разработка урока по математике 10 класс по теме

МОУ «Городовиковская общеобразовательная средняя школа №4

им. Б.Б.Городовикова»

Практическое применение графиков тригонометрических функций

(методическая разработка

проведения бинарного  урока  по предметам

«Алгебра и начала анализа» и «Информатика»

в 10 классе)

Авторы: Делеева В.С.

                                                                                                     Ган В.Г.

г Городовиковск, Республика Калмыкия.

ЦЕЛЬ НАПИСАНИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКИ:

              Методическая разработка написана с целью оказания  методической помощи в проведении бинарных уроков с использованием информационно-коммуникационных технологий.

ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ТЕМЫ:

              Изучение свойств тригонометрических функций является одной из центральных тем алгебры. Учащиеся понимают математический смысл  сину­сов и косинусов, умели решать треугольники, опираясь на тео­ремы синусов и косинусов, знают массу формул, связывающих тригонометрические функции, и т. д.

              Однако в рамках традиционного урока сложно продемонстрировать приемы практического применения свойств графиков тригонометрических функций и гармонических колебаний в реальной повседневной жизни.

            Тема данного урока, а самое главное, применение на уроке персонального компьютера как средства построения информационных моделей и визуализации результатов их обработки позволяют продемонстрировать учащимся примеры практического применения тригонометрических законов в жизни человека. 

Тема: Практическое применение графиков   тригонометрических функций

Цели урока:

·        Закрепить теоретические знания учащихся  о свойствах тригонометрических функций; рассмотреть возможности практического применения свойств тригонометрических функций.

·        продолжать развитие логического мышления, элементов творчества, навыков использования прикладных программ HK-график и Excel для построения графиков функций.

·        воспитывать внимание, аккуратность, прививать практический интерес к изучаемым предметам.

Тип урока: интегрированный урок-исследование

Оборудование урока: ПК, электронные таблицы MS Excel, мастер создания презентаций PowerPоint, приложение НК-график, проектор, интерактивное оборудование, принтер.

Методы: демонстрация презентации, объяснение, обобщение и систематизация знаний по теме «Свойства графиков тригонометрических функций», эвристическая беседа, сообщения учащихся, фронтальный опрос, демонстрация приемов работы в среде НК-график на интерактивной доске, выполнение учащимися практических заданий на ПК в среде НК-график и Excel, использование принтера для распечатки рассчитанных индивидуальных графиков биоритмов и творческих работ на построение орнаментов с использование графиков тригонометрических функций.

