Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по математике тема: "Дифференциальные уравнения" ( 1 курс )
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Разработка урока по математике тема: "Дифференциальные уравнения" ( 1 курс )

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Тема урока: Дифференциальные уравнения.

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный .

Цели урока:

- помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;

- помочь овладеть методами решения ДУ;

- отработать навыки решения диф.уравнений первого

порядка;

- развить логическое мышление студентов;

- развивать творческие способности студентов:

- побудить интерес к изучаемому предмету.

Задачи урока

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

Средства обучения:

  1. дидактический материал;

  2. проектор;

  3. презентация.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний.

  3. Объяснение нового материала.

  4. Закрепление изученного материала.

  5. Информация о домашнем задании.

  6. Подведение итогов.

Ход урока:

  1. Организационный момент:

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.

Объявить тему урока и его цель.

2. Актуализация знаний:

1. выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

(4х)'= (х4)'=… (7х2)'=… (х+8)'=… (3х-4)'=… (4sinx)'=… (е)'=…

б) Указать угловой коэффициент прямой:

У=6х+4

У=6-9х

в) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции . ( ответ: dF=F'dx).

г) Назовите процесс обратный дифференцированию? ( интегрирование)

д) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл – это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам ( группа)- у доски:


1 группа 2 группа 3 группа

hello_html_2b533752.gifhello_html_2b533752.gifhello_html_2b533752.gifdx

hello_html_354f9fe.gifhello_html_354f9fe.gifdx hello_html_m29fd30ff.gif


hello_html_m2aeca78d.gifdx hello_html_7b30ce85.gifhello_html_7b30ce85.gif


hello_html_m9e7d821.gifhello_html_5ac50e45.gif


3.Объяснение нового материала:

Мотивация: Решить уравнение: у'=2х.

Что содержит данное уравнение?

у'=2х.- дифференциальное уравнение (ДУ).

Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик , механик, физик.

Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

В Швейцарии , на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.

Леонард Павлович ( так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем . Неутолимо вычисляя при свечах , он потерял зрение сначала на правый , а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.

В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.

Дифференциальные уравнения (ДУ) обычно кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении многим студентам, но на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО.

Теоретическая часть:

Определение 1:

Дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные.

hello_html_m433dbcd5.gif

Определение 2:

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок, входящих в него производных.

Примеры:

ху'+у=0- диф.уравнение первого прядка.

hello_html_m707e4a24.gif- диф. уравнение 2-го порядка.

у'''-2у=х- диф. уравнение третьего порядка.

Определение 3:

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций y = f (x) + C, которые удовлетворяют данному уравнению.

Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Определение 4:

Дифференциальным уравнением 1-го порядка с одной неизвестной функцией называется соотношение F (x, у, у') = 0 между независи-мым переменным х, искомой функцией у и еѐ производной

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит: 
1) независимую переменную hello_html_m61f18daf.png;
2) зависимую переменную
 hello_html_m276a057e.png (функцию);
3) первую производную функции:
 hello_html_71e270ca.png.

В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная hello_html_71e270ca.png, и не было производных высших порядков – hello_html_35a20e74.png, hello_html_14cedc1e.png и т.д.


Определение 6

Частное решение дифференциального уравнения — это решение, не содержащее произвольных постоянных.

Определение 7: Частным решением ДУ называется решение , полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.


Определение 8: Задача , в которой требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0, называется задачей Коши.

(Огюстен Луи Коши( 1789-1857)- французский математик).


Пример: у'=2х. С чего начать решение?

hello_html_15d1729b.gif,

На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные?

Разделим переменные

hello_html_4d5c9343.gif

hello_html_38da3ffa.gif,

hello_html_m2d76a83b.gif

hello_html_1313d411.gif - общее решение

2) При х= 2, у=5, тогда

5=hello_html_f257973.gif, 5= 4+с, получим

с= 1, следовательно,

hello_html_m441a626e.gif- частное решение.

Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ – это ДУ с разделяющимися переменными.


Определение 9: Дифференциальные уравнения f(y) dy = g(x) dx называют уравнениями с разделенными переменными

Определение 9-1: Линейное уравнение первого порядка – это уравнение вида:

hello_html_41e7ecf6.png

Определение 10: Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) ≠ 0, то уравнение неоднородное


Для решения этого уравнения необходимо:

  1. Переписать производную

hello_html_m4a46a929.png

2.разделить переменные;

3.проинтегрировать обе части полученного равенства.


Пример2: Решить дифференциальное уравнение hello_html_22e88b7e.png

hello_html_mbc0a423.png

hello_html_m23ced6c4.png

hello_html_3ca75c56.png

hello_html_513617b.png

Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. 

Определение 11

Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

 Давайте попытаемся получить общее решение.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

hello_html_39653ecf.pngИспользуем  свойство логарифмов hello_html_438d597b.png

hello_html_m24703e61.png

hello_html_1b152f46.png- представлена в явном виде


Пример 3:

1)

hello_html_m1ee659bf.gif

Общее решение.

2) hello_html_m12a2aaec.gif,

hello_html_7eaeca18.gif

hello_html_m6003189c.gif,

hello_html_m3e3c8a40.gif,

hello_html_1ef94fca.gif


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7c32eebb.gif,


hello_html_m5e6c3c4a.gif-общее решение

Найдем частное решение при начальных условиях: при х=2, у=-4.

Получим: -4+1=С2/(-3), тогда С2=9.

Частное решение имеет вид: hello_html_m57fa6be7.gif.

3) hello_html_5ac70952.gif


5.Закрепление:

Решить фронтально примеры. Отвечающим около доски задают вопросы по пройденному материалу.

  1. у'=4х3.Найти общее решение.( ответ: у=х4+С)

  2. hello_html_ma947e6b.gif(ответ: hello_html_m7f6a0256.gif)

Найти частные решения ДУ:

  1. hello_html_69df981c.gif, при х=hello_html_m5bb3a56e.gif, у=3(ответ: y=tgx+2)

  2. hello_html_m7bcc296.gif, при х=0, у=1 ( ответ: hello_html_m52c171bf.gif)

  3. hello_html_m9152db0.gif, hello_html_m3962978c.gif,

hello_html_76d77b84.gifобщее решение.

  1. Найти частное решение ДУ hello_html_m6f5f8812.gif.

hello_html_29a9d52f.gifобщее решение.

hello_html_m36e69dfb.gifтогда у=2sinx-1- частное решение.

Дополнительно:

1. hello_html_7064b91e.gif , при х=π, у=0 . Ответ: hello_html_49ac57a8.gif


2.hello_html_m69d2881b.gifОтвет: у=х2+4

3. hello_html_661f7a9c.gif,х=2,у=-4. ответ: hello_html_m57fa6be7.gif

Практическое приложение ДУ.

Задача №1

Найти кривые, для которых угловой коэффициент касательной в каждой точке на любой из этих кривых равен абсциссе точки касания.

Решение: По геометрическому смыслу производной hello_html_m209b05cd.gif. Получим:

hello_html_m5edc25c7.gif, hello_html_m209f1583.gif.

Задача №2

Определить путь , который пройдет автомобиль за время t=20 с, если его скорость пропорциональна пути и если за 10с. Автомобиль проходит 100м, а за 15с- 200м.

Решение:

По условию hello_html_m16cd7e0d.gif, где к- коэффициент пропорциональности.

Отсюда:hello_html_m30682e8e.gifhello_html_m53d4ecad.gif

При t=10,s=100: ln100=10k+C

При t= 15,s=200:ln200= 15k+C, следовательно k=ln2/5, тогда С=ln25

Уравнение (1) примет вид: hello_html_73fb00e4.gif.

При t=20c. S=400м.Ответ: 400м.

Задача №3

При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его первоначальному содержанию. Определить содержание фермента через 4ч. После брожения , если вместо 2г. первоначального количества спустя 1ч. Получается 2,6г. фермента.

Решение:

Пусть Q-наличие фермента (г.) в момент времени t (ч.) , то скорость прироста фермента hello_html_2a7ab80a.gif. По условию задачи hello_html_m4bde1b6f.gif.

При t=0, Q=2г., тогда С=ln2, получим hello_html_59540eac.gif.

При t=1, Q=2,6, тогда к=ln1,3

При t=4, Q=hello_html_m79085457.gif=5,7гр.

Ответ: 5,7гр.

6.Задание на дом: выучить основные определения из конспекта;

Решить уравнения:1. hello_html_4fbab45b.gif

2.hello_html_2e9d055a.gif

3.hello_html_m617682ef.gif

4.Задача: Найти кривые , для которых угловые коэффициенты касательных в каждой точке равны 2х-1 . Выделить кривую , проходящую через точку А(1;1). Построить график этой кривой.


7.Подведение итогов: Выставление оценок за работу на уроке.








Краткое описание документа:

Конспект урока 1 курса СПО по дисциплине математика. Тема комбинированного урока изучения нового материала: " Дифференциальные уравнения". Дидактической задачей урока является познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений. Развивающей задачей данного урока является развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Актуализация знаний.
  3. Объяснение нового материала.
  4. Закрепление изученного материала.
  5. Информация о домашнем задании.
  6. Подведение итогов.

Общая информация

Номер материала: 308876

Похожие материалы