Разработка урока по теме "Формула корней квадратного уравнения"

Тема: «Формула корней квадратного уравнения».

Цели:

1.     Ознакомить обучающихся с приемом решения квадратного уравнения выделением квадрата двучлена;

2.     Вывести общую формулу нахождения корней квадратного уравнения; формировать умение её использовать;

3.     Вывести формулу (II) нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом;

4.     Формировать умения применять формулы I и II для решения квадратных уравнений;

5.     Развивать память, внимание и логическое мышление  обучающихся;

6.     Вырабатывать трудолюбие и целеустремленность  обучающихся.

Ход урока.

I.                  Организационный момент.

Сообщение темы и целей урока.

II.               Актуализация знаний и умений обучающихся.

1.     Проверка выполнения домашней работы. (Разбор нерешенных заданий)

2.     Устная работа.

1. Назовите коэффициенты квадратного уравнения:

а) 3х² – 17х + 4 = 0;                 в)  – х² = 0;

б) 2х – х² + 1 = 0;           г) х² + 2х = 0.

2. Найдите корни уравнения:

а) х² = 1,21;                   в) х² = ;

б) х² = ;                            г) х² = 0,0049.

3. Представьте одночлен в виде удвоенного произведения двух множителей:

а) 10х;                                     в) 7а;

б) –8у;                                     г) .

4. Разложите на множители:

а) х² – 4х + 4;                          в) y² + y + 1 ;

б) а² + 6а + 9;                         г) 3х² – 6х + 3.

           I.                

           II.                

           III.               Объяснение нового материала.

Решения квадратных уравнений путём  выделения  квадрата  двучлена

Для осознанного восприятия приёма решения квадратных уравнений путём  выделения  квадрата  двучлена  объяснение  следует  проводить                       в н е с к о л ь к о   э т а п о в.

1. А к т у а л и з а ц и я   з н а н и й.

При решении квадратных уравнений рассматриваемым приёмом обучающимся необходимо свободно решать уравнения вида х² = а и (х + k)² = m.

– Решите  уравнение:

а) (х + 2)² = 16;                       г) (2х – 7)² = ;

б) (х – 3)² = ;                        д) (1 – 3х)² = ;

в) (х + 1)² = 4;                         е) (2х + 1) = 0.

2. О з н а к о м л е н и е  с приёмом решения квадратного уравнения путём выделения квадрата двучлена следует начать с рассмотрения приведённого квадратного уравнения, левая часть которого представляется в виде полного квадрата двучлена:

х² + 10х + 25 = 0;

х² – 6х + 9 = 0;

х² + х +  = 0 и т. п.

После этого появляется возможность подвести обучающихся к мысли о том,  что  для  решения  квадратного  уравнения  нужно  привести  его  к виду       (х + k)² = m, а сделать это можно путём выделения квадрата двучлена. Сперва рассматриваем приведённое квадратное уравнение, одновременно выделяя алгоритм решения квадратных уравнений данным приёмом.

Алгоритм решения квадратного уравнения путем выделения квадрата двучлена.

х² – 6х – 7 = 0.

1-й  ш а г. Записываем второй коэффициент в виде произведения двойки и некоторого числа: b = 2п.

х² – 6х – 7 = х² – 2 · 3х – 7.

2-й  ш а г. Число п представляет собой второе слагаемое в искомом квадрате двучлена: п = 3. Для того чтобы получить искомый квадрат двучлена (х – n)² = х² – 2 · х · п + n², необходимо прибавить п² и одновременно вычесть его:

х² – 2 · 3х – 7 = х² – 2 · 3х + 9 – 9 – 7.

3-й  ш а г. Выделяем квадрат двучлена:

х² – 6х – 7 = х² – 2 · 3х + 9 – 16 = (х – 3)² – 16.

4-й  ш а г. Решаем полученное уравнение, равносильное исходному:

(х – 3)² – 16 = 0;

(х – 3)² = 16;

х – 3 = 4       или   х – 3 = –4;

х = 7             или   х = –1.

О т в е т: –1; 7.

3. Р е ш е н и е  неприведённых квадратных уравнений приёмом выделения квадрата двучлена.

Целью рассмотрения приёма решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена является подготовка к осознанному восприятию вывода общей формулы корней. Рассмотреть со всем классом пример решения неприведённого квадратного уравнения указанным приёмом (с. 116–117 учебника).

Формула корней квадратного уравнения

Для мотивации изучения общей формулы корней квадратного уравнения достаточно обратить внимание обучающихся на  д в а   м о м е н т а:

1) решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям;

2) каждый раз, решая квадратное уравнение данным приёмом, мы повторяем одни и те же шаги (алгоритм).

Указанные пункты позволяют предположить, что можно провести рассуждения о решении квадратного уравнения приёмом выделения квадрата двучлена для уравнения общего вида.