	Ход урока 1.     Организационный момент Приветствие учителей математики и информатики. Проверка личного состава класса. Заполнение журнала
Слайд 1		2.     Сообщение темы, постановка цели урока v  Закрепление теоретических знаний о свойствах тригонометрических функций
Слайд 2		v  Приобретение навыков использования прикладных программ HK-график и Excel для построения графиков функций v   Рассмотрение возможностей практического применения свойств тригонометрических функций
Слайд 3		3. Повторение  изученного материала 3.1. Рассказ учителя математики «История тригонометрии в лицах»
Слайд 4		Фалéс Милетский (др.-греч. Θαλῆς ὁ Μιλήσιος, 640/624 — 548/545 до н.э.)  древнегреческий философ и математик. Решил задачу об измерении недоступных расстояний через признак равенства треугольников
Слайд 5		Абу Райхан Мухаммад ибн Ахмад аль-Бируни ( 4 сентября 973 — 9 декабря 1048) Великий учёный из Хорезма, автор многочисленных  капитальных трудов по истории, географии, филологии, астрономии, математике, геодезии, минералогии, фармакологии, геологии и др. Он первым доказал теорему косинусов
Слайд 6		Валлис В 1655 году Валлис издаёт большой трактат «Арифметика бесконечного»  («Arithmetica infinilorum, sive nova methodus inquirendi curvilineorum  quadratura»), где появляется придуманный им символ бесконечности: ∞.
	В книге он формулирует строгое определение предела переменной величины, продолжает многие  идеи Декарта, впервые ввёл отрицательные абсциссы, вычисляет суммы бесконечных рядов — по существу интегральные суммы, хотя понятия интеграла тогда ещё не было. Там же приводится знаменитая «формула Валлиса»:
Слайд 7		Брадис Владимир Модестович 1890 — 1975 советский математик-педагог, член-корреспондент АПН СССР (с 1955 г). В 1921 году впервые вышли его «Таблицы четырёхзначных логарифмов и натуральных тригонометрических величин», позднее издававшиеся под названием «Четырёхзначные математические таблицы»
Слайд 8		3.2.Сообщение ученика на тему «Происхождение терминов»
Слайд 9		Я расскажу, почему для обозначения отношений сторон прямоугольного треугольника, а затем и для обозначения координат точек единичной окружности и их отношений выбраны латинские слова «синус», «косинус» и «тангенс».
	Проще всего объяснить происхождение термина «тангенс». Если изобразить единичную окружность и в точке С к ней провести касательную, то отрезок СВ этой касательной, соответствующий углу α, численно равен тангенсу этого угла. А «касательная» — по-латыни tangens, вот и все объяснение. Приставка со к слову «синус» образовалась от сокращения слова complimentum — дополнение. Ранее мы говорили, что синус и косинус дополнительных углов равны. Вот и источник появления слова «косинус». Замечу попутно, что в русском и во многих других языках латинское complimentum превратилось в «комплимент», т. е. то, что мы говорим, желая отметить достоинства собеседника и особенно собеседницы. Остается объяснить происхождение слова «синус». Объяснение окажется несколько обидным, так как в основе его происхождения лежит ошибка. То, что мы сегодня называем синусом, в Древней Индии изучали, рассматривая рисунок, который для мудрецов того времени, для воинов и охотников казался изображением лука, а отрезок АВ (его отношение к радиусу и есть синус) естественно было назвать половиной тетивы лука. Слово это звучало примерно как «ардхаджиба». Затем - тут сыграло свою роль стремление математиков к краткости - это слово сократилось до короткого «джиба», слова, уже не имевшего никакого самостоятельного смысла. Арабы, переводя труды древнеиндийских мыслителей на свой язык, слово «джиба», разумеется, не переводили, а просто переписали его своими буквами (именно так поступили и мы, записав латинское слово tangens русскими буквами: тангенс). Но тут вмешалась особенность арабской орфографии — в арабском языке многие гласные звуки не пишутся, читатель, зная слово, по одним согласным должен догадаться, как его следует прочесть. И слово «джиба» оказалось записанным лишь двумя буквами «джим» и «бо» (звуки «дж» и «б»). Европейский переводчик, желая записать это слово на латыни, никак не мог прочесть его правильно и решил, что буквами «джим» и «бо» обозначено слово «джайб», означающее залив, впадину, пазуху. По-латыни — sinus. Так он и записал еще в XII в. без всяких на то оснований (ему бы следовало написать на латинский лад gibus). Но когда ошибку обнаружили, шел уже XIX век, все грамотные люди уже привыкли к синусам и косинусам, умели решать треугольники, опираясь на теоремы синусов и косинусов, знали массу формул, связывающих тригонометрические функции, и т. д. Исправлять ошибку было уже поздно, тем более что она никому не мешала и не мешает.
Слайд 10		3.3.Чтение свойств тригонометрических функций по графику (в ходе фронтального опроса учащиеся называют свойства функций, помещенных на слайде)
Слайд 11		Свойства синуса читаем по графику Над (под) любой точкой оси 0х имеется одна и только одна точка синусоиды, следовательно, область определения синуса — множество всех действительных чисел.
