Разработка урока по математики " ЦЕЛЫЕ и РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА"

Урок №1

Тема: «ЦЕЛЫЕ  и РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА».

Требования к знаниям, умениям и навыкам

В результате изучения лекции студент должен знать:

1.                 Понятие  натуральных, целых и рациональных чисел.

2.                 Понятие иррационального числа.

3.                  Понятие действительных чисел.

В результате изучения лекции студент должен уметь:

Выполнять преобразования с действительными числами.

Содержание:

1.                 Натуральные числа.

2.                 Целые числа.

3.                 Рациональные числа.

4.                 Действительные числа.

5.                 Преобразование выражений  с действительными числами.

Что же вообще такое число?

Число - основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения служат цифры, а также символы математических операций.

Натуральные числа.

Для счета предметов используются  числа, которые называются натуральными. Для обозначения множества натуральных чисел употребляется  буква  N - первая буква латинского слова Naturalis, «естественный», «натуральный» (1, 2, 3, 4, 5, 6... )

Сумма и  произведение натуральных чисел  есть число  натуральное.

Целые числа.

Натуральные числа, числа им противоположные и число нуль, образуют множество целых чисел, которое обозначается  Z  - первой буквой немецкого слова  Zahl   - «число» (…-3;-2;-1;0,1, 2, 3,...).

Сумма, произведение и разность целых  чисел  есть число  целое.

Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (1487—1567) в книге «Полная арифметика» (1544), и Никола Шюке (1445—1500) - его работа была обнаружена в 1848 году.

Действительные  числа.

  R= (рациональные числа, иррациональные числа)

  Действительные числа не обладают свойством замкнутости - не всякое уравнение имеет корни. Действительные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби. Например: 5, 1056, π,   … -это все действительные числа

Рациональные числа

    Множество чисел, которое можно представить в виде   ,

называется множеством рациональных чисел  и обозначается - Q первой  буквой французского  слова Quotient   - «отношение».

     Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью, где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число. Такую дробь следует понимать как результат деления m на n, даже если нацело разделить не удаётся. В реальной жизни рациональные числа используются для счёта частей некоторых целых, но делимых объектов, например, тортов или других продуктов, разрезаемых на несколько частей.

А сейчас немного посчитаем.

Вычислите:

Дробные числа.

 Дроби естественно возникли при решении задач о разделе имущества, измерении земельных участков, исчислении времени.

Десятичные дроби в XV веке ввел самаркандский ученый  ал - Каши.

Ничего, не зная об открытии ал – Коши,десятичные дроби открыл второй раз,

приблизительно через 150 лет, после него, фламандский ученый математик и инженер Симон Стевин в труде «Децималь» (1585 г).

   Нужно понимать, что численно равные дроби  такие как, например,  и  , входят в это множество как одно число.

Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей с взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем.

Замените   данные  рациональные  числа десятичными  дробями.

             

   

Чтобы обратить чисто периодическую дробь в обыкновенную, нужно в числителе обыкновенной дроби поставить число, образованное  из цифр, стоящих в периоде, а в знаменателе – написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде.

Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную, нужно в числителе обыкновенной дроби поставить   число, равное разности  числа, образованного цифрами, стоящими после запятой до начала второго  периода, и  числа, образованного из цифр, стоящих после запятой до начала первого периода, а в знаменателе написать  цифру 9 столько раз, сколько цифр  в периоде, и со столькими нулями, сколько цифр между запятой и началом периода.

        

Иррациональные числа.

Бесконечная непериодическая  дробь называется иррациональным числом.

Например:

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой i{\displaystyle \mathbb {I} } в полужирном начертании без заливки. Таким образом: {\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} }I=R\Q, то есть множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

Самостоятельная работа

15,(3)

0,(7)

1,2(3)

0,(12)

7,(5)