Разработка урока по алгебре и началам анализа на тему "Функция у=cos x и её свойства"(11 класс)

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №45

Разработка урока по теме

«Функция у = cos x и её свойства»,

алгебра и начала анализа, 11 класс.

Автор учитель математики

первой категории

МАОУ СОШ №45 г. Калининграда

Гавинская Елена Вячеславовна.

г. Калининград

2015 – 2016 учебный год

Автор – Гавинская Елена Вячеславовна

Образовательное учреждение – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Калининграда средняя общеобразовательная школа № 45

Предмет – математика (модуль «Алгебра и начала анализа»)

Класс – 11

Тема – «Функция у = cos x и её свойства»

Учебно-методическое обеспечение:

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений, базовый и профильный уровень /Ш.А.Алимов и др., - 18 - е изд., - М.: Просвещение, 2012 г.

Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая работы - Microsoft Office Power Point 2010

Цель:

повторить правила построения графика функции y = cos x, научиться применять приёмы преобразования графика, читать график, использовать свойства и график функции при решении уравнений и неравенств.

Задачи обучающие:

ü    формирование функциональных представлений на наглядном материале, умений построения графиков функции y = cos x при различных преобразованиях; формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике;

развивающие:

ü    способствовать развитию внимания, логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, обобщать, применять знания в нестандартных ситуациях,

ü    способствовать развитию и пониманию у учащихся меж предметных связей в задачах практического содержания,

воспитательные:

ü    активизировать интерес к получению новых знаний,

ü    воспитывать графическую культуру, формировать точность и аккуратность при выполнении чертежей.

Обоснование выбора методов, средств и форм обучения:

оптимизировать обучение путем разумного сочетания и соотношения методов, средств и форм, направленных на получение высокого результата за время урока.

Оборудование и материалы для урока: проектор, экран (интерактивная доска, далее ИД), компьютеры или ноутбуки индивидуально для каждого учащегося, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал.

Тип урока: комбинированный.

Структура урока:

№ n/n	Название этапа урока	Время
1	Организационный момент.	1 мин
2	Проверка домашнего задания.	5 мин
3	Повторение теории.	12 мин
4	Изложение нового материала.	7 мин
5	Гимнастика для глаз.	2 мин
6	Закрепление изученного материала.	10 мин
7	Самостоятельная работа.	7 мин
8	Подведение итогов урока.	1мин

Целесообразность использования медиа продукта на занятии продиктована следующими факторами:

1.     интенсификацией учебно-воспитательного процесса:

·                   автоматизацией процесса контроля,

·                   улучшением  наглядности изучаемого материала,

·                   увеличением количества предлагаемой информации,

·                   уменьшением времени подачи материала;

2.     повышением эффективности усвоения учебного материала за счет групповой и самостоятельной деятельности учащихся.

Обоснование выбора форм и методов работы на уроке по теме «Функция у = cos x и её свойства» и методические рекомендации по применению презентации на уроке.

      Тема «Функция у = cos x и её свойства»  входит в тему «Тригонометрические функции» по авторскому планированию Ш.А.Алимова. или Ю.М.Колягина.  В заданиях ЕГЭ прошлых лет указанная тема встречается как вспомогательный компонент при решении заданий группы С. Поэтому предлагаемые формы и методы работы по данной теме способствуют отработке навыков применения графика функции у = cos x и её свойств к решению различных заданий. Задания, предложенные на уроке, подбирались с учетом возрастных особенностей учащихся и способствуют развитию логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях с учетом меж предметных связей при решении задач практического содержания. Предложенные формы и методы применяются для групповой, самостоятельной и фронтальной работ. Однако их можно использовать и как тренажёр для отдельного учащегося, работающего за компьютером.

      И последнее примечание: все учащиеся класса с начала учебного года разделены на три типологические группы: группа А – самые «слабые» учащиеся, группа В – «средние» учащиеся, группа С – учащиеся с высоким уровнем обученности по предмету.

Ход урока.

1.Организационный момент.

1)                Объявляется цель и план урока.

2)                Записывается домашнее задание:  повторить теорию, №717 (3), 715 (4), 716 (2); группе С – дополнительно №719 (1).

2.Проверка домашнего задания.

Работа по слайдам №3, 4, 5, 6. Учащиеся реагируют с помощью карточек + (согласен), - (не согласен) на предложенные учителем решения. Там есть ошибки на доске, учащиеся должны их обнаружить и с опорой на теорию доказать, почему неверно на доске. Обсуждаются фронтально трудности, с которыми столкнулись учащиеся при выполнении домашнего задания.

3.Повторение теории.

