см)

P1Q1 = PK =

= 9 см.

Ответ: P₁Q₁ = 9 см.

Самостоятельная работа.

Вариант I	Вариант II
Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые AA1 и BB1, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что AA1 ⊥ AB, AA1⊥ AD. Найдите B1B, если B1D = 25 см, AB = 12 см, AD = 16 см.	Через вершины А и В ромба АВСD проведены параллельные прямые AA1 и BB1, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что BB1 ⊥ BC, BB1 ⊥AB. Найдите A1A, если A1C = 13 см, BD = 16 см, AB= 10 см.
Решение: 1) AA1 ⊥ AB, AA1 ⊥ AD, а AB ⋂ AD = A ⇒ AA1 ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. AA1 ∥ BB1, то BB1 ⊥ (ABC) ⇒ BB1 ⊥ BD; 2) ∆ ABD: ∠BAD = 90°. По теореме Пифагора: BD = = 20 см; 3) ∆ B1BD – прямоугольный. По теореме Пифагора: B1B = = 15 см. Ответ: 15 см.	Решение: 1) BB1 ⊥ AB, BB1 ⊥ BC, а AB ⋂ BC = B ⇒ BB1 ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. BB1 ∥ AA1, то AA1 ⊥ (ABC) ⇒ AA1⊥ AC; 2) Используя свойство диагоналей ромба, имеем в ∆AOB: ∠AOB = 90°, BO = ½ BD = 8 см. По теореме Пифагора: AO = = 6 см, AO = ½ AC ⇒ AC = 12 см; 3) ∆ A1AC – прямоугольный. По теореме Пифагора: AA1 = = 5 см. Ответ: 5 см.

Индивидуальное задание для более сильных учеников. (Вариант III)

Дано: ∆ ABC; AB = AC = BC; CD ⊥ (ABC); AM = MB; DM = 15 дм; CD = 12 дм.
Найти: S_∆ ADB
Решение:

1) Т.к. CD ⊥ (FDC) ⇒ CD ⊥ AC и CD ⊥ BC, т.е. ∆ ADC, ∆ BDC – прямоугольные;
2) ∆ ADC = ∆ BDC (по двум катетам) ⇒ AD = BD, т.е. ∆ ADB – равнобедренный и DM – медиана, а значит и высота; 3) DC ⊥ MC ⇒ MCD – прямоугольный,

тогда MC =

= 9;

4) ∆ ABC – равносторонний, поэтому СМ – медиана и высота, т.е. ∆ MCB – прямоугольный, ∠B = 60°,

sin ∠B =

, тогда

,

а АВ = ВС (по условию).
5) S_∆ ADB = ½ DM ∙ AB;

S∆ ADB = ½ ∙ 15 ∙

.

Ответ:

5.Итог урока.

6.Домашнее задание.

Учебник п.16- 18 (выучить).