Разработка урока по геометрии 8 класс на тему "Касательная к окружности"

Нижегородская область Ветлужский  район

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Белышевская школа

Урок изучения нового: «Касательная к окружности, ее свойство и признак»

Урок решения ключевых задач: «Касательная к окружности, ее свойство и признак»

 Учебник:

Геометрия 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.

Глава VIII.

§ 1. Касательная к окружности.

606860 Нижегородская область                                      Ветлужский район      

с. Белышево                                                        МОУ Белышевская                                            школа                                                   

 тел.[phone]                                           

Работу выполнила:

Чистова Елена

Николаевна

Учитель математики

Урок изучения нового:  Касательная к окружности, ее свойство и признак

Учебная задача:

•   Ввести понятие касательной к окружности и  точки касания.

•   Сформулировать и доказать свойство касательной и ее признак, показать их применение при решении задач.

Диагностические цели урока:

Учащиеся должны знать:

·                    определение касательной к окружности, точки касания;

Учащиеся должны уметь:

·                   Формулировать и доказывать теорему о свойстве касательной к окружности и ее признак;

Развивающая:

·                                 развивать логическое мышление;

·                                 умения применять знания в нестандартных ситуациях.

Воспитательная:

·                                 воспитывать аккуратность, культуру геометрической речи.

Метод обучения:

·        Объяснительно-иллюстративный

Средства обучения:

·        Доска, мел, рисунки, текст теста.

Форма работы:

·        Беседа.

Структура урока:

1.     Повторение изученного ранее – 5 мин.

2.     Актуализация знаний учащихся – 3 мин.

3.     Мотивация учебной деятельности – 2 мин.

4.     Постановка целей и учебных задач – 3 мин.

5.     Сообщение темы урока – 2 мин.

6.     Ознакомление с новым материалом – 25 мин.

7.     Подведение итога урока и постановка домашнего задания –5 мин.

Ход урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть

Актуализация знаний учащихся

Два ученика готовят решение домашних задач на доске, пока ос­тальные учащиеся решают тест. Задания теста в распечатанном виде раздать на каждую парту.

Проверка домашнего задания

Проверить домашние задачи № 632, 633.

Задача № 632

 Расстояние от точки А до центра окружности мень­ше радиуса окружности. Докажите, что любая пря­мая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.

Краткое решение (см. рис.):

Пусть р произвольная прямая и на ней отложим два отрезка AB и АС такие,  что AB=AC=. По   теореме   Пифагора   ОВ   =   ОС   = обе точки В и С лежат на окружности, значит, прямая р является секущей по отношению к данной окружности.

Задача № 633

  Даны квадрат ОАВС, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?

Краткое решение (см. рис.):

∆АСО - прямоугольный, так как ОАВС- квадрат. По теореме Пифагора АС² = АО² + ОС² = 6² + 6² = 72 => АС = 6см.

ОН - высота равнобедренного треугольника АСО, проведен­ная к его основанию => ОН- медиана этого треугольника, то есть AH=HC=3см.

В ∆АОH по теореме Пифагора ОН² = ОА² - АН² = 6² –(3)² = 18 =>OH = 3 см  4,2 см.

Радиус окружности равен 5 см => OH < r =>AC и окружность пересекается в двух точках. Итак, секущими по отношению к этой окружности, являются АС и ОА. АВ и ВС не являются секу­щими, так как d=ОА = ОС = 6 см > r = 5 см. Ответ: АС и О А.

  Мотивация.

Тест с целью проверки теории

1. Среди следующих утверждений укажите истинные. Окружность и прямая имеют две общие точки, если:

а) расстояние от центра окружности до прямой не превосхо­дит радиуса окружности;

б) расстояние от центра окружности до прямой меньше ра­диуса окружности;

в) расстояние от окружности до прямой меньше радиуса.

Верный ответ: 2.

2. Среди следующих утверждений укажите истинные:

а) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она имеет с окружностью общие точки.

б) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она пересекает окружность в двух точках.

в) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если расстояние от центра окружности до данной прямой не больше радиуса.

Верный ответ: б – истинно. 

3. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание. Окружность и прямая не имеют общих точек, если...

Верный ответ: если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности

4. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание. Окружность и прямая имеют одну общую точку, если...

Верный ответ: если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности

5. Вставьте пропущенные слова.

Окружность   и   прямая   имеют   одну   общую   точку,   ес­ли расстояние от ... до прямой ...

Верный ответ: ….центра окружности …. равно радиусу окружности

Постановка учебной задачи:

Мы познакомились с тремя видами взаимного расположения прямой и окружности и знаем как называется прямая, имеющая с окружностью две общие точки – это секущая.

А сегодня мы познакомимся с определением прямой, имеющей с окружностью одну общую точку, узнаем ее свойства и признаки.

II. Содержательная часть.

1 . Введение определения касательной и точки касания.

Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Рисунок и записи на доске и в тетрадях учащихся (см. рис.): р - касательная к окружности; А - точка касания.

2. Доказательство теоремы о свойстве касательной к окружности лучше провести в ходе беседы учителя с учащими­ся по рис., приготовленному на доске.

Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

-  Предположим, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА. Сравните расстояние от центра окружности до прямой р с ра­диусом окружности.

(Расстояние от точки О — центра окружности - до прямой р меньше радиуса, так как радиус ОА в данном случае является наклонной по отношению к прямой р, а расстояние от точки О до прямой р - перпендикуляром к прямой р, а как известно, любая наклонная больше перпендикуляра, проведенного из той же точки к той же прямой что и наклонная.)

-  Каково взаимное расположение прямой р и окружности? По­чему?

-   Может ли прямая р быть касательной к окружности? Объясни.

(Прямая р не может быть касательной к окружности, так как она имеет с ней две общие точки.)

-  Верно ли предположение, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА? О чем это говорит?

(Предположение о том, что прямая р не перпендикулярна радиусу неверное, следовательно прямая р перпендикулярна радиусу.)

3. Ввести понятие отрезков касательных, проведенных из одной точки.

Определение: Отрезки АВ и АС называются отрезками каса­тельных, проведенных из точки А, если прямые АВ и АС являются касательными к окружности, точки В и С - точками касания.

Рисунок и записи на доске и в тетрадях учащихся (см. рис.):

АВ и АС — отрезки касательных, про­веденных из точки А.

В и С- точки касания.

4. Доказательство свойства отрезков ка­сательных, проведенных из одной точки.

Творческое задание:

Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, прохо­дящей через эту точку и центр окружности.

Для выполнения творческого задания дать учащимся 3-5 минут, а затем обсудить различные варианты решений. Если учащиеся не смогли самостоятельно справится с заданием, выполнить задание, используя наводящие вопросы.

Решение (см. рис.):

По теореме о свойствах касательной к окружности АВ  ОВ и АС  ОС => ∆АОВ и ∆АОС - прямоугольные, они равны по кате­ту (ОВ = ОС) и гипотенузе (ОА) =>АВ = АС и 1 = 2.

Наводящие вопросы:

-   Соединим точки А и О отрезком. Что вы можете сказать о тре­угольниках АОВ и АОС?

-  Чем является луч АО для угла ВАС? О чем это говорит?

5. Знакомство с признаком касательной и его доказательство.

-  Сформулируйте теорему, обратную свойству касательной к окружности.

Теорема: Если прямая проходит через конец радиуса, лежа­щий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

-   Верна ли теорема, обратная свойству касательной к окружности?

-   Докажите ее справедливость.

(По условию теоремы радиус яв­ляется перпендикуляром к прямой, значит, расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Это говорит о том, что прямая и окружность имеют одну общую точку, т.е. прямая является касательной к окружности.)

6. Решение задачи на построение.

Дана окружность с центром в точке О и точка М на ней. Построить касательную к окружности, проходящую через точку М (см. рис.).

Вопросы для обсуждения:

-  Предположим, а — касательная к окружности, проходящая че­рез точку М. Каково взаимное расположение прямой а и ра­диуса ОМ?

-  Как построить касательную к окружности, проходящую через М?

IV. Закрепление изученного материала

1.     Разобрать решение задачи № 638.

 Прямая АВ касается окружности с центром О радиу­са r в точке В. Найдите АВ, если ОА=2см, а r = 1,5 см.

Решение (см. рис.):

∆АОВ - прямоугольный, по теореме Пифагора

АВ = (см).

Ответ: см.

Наводящие вопросы:

-  Как построить касательную к окружности?

(Сначала провести радиус ОВ, где В - точка касания, затем провести прямую АВ так, что АВ  ОВ.)

-  Докажите, что прямая АВ является касательной к окружности.

(По признаку касательной к окружности.)

2. Решить самостоятельно задачи № 640, 635, 637.

Задача № 640

Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к ок­ружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9 см

Краткое решение (см. рис.):

∆АОВ прямоугольный, ОА = 9 см, ОВ = 4,5 см => ВАО = 30°.

∆ОАС = ∆АОВ => ОАС = 30° => ВАС = 60°.

Ответ: 60°.

Задача № 635

Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

Краткое решение (см. рис.):

В ∆АОВ ОА = АВ по условию задачи, ОВ = ОА как радиусы одной окружности => ∆АОВ - равносторонний, ОАВ = 60°.

ОА  АС => САВ = 90° - 60° = 30°. Ответ: 30°.

Задача №637

Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке В. Докажите, что треугольник АСО равнобедренный.

Краткое решение (см.рис.):

∆АОС - равнобедренный (ОА = ОС как радиусы) => 1 = 30°, ОССD (радиус окружности перпендикулярен касательной) => ОСD = 90°.

АСD = 1 + ОСD = 180° - (А + АСD) = 180° - (30° + 120°) = 30° => ∆АСD - равнобедренный с основанием АD.

Дополнительная задача

АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных из точки В к ок­ружности с центром О. Найдите АВ и ВС, если ОА = 16 см, а радиу­сы, проведенные к точкам касания, взаимно перпендикулярны.

Решение (см. рис.):

Т. к. ВА и ВС - отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, то ОААВ, ОССВ, АВ = ВС и 1= 2 =>AОВ =СОВ.

Т. к. ОА  ОС и AОВ =СОВ = 45° => 1=45°, 2 = 45°.

∆АОВ - равнобедренный с основанием ОВ, значит, ОА = АВ.

По теореме Пифагора ОА² + АВ² = ОВ² => так как ОА = АВ, то 2 ОА²=16²=>ОA = 8 см => АВ = BС= 8 см.

Ответ: 8см, 88 см.

V. Подведение итогов урока

Домашнее задание

П. 69, вопросы 3-7;

Решить  задачи № 634, 636, 639 учебника.

•   Рассмотреть свойство отрезков касательных, проведенных из од­ной точки и показать его применение в процессе решения задач.

Урок: Касательная к окружности. Решение задач

Цели урока:

•   Закрепить теоретический материал п. 69.

•   Совершенствовать навыки решения задач по теме.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

П. Актуализация знаний учащихся

Теоретический опрос

(Три ученика готовятся у доски.)

-  Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.

-  Сформулируйте и докажите теорему о свойстве отрезков каса­тельных к окружности, проведенных из одной точки.

-   Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.

Проверка домашнего задания

Проверить домашнюю задачу № 639 через графопроектор.

Задачам 639

 Прямая АВ касается окружности с центром О радиу­са r в точке В. Найдите АВ, если АОВ = 60°, а r = 12 см.

Решение (см. рис.):

∆АОВ- прямоугольный, А = 90° - О = 30° =>ОВ =  ОА => ОА = 24 см.

По теореме Пифагора АВ = (см).

Ответ: (см).

Наводящие вопросы

-  Каково взаимное расположение касательной АВ и радиуса ОВ.

-  Как найти катет АВ треугольника АОВ?

Далее можно заслушать учащихся, подготовивших у доски дока­зательства теорем.

Решение задач на готовых чертежах

(Самостоятельно с последующей проверкой по готовым ответам.)

1.     Рис. Дано: К = 5, АВ- касательная.

Найти: ОВ.

ОТВЕТ: OB=

2.     Рис. Дано: АВ - касательная; АВ = 12, ОВ = 13.

Найти: R окружности.

ОТВЕТ: R = 5.

3.     Рис. Дано: АВ, ВС - касательные, ОВ = 2, АО = 4.

Найти: ВОС.

ОТВЕТ:  ВОС=120

4.     Рис. Дано: АВ - касательная, R = 6, АО = ОВ.

Найти: АО.

ОТВЕТ: АО=10.

5. Рис. Дано: М, М, К -точка касания.

Найти: P_ABC.

ОТВЕТ: P_ABC= 34.

6. Рис. Дано: АВ = 10 см, О - центр окружности, СD - каса­тельная, АЕ || СD. Найти: ОС.

ОТВЕТ: ОС = .

III. Решение задач

1. Самостоятельно решить задачи № 641, 644, 647, записав крат­кое решение (учитель в это время оказывает индивидуальную по­мощь менее подготовленным учащимся).

Задача № 641

Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.

Краткое решение (см. рис.):

В ∆ОАС  С = 90°, ОС =  ОА => ОАС = 30° => ВАС= 60°.

Задача № 644

Прямые МА и МВ касаются окружности с цент­ром О в точках А и В. Точка С симметрична точ­ке О относительно точки В. Докажите, что АМС =3ВМС.

Краткое решение (см. рис.):

МА и МВ - отрезки касательных, проведенных из точки М => 1=2. Точки О и С симметричны относительно точки В => ОВ = ВС и О, В, С лежат на одной прямой => ∆OMB = ∆СМВ по двум катетам => 2 =3 =>АМС = 3ВМС.

Задача № 647

Отрезок АН — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой, проходящей через центр О ок­ружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА= 5 см, АН = 4 см; б) НАО = 45°, ОА= 4 см; в) НАО= 30°, ОА= 6 см?

Краткое решение (см. рис.):

а) ОА = 5 см, АН = 4 см => ОН =  = 3 см = r=> АН - касательная к окружности.

б) HОA = 45°, ОА = 4 см => ОН = НА, ОН² + НА² = ОА²=>2 ОН² = 16 => ОН =  см  3 см => АН явля­ется касательной к окружности.

в) HОA = 30°, ОА = 6 см =>OH = OA = 3 см = r=> АН - каса­тельная к окружности.

Ответ: а) да; б) нет; в) да.

IV. Самостоятельная работа

К первой задаче из самостоятельной работы записать краткое ре­шение (можно на рисунке); ко второй задаче - полное решение.

1уровень

I вариант

1. Прямая КЕ касается окружности с центром в точке О, К— точка касания. Найдите ОЕ, если КЕ = 8 см, а радиус окружности равен 6 см.

2. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 3 см, АС = 5 см. Докажи­те, что АВ - отрезок касательной, проведенной из точки А к окруж­ности с центром в точке С и радиусом, равным 3 см.

II вариант

1. Прямая МN касается окружности с центром в точке О, М- точ­ка касания, МNО = 30°, а радиус окружности равен 5 см. Найдите N0.

2. В треугольнике МNК МN = 6 см, МК = 8 см, NК = 10 см. Дока­жите, что МК - отрезок касательной, проведенной из точки К к ок­ружности с центром в точке N и радиусом, равным 6 см.

II уровень

I вариант

1. АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см. Найдите ВО, если АОС = 60°.

2. Докажите, что основание АС равнобедренного треугольника АВС является касательной окружности с центром в точке В и радиу­сом, равным медиане треугольника, проведенной к его основанию.

II вариант

1. МN и NК - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О, MNК = 90°. Найдите радиус окружности, если ОN= 2 см.

2. Докажите, что стороны равностороннего треугольника касают­ся окружностей, проведенных с центрами в его вершинах и радиу­сами, равными любой из его биссектрис.

III уровень

I вариант

1. ЕК и ЕF - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 6 см, КОF = 120°, А - точка пере­сечения КF и ОЕ. Найдите ОА и АЕ.

2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность радиусом, равным данному отрезку, касающуюся сторон данного угла.

II вариант

1. РМ и РN - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см, МОN= 120°, Е - точка пере­сечения МN и ОР. Найдите ОЕ и РЕ.

2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность, касающуюся сто­рон данного угла, с центром, удаленным от вершины угла на рас­стояние, равное длине данного отрезка.

V. Подведение итогов урока

Домашнее задание

Решить задачи № 641, 643, 645, 648.