Разработка урока по дисциплине ОУД.03 Математика "Векторное произведение"

Министерство образования, науки и молодежной политики Республики Коми

государственное профессиональное образовательное учреждение

«Печорский промышленно-экономический техникум»

(ГПОУ  «ППЭТ»)

Методическая разработка урока

по дисциплине ОУД.03 Математика

по теме «Векторное произведение»

                                                                                            Автор: Шостак О.Ю.,

                                         преподаватель математики

г. Печора,  2016 год

Цели: 

1. Дидактические:      

·        Проверить  степень усвоения  студентами, ранее изученного  теоретического  материала  по теме «Скалярное произведение векторов».

·        Ввести понятие векторного произведения,  изучить формулу для нахождения векторного произведения векторов с заданными  координатами.

·        Рассмотреть применение векторного произведения при решении геометрических задач.

3. Воспитательные:

·         Формировать  интерес  к дисциплине, активизировать познавательную деятельность на уроках математики.

2. Развивающие:              

·        Формировать умения и навыки студентов  при решении математических задач с использованием векторного произведения.

·        Развивать устную речь, логическое мышление, умение  анализировать, систематизировать полученные знания.

Тип урока

·        Урок усвоения  новых знаний. 

Форма урока:

·        Комбинированный (лекция + практикум). 

Оборудование:

·        мультимедийное  оборудование, индивидуальные  задания для «Графического диктанта» в 2-ух вариантах,  индивидуальные карточки для проведения рефлексии «Наше оценочное пространство»

План урока
       1. Организационный момент ……………………………….....1 мин

       2. Актуализация прежних знаний…………………………….12 мин

       3. Объяснение нового материала……………………….…….12 мин

       4. Закрепление изученного материала………………….…....17 мин

       5. Подведение итогов, рефлексия……………………………..3 мин

 1. Организационный момент  (1 мин)

Преподаватель приветствует студентов. Студенты показывают готовность к уроку. Староста группы  сообщает  кто отсутствует на уроке.

2.  Актуализация прежних знаний (12 мин)

·        2.1. Проверка домашнего задания.

Преподаватель выясняет, какие трудности возникли при выполнении домашнего  задания.

Вычислить определитель третьего порядка:

Проверка осуществляется на доске (один из студентов показывает решение).

·        2.2. Опрос теоретического материала (Фронтальная работа -5 мин) 

Преподаватель начинает  урок с прочтения отрывка из басни  Крылова Н.А. «Лебедь, рак и щука». 
 Слайд № 1. (На слайде басня Крылова Н.А. «Лебедь, рак и щука»)

Однажды Лебедь, Рак да  Щука 
Везти с поклажей  воз взялись, 
И  вместе трое все в него впряглись; 
Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!
Поклажа бы для них казалась и легка:

Да Лебедь рвется в облака, 
Рак пятится назад, а Щука тянет в воду. 

Студенты рассматривают картинку к басне. Преподаватель начинает опрос.

ü С каким геометрическим понятием (термином)  ассоциируется этот рисунок?                                  Ответ:  прямоугольная система координат

ü Как называются оси прямоугольной системы координат в пространстве? Ответ:  ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат.

ü Что называется вектором?                     Ответ:  Вектор - направленный отрезок

ü Сколькими  координатами задается  вектор  в пространстве?                                     Ответ:  3.

ü Как найти координаты вектора, зная координаты его начала и конца?        Ответ: Из координат конца вектора вычитаем соответствующие координаты начала.

ü Как найти  длину вектора?                              Ответ:   

ü Можно ли разложить вектор по трем некомпланарным векторам?            (записать формулу на доске).                                                                                         Ответ:  Да.  

ü Какое название имеют векторы ?    Ответ: Единичные, координатные, базисные векторы.

ü Что называется скалярным произведением векторов?         Ответ: Скалярным произведением векторов  называется произведение их длин на косинус угла между ними. 

ü Запишите формулу для нахождения скалярного произведения в координатах.                                        Ответ:  

ü Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов?                          Ответ:  0.

ü Верно ли  найдены координаты  и длина вектора  , если М(1;-2;3), К(0;3;-4)?    (На доске представлено решение задачи).                                                                     Ответ:   Неверно.

·        2.3. Решение задач  (фронтальная работа -7мин)

Студенты записывают в тетрадях дату и приступают к решению задач, условие которых записано на доске (решение задачи студенты записывают в тетради, один из студентов представляет решение у доски).

Задача №1

Дано:      ,     ,   

       Найти:        m.

Решение:  Т.к. , то    , значит   ,  ,  ,            

Ответ:  .

