Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по геометрии 8 класс на тему "Касательная к окружности"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка урока по геометрии 8 класс на тему "Касательная к окружности"

библиотека
материалов

Нижегородская область Ветлужский район

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Белышевская школа





Урок изучения нового: «Касательная к окружности, ее свойство и признак»

Урок решения ключевых задач: «Касательная к окружности, ее свойство и признак»

Учебник:

Геометрия 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.

Глава VIII.

hello_html_m53d4ecad.gif§ 1. Касательная к окружности.









606860 Нижегородская область Ветлужский район

с. Белышево МОУ Белышевская школа

тел.8831(50)32-125

Работу выполнила:

Чистова Елена

Николаевна

Учитель математики








Урок изучения нового: Касательная к окружности, ее свойство и признак



Учебная задача:


Ввести понятие касательной к окружности и точки касания.

Сформулировать и доказать свойство касательной и ее признак, показать их применение при решении задач.


Диагностические цели урока:

Учащиеся должны знать:

  • определение касательной к окружности, точки касания;

Учащиеся должны уметь:

  • Формулировать и доказывать теорему о свойстве касательной к окружности и ее признак;

Развивающая:

  • развивать логическое мышление;

  • умения применять знания в нестандартных ситуациях.

Воспитательная:

  • воспитывать аккуратность, культуру геометрической речи.


Метод обучения:


  • Объяснительно-иллюстративный


Средства обучения:

  • Доска, мел, рисунки, текст теста.


Форма работы:

  • Беседа.


Структура урока:

  1. Повторение изученного ранее – 5 мин.

  2. Актуализация знаний учащихся – 3 мин.

  3. Мотивация учебной деятельности – 2 мин.

  4. Постановка целей и учебных задач – 3 мин.

  5. Сообщение темы урока – 2 мин.

  6. Ознакомление с новым материалом – 25 мин.

  7. Подведение итога урока и постановка домашнего задания –5 мин.


Ход урока


I. Мотивационно-ориентировочная часть

Актуализация знаний учащихся

Два ученика готовят решение домашних задач на доске, пока ос­тальные учащиеся решают тест. Задания теста в распечатанном виде раздать на каждую парту.

Проверка домашнего задания

Проверить домашние задачи № 632, 633.

Задача № 632

Расстояние от точки А до центра окружности мень­ше радиуса окружности. Докажите, что любая пря­мая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.

Кhello_html_m615436e0.pngраткое решение (см. рис.):

Пусть р произвольная прямая и на ней отложим два отрезка AB и АС такие, что AB=AC=hello_html_3136b07f.gif. По теореме Пифагора ОВ = ОС =hello_html_m1252f05d.gif обе точки В и С лежат на окружности, значит, прямая р является секущей по отношению к данной окружности.



Задача № 633

Даны квадрат ОАВС, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?

Кhello_html_5de391bc.pngраткое решение (см. рис.):

АСО - прямоугольный, так как ОАВС- квадрат. По теореме Пифагора АС2 = АО2 + ОС2 = 62 + 62 = 72 => АС = 6hello_html_20329080.gifсм.

ОН - высота равнобедренного треугольника АСО, проведен­ная к его основанию => ОН- медиана этого треугольника, то есть AH=HC=3hello_html_20329080.gifсм.

В ∆АОH по теореме Пифагора ОН2 = ОА2 - АН2 = 62 –(3hello_html_20329080.gif)2 = 18 =>OH = 3hello_html_20329080.gif см hello_html_3cce11e3.gif 4,2 см.

Радиус окружности равен 5 см => OH < r =>AC и окружность пересекается в двух точках. Итак, секущими по отношению к этой окружности, являются АС и ОА. АВ и ВС не являются секу­щими, так как d=ОА = ОС = 6 см > r = 5 см. Ответ: АС и О А.


Мотивация.

Тест с целью проверки теории

1. Среди следующих утверждений укажите истинные. Окружность и прямая имеют две общие точки, если:

а) расстояние от центра окружности до прямой не превосхо­дит радиуса окружности;

б) расстояние от центра окружности до прямой меньше ра­диуса окружности;

в) расстояние от окружности до прямой меньше радиуса.