	Синусоида не поднимается выше прямой у—1 и не опускается  ниже прямой у = — 1, она ограничена этими прямыми. Следовательно, область значений синуса — 1≤sin x≤1. Об этом мы тоже говорили, добавим лишь, что это свойство функций называется ограниченностью. Синус — функция ограниченная. Между точками 0 и π, 2π и Зπ, ..., 2κπ и (2κ+1)я синусоида находится над осью Ох, между точками π и 2 π, З π и 4 π, ...,(2κ — 1) π и 2κπ — под осью Ох, т. е. в первых интервалах синус положителен, во вторых— отрицателен. Такие интервалы называются интервалами знакопостоянства. Одно из самых важных свойств. «Кусок» синусоиды от 0 до 2π повторяется на участке от 2π до 4π, повторяется он и дальше как справа от начала, так и слева. Можно сказать, что, имея одну «волну» синусоиды от 0 до 2π, мы перемещением ее вдоль оси Ох на ±2π, ±4π, ...,  ±2κπ можем получить весь график. Об этом нетрудно было догадаться, рассуждая чуть иначе: сделав один оборот (2 π), точка будет продолжать движение по окружности, и все ее ординаты, т. е. синусы, будут повторяться через каждые 2 π, т. е. sin х = sin (х±2κπ). Можно сказать и так: значение функции не изменится, если к значению аргумента прибавить (или вычесть) постоянное число (в данном случае число 2π). Такие функции называют периодическими. Значит, синус — периодическая функция, ее период равен 2π. Конечно, периодом будет и любое число вида 2пπ,, но при п=1 говорят об основном периоде. Обратите внимание: среди изученных вами ранее функций не было ни одной, обладающей свойством периодичности. 5. На отдельных участках оси 0х (сообразите сами, каких именно) синусоида идет вверх от —1 до 1, на других, наоборот, опускается от 1 до —1. Такие участки называют участками монотонного возрастания и монотонного убывания.
Слайд 12		Свойства косинуса читаем по графику 1.       Область определения косинуса — множество всех действительных чисел. 2.   Косинус — функция ограниченная, область ее значений -1≤ cos x ≤1.
	3.                 В интервалах.(- ; ), (;),…, ( (2k-1);(2k +1)) косинус положителен, в интервалах .( ; ),…,( ;   ),…, …, ( (2k+1) ;(2k +3) )-отрицателен 4.                 Косинус — периодическая функция с периодом 2 π. 5.                                  Косинус имеет участки монотонного возрастания и участки монотонного убывания 6.                                  Нулями функции косинус служат точки ±   , ±   ,   (2k +1). 7.                 В точках 0, ±2 π, ..., ±2κ π косинус достигает максимума, равного единице. В точках ± π, ±3 π, ..., ±(2 κ — 1) косинус достигает минимума, равного минус единице. 8.                 Косинусоида симметрична относительно оси Оу. Поэтому точки с противоположными абсциссами будут иметь равные ординаты, т. е. соs (—х) = соs х. Функции, обладающие таким свойством, т. е. функции, для которых f(— x) = f(x), называются четными функциями. Косинус есть четная функция.
Слайд 13		Читаем по графику свойства тангенса 1.       Любой точке оси Ох, кроме точек ±  n, соответствует одна и только одна точка тангенсоиды
	Область  определения  тангенса — множество  всех действительных чисел, кроме чисел вида ± n. В них тангенсоида «разрывается». 2. Тангенсоида по мере приближения угла к +  уходит все выше и выше, она ничем не ограничена. Не ограничена она и «снизу» — по мере поворота радиуса от 0 до  тангенсоида уходит в «отрицательную бесконечность». Значения тангенса могут оказаться какими угодно, т. е. область значений тангенса - ∞ <tg х< ∞. 3.     Укажите самостоятельно интервалы знакопостоянства тангенса. 4.     Мы уже отметили, что отдельные «куски» тангенсоиды периодически повторяются, иначе говоря, тангенс — функция периодическая, ее период равен π. Обратите внимание: период тангенса в два раза меньше периода синуса или косинуса. 5.      Тангенс — функция монотонно возрастающая. 6.      Нулями функции тангенс служат точки 0,  ± π,  ±2 π, ..., ..., ±κ π. Об этом можно было бы догадаться еще и потому, что tg x=, и нули тангенса должны совпадать с нулями числителя, т. е. синуса. 7.       Приближаясь к точкам «разрыва», тангенсоида, как мы уже заметили, «уходит в бесконечность», значит, нельзя назвать какого бы то ни было наибольшего или наименьшего значения тангенса. Иными словами, тангенс не имеет ни максимума, ни минимума. 8.      Проведем через начало координат произвольную прямую, не совпадающую с осью ординат. Она обязательно пересечет тангенсоиду, причем окажется, что точке М с  координатами (x, tg х) будет симметрична относительно центра О точка М1 с координатами (—х; —tg х), иначе говоря, точки, отвечающие дугам x и —х, имеют равные по модулю и противоположные по знаку ординаты. Коротко: tg (— х)= —tg х, т. е. тангенс есть нечетная функция. Подведение учителем математики итогов фронтального опроса: Мы в основном выполнили задачу исследования каждой из трех известных нам тригонометрических функций. Почему «в основном»? Почему не «полностью»? Тригонометрические функции настолько богаты содержанием, что остается еще очень много точек приложения сил и ума для дальнейшего их изучения. Кое-что мы сделаем дальше, многое останется на будущее.
	4.               Практическая часть урока 4.1.   Инструктаж по выполнению построений графиков в приложении НК-график
Слайд 14		Учитель информатики: А теперь давайте приступим к проведению исследования графиков функций с помощью приложения к MS Word – НК-график.  Данное приложение открывает рабочее окно, в котором имеются следующие элементы интерфейса: инструменты для выполнения настроек, область ввода формул, область построения графика. (С помощью интерактивной доски учитель демонстрирует основные приемы работы)
	Самостоятельная работа учащихся (Получив инструктаж, учащиеся занимают места за ПК и приступают к выполнению построений графиков функций согласно варианту).
Слайд 15		Уравнение гармонических колебаний Y = A sin (B x + C) Задание: исследовать поведение функции 1 вариант     Y=2sin x 2 вариант     Y= sin 2x 3 вариант     Y=sin (x+2)
	Подведение учителем информатики итогов выполнения задания: Все учащиеся справились с выполнением задания. Дайте анализ изменения поведения функции в соответствии с заданными коэффициентами. Учащийся, выполнявший 1-й вариант: Удвоение значения функции приводит к увеличению амплитуды по оси Y. Учащийся, выполнявший 2-й вариант: Удвоение аргумента Х приводит к сжатию графика по оси Х Учащийся, выполнявший 3-й вариант: Увеличение аргумента Х на два приводит к поднятию графика на две единицы вверх по оси Y.