У каждого учащегося на парте раздаточный материал. Работая в парах (наиболее слабый учащийся из пары рассказывает решение, второй его проверяет), учащиеся повторяют на практических заданиях сдвиги графиков функции у = cos х вдоль оси Ох и Оу. Проверка с помощью слайдов №8, 9.

При этом ещё раз проговаривается теория сдвигов графиков вдоль осей координат. На последнем шаге данного этапа урока  ученик группы А у доски ещё раз проговаривает свойства функции у = cos х с помощью слайда №10.

4.Изложение нового материала.

      С привлечением учащихся (используя примеры сжатий и растяжений уже знакомых учащимся графиков функций) вводится новый материал. Сначала построение графика функции у = к∙cos х и перечисление свойств при к1 и 0к1 с помощью слайда №12, а затем построение графика функции у = cos (кх) и перечисление свойств при к1 и 0к1 с помощью слайда №13. Основные выводы учащиеся записывают в тетрадь.

 

5. Гимнастика для глаз.

6. Закрепление изученного материала.

      Сначала учащиеся обсуждают в парах план решения №715(1) и №716 (1), строят графики в тетрадях. Затем 1 ученик оформляет решение на доске, в помощь тем, кто испытывает сложности, слайд №20.

7. Самостоятельная работа (в типологических группах).

1)                Группа А («слабые» учащиеся). Можно дать по вариантам. Уч-ся данной типологической группы выполняют самостоятельно тест в Excel, при необходимости подзывают учителя и получают необходимые им консультации, а также пользуются образцами решения подобного типа задания, которые есть у них в тетрадях. Работы проверяет учитель.

Тест.

1. Период функции у = cos (2х - 3) равен:

а) ;   б) ;   с) ;   d) 2

2. Множество значений функции у =  cos (х + 3):

а);   б);   с);   d) 2

3. Корень уравнения cos 2х = - :

а);   б);   с) ;   d)

4. Число 3cos является:

а) положительным;   б) отрицательным;  

с) иррациональным;   d) равно 0

5. Сравнить числа cos и cos:

а) =;   б);   с);   d)

2)        Группа В («средние» учащиеся). Уч-ся данной типологической группы выполняют самостоятельно тест (смотреть в приложениях) по вариантам, при необходимости подзывают учителя и получают необходимые им консультации. Тетрадями и опорным конспектом не пользуются. Работы сдают учителю.

3)      Группа С («сильные» учащиеся). Уч-ся данной типологической группы выполняют самостоятельно построение графика функции из №719(3). При необходимости подзывают учителя и получают необходимые им консультации. Проверка с помощью слайда №21.

8.Подведение итогов урока, выставление отметок.

Учащимся предлагается ответить на вопрос: что вызвало наибольшие затруднения на уроке? Какова ценность сегодняшнего урока? Чему же мы сегодня с вами научились?

Анкетирование можно провести с помощью системы Verdict:

1.На уроке я работал	активно / пассивно
2.Своей работой на уроке я	доволен / не доволен
3.Урок для меня показался	коротким / длинным
4.За урок я	не устал / устал
5.Мое настроение	стало лучше / стало хуже
6.Материал урока мне был	понятен / не понятен
7.Домашнее задание мне кажется	легко выполнимым / сложным

 Выставить отметки за работу на уроке.

ТЕСТ по теме «Функция у = cos x».

Вариант I

1. Среди данных функций выберите четные: y =cos(x-2) y = cos(x+2) y = cosx+2 y = cos(x-1)-1	2. Область значений функции у=│2cos(x+1)-2│: [-2;2] [0;2] [1;2] [-2;0]
3. Наибольшее  значение функции  y=-cos(2x+1) : 1 -1 0 2	4. Период функции y=3cos3x равен: 2π 3π 1/3π 2π/3
5. Для построения графика функции  y = cos(x+3) с графиком y = cos x были выполнены преобразования: Сдвиг графика на 3 радиана влево Сдвиг графика на 3 ед. отрезка вверх Сжатие графика вдоль оси Оу в 3 раза Симметрия  графика относительно оси Ох	6. Уравнение : Не имеет решений Имеет решение х=0 Имеет решения х=0 и х=1 Имеет решения

ТЕСТ по теме «Функция у = cos x».

Вариант II

1. Среди данных функций выберите четные: y =cos(x-2) y = cos(x+2)+3 y = cos(x+3) y = cos(x+2π)-1	2. Область значений функции у=│5cos(x-1)-2│: [-5;5] [-5;2] [0;5] [-2;0]
3. Наибольшее  значение функции  y=-2cos(2x-1) : -2 -1        0   2	4. Период функции y=4cos3x+1 равен: 2π 2π/3 1/3π 4π/3
5. Для построения графика функции  y = cos(x-3) с графиком y = cos x были выполнены преобразования: Сдвиг графика на 3 радиана вправо Сдвиг графика на 3 ед. отрезка вверх Сжатие графика вдоль оси Оу в 3 раза Симметрия  графика относительно оси Ох	6. Уравнение : Не имеет решений Имеет решение х=0 Имеет решения х=0 и х=1 Имеет решения

Построить график функции у = cos х + 2

у

х

Построить график функции у = cos(x-2)

у

х

Построить график функции у = cos х - 2

			х

 

Построить график функции  у = cos(x + 2)

 

• 1 слайд

  Тема урока:
  
  «Функция у = cos x
  и её свойства».
  

• 2 слайд

  Проверка
  домашнего задания.
  

• 3 слайд

  №710 (2, 4).
  2) − 𝛑 𝟐 ;𝟎 - возрастает
  𝟎; 𝛑 𝟐 - убывает
  −𝛑;− 𝛑 𝟐 - возрастает
  − 𝝅 𝟐 ; 𝝅 𝟐 - убывает
  
  
  

• 4 слайд

  №711 (1, 3).
  1) 𝛑 𝟕 𝛜 𝟎;𝛑 , 𝟖𝛑 𝟗 𝛜 𝟎;𝛑 ,
  но на отрезке 𝟎;𝛑 - функция
  у = cos x убывает и 𝛑 𝟕 < 𝟖𝛑 𝟗 ,
  значит, cos 𝛑 𝟕 < cos 𝟖𝛑 𝟗 .
  
  
  

• 5 слайд

  
  3) - 𝟔𝛑 𝟕 𝛜 −𝛑;𝟎 , - 𝛑 𝟖 𝛜 −𝛑;𝟎 ,
  но на отрезке −𝛑;𝟎 - функция
  у = cos x возрастает и - 𝟔𝛑 𝟕 <− 𝛑 𝟖 ,
  значит, cos (- 𝟔𝛑 𝟕 ) < cos (− 𝛑 𝟖 ).
  
  
  

• 6 слайд

  У
  Х
  1) D(у) = R
  2) Е(у) = [0; 2]
  y=cosx
  y=1+cosx
  3) Нули функции:
  х =  + n, nZ
  4) Промежутки возрастания, убывания
  не изменились
  (такие же, как и для функции
  y = cos x).
  №717 (1).
  
  
  

• 7 слайд

  Повторение теории.
  

• 8 слайд

  у=cosx+2
  у=cosx-2
  У
  У
  Х
  Х
  Сдвиг вниз
  -
  Сдвиг вверх
  +
  y=cosx
  y=cosx+2
  y=cosx
  y=cosx-2
  Сдвиг вдоль оси ординат.
  

• 9 слайд

  у=cos(x-2).
  у=cos(x+2)
  У
  Х
  У
  Х
  y=cosx
  y=cos(x-2)
  y=cosx
  y=cos(x+2)
  Сдвиг вправо
  -
  Сдвиг влево
  +
  Сдвиг вдоль оси абсцисс
  

• 10 слайд

  у
  х
  у = cosx
  (- π/2+2πn; π/2+2 πn),
  х=π/2+πn,
  уmax=1, при х=2 πn,
  уmin= -1, х= π+2 πn,
  (π/2+2 πn;3π/2+2 πn),
  n∊Z
  n∊Z
  n∊Z
  n∊Z
  n∊Z
  четная
  R
  [-1;1]
  T=2 π
  [π+2πn;2π+2πn]
  [2πn; π+2πn],
  n∊Z
  Свойства функции у = cos x.
  

• 11 слайд

  Изложение
  нового материала.
  

• 12 слайд

  y=k∙cosx
  у = 2 cosx
  у = 𝟏 𝟐 cosx
  У
  Х
  У
  y=cosx
  y=2cosx
  y=cosx
  y=1/2cosx
  k>1
  Растяжение
  Сжатие
  0<k<1
  Х
  Сжатие и растяжение.
  

• 13 слайд

  y=cos(kx)
  У
  Х
  У
  y=cosx
  y=cos(2x)
  Сжатие
  k>1
  y=cosx
  y=cos(1/2x)
  Растяжение
  0<k<1
  Х
  y = cos(2x)
  y = cos( 𝟏 𝟐 x)
  Сжатие и растяжение.
  

• 14 слайд

  Гимнастика для глаз.
  

• 15 слайд

• 16 слайд

• 17 слайд

• 18 слайд

• 19 слайд

  Закрепление изученного.
  

• 20 слайд

  у=0,5
  y=cos2x
  У
  Х
  №715 (1) и №716 (1):
  

• 21 слайд

  у = 3-2cos(х-1)
  У
  Х
  у = cosх
  у = cos(х-1)
  у = -2cos(х-1)
  у = 3-2cos(х-1)
  №719 (1):