Для наглядности и осознанности восприятия можно процесс вывода формулы корней квадратного уравнения разбить на несколько шагов, записывая при этом на доске параллельно решение конкретного уравнения и уравнения общего вида.

2х2 + 3х + 1 = 0	ах2 + bx + c = 0,   a ≠ 0
Ш а г  1. Преобразуем уравнение в приведённое
х2 +  = 0	х2 +  = 0
Ш а г  2. Представим второе слагаемое в виде удвоенного произведения, в котором один из множителей есть х
Ш а г  3. Прибавим к левой части уравнения выражение  и вычтем его:
Ш а г  4. Выделим квадрат двучлена:
Ш а г  5. Решим полученное уравнение:

Замечаем,  что  в  левой  части  уравнения  находится  квадрат  выражения (двучлена). Количество корней уравнения зависит от знака правой части уравнения. Более того, 4а² > 0 для любого а ≠ 0, значит, для решения важен только знак выражения b² – 4ac. Так появляется понятие дискриминанта D = b² – 4ac («дискриминант» в переводе с латинского – различитель).

После рассмотрения вопроса о количестве корней квадратного уравнения и вывода их общей формулы полезно вывесить на доску таблицу:

Решение квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0; D = b2 – 4ac. Если D < 0, то уравнение не имеет корней. Если D = 0, то x = . Если D > 0, то x = .

Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.

С о з д а н и е   п р о б л е м н о й   с и т у а ц и и.

Предложить обучающимся для решения квадратное уравнение 15х² – 34х +
+ 15 = 0. Используя формулу нахождения корней квадратного уравнения, получаем:

D = (–34)² – 4 · 15 · 15 = 1156 – 900 = 256.

;

.

Решая это уравнение, обучающиеся вынуждены проводить вычисления достаточно громоздкие, в отличие от ранее решаемых уравнений.

Можно теперь сообщить обучающимся, что для решения квадратных уравнений, у которых второй коэффициент четный, существует другая формула корней, позволяющая упростить вычисления.

Вывод этой формулы проводится согласно пункту учебника, записывая общий вид такого уравнения:

ax² + 2 ∙  k ∙  x + c = 0     (b = 2k).

После вывода формулы возвращаемся к решенному уравнению и применяем новую формулу:

D = (–17)² – 15 · 15 = 289 – 225 = 64;

;

.

Как видим, вычисления можно произвести «в уме», так как все значения квадратов чисел – табличные.

На доску можно вынести  таблицу:

(обращаем внимание обучающихся, что D₁ в четыре раза меньше, чем D)

Р е ш е н и е   к в а д р а т н о г о   у р а в н е н и я a2 + 2kx + c = 0,    a ≠ 0; D1 = k2 – ac. Если D1 < 0, то уравнение не имеет корней. Если D1 = 0, то x = . Если D1 > 0, то x = .

IV.            Формирование умений и навыков.

Следующие упражнения представляют собой последовательность квадратных уравнений, решаемых приёмом выделения квадрата двучлена, от простых к более сложным.

1. Решить уравнения.

а) х2 + 12х + 36 = 0;    (х + 6)2 = 0;    х = –6.

б) х² – 8х + 15 = 0;

       (х² – 8х + 16) – 16 + 15 = 0;

       (х – 4)² – 1 = 0;

       (х – 4)² = 1;

х – 4 = –1       или        х = 3

х – 4 = 1; х = 5.

О т в е т: 3; 5.

в) х² – 6х + 14 = 0;

    (х² – 2 · 3х + 9) – 9 + 14 = 0;

    (х – 3)² + 5 = 0;

    (х – 3)² = –5.

Уравнение не имеет решений.

О т в е т: нет корней.

г) 3х² – 4х – 4 = 0;

            х² –  = 0;

            х² –  = 0;

            = 0;

            = 0;

           ;

х –        или        х = 2

х – ; х = .

О т в е т: ; 2.

На этом уроке основное внимание следует уделить вопросу определения количества корней квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Желательно, чтобы обучающиеся за урок выучили формулу D = b² – 4ac и хорошо усвоили алгоритм нахождения корней квадратного уравнения.

1. № 533.

2. Докажите, что уравнение не имеет корней:

а) х² – 5х + 9 = 0;

б) 3х² – 7х + 18 = 0;

в) t² – 2t + 8 = 0.

3. Убедитесь, что уравнение имеет единственный корень, найдите этот корень:

а) х² – 8х + 16 = 0;

б) y² – 3y + 9 = 0;

в) 0,04t² – 0,2t + 0,25 = 0.

4. № 534 (а, в), № 535 (а, в, г), № 536 (в, д), № 538 (а).

Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом: № 539 (б, г, ж), № 540 