Глазковский
филиал имени Героя Советского Союза Н.Н.Шерстова МБОУ Кочетовская СОШ
Урок
математики (алгебра)
по
теме
"Последовательности.
Арифметическая, геометрическая прогрессии"
в
9 классе
(по
учебнику авт. Ю.Н.Макарычева,
Н.Г.Миндюк и др.)
Учитель
математики I категории
Щекочихина
Лариса Александровна
Алгебра
(по
учебнику авт. Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк и др.)
9
класс
Тема:
Последовательности. Арифметическая, геометрическая прогрессии.
(повторение,
обобщение и систематизация знаний)
Цели:
1. Обобщив и
закрепив знания учащихся по данной теме, подготовить их к оперативному
контролю.
2. Развивать
формально-логические навыки решения задач по данной теме, предусмотренные
стандартом образования; способствовать развитию умения видеть и применять
изученные закономерности в нестандартных ситуациях.
Форма организации деятельности
учащихся на уроке: фронтальная, самостоятельная работа учащихся обучающего
характера, парная работа (взаимоконтроль).
Ход
урока
I.
Постановка целей урока. Проверка домашнего задания. Устная работа.
Урок начинается с
постановки задач перед учащимися. В беседе учитель акцентирует внимание
старшеклассников на том, что материал урока дает им возможность развивать как
формально-логические умения по данной теме, так и умения находить закономерности,
применять полученные знания при решении нестандартных задач. Учащиеся имеют
возможность повысить свою математическую культуру вычислений и повторить
решение рациональных и дробно-рациональных, линейных и квадратичных неравенств.
Учащимся сообщается план проведения урока.
1. Проверка
домашнего задания. (Проводится способом сличения с доской).
2. Работа у
доски.
Один ученик решает следующее задание во время устной работы:
Сколько членов
последовательности y=|n2
– 5n
+ 6|, где n€ N
удовлетворяет неравенству 2 < yn
< 6.
(Решение:
n
– 5n + 6 >
0 n
– 5n + 6 < 0
D
= 25 – 24 = 1
n1
= 2, n2
= 3 n1
= 2, n2
= 3
n€(
- ∞ ; 2]U [3; +∞ ) n€
(2; 3),
т. к. n€
N,
то нет решений.
1) n2 – 5n + 6 >
2 2) n2 – 5n + 6 < 6
n2 – 5n + 4 >
0 n2 – 5n < 0
n2 – 5n + 4 =
0 n2 – 5n = 0
n1 = 1, n2
= 4 n1 = 0, n2 = 5
n€ [0; 1]U [4; 5], т.к.
n€ N, то
n = 1, n = 4, n = 5.
Ответ: три
члена.)
(После
проведения устной работы выполненное задание оценивается.)
Дополнительные
вопросы:
1) Какая
последовательность называется арифметической (геометрической) прогрессией?
2) Тело в первую
секунду движения прошло 7м, а за каждую следующую секунду – на 3м больше, чем
за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду; за восемь
секунд; за n секунд?
(Решение:
имеем
(аn) – арифметическую
прогрессию, где а1 =7, d
=3
а8
= а1 + d(8
– 1), а8 = 7 + 3 х 7, а8 = 28 (м) за восьмую
секунду
а9
= 7 + 3 х 8 , а9 = 31 (м) за восемь секунд
аn
= 7 + 3х(n –
1) , аn
= 4 + 3n (м) за n
секунд
Ответ: 28м; 31м;
4
+ 3n (м).
3. Устная работа.
Направлена на актуализацию знаний учащихся по следующим вопросам: определение
последовательности, возрастающие и убывающие последовательности, рекуррентный
способ задания последовательности, определение арифметической и геометрической
прогрессии, их характеристические свойства.
1) Записать формулу общего члена
последовательности:
а) 1; 1/2; 1/6;
1/24; …
(Решение:
1;
1/2; 1/6; 1/24; …
x1 ,
x2 , x3 , x4 , …
x1 ,
1/2x1 , 1/3x2 , 1/4x3
, xn = xn-1 1/(n+1)
б) 1/√ 3; -1/√
4; 1/ √5; …
(Решение:
1/√ 3 ; -1/√ 4
; 1/√ 5 ; …
x1
, x2
, x3
, …
(-1)2 /√ ( 1+2) ; (-1)3
/√ (2+2) ; (-1)4 / √( 3+2) ; … xn
= (-1)n+1
/√( n+2)
2) Является ли число -21 членом
последовательности (bn
), если bn
= n2
– 10n ?
(Решение:
bn
= n2
– 10n,
-21 = n2
– 10n
n2
– 10n + 21 = 0
n1
= 3, n2
= 7 Ответ: да, является
3) Могут ли числа быть членами одной
арифметической (геометрической) прогрессии?
а) 1; √3 ;
3; б) 1; 15;
8; в) 2; 6; 4,5.
(да) (нет)
(нет)
4) Известен а1 = -81, q
= -1/3 геометрической прогрессии (аn
). Является ли эта прогрессия монотонной последовательностью? Ответ объясните.
(Решение:
Не является, т.к. q<0,
то нечетные члены прогрессии будут отрицательными, а четные –
положительными.)
5) (bn
) – геометрическая прогрессия, b3
= 8, b5
= 32. Найти b1
, b7
.
(Решение:
bn
= b1
x qn-1,
q = 2, b3
= b1
x q2,
8 = b1
x
4, b1
= 2, b7
= b1
x q6
= 128
Ответ: b1
= 2, b7
= 128.)
II.
Решение задач репродуктивного характера. Организация взаимоконтроля в парах
(самостоятельная работа).
Перед решением следующих задач учащимся
предлагается оценить имеющиеся у них знания и умения по данной теме (по
пятибалльной системе)
|
Знания
и умения
|
Я
|
Другой
|
|
Знания
формул n-го члена, суммы первых
членов прогрессии
|
|
|
|
Умение
преобразований выражений
|
|
|
|
Вычислительная
культура
|
|
|
Задание:
заполнить пропуски в таблице, если (аn
) – арифметическая и (bn
) – геометрическая прогрессии.
|
а1
|
d
|
n
|
an
|
Sn
|
|
b1
|
q
|
n
|
bn
|
Sn
|
|
110
|
-10
|
11
|
|
|
1
|
3
|
10
|
|
|
|
5
|
|
26
|
105
|
|
|
0,5
|
8
|
2
|
|
|
|
3
|
12
|
|
210
|
2
|
|
7
|
1458
|
|
|
|
2
|
15
|
-10
|
|
0.5
|
|
|
1/128
|
127/128
|
Ответ:
|
а1
|
d
|
n
|
an
|
Sn
|
|
b1
|
q
|
n
|
bn
|
Sn
|
|
110
|
-10
|
11
|
10
|
660
|
1
|
3
|
10
|
19683
|
29524
|
|
5
|
4
|
26
|
105
|
220
|
256
|
0,5
|
8
|
2
|
510
|
|
1
|
3
|
12
|
34
|
210
|
2
|
3
|
7
|
1458
|
2186
|
|
38
|
2
|
15
|
-10
|
210
|
0.5
|
0
.5
|
7
|
1/128
|
127/128
|
Работа выполняется учащимися
самостоятельно. После следует взаимопроверка и взаимооцениванние. Проверяющий
заполняет третью колонку таблицы, выражая свое мнение о знаниях и умениях
партнера.
III.
«Я и мир логики».
Решение задач (устно).
1) Найти
сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300.
Решение:
аn
= 4n, где n€N,
тогда (аn
) – арифметическая прогрессия, где а1 = 4, d
= 1
аn < 300, 4n < 300, n < 300/4 или n < 75, значит n
= 75, тогда
S =(a+a)/ 2 x75 = 152 х
75 = 11400
Ответ:
11400.
2) Найти
количество всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 7.
Решение:
14
х 7 = 98
15
х 7 = 105, значит это наименьшее трехзначное натуральное число,
делящееся на 7
Тогда
х1 = (14 + 1) х 7
х2 = (14 + 2) х 7
х3 = (14 + 3) х 7 … и т.д. т.е. хn
= (14 + n)
х 7
т.к.
хn < 1000,
то (14 + n)
х 7 < 1000
98 + 7n
< 1000
7n < 902
n < 1, т.к. n€
N
, то n = 128.
Ответ:
128 чисел.
IV.
«Я и мир статистики».
Эти задачи
предлагаются с целью включения в школьный курс математики новой содержательной
линии – «элементы статистики». Подобные задания способствуют формированию
интереса к предмету.
Решить
задачи:
1) На выборах
президента России будут баллотироваться три кандидата (обозначим их буквами А,
Б и С). Проводя опрос 50 избирателей, выяснили, за кого из кандидатов они
собираются голосовать. Получили следующие данные:
Б, А,
Б, Б, С, С, Б, Б, Б, А, С, А, А,
А, С,
С, Б, С, А, А, Б, С, С, Б, С, Б,
С, А,
Б, Б, Б, А, Б, Б, С, Б, А, Б,
С,
С, Б, С, А, Б, Б, Б, А, А, С, Б.
Представьте эти
данные в виде таблицы частот.
Решение:
|
Кандидат
|
А
|
Б
|
С
|
|
Количество
голосов
|
13
|
23
|
14
|
Проверяем,
что 13 + 23 + 14 = 50
Ответ: таблица частот.
2) Учащимся
девятых классов школ некоторого города была предложена контрольная работа по
алгебре, содержащая 6 заданий. При подведении итогов составили таблицу, в
которой указали число учащихся, верно выполнивших одно, два, три и т.д.
задания:
|
Число
выполненных заданий
|
Число
учащихся
|
|
0
1
2
3
4
5
6
|
-
27
53
87
223
146
89
|
Пользуясь этой таблицей, составьте таблицу
относительных частот (с точностью до 1%)
Решение:
Находим общее число учащихся (сумма чисел
в правом столбце); n
= 625.
Относительные частоты вычисляем делением
каждого числа в правом столбце на 625 и умножаем на 100% (с округлением).
|
Число
выполненных заданий
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
Относительная
частота (%)
|
0
|
4
|
8
|
14
|
36
|
23
|
14
|
Сумма чисел во второй строке дает 99%
(должно быть 100%). Это результат округления. В таких случаях увеличивают на 1
число, которое имеет самую большую отброшенную часть;
Это (53 х 100%)/625 = 8,48;
в таблице процент выполнивших 2 задания
следует записать 9.
Ответ: таблица
относительных частот (с изменениями).
V.
Фронтальная работа учащихся по решению задач продуктивного характера.
Задание:
решить уравнения
1) 52
х 54 х 56 … 52x = 0,04-28
2) 3х + 1
- х + х2 - х3 + х4 - х5 + … =
13/6, |x|
<
1
При решении уравнений необходимо увидеть
арифметическую или геометрическую прогрессии и применить известные формулы.
Решение:
1) 52 х 54 х 56 х … 52x = 0,04-28
52
х 54
х 56
х … 52x
= (1/5 )-28
52
х 54
х 56
х … 52x
= 556
2 + 4 + 6 + … + 2х = 56
2; 4; 6; …; 2х – арифметическая
прогрессия, где
а1 = 2, d
= 2, n = x,
аn = 2х = 2n,
Sn
= 56
тогда
Sn =(a1+an)/2xn
56 = (2+2n)/2xn
112 = 2n + 2n2
2n2 + 2n –
112 = 0, n1 = -8, n2 = 7, т.к.
n€ N, то n = x = 7.
2) 3x
+ 1 – x + x2
– x3
+ x4
– x5
+ … = 13/6, |x|
< 1
1; -x;
x2;
-x3;
x4;
-x5;
… - убывающая бесконечная геометрич. прогрессия
где b1
= 1 , b2
= - x , q
= -x, Sn
= b1/(
1 – q) Sn
= 1/(1+ x)
3x
+ 1/(1+ x) = 13/6
6(3x + 3x2
+ 1) = 13 + 13x
18x2
+ 5x – 7 =
0, x1
= -7/9, x2
= 1/2.
Ответ:
1) 7; 2)
-7/9; 1/2.
VI.
Итог урока. Решение нестандартных задач.
Вычислить:
√5√3√5√3...
Решение:
51/2 x 31/4 x 51/8 x
31/16 x 51/32 x 31/64 x …= 51/2 + 1/8 +
1/32 + x 31/4 + 1/16 + 1/64 + = 52/3
x 31/3 =
1/2; 1/8; 1/32; … - геометрическая
прогрессия, где b1=1/2,
q
= 1/4<1,
тогда S = (1/2)/(1 –
1/4) = 1/2 x 4/3 = 2/3.
1/4; 1/16; 1/64; … - геометрическая
прогрессия, где b1
= 1/4, q = 1/4 < 1,
тогда S = (1/4)/(1 – 1/4) =
1/4 x 4/3 = 1/3.
52/3
х 31/3 = 3√52 х 3√3 = 3√75
= 751/3
Ответ:
751/3.
VII.
Домашнее задание.
1. Проанализировать
результаты взаимоконтроля. Составить и решить задачу для ликвидации выявленного
пробела в знаниях.
2. Выполнить
задания:
№ 430 (г, д, е); 442, 467;
для сильного ученика дополнительно: 458 (б), 482 (в);
для
слабого ученика: №369, 387, 391.
Приложение 1
План-конспект
урока
Арифметическая
прогрессия
|
1.
|
ФИО Щекочихина
Лариса Александровна
|
|
|
2.
|
Место работы Глазковский
филиал МБОУ Кочетовская сош Мичуринского района
|
|
|
3.
|
Должность учитель
математики
|
|
|
4.
|
Предмет алгебра
|
|
|
5.
|
Класс 9
|
|
|
6.
|
Тема
и номер урока в теме « Арифметическая
прогрессия» № 6
|
|
|
7.
|
Базовый учебник
«Алгебра 9 класс» Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г., Миндюк и др.
|
|
8. Цель
урока:
Организация деятельности обучающихся по
закреплению:
- знаний определения
арифметической прогрессии;
- знаний формулы n-ого
члена арифметической прогрессии;
- знаний формулы суммы первых n
членов арифметической прогрессии;
- умений
применения формул n-ого члена и суммы первых n
членов арифметической прогрессии в ходе решения задач;
- подготовки к контрольной
работе по теме.
9. Задачи:
-обучающие
1) закрепить знания и
умения по данной тематике;
2)
активировать деятельность обучающихся на закрепление повышенного уровня
изученного материала;
3)
обобщить знания по теме, продолжить наработку навыков и закрепление умений.
-развивающие
1) формировать
у учащихся навыки правильного воспроизведения своих ЗУН;
2) развивать
умение анализировать ответ товарищей;
3) развивать
речь через обогащение словарного запаса обучающихся при введении новых понятий;
4) развивать
мышление обучающихся при закреплении умений сравнивать и обобщать новые знания
и ранее изученный материал;
5) развивать
навыки умственного труда и умений его организовывать.
-воспитательные
1) воспитывать
дисциплинированность, собранность, требовательность к себе при организации
рабочего труда обучающегося;
2) развивать
речевые навыки и навыки сотрудничества;
3) воспитывать
чувства коллективизма и взаимопомощи.
10. Тип
урока Урок обобщения материала по теме
«Арифметическая прогрессия»
11. Формы
работы учащихся Фронтальная;
самостоятельная работа учащихся контролирующего характера; парная работа
(взаимоконтроль).
12. Необходимое
техническое оборудование АРМ учителя, выход в
интернет, компьютеры для обучающихся, ИД.
13. Структура
и ход урока
СТРУКТУРА
И ХОД УРОКА
|
№
|
Этап урока
|
Название используемых ЭОР
(порядковый
номер из Таблицы 2)
|
Деятельность учителя
(с
указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)
|
Деятельность ученика
|
Время
(в
мин.)
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
1.
|
Организационный
|
|
Знакомство с темой и целью, задачами на данный урок.
Урок начинается с первого слайда презентации учителя
|
Дети готовятся к уроку, записывают, осмысливают
|
1
|
|
2
|
Этап подготовки к активному
сознательному усвоению знаний
|
1,2,
3,
4
|
Дает разноуровневые задания с применением ЭОР.
Использует интерактивный плакат с целью наглядного восприятия материала.
После работы с ИД выполняются задания из учебника №430 (г-е), 482 (а-в).
Учитель контролирует работу.
|
Пока трое обучающихся работают на ноутбуках, один
ученик работает у доски, остальные работают на местах. Работа на ноутбуках
проверяется в режиме ON-Line
|
23 (в т.ч. 10 ЭОР)
|
|
|
Упражнение для глаз
|
|
Организует физкультминутку
|
Выполняют упражнения
|
1
|
|
3
|
Этап
повторения ЗУН
|
5, 6
|
Организует
коллективную проверку индивидуальной работы учащихся с использованием ЭОР
|
Выполняют разноуровневые задания на ноутбуках.
|
10 (в т.ч. 10 ЭОР)
|
|
4
|
Этап
информации учащихся о домашнем задании и инструктаж к его выполнению
|
|
Запись домашнего
задания с объяснением № 430 (а, б, в); 442,
467;
для
сильного ученика дополнительно: 458 (б) для
слабого ученика: №369, 387, 391.
|
Записывают домашнее задание и слушают объяснение,
задают вопросы
|
5
|
|
5
|
Этап
подведения итогов урока
|
|
Контролирует и обобщает вопросы, выставляет оценки
за урок.
|
Отвечают на вопросы
|
5
|
Приложение
№2
Технологическая
карта урока
(перечень
используемых на уроке ЭОР)
Приложение 3
Слова-ориентиры для
определения целей урока
|
Традиционный
(«знаниевый») подход
|
Компетентностный
подход
|
|
Понимать
требования
|
Научить
формулировать цели
|
|
Знать
(сформировать знание о…)
|
Сформировать
потребность в знаниях (видеть проблемы)
|
|
Научить
работать с различными источниками знаний
|
Научить
выбирать источники знаний
|
|
Систематизировать
|
Научит
систематизировать
|
|
Обобщать
|
Научить
выявлять общее и особенное
|
|
Научить
выполнять определенные действия (сформировать умения) при решении задачи
|
Научит
выбирать способы решения задачи
|
|
Оценить
|
Сформировать
критерии оценки, способность к независимой оценке
|
|
Закрепить
|
Модифицировать,
перегруппировать, научит применять
|
|
Проверить
|
Научить
приемам самоконтроля
|
|
Проанализировать
(ошибки, достижения учащихся)
|
Сформировать
способность к самооценке
|
Приложение
4
Поэтапное
формирование универсальных учебных действий
|
Требования
к уроку
|
Урок
современного типа
|
Универсальные
учебные действия
|
|
Объявление
темы урока
|
Формулируют сами учащиеся (учитель подводит учащихся
к осознанию темы)
|
Познавательные общеучебные,
коммуникативные
|
|
Сообщение
целей и задач
|
Формулируют сами учащиеся, определив границы знания
и незнания
(учитель подводит учащихся к осознанию целей и задач)
|
Регулятивные целеполагания,
коммуникативные
|
|
Планирование
|
Планирование учащимися способов достижения
намеченной цели
(учитель помогает, советует)
|
Регулятивные планирования
|
|
Практическая
деятельность учащихся
|
Учащиеся осуществляют учебные действия по намеченному
плану (применяется групповой, индивидуальный методы)
(учитель консультирует)
|
Познавательные, регулятивные,
коммуникативные
|
|
Осуществление
контроля
|
Учащиеся осуществляют контроль (применяются формы
самоконтроля, взаимоконтроля) (учитель консультирует)
|
Регулятивные контроля (самоконтроля),
коммуникативные
|
|
Осуществление
коррекции
|
Учащиеся формулируют затруднения и осуществляют
коррекцию самостоятельно (учитель консультирует, советует, помогает)
|
Коммуникативные, регулятивные коррекции
|
|
Оценивание
учащихся
|
Учащиеся дают оценку деятельности по её результатам
(самооценивание, оценивание результатов деятельности товарищей) (учитель
консультирует)
|
Регулятивные оценивания
(самооценивания), коммуникативные
|
|
Итог
урока
|
Проводится рефлексия
|
Регулятивные саморегуляции,
коммуникативные
|
|
Домашнее
задание
|
Учащиеся могут выбирать задание из предложенных
учителем с учётом индивидуальных возможностей
|
Познавательные, регулятивные,
коммуникативные
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.