Разработка урока по алгебре на тему «Исследование функции с помощью производной и построение её графика» (10 класс)

Урок на тему: «Исследование функции с помощью производной и построение её графика».

Ф.И.О. учителя: Банникова Дарья Дмитриевна

Дата проведения: 25.02.13

Класс: 10 «Б»

Цели урока:

·        Усвоить алгоритм исследования функции с помощью производной

·        Формировать навыки прикладного использования  производной

·        Развивать  умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при исследовании   функции

·        Воспитывать познавательный интерес к математике

Тип урока: урок объяснения нового материала

Структура урока:                1. Организационный момент – 2 мин.

                                                2. Актуализация знаний – 10 мин.

                                                3. Ознакомление с новым материалом – 10 мин.

                                         4. Первичное осмысление изученного на практике –                                              16 мин.

                                                5. Постановка задания на дом – 2 мин.

                                                6. Подведение итогов. – 5 мин.

Ход урока.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1. Организационный момент.
Проверка готовности класса к уроку. Сообщение темы и цели урока.
2. Актуализация знаний.
Самостоятельная работа одного учащегося у доски. Задание написать все формулы производной сложной функции. Устная работа с классом. 1.Назовите промежутки убывания функции 2.Назовите точку максимума функции 3.Найти производную функции у=3х2 – cosx + 2 4.Найти область определения функции   5.Найти область определения функции   6.Найти область определения функции   Четность и нечетность функции. Как определить четность функции? График чётной функции симметричен относительно оси ординат. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Какие еще функции есть помимо четных и нечетных? Как найти точки пересечения с осями координат?	[-3;2] 6 y'= 6x+sinx [0;2) & (2;∞) х ≠ 5 (-∞;2) & (2;∞) f(-х)=f (х) f (-х)= - f (х) Функции общего вида и периодические. С осью ОУ: х=0 С осью ОХ: у=0
3. Ознакомление с новым материалом.
Запишем алгоритм исследования функции с помощью производной в тетрадь. 1. Найти область определения функции. 2. Определить четность, нечетность и периодичность функции. 3. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат. 4. Найти промежутки знакопостоянства функции. 5. Найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции. 6. Занесите все полученные данные в таблицу. 7. Построить график функции. 8. Найти дополнительные точки. 9. Найти множество значений функции. Разбор устно у доски. Ответить на вопросы появившиеся у класса.
4. Первичное осмысление изученного на практике.
Решение задач с объяснением у доски. f(x)= Исследовать функцию y=x3+6x2+9x  и построить график. Исследовать функцию y=x2/(x-2) и построить график. Исследовать функцию y=(6(x-1))/(x2+3) и построить график.	y=x3+6x2+9x 1)     D(y)=R 2)     Определим вид функции: y(-x)=(-x)3+6(-x)2+9(-x)=-x+6x2-9x  функция общего вида. 3)     Найдем точки пересечения с осями: Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y. Ox: y=0, x3+6x2+9x=0 x(x2+6x+9)=0 x=0 или x2+6x+9=0                        D=b2-4ac                        D=36-36=0       D=0, уравнение имеет один корень. x=(-b+D)/2a x=-6+0/2 x=-3 (0;0) и (-3;0) – точки пересечения с осью х. 4)     Найдем производную функции: y’=(x3+6x2+9x)’=3x2+12x+9 5)     Определим критические точки: y’=0, т.е. 3x2+12x+9=0  сократим на 3                          x2+4x+3=0                          D=b2-4ac                          D=16-12=4 D>0, уравнение имеет 2 корня. x1,2=(-b±√D)/2a,  x1=(-4+2)/2 , x2=(-4-2)/2 x1=-1     x2=-3 6)     Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:    +                  -                   +                       -3                   -1                    x=-4, y’=3*16-48+9=9>0                    x=-2, y’=12-24+9=-3<0                    x=0, y’=0+0+9=9>0 7)     Найдем xmin и xmax: xmin=-1 xmax=-3 8)     Найдем экстремумы функции: ymin=y(-1)=-1+6-9=-4 ymax=y(-3)=-27+54-27=0 9)     Построим график функции: 10)Дополнительные точки: y(-4)=-64+96-36=-4          y=x2/(x-2)          Найдем область определения. 1)     D(y)=R \ {2} 2)Определим вид функции. y(-x)=(-x)2/(-x-2)=x2/(-x-2), функция общего вида. 3)Найдем точки пересечения с осями. Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y. Ox: y=0, x2/(x-2)=0 x3-2x2=0 x2(x-2)=0 x=0 или x=2  (2;0) – точка пересечения с осью х 4) Найдем производную функции: y’=(2x(x-2)-x2)/(x-2)2=(2x2-4x-x2)/(x-2)2=(x(x-4))/(x-2)2=(x2-4x)/(x-2)2 5) Определим критические точки:            x2-4x=0                  x(x-4)=0 y’=0, (x2-4x)/(x-2)2=0 <=>                       <=>     (x-2)2≠ 0                 x≠ 2 x2-4x=0, а (x-2)2≠ 0, т.е. х≠ 2 x(x-4)=0 x=0  или x=4 6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции.          +             -               -              +                 0              2              4                    x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0                    x=1,  y’=(1-4)/1=-3<0                    x=3,  y’=(9-12)/1=-3<0                    x=5,  y’=(25-20)/9=5/9>0 7) Найдем точки минимума и максимума функции:                    xmin=4                    xmax=0   8) Найдем экстремумы функции:                    ymin=y(4)=16/2=8                    ymax=y(0)=0    9) Построим график функции:    10) Дополнительные точки:   y(-3)=9/-5=-1,8              y(3)=9/1=9        y(1)=1/-1=-1                  y(6)=36/4=9 1) Найдем область определения функции: D(y)=R 2)     Определим вид функции: y(-x)=(6(-x-1))/(x2+3)=-(6(x+1))/(x2-3) – функция общего вида. 3)     Найдем точки пересечения с осями: Oy: x=0,  y=(6(0-1))/(0+3)=-2,  (0;-2) – точка пересечения с осью y.                              (6(x-1))/(x2+3)=0               Ox: y=0, <=>                                                        x2+3≠ 0                          6x-6=0                    6x=6                    x=-1 (1;0) – точка пересечения с осью х       4) Найдем производную функции:                    y’=(6(x-1)/(x2+3))’=6(x2+3-2x2+2x)/(x2+2)2=-6(x+1)(x-3)/(x2+3)2   5) Определим критические точки:                    y’=0, т.е. -6(x+1)(x-3)/(x2+3)2=0                    -6(x+1)(x-3)=0 y’=0, если х1=-1 или х2=3 , значит х=-1 и х=3, критические точки.    6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:             -                     +                - -1               3              x=-2,    y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3)2=-30/49<0                    x=0,     y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3)2=2>0                    x=4,     y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3)2=-30/361<0       7) Найдем точки минимума и максимума:                    xmin=-1                    xmax=3 8) Найдем экстремумы функции:                    ymin=y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3                    ymax=y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1    9) Построим график функции:     10) Дополнительные точки:                    y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2                    y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77
5. Постановка задания на дом.
Задания      а) – среднего уровня,                     б)- уровня выше среднего,                     в) – высокого уровня 1 вариант а) у=(х+1)3 (х-2) б) у= в) у= 2 вариант а) у=(х+2)2 (х-2) б) у= в)у=
6. Подведение итогов.
Повторение этапов алгоритма. Выставление оценок.

Краткое описание документа:

Цели урока:

·        Усвоить алгоритм исследования функции с помощью производной

·        Формировать навыки прикладного использования  производной

·        Развивать  умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при исследовании   функции

·        Воспитывать познавательный интерес к математике

Тип урока: урок объяснения нового материала

Структура урока:                1. Организационный момент – 2 мин.

                                                2. Актуализация знаний – 10 мин.

                                                3. Ознакомление с новым материалом – 10 мин.

                                         4. Первичное осмысление изученного на практике –                                              16 мин.

                                                5. Постановка задания на дом – 2 мин.

                                                6. Подведение итогов. – 5 мин.