Разработка урока по алгебре на тему: "Решение тригонометрических уравнений"

Решение тригонометрических уравнений

·         Мухтарова Гузель Робертовна, учитель математики

Разделы: Математика

---

Тип урока: Комплексное применение знаний.

Цели урока:

1.     Образовательная: Выработка умений самостоятельно применять знания в стандартных и нестандартных ситуациях.

2.     Воспитательная: Формирование знаний по рецензированию ответов товарищей и корректированию собственных ответов.

3.     Развивающая: Развитие активности учащихся.

Оборудование: карточки

Структура урока

I.        Организационный момент.

II.        Устная работа.

III.        Решение упражнений.

IV.        Постановка домашнего задания.

V.        Итоги.

Ход урока

I. План и задачи урока.

II. Устно:

1) Имеет ли смысл выражение:

а) arcsin  б) arccos  в) arctg  г) arcsin 

2) Формула (понижения степени) половинного аргумента

sin  =  ; cos  = 

III. Решение упражнений.

1.     Решить уравнение 

2.     Решить уравнение 

3.     Чему равно произведение корней уравнения

 · (tg - 1) = 0

4. Чему равна сумма корней уравнения?

(tg х - ) · arcsin  = 0

5. Решить уравнение

cos πcos2πcos4π cos8π cos16π=

IV. Постановка домашнего задания

1. Найдите наименьшее положительное решение уравнения на [0; π]

 +  = 

2. Сколько корней имеет уравнение

(1-  ) =0

V. Итоги.

Решение уравнений разными способами (Приложение)

Решение уравнений

I способ

1. sin⁴ х + cos⁴ х=    a⁴+b⁴=(a²+b²) - 2a² b²

(sin² х + cos² х) - 2 sin² х cos² х =

sin² 2х=·2

cos4 х=

х =  + , n € z.

Ответ: х =  + , n € z.

II способ.  Понижение степени.

sin⁴ х + cos⁴ х=

(sin²х)² + (cos² х)²=             ( )² +( )² =

+=

2(2+2cos²2х) = 7

1+ cos²2х =

cos²2х =

=

cos 4х =

Ответ:  х =  + , n € z.

2. sin⁶х + cos⁶х =              a³+b³=(a+b) (a² - a b + b²)

(sin²х)³ +(cos²х)³ =

(sin²х + cos²х)* (sin⁴х – sin²х cos²х + cos⁴х) = ;

(sin²х + cos²х) - 2 sin²х cos²х - sin²х cos²х = ;

1- 3 sin²х cos²х =;

1- 3 sin²х cos²х =;

 1- =  (sin2х)²; 

=  sin²2х;

= sin²2х;              / sin²=

=

1- cos 4х =1

cos 4х = 1-1

cos 4х =0

4х = +πk, k € z

х = +, k € z

Усложним (как при ЕГЭ)

Найдите количество корней, принадлежащих [0;π]

0+π

-≤ ≤ π -

- ≤ k ≤ 4-

- ≤ k ≤ 3,5

k=0,1,2,3. т.к. k € z

Ответ: х = +, k € z, четыре корня.

3. Чему равно произведение корней уравнения

 · (tg - 1) = 0

Вариант ответов

2π                         - 2π                         3π                     - 3π                 4π?      

Решение

                Произведение корней равно 0 тогда и только тогда, когда один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла.

I.                                                                                  II.

 

     = 0                                            tg  - 1 = 0

      ≠ + πn,  n € z     или                     4-х² ≥ 0

   

      х = ±2                                                   =    + πk   k € z                             

     х≠ π +2πn                                              -2 ≤ х ≤ 2

                                                                                                  х =  + 2πk      k € z

    ± удовлетворяет условию                  Методом подбора

    х≠ π +2πn, n € z                                    при k=-1; х=-2π; х=-

    т.к. х –иррациональные числа            х=-  € [-2;2]

    -2 и 2 решение                                     при k = 0  х= € [-2;2]

                                                                  при k = 1  х=+2π;  х= € [-2;2]

                                                                  х= решение

Найдем произведение корней -2*2*=-2π

Ответ: -2π

4. Найти сумму корней уравнения

( tg х - ) · arcsin  = 0

I.                                                                              II.               

tg х - =0                                                          arcsin=0

-1 ≤ ≤ 1                      или                       х≠  + πn, n € z                                         

1. х=  +   πm,  m € z                                             = 0                                           

2. -1 ≤  ≤ 1 | * π                                         2х - 2π = 0

-π≤ 2х-2π ≤ π                                                         2х = 2π

π≤ 2х ≤ 3π                                                              х = π      π≠ + πn   n € z

  ≤ х ≤      

Найдем сумму корней   + + π = +  = 

Ответ:  .

5.  Решить уравнение

cos πcos2πcos4π cos8π cos16π=

= 

       =

         =

         =

         =

         =

        sin32π = sinπ

        sin32π - sinπ=0             sin- sin = 2 sincos

       2cos sin = 0

cos = 0

1) cos=0                                                   2) sinπх = 0

  =  + πn, n € z / ·                          = πk            

х=                                                       х = 2k, k € z

Ответ:             х = 2k,   n € z,    k € z.