Слайд 16		Сообщение  учащегося «Практическое применение графиков гармонических  колебаний»
Слайд 17		Обратите внимание на слайд. На рисунке прямой круговой цилиндр пересечен плоскостью, проведенной под углом а к диаметру цилиндра. В сечении образуется кривая, которую называют эллипсом (при α = 0 получится окружность).
	Похожая кривая получается, если резать колбасу, огурец и т. п. Если при этом нож держать прямо, то получится ломтик, края которого -окружность. Если теперь развернуть поверхность цилиндра на плоскость, то из эллипса получится — это можно строго доказать— синусоида у = А sin x, где А =  R• tg α. При а = 45° образуется синусоида, подобная синусоиде у = sin x. Из этого следует совершенно неожиданный вывод практического характера. Пусть жестянщику надо изготовить колено цилиндрической водосточной трубы диаметром D (С Взяв лист железа шириной π D (мы сейчас не учитываем швов), он должен разрезать его по синусоиде и согнуть в виде трубы. В зависимости от угла а, под которым должно быть изготовлено колено, амплитуду А следует сделать равной • tg . Аналогичным образом мастер поступит со вторым листом, затем соединит обе трубы по образовавшимся из синусоид эллипсам.
Слайд 18		Портному приходится пришивать рукав пальто, пиджака, платья и т, д. в соответствии с модой, т. е. иногда под прямым углом, иногда под тупым, а изредка даже и под острым углом. Рукав — цилиндр, поэтому и выкройка рукава — синусоида, причем амплитуда должна быть равной радиусу рукава, меньше его или больше в зависимости от покроя.
Слайд 19		Инструктаж по выполнению построения графиков функций в среде Excel Учитель информатики: А теперь  приступим к проведению исследования графиков функций с помощью электронных таблиц.
Слайд 20		В Excel  для построения графиков функций используется Мастер диаграмм. Давайте вспомним, из каких шагов состоит его работа и назначение каждого  шага (проводится фронтальный опрос)
	Учащиеся поясняют назначение шагов Мастера v Прежде всего, необходимо создать таблицу с исходными данными для графика (диаграммы), а затем вызвать Мастера v (1шаг из 4)  выбор типа диаграммы – на этом шаге можно выбрать не только тип, но и вид графика v (2 из 4) уточнение диапазона источника данных – в этом шаге не будет необходимости, если мы заранее укажем диапазон для построения графика, выделив столбцы в таблице v (3 из 4) настройка параметров диаграммы – на этой странице есть несколько вкладок, на которых можно настроить, например, заголовок, легенду, подписи осей и данных и другие v (4 из 4) выбор места расположения – на этом шаге можно выбрать место расположения графика ( на том же, где расположена таблица с данными или на отдельном)
Слайд 21		Учитель информатики: Вы правильно объяснили порядок работы с Мастером, а теперь приступим к выполнению практического задания. Ученые доказали, что изменение биоритмов в организме человека происходит с периодичностью: физического состояния- 23 дня, эмоционального состояния- 28 дней и интеллектуального состояния- 33 дня
Слайд 22		Самостоятельная работа учащихся Я предлагаю вам построить такой график биоритмов для себя. Вы видите, что изменения в нашем организме тоже подчинены гармоническим колебаниям. Итак, приступаем к исследованию. У вас на рабочих местах находятся инструкции по разработке графиков (Приложение 1)
Слайд 23		Прежде всего, подготовьте  таблицу по форме как на слайде, а затем заполните её данными и впишите формулы (Учащиеся приступают к самостоятельной работе)
Слайд 24		Алгоритм решения Ячейки     Действия A4:A25 Тип Дата B4:E25 Тип Числовой, дес. знаков - 2 C2:Е2 Внести соответственно 23, 28, 33 А4 =СЕГОДНЯ() А5:А25 =A4+1 (протянуть) В4:В25 =$A4-$B$1 (протянуть) С4:С25 =SIN($B4/C$2*2*ПИ()) (протянуть) D4:D25 =SIN($B4/D$2*2*ПИ()) (протянуть) Е4:Е25 =SIN($B4/E$2*2*ПИ())  (протянуть)
Слайд 25		Подведение учителем информатики итогов выполнения задания: Построенные вами графики индивидуальны, так как в качестве исходного значения принята дата вашего рождения. По графикам вы теперь сможете оценить свое эмоциональное, физическое и интеллектуальное состояние. Полученные графики вы можете вывести на принтер.(Приложение 2)
	Учитель: Какой же общий вывод мы можем сделать из нашего урока? Учащиеся: Многие природные явления и физические процессы в реальной жизни подчинены законам гармонического колебания.
Слайд 26		5.     Домашнее задание v Повторить свойства тригонометрических функций v Изучить материал из Википедии, касающийся гармонических колебаний v Повторить алгоритм построения графиков в Excel v Построить и проанализировать  график функции      Y=2*cos (3*x-1) + 4
Слайд 27		6.     Подведение итогов урока Учитель: а теперь оцените, пожалуйста, насколько полезным был для вас урок. На доске (заранее подготовленная страница интерактивной доски) постройте схематически фрагмент графика, соответствующий вашим ощущениям от урока. Правила оценки приведены на слайде
	Правила: Постройте график функции Y =sin (x) в соответствии с тем, какое из высказываний для вас истинно «Урок был полезным. Я много узнал о практическом применении гармонических колебаний»  на отрезке от 0 до π «Урок не дал мне новых знаний»  на отрезке от –π до 0
Слайд 28		Учитель: судя по получившейся схеме наш сегодняшний урок был для вас полезным и содержательным. У нас на уроке осталось время. Давайте посмотрим, как можно использовать гармонические колебания в искусстве. С помощью НК-график постройте различные орнаменты, состоящие из графиков тригонометрических функций. Лучшие работы мы распечатаем (Приложение 2) (Учащиеся выполняют работу до звонка). Спасибо за работу. Урок окончен. До свидания.