Верный ответ: 2.

2. Среди следующих утверждений укажите истинные:

а) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она имеет с окружностью общие точки.

б) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она пересекает окружность в двух точках.

в) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если расстояние от центра окружности до данной прямой не больше радиуса.

Верный ответ: б – истинно.

3. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание. Окружность и прямая не имеют общих точек, если...

Верный ответ: если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности

4. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание. Окружность и прямая имеют одну общую точку, если...

Верный ответ: если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности

5. Вставьте пропущенные слова.

Окружность и прямая имеют одну общую точку, ес­ли расстояние от ... до прямой ...

Верный ответ: ….центра окружности …. равно радиусу окружности


Постановка учебной задачи:

Мы познакомились с тремя видами взаимного расположения прямой и окружности и знаем как называется прямая, имеющая с окружностью две общие точки – это секущая.

А сегодня мы познакомимся с определением прямой, имеющей с окружностью одну общую точку, узнаем ее свойства и признаки.


II. Содержательная часть.

1 . Введение определения касательной и точки касания.

Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Рhello_html_3e5d1332.pngисунок и записи на доске и в тетрадях учащихся (см. рис.): р - касательная к окружности; А - точка касания.











2. Доказательство теоремы о свойстве касательной к окружности лучше провести в ходе беседы учителя с учащими­ся по рис., приготовленному на доске.

Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

- Предположим, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА. Сравните расстояние от центра окружности до прямой р с ра­диусом окружности.

(Расстояние от точки О — центра окружности - до прямой р меньше радиуса, так как радиус ОА в данном случае является наклонной по отношению к прямой р, а расстояние от точки О до прямой р - перпендикуляром к прямой р, а как известно, любая наклонная больше перпендикуляра, проведенного из той же точки к той же прямой что и наклонная.)

- Каково взаимное расположение прямой р и окружности? По­чему?

- Может ли прямая р быть касательной к окружности? Объясни.

(Прямая р не может быть касательной к окружности, так как она имеет с ней две общие точки.)

- Верно ли предположение, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА? О чем это говорит?

(Предположение о том, что прямая р не перпендикулярна радиусу неверное, следовательно прямая р перпендикулярна радиусу.)

3. Ввести понятие отрезков касательных, проведенных из одной точки.

Определение: Отрезки АВ и АС называются отрезками каса­тельных, проведенных из точки А, если прямые АВ и АС являются касательными к окружности, точки В и С - точками касания.

Рhello_html_m711cb028.pngисунок и записи на доске и в тетрадях учащихся (см. рис.):

АВ и АС — отрезки касательных, про­веденных из точки А.

В и С- точки касания.



4. Доказательство свойства отрезков ка­сательных, проведенных из одной точки.

Творческое задание:

Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, прохо­дящей через эту точку и центр окружности.

Для выполнения творческого задания дать учащимся 3-5 минут, а затем обсудить различные варианты решений. Если учащиеся не смогли самостоятельно справится с заданием, выполнить задание, используя наводящие вопросы.

Решение (см. рис.):

Пhello_html_44cfb5ac.pngо теореме о свойствах касательной к окружности АВ hello_html_m1e39d5c0.gif ОВ и АС hello_html_m1e39d5c0.gif ОС => ∆АОВ и ∆АОС - прямоугольные, они равны по кате­ту (ОВ = ОС) и гипотенузе (ОА) =>АВ = АС и hello_html_1d144203.gif1 = hello_html_1d144203.gif2.

Наводящие вопросы:

- Соединим точки А и О отрезком. Что вы можете сказать о тре­угольниках АОВ и АОС?

- Чем является луч АО для угла ВАС? О чем это говорит?

5. Знакомство с признаком касательной и его доказательство.

- Сформулируйте теорему, обратную свойству касательной к окружности.

Теорема: Если прямая проходит через конец радиуса, лежа­щий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

- Верна ли теорема, обратная свойству касательной к окружности?

- Докажите ее справедливость.

(По условию теоремы радиус яв­ляется перпендикуляром к прямой, значит, расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Это говорит о том, что прямая и окружность имеют одну общую точку, т.е. прямая является касательной к окружности.)

6. Решение задачи на построение.

Дhello_html_m5a4558c0.pngана окружность с центром в точке О и точка М на ней. Построить касательную к окружности, проходящую через точку М (см. рис.).

Вопросы для обсуждения:

- Предположим, а — касательная к окружности, проходящая че­рез точку М. Каково взаимное расположение прямой а и ра­диуса ОМ?

- Как построить касательную к окружности, проходящую через М?




IV. Закрепление изученного материала

  1. Разобрать решение задачи № 638.

Прямая АВ касается окружности с центром О радиу­са r в точке В. Найдите АВ, если ОА=2см, а r = 1,5 см.

Рhello_html_48e7def4.pngешение (см. рис.):

АОВ - прямоугольный, по теореме Пифагора

АВ = hello_html_1d89c3f6.gif(см).

Ответ: hello_html_m5c46830.gifсм.

Наводящие вопросы:

- Как построить касательную к окружности?

(Сначала провести радиус ОВ, где В - точка касания, затем провести прямую АВ так, что АВ hello_html_m1e39d5c0.gif ОВ.)

- Докажите, что прямая АВ является касательной к окружности.

(По признаку касательной к окружности.)

2. Решить самостоятельно задачи № 640, 635, 637.

Задача № 640

Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к ок­ружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9 см

Кhello_html_2ebb1061.pngраткое решение (см. рис.):

АОВ прямоугольный, ОА = 9 см, ОВ = 4,5 см => hello_html_1d144203.gifВАО = 30°.

ОАС = ∆АОВ => hello_html_1d144203.gifОАС = 30° => hello_html_1d144203.gifВАС = 60°.

Ответ: 60°.






Задача № 635

Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

hello_html_m361bd119.png

Краткое решение (см. рис.):

В ∆АОВ ОА = АВ по условию задачи, ОВ = ОА как радиусы одной окружности => ∆АОВ - равносторонний, hello_html_1d144203.gifОАВ = 60°.

ОА hello_html_m1e39d5c0.gif АС => hello_html_1d144203.gifСАВ = 90° - 60° = 30°. Ответ: 30°.



Задача №637

Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке В. Докажите, что треугольник АСО равнобедренный.

Кhello_html_m6f0fe9ec.pngраткое решение (см.рис.):

АОС - равнобедренный (ОА = ОС как радиусы) => hello_html_1d144203.gif1 = 30°, ОСhello_html_m1e39d5c0.gifСD (радиус окружности перпендикулярен касательной) => hello_html_1d144203.gifОСD = 90°.

hello_html_1d144203.gifАСD = hello_html_1d144203.gif1 + hello_html_1d144203.gifОСD = 180° - (hello_html_1d144203.gifА + hello_html_1d144203.gifАСD) = 180° - (30° + 120°) = 30° => ∆АСD - равнобедренный с основанием АD.



Дополнительная задача

АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных из точки В к ок­ружности с центром О. Найдите АВ и ВС, если ОА = 16 см, а радиу­сы, проведенные к точкам касания, взаимно перпендикулярны.

Рhello_html_m22fa11cf.pngешение (см. рис.):

Т. к. ВА и ВС - отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, то ОАhello_html_m1e39d5c0.gifАВ, ОСhello_html_m1e39d5c0.gifСВ, АВ = ВС и hello_html_1d144203.gif1= hello_html_1d144203.gif2 =>hello_html_1d144203.gifAОВ =hello_html_1d144203.gifСОВ.

Т. к. ОА hello_html_m1e39d5c0.gif ОС и hello_html_1d144203.gifAОВ =hello_html_1d144203.gifСОВ = 45° => hello_html_1d144203.gif1=45°, hello_html_1d144203.gif2 = 45°.

АОВ - равнобедренный с основанием ОВ, значит, ОА = АВ.

По теореме Пифагора ОА2 + АВ2 = ОВ2 => так как ОА = АВ, то 2 ОА2=162=>ОA = 8hello_html_20329080.gif см => АВ = BС= 8hello_html_20329080.gif см.

Ответ: 8hello_html_20329080.gifсм, 88hello_html_20329080.gif см.


V. Подведение итогов урока

Домашнее задание

П. 69, вопросы 3-7;

Решить задачи № 634, 636, 639 учебника.





Рассмотреть свойство отрезков касательных, проведенных из од­ной точки и показать его применение в процессе решения задач.






Урок: Касательная к окружности. Решение задач


Цели урока:


Закрепить теоретический материал п. 69.

Совершенствовать навыки решения задач по теме.


Ход урока


I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.


П. Актуализация знаний учащихся

Теоретический опрос

(Три ученика готовятся у доски.)

- Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.

- Сформулируйте и докажите теорему о свойстве отрезков каса­тельных к окружности, проведенных из одной точки.

- Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.


Проверка домашнего задания

Проверить домашнюю задачу № 639 через графопроектор.

Задачам 639

Прямая АВ касается окружности с центром О радиу­са r в точке В. Найдите АВ, если hello_html_1d144203.gifАОВ = 60°, а r = 12 см.

Рhello_html_m6ce866db.pngешение (см. рис.):

АОВ- прямоугольный, hello_html_1d144203.gifА = 90° - hello_html_1d144203.gifО = 30° =>ОВ = hello_html_2b2ed72.gifОА => ОА = 24 см.

По теореме Пифагора АВ = hello_html_75a80330.gif(см).

Ответ:hello_html_m629013ad.gif(см).

Наводящие вопросы

- Каково взаимное расположение касательной АВ и радиуса ОВ.

- Как найти катет АВ треугольника АОВ?

Далее можно заслушать учащихся, подготовивших у доски дока­зательства теорем.






Решение задач на готовых чертежах

(Самостоятельно с последующей проверкой по готовым ответам.)

  1. Рhello_html_m2293436d.pngис. Дано: К = 5, АВ- касательная.

Найти: ОВ.

ОТВЕТ: OB=hello_html_5b0f8426.gif








  1. Рhello_html_m27b9d891.pngис. Дано: АВ - касательная; АВ = 12, ОВ = 13.

Найти: R окружности.

ОТВЕТ: R = 5.







hello_html_m274b6558.png

  1. Рис. Дано: АВ, ВС - касательные, ОВ = 2, АО = 4.

Найти: hello_html_1d144203.gifВОС.

ОТВЕТ: hello_html_1d144203.gifВОС=120hello_html_m234857ce.gif








hello_html_m99e0328.png

  1. Рис. Дано: АВ - касательная, R = 6, АО = ОВ.

Найти: АО.

ОТВЕТ: АО=10.







5hello_html_m4bd94dfb.png. Рис. Дано: М, М, К -точка касания.

Найти: PABC.

ОТВЕТ: PABC= 34.








6hello_html_m51a8fe50.png. Рис. Дано: АВ = 10 см, О - центр окружности, СD - каса­тельная, АЕ || СD. Найти: ОС.

ОТВЕТ: ОС = hello_html_5763fb6c.gif.








III. Решение задач

1. Самостоятельно решить задачи № 641, 644, 647, записав крат­кое решение (учитель в это время оказывает индивидуальную по­мощь менее подготовленным учащимся).

Задача № 641

Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.

Кhello_html_77d8555d.pngраткое решение (см. рис.):

В ∆ОАС hello_html_1d144203.gifС = 90°, ОС = hello_html_2b2ed72.gif ОА => hello_html_1d144203.gifОАС = 30° => hello_html_1d144203.gifВАС= 60°.












Задача № 644

Прямые МА и МВ касаются окружности с цент­ром О в точках А и В. Точка С симметрична точ­ке О относительно точки В. Докажите, что hello_html_1d144203.gifАМС =3hello_html_1d144203.gifВМС.

Кhello_html_m167831c5.pngраткое решение (см. рис.):

МА и МВ - отрезки касательных, проведенных из точки М => hello_html_1d144203.gif1=hello_html_1d144203.gif2. Точки О и С симметричны относительно точки В => ОВ = ВС и О, В, С лежат на одной прямой => ∆OMB = ∆СМВ по двум катетам => hello_html_1d144203.gif2 =hello_html_1d144203.gif3 =>hello_html_1d144203.gifАМС = 3hello_html_1d144203.gifВМС.






Задача № 647

Отрезок АН — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой, проходящей через центр О ок­ружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА= 5 см, АН = 4 см; б) hello_html_1d144203.gifНАО = 45°, ОА= 4 см; в) hello_html_1d144203.gifНАО= 30°, ОА= 6 см?

Кhello_html_m394ac40f.pngраткое решение (см. рис.):

а) ОА = 5 см, АН = 4 см => ОН = hello_html_m49f18eec.gif = 3 см = r=> АН - касательная к окружности.

б) hello_html_1d144203.gifHОA = 45°, ОА = 4 см => ОН = НА, ОН2 + НА2 = ОА2=>2 ОН2 = 16 => ОН = hello_html_m38af3462.gifсм hello_html_m88d8014.gif 3 см => АН явля­ется касательной к окружности.

в) hello_html_1d144203.gifHОA = 30°, ОА = 6 см =>OH = hello_html_2b2ed72.gifOA = 3 см = r=> АН - каса­тельная к окружности.

Ответ: а) да; б) нет; в) да.


IV. Самостоятельная работа

К первой задаче из самостоятельной работы записать краткое ре­шение (можно на рисунке); ко второй задаче - полное решение.

1уровень

I вариант

1. Прямая КЕ касается окружности с центром в точке О, К— точка касания. Найдите ОЕ, если КЕ = 8 см, а радиус окружности равен 6 см.

2. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 3 см, АС = 5 см. Докажи­те, что АВ - отрезок касательной, проведенной из точки А к окруж­ности с центром в точке С и радиусом, равным 3 см.



II вариант

1. Прямая МN касается окружности с центром в точке О, М- точ­ка касания, hello_html_1d144203.gifМNО = 30°, а радиус окружности равен 5 см. Найдите N0.

2. В треугольнике МNК МN = 6 см, МК = 8 см, NК = 10 см. Дока­жите, что МК - отрезок касательной, проведенной из точки К к ок­ружности с центром в точке N и радиусом, равным 6 см.


II уровень

I вариант

1. АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см. Найдите ВО, если hello_html_1d144203.gifАОС = 60°.

2. Докажите, что основание АС равнобедренного треугольника АВС является касательной окружности с центром в точке В и радиу­сом, равным медиане треугольника, проведенной к его основанию.


II вариант

1. МN и NК - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О, hello_html_1d144203.gifMNК = 90°. Найдите радиус окружности, если ОN= 2 hello_html_20329080.gifсм.

2. Докажите, что стороны равностороннего треугольника касают­ся окружностей, проведенных с центрами в его вершинах и радиу­сами, равными любой из его биссектрис.


III уровень

I вариант

1. ЕК и ЕF - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 6 см, hello_html_1d144203.gifКОF = 120°, А - точка пере­сечения КF и ОЕ. Найдите ОА и АЕ.

2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность радиусом, равным данному отрезку, касающуюся сторон данного угла.


II вариант

1. РМ и РN - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см, hello_html_1d144203.gifМОN= 120°, Е - точка пере­сечения МN и ОР. Найдите ОЕ и РЕ.

2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность, касающуюся сто­рон данного угла, с центром, удаленным от вершины угла на рас­стояние, равное длине данного отрезка.


V. Подведение итогов урока

Домашнее задание

Решить задачи № 641, 643, 645, 648.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 25.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1442
Номер материала ДБ-165558
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх