Разработка урока по геометрии в 10 классе по теме: «Теорема о трех перпендикулярах»

Конспект урока по геометрии в 10 классе

по теме: «Теорема о трех перпендикулярах»

Учитель математики: Мамутова Н.Д.

Цель:

- актуализация опорных знаний по теме «Перпендикуляр и наклонные»; формирование знаний по теме «Теорема о трех перпендикулярах»; обучение учащихся использовать полученные знания при решении задач

- формирование творческой, работоспособной личности; развитие индивидуальных способностей и обеспечение условий для их реализации

- формирование общеобразовательных умений и навыков (работа с учебниками, обобщение, планирование, самоконтроль и т.д.); способствование развитию усердности во время обучения, развитию памяти.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Оборудование: модель трех перпендикуляров (сделанная из картона и трех карандашей), учебник, раздаточный материал, компьютерная презентация, проектор.

Ход урока

1.     Организационный этап

Учитель приветствует учеников и объявляет тему, цель и план урока.

Учитель: Сегодня на уроке мы рассмотрим теорему о трех перпендикулярах, научимся ее применять при решении разных задач, Вы сможете убедиться в необходимости ее использования в повседневной жизни.

2.     Актуализация опорных знаний

Учитель: Перед началом работы вспомним материал предыдущего урока.

Учитель проводит фронтальный опрос в виде беседы.

Коллективная работа учащихся

1)    Как называется перпендикуляр, проведенный с данной точки к данной плоскости? Основание перпендикуляра?

2)    Как называется наклонная, проведенная от данной точки к плоскости? Что такое проекция наклонной?

3)    Сформулируйте свойство перпендикуляра и наклонной.

4)    Сколько перпендикуляров можно опустить от данной точки к данной плоскости?

5)    Сколько наклонных можно построить от данной точки к данной плоскости?

Учитель: Давайте объединимся в группы по рядам, решим задачу и запишем ответ у доски.

Групповая работа учащихся

Задача 1 (устно)

Назовите на рисунке:

1.     перпендикуляр;

2.     основание перпендикуляра;

3.     наклонную;

4.     проекцию наклонной.

Работа в парах

Учитель: Предложите аналогичную задачу соседу, обговорите.

3.     Объяснение нового материала и способов выполнения действий

Учитель показывает модель к теореме о трех перпендикулярах и спрашивает: Чему равен угол АСК и угол ВСК?

рис.1.

Ответы учеников: Данные углы равны 90⁰. (можно измерить углы транспортиром)

Учитель: Запишите следующую теорему

Теорема (о трех перпендикулярах)

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна к ее проекции, то она перпендикулярна и к наклонной.

Учитель: Изобразите рис.1 у себя в тетради. Вопрос к классу:

Как вы думаете, почему теорема называется теоремой о трех перпендикулярах?

Ответ учеников: АВ _┴ а, АС _┴ а, ВС  _┴ а (записываем)

Учитель: Попробуйте в теореме поменять местами условие и следствие и запишите теорему обратную данной.

Индивидуальная работа учеников

Дети самостоятельно формулируют теорему, и свою трактовку записывают в тетради. По очереди ученики зачитывают свои варианты.

Теорема (обратная)

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции.

Учитель: У меня есть плоскость и прямая, которая пересекает эту плоскость. Подскажите, как найти угол между прямой и плоскостью?

Ученики высказывают свои мысли, показывают ответ на модели. После обсуждения приходим к правильному пониманию и записываем определение.

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость.

α – плоскость

а – наклонная

b – проекция наклонной а

угол (а;α) = угол (а,b) = φ

3. Решение задач

Первичное закрепление

Коллективная работа учеников

Учитель: Предлагаю решить такую задачу устно

Задача 1

На указанных рисунках AF _┴ α. Определите взаимное расположение прямых а и b на каждом из рисунков

Актуализация знаний

Учитель: Как Вы считаете, какие знания нам необходимы при решении задач по этой теме?

Ученики:

1.     Теорема Пифагора

2.     Соотношение в прямоугольном треугольнике.

Дополняет учитель и дети записывают:

3.     Если точка одинаково отдалена от всех сторон многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного от этой точки к плоскости многоугольника, также равноудалена от сторон многоугольника, т.е. является центром вписанной в многоугольник окружности.

Прикладное значение этой темы

В реальной жизни мы часто встречаем точки в пространстве, равноудаленные от всех сторон многоугольника: шпиль башни, вершина крыши, ось болта, вал шестеренки, вершина опоры ЛЭП. Таким образом, есть потребность изучить свойства всех таких точек.

Коллективная работа учеников

Задача 2

Расстояние от точки М до сторон ромба ABCD равно 15 см, а до плоскости ABC – 9 см. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Дано:

ABCD – ромб;

МО = 9 см

МК = 15 см

Найти ОК?

Решение

ОК – радиус вписанной окружности;

По т. Пифагора:

ОК²=МК²-МО²;

ОК²=15²-9²=(15-9)(15+9)=6*24=144

ОК = 12 см

Ответ: 12 см

Учитель: Какая окружность называется вписанной?

Какое свойство касательной Вы занете?

Учитель: Предлагаю ученикам за каждой партой записать ответы к задаче 3, и тогда один у другого проверит.

Работа учеников в паре

Задача 3

ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб (см. рис.). Назовите угол между:

1)    диагональю DC₁ грани DD₁C₁C  и плоскостью основания ABCD;

2)    диагональю B1D куба и плоскостью основания ABCD;

3)    диагональю  B1D куба и плоскостью грани DD1C1C.

1.     угол (DC₁; ABCD) = угол(DC₁; DC)

2.     угол (B₁D; ABCD) = угол (B₁D; BD)

3.     угол (B₁D; DD₁C₁C) = угол(B₁D; DC₁)

Коллективная работа учеников

Задача 4

С вершины B прямоугольника ABCD проведен перпендикуляр ВМ к его плоскости. АВ=5см, ВС=16см, ВМ=12см. Найти расстояние от точки М до CD и AD?

Дано:

ABCD – прямоугольник;

ВМ – перпендикуляр;

АВ=5см

ВС=16см

ВМ=12см

Найти расстояние  от точки М до CD и AD?

Решение

АМ и СМ – искомые расстояния (по т. о трех  перпендикулярах);

АВМ и СВМ – прямоугольные (по признаку перпендикуляра):

По теореме Пифагора:

АМ²=ВМ²+АВ²

АМ²=12²+5²

АМ=13 см

СМ²=ВМ²+ВС²

СМ²=12²+16²

СМ = 20 см

Ответ: АМ=13 см; СМ=20 см.

Учитель: Кто решил задачу может попробовать самостоятельно решить следующую задачу.

Учитель вешает на доске изображение дома и предлагает тем кто хочет, сделать рисунок к задаче.

Индивидуальная работа учеников при решении задач прикладного содержания

Задача 5

Четырехскатная крыша дома квадратной формы со стороной 16 м имеет высоту 6 м. Сколько квадратных метров металлочерепицы уйдет на покрытие, если затраты на подгон и отрезы составляют 6%?

Решение

Пусть дан квадрат ABCD, AB=16м. ЕО _┴ (ABCD), ЕО=6м.

Так как т.Е равноудалена от сторон ABCD, то т.О – центр вписанной окружности (точка пересечения диагоналей). Если ЕК _┴ СD, то по обратной теореме о трех перпендикулярах ОК _┴ СD, ОК=8м

Рассмотрим треугольник ЕОК, угол О = 90⁰, по теореме Пифагора ЕК²=ЕО²+ОК².

ЕК=√(8²+6²) = 10 (м)

= ½ * 16 * 10 = 80 (м²)

Так как таких треугольников четыре, то

S=4*80=320 (м²)

S₁=320+0.06*320=339,2 (м²)

Ответ: 339,2 м²

4.     Формирование нового образовательного опыта

Учитель предлагает задание на индивидуальных карточках

Самостоятельная работа

Задача 1

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Указать угол между прямой А₁С и плоскостью DCC₁.

Задача 2

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Указать угол между прямой А₁С и плоскостью АВС.

5.     Подведение итогов. Объявление домашнего задания.