Приложение 1

Алгоритм решения задачи «Биоритмы»

Приложение  2

График биоритмов

Приложение 3

Построение калмыцкого национального орнамента

с использованием возможностей программы для построения

Графиков тригонометрических

функций

Коваринов Джангар

10 кл.

ЛИТЕРАТУРА

1.     Пичурин Л.Ф. О тригонометрии и не только о ней: Пособие для учащихся 9-11 кл. – М.: Просвещение,  1996. – 80 с.

2.      Угринович Н.Д.  Информатика и информационные технологии: Учебник для 10-11 классов.- М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002.

3.      Справка Microsoft Office Excel

4.      Справка НК-график.

Краткое описание документа:

ЦЕЛЬ НАПИСАНИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКИ: Методическая разработка написана с целью оказания методической помощи в проведении бинарных уроков с использованием информационно-коммуникационных технологий.ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ТЕМЫ: Изучение свойств тригонометрических функций является одной из центральных тем алгебры. Учащиеся понимают математический смысл сину-сов и косинусов, умели решать треугольники, опираясь на тео¬ремы синусов и косинусов, знают массу формул, связывающих тригонометрические функции, и т. д. Однако в рамках традиционного урока сложно продемонстрировать приемы практического применения свойств графиков тригонометрических функций и гармонических колебаний в реальной повседневной жизни. Тема данного урока, а самое главное, применение на уроке персонального компьютера как средства построения информационных моделей и визуализации результатов их обработки позволяют продемонстрировать учащимся примеры практического применения тригонометрических законов в жизни человека.