Задача №2 

Дано: ,  .

Найти:  .

 Решение:    ,   , 

=.      

Ответ:  .

3.  Объяснение нового материала  (12 мин)

Преподаватель предлагает студентам обратиться к Слайду №2, на котором показано сложение двух векторов, выходящих из одной точки.

- Сложением данных векторов является диагональ параллелограмма.

Преподаватель формулирует задачу:

- Найдите площадь  параллелограмма, построенного на векторах с заданными координатами.  

- S = ah , S=absin-  площадь  параллелограмма на плоскости  (планиметрия)

- Площадь параллелограмма S равна модулю  векторного произведения, построенного на     векторах   и  . 

    - Возникает вопрос, на который мы должны сегодня ответить!  (проблема): Что называется векторным произведением и как найти векторное произведение?

Студенты формулируют тему урока «Векторное произведение» (все записывают в тетради).

     Преподаватель дает определение векторного произведения  и демонстрирует его на Слайде №3. Студенты записывают определение и формулу векторного произведения  в тетрадях.

    Определение:      Векторным произведением  двух векторов           называется вектор

,     удовлетворяющий     следующим     условиям:

1) модуль вектора    равен произведению модулей векторов    на синус угла между  ними, т.е.      ;

2) вектор  перпендикулярен  плоскости, определяемой векторами     ;

3) кротчайший поворот вектора   к   вектору     виден  из    конца  вектора  ,  направленным   против  часовой стрелки  (т.е. векторы  , ,     образуют  правую  упорядоченную  тройку).

Векторное произведение     на  обозначается  .

Векторное  произведение  выражается  формулой  ,  где  - орт  направления 

Слайд №4. Векторное произведение  векторов  и  , заданных своими координатами, вычисляется с помощью  определителей  третьего порядка:

 - площадь параллелограмма, построенного на векторах с заданными  координатами.

-Внимание! Следует отметить, что в отличие от скалярного произведения, результатом которого является число,  векторное произведение  -  вектор.

Слайд №5   Историческая справка -1 мин

Преподаватель дает краткую историческую справку.

-Векторное произведение было введено  У.Гамильтоном в 1846 году одновременно со скалярным  произведением в связи с кватернионами.  

Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система  гиперкомплексных чисел, образующая   векторное пространство  размерностью четыре.

Обычно обозначаются символом {\displaystyle \mathbb {H} }  Н.   

Кватернионы удобны для описания  изометрий  трёх- и четырёхмерного  пространства. Получили широкое распространение в   механике, а также их используют в вычислительной математике, например, при создании трёхмерной графики.

Слайд №6 Физический смысл   векторного  произведения – 1 мин

Преподаватель демонстрирует на слайдах применение векторного  произведения в физике, механике.

-Векторное  произведение  широко  используется во многих технических и физических приложениях. Например,  момент  импульса,  сила  Лоренца, момент  силы,  математически записываются в виде векторного произведения.

Если   – сила, а     –радиус- вектор точки её приложения, имеющий начало в точке О,  то момент силы  относительно точки О равен векторному  произведению  на  , т.е.   .

4. Закрепление  изученного материала (17 мин).

4.1. Решение задачи  (8-10 мин)

Преподаватель предлагает рассмотреть задачи на нахождение площади параллелограмма и треугольника. Задача демонстрируется на слайде, студенты участвуют в комментариях к решению задачи  (все записывают задачу в тетрадь).

Слайд №7

Задача №3 Найти площадь  параллелограмма, построенного на векторах   и

Дано:  ,  

Найти: S_ABCD;   S_ABC

Решение:

1.Площадь параллелограмма, построенного на векторах:      

2. Найдем векторное произведение:

3. Найдем  модуль векторного  произведения:

,       S_ABCD=  (кв.ед.)

4. Найдем  S_ABC :

S_ABC=   S_ABCD=(кв.ед.)

Ответ:   ;    .

4.2. Графический диктант «Лестница успеха» (самопроверка, 5-7 мин) Приложение1.

Преподаватель  предлагает студентам выполнить самостоятельную работу (в 2-ух вариантах, в тетрадях для самостоятельных работ)  в виде графического  диктанта, в который включены вопросы по  теме 9.2. Метод координат в пространстве.

-Графический диктант  состоит  из 6 утверждений.

Если утверждение верно, то ставим символ  «I»

Если утверждение неверно, то ставим «-».

Т.о. соединяя все символы, получается лестница.

 По Слайду №8 студенты проверяют свою работу  и согласно критериям оценивают свои знания (критерии оценки на слайде).

5. Подведение итогов, рефлексия (3 мин)

Преподаватель подводит итог урока. Выставляет оценки. Предлагает студентам «оценить  наше пространство».  У каждого студента имеется бланк «Наше оценочное пространство».

Необходимо в заданной системе координат построить вектор, который охарактеризует ваше отношение к проведенному уроку. В данной системе координат:

ось ОУ- новые знания;

ось ОХ –закрепленные знания;

ось ОZ – настроение.

Какие координаты  будет  иметь ваш вектор?

(максимальные координаты вектора ). 

Бланки «Наше оценочное пространство» прикрепляют магнитами на доску.

Преподаватель благодарит студентов за  активную работу на уроке.

Приложение 1

«ЛЕСТНИЦА УСПЕХА»

Верны ли утверждения?

	Вариант - 1		Вариант - 2
1.	Если   и ,  то   .	1.	Векторы называются коллинеарными, если они  лежат на одной прямой или на параллельных  прямых.
2.	Любой вектор в пространстве можно  разложить по  трём   некомпланарным  векторам.	2.	Если      и  , то  скалярное произведение   равно 11.
3.	Если  , то длина вектора равна 3.	3.	Если  точка С (1;0;5), то можно сказать,  что она лежит в плоскости ОХZ.
4.	Если точка А имеет координаты (2;3;0), то можно сказать, что она лежит в плоскости ОХУ.	4.	Векторы называются равными, если их  длины  равны.
5.	Если  , то скалярное произведение равно 0.	5.	Если    и  , то .
6.	Если  вектор   , то  он   имеет  координаты	6.	Если векторы   сонаправлены,  то  угол между ними равен 1800.

Если  утверждение  верно,  то  символ  «I»

Если  утверждение  неверно,  то  символ  « - »

Критерии  оценки:  «5» -  все задания выполнены верно

                                    «4» - допущена одна ошибка (верно выполнено  4 из 5 заданий)

                                    «3» - допущено  две  ошибки (верно  выполнено  3  из 5 заданий)

                                    «2» - допущено три и более  ошибки

Эталон ответа:

Вариант -1                                         Вариант - 2

      _                                            

    I                                                 _

  _I                                             _I

I                                              _I

I                                            I

• 1 слайд

  Однажды Лебедь, Рак да Щука 
  Везти с поклажей воз взялись, 
  И вместе трое все в него впряглись
  Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!
  Поклажа бы для них казалась и легка:
  Да лебедь рвется в облака, 
  Рак пятится назад, а щука тянет в воду. 
  И.А.Крылов
  

• 2 слайд

  Площадь параллелограмма S равна модулю векторного произведения , построенного на данных векторах
  

• 3 слайд

  Векторным произведением двух векторов и называется
  вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
  1. модуль вектора равен произведению модулей векторов
  и на синус угла между ними, т.е. ;
  2. вектор перпендикулярен плоскости, определяемой
  векторами и ;
  3. кратчайший поворот вектора к вектору виден из конца
  вектора , направленным против часовой стрелки (т.е.
  векторы , , образуют правую упорядоченную тройку).
  
  Векторное произведение на обозначается .
  
  Векторное произведение
  .
  

• 4 слайд

  Векторное произведение
  Векторное произведение векторов и , заданными
  своими координатами, вычисляется с помощью определителей:
  
  
  
  
  
  
  
  
  Площадь параллелограмма, построенного на векторах с заданными
  координатами:
  
  
  
  
  
  

• 5 слайд

  Векторное произведение было введено У.Гамильтоном в 1846 году одновременно со скалярным произведением в связи с кватерионами.
  
  Кватерио́ны – (от лат. quaterni, по четыре) – система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре.
  Кватерионы удобны для описания и изометрий трёх- и четырёхмерного пространства.
  Получили широкое распространение в механике, а также их используют в вычислительной математике, например, при создании трёхмерной графики.
  Историческая справка
  Уильям Роуэн Гамильтон
  (4 августа 1805 — 2 сентября 1865)
  

• 6 слайд

  Физический смысл векторного произведения
  Момент импульса.
  Сила Лоренца.
  Сила Лоренца f действующая на заряженную частицу (заряда q) при движении (со скоростью v).
  Момент силы.
  

• 7 слайд

  Дано:
  Найти:
  Решение:
  1.Найдем векторное произведение:
  
  
  
  
  2. Найдем модуль векторного произведения:
  
  
  3.Найдем :
  
  
  Ответ:
  
  
  
  
  Решение задачи
  (кв.ед.)
  (кв.ед.)
  

• 8 слайд

  «Лестница успеха»
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  1
  2
  3
  4
  5
  6