Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по алгебре на тему: "Решение тригонометрических уравнений"

Разработка урока по алгебре на тему: "Решение тригонометрических уравнений"

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


СВИДЕТЕЛЬСТВО СРАЗУ ПОСЛЕ ПРОСМОТРА ВЕБИНАРА

Вебинар «Подростковая лень: причины, способы борьбы»

Просмотр и заказ свидетельств доступен только до 22 января! На свидетельстве будет указано 2 академических часа и данные о наличии образовательной лицензии у организатора, что поможет Вам качественно пополнить собственное портфолио для аттестации.

Получить свидетельство за вебинар - https://infourok.ru/webinar/65.html

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_190e626f.gifhello_html_m34a91268.gifhello_html_m34a91268.gifhello_html_mc9c0328.gifhello_html_mc9c0328.gifhello_html_6be74174.gifhello_html_26a4bebf.gifРешение тригонометрических уравнений

Разделы: Математика



Тип урока: Комплексное применение знаний.

Цели урока:

  1. Образовательная: Выработка умений самостоятельно применять знания в стандартных и нестандартных ситуациях.

  2. Воспитательная: Формирование знаний по рецензированию ответов товарищей и корректированию собственных ответов.

  3. Развивающая: Развитие активности учащихся.

Оборудование: карточки

Структура урока

  1. Организационный момент.

  2. Устная работа.

  3. Решение упражнений.

  4. Постановка домашнего задания.

  5. Итоги.

Ход урока

I. План и задачи урока.

II. Устно:

1) Имеет ли смысл выражение:

а) arcsin http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image002.gif б) arccos http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image004.gif в) arctg http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image004_0000.gif г) arcsin http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image007.gif

2) Формула (понижения степени) половинного аргумента

sin http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image009.gif = http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image011.gif ; cos http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image009_0000.gif = http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image013.gif

III. Решение упражнений.

  1. Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image015.gif

  2. Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image017.gif

  3. Чему равно произведение корней уравнения

http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image019.gif · (tghttp://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image021.gif - 1) = 0

4. Чему равна сумма корней уравнения?

(tg х - http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image023.gif) · arcsin http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image025.gif http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image027.gif= 0

5. Решить уравнение

cos πhttp://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image029.gifcos2πhttp://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image029_0000.gifcos4πhttp://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image029_0001.gif cos8πhttp://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image029_0002.gif cos16πhttp://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image029_0003.gif=http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image033.gif

IV. Постановка домашнего задания

1. Найдите наименьшее положительное решение уравнения на [0; π]

http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image035.gif + http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image037.gif = http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image039.gif

2. Сколько корней имеет уравнение

(1- http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image041.gif ) http://festival.1september.ru/articles/575251/f_clip_image043.gif=0

V. Итоги.

 

Решение уравнений разными способами (Приложение)

Решение уравнений

I способ



1. sin4 х + cos4 х=hello_html_bfcff5f.gif a4+b4=(a2+b2) - 2a2 b2

(sin2 х + cos2 х) - 2 sin2 х cos2 х = hello_html_bfcff5f.gif

sin2 2х=hello_html_11487baa.gif·2

cos4х=hello_html_m43cfda66.gif

х = hello_html_642219de.gifhello_html_m4a4dd5b5.gif+ hello_html_m7a9f7ad4.gif, nz.



Ответ: х = hello_html_642219de.gifhello_html_m4a4dd5b5.gif+ hello_html_m7a9f7ad4.gif, nz.



II способ. Понижение степени.

sin4 х + cos4 х=hello_html_bfcff5f.gif

(sin2х)2 + (cos2 х)2=hello_html_bfcff5f.gif ( hello_html_m49c4cacb.gif)2 +( hello_html_m4d76a173.gif)2 =hello_html_bfcff5f.gif

hello_html_4f3c34f4.gif+hello_html_51f54e87.gif=hello_html_bfcff5f.gif

2(2+2cos22х) = 7

1+ cos22х = hello_html_4ec1cd0f.gif

cos22х = hello_html_m36eb93da.gif

hello_html_m912e921.gif=hello_html_m36eb93da.gif

cos 4х = hello_html_m33c66595.gif



Ответ: х = hello_html_642219de.gifhello_html_m4a4dd5b5.gif+ hello_html_m7a9f7ad4.gif, nz.



2. sin6х + cos6х = hello_html_2b3fe636.gif a3+b3=(a+b) (a2 - a b + b2)

(sin2х)3 +(cos2х)3 = hello_html_2b3fe636.gif

(sin2х + cos2х)* (sin4х – sin2х cos2х + cos4х) = hello_html_2b3fe636.gif;

(sin2х + cos2х) - 2 sin2х cos2х - sin2х cos2х = hello_html_2b3fe636.gif;

1- 3 sin2х cos2х =hello_html_2b3fe636.gif;

1- 3 hello_html_m7d990e5.gifsin2х cos2х =hello_html_2b3fe636.gif;

1- hello_html_2b3fe636.gif= hello_html_m36eb93da.gif (sin2х)2;

hello_html_1d26e2e2.gif= hello_html_m36eb93da.gifsin22х;



hello_html_m33c66595.gif= sin22х; / sin2hello_html_m17c0599a.gif=hello_html_mac590e0.gif

hello_html_e3bd358.gif=hello_html_m33c66595.gif

1- cos 4х =1

cos 4х = 1-1

cos 4х =0

4х = hello_html_m658a839e.gifk, kz

х = hello_html_3297ff5.gif+hello_html_m12fec9e2.gif, kz



Усложним (как при ЕГЭ)

Найдите количество корней, принадлежащих [0;π]



0hello_html_4716d71c.gifhello_html_3297ff5.gif+hello_html_m12fec9e2.gifhello_html_4716d71c.gifπ

-hello_html_3297ff5.gifhello_html_m12fec9e2.gif≤ π - hello_html_3297ff5.gif

- hello_html_m33c66595.gifk ≤ 4- hello_html_m33c66595.gif

- hello_html_m33c66595.gifk ≤ 3,5



k=0,1,2,3. т.к. kz



Ответ: х = hello_html_3297ff5.gif+hello_html_m12fec9e2.gif, kz, четыре корня.



3. Чему равно произведение корней уравнения

hello_html_m3c0b3aae.gif · (tghello_html_m79dc84da.gif - 1) = 0



Вариант ответов

2π - 2π 3π - 3π 4π?



Решение

Произведение корней равно 0 тогда и только тогда, когда один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла.



I. II.



hello_html_2752f0e3.gif= 0 tg hello_html_m79dc84da.gif - 1 = 0

hello_html_m79dc84da.gifhello_html_m658a839e.gif+ πn, nz или 4-х2 ≥ 0



х = ±2 hello_html_m79dc84da.gif = hello_html_m34f2326.gif + πk kz

х≠ π +2πn -2 ≤ х ≤ 2

х = hello_html_m658a839e.gif + 2πk kz

± удовлетворяет условию Методом подбора

х≠ π +2πn, nz при k=-1; х=hello_html_m658a839e.gif-2π; х=hello_html_m658a839e.gif-hello_html_m183d1989.gif

т.к. х –иррациональные числа х=- hello_html_32ca4726.gif € [-2;2]

-2 и 2 решение при k = 0 х=hello_html_m658a839e.gif € [-2;2]

при k = 1 х=hello_html_m658a839e.gif+2π; х=hello_html_33132b03.gif € [-2;2]

х=hello_html_m658a839e.gif решение



Найдем произведение корней -2*2*hello_html_m658a839e.gif=-2π



Ответ: -2π



4. Найти сумму корней уравнения

( tg х - hello_html_59305994.gif) · arcsin hello_html_2cb39bde.gif hello_html_m62a00377.gif= 0

I. II.

tg х - hello_html_59305994.gif=0 arcsinhello_html_2cb39bde.gif=0

-1 ≤ hello_html_2cb39bde.gif≤ 1 или х hello_html_m658a839e.gif+ πn, n € z



1. х= hello_html_m74ab33aa.gif + πm, mz hello_html_2cb39bde.gif = 0

2. -1 ≤ hello_html_2cb39bde.gif≤ 1 | * π 2х - 2π = 0

-π≤ 2х-2π ≤ π 2х = 2π

π≤ 2х ≤ 3π х = π π≠hello_html_m658a839e.gif + πn nz

hello_html_m658a839e.gif ≤ х ≤ hello_html_32ca4726.gif



Найдем сумму корней hello_html_m74ab33aa.gif + hello_html_m6a249ddf.gif+ π = hello_html_410aaf55.gif+ hello_html_40d3c370.gif =hello_html_36df88d4.gif

Ответ: hello_html_36df88d4.gif.



5. Решить уравнение

cos πhello_html_m64ef4c3d.gifcos2πhello_html_m64ef4c3d.gifcos4πhello_html_m64ef4c3d.gifcos8πhello_html_m64ef4c3d.gifcos16πhello_html_m64ef4c3d.gif=hello_html_2003d6a0.gif





hello_html_7d014ef1.gif=hello_html_2003d6a0.gif



hello_html_m43f5c4f1.gif= hello_html_2003d6a0.gif

hello_html_m3eb5472.gif= hello_html_2003d6a0.gif

hello_html_4db38b88.gif= hello_html_2003d6a0.gif

hello_html_m283bfbbd.gif= hello_html_2003d6a0.gif

hello_html_m992cf59.gif= hello_html_2003d6a0.gif

sin32πhello_html_m64ef4c3d.gif = sinπhello_html_m64ef4c3d.gif

sin32πhello_html_m64ef4c3d.gif - sinπhello_html_m64ef4c3d.gif=0 sinhello_html_m17c0599a.gif- sinhello_html_m7e91be2b.gif = 2 sinhello_html_7f17efad.gifcoshello_html_m1033790b.gif

2coshello_html_m24946cbf.gif sinhello_html_7fb94d8.gif = 0

coshello_html_m1dba2735.gif = 0



1) coshello_html_m2efc8963.gif=0 2) sinπх = 0

hello_html_m2efc8963.gif= hello_html_m658a839e.gif + πn, n € z / ·hello_html_m749efd74.gif hello_html_23582346.gif = πk

х= hello_html_m702c6d45.gif х = 2k, k € z





Ответ: hello_html_4c72b25b.gif х = 2k, nz, kz.



Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 12.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Номер материала ДВ-251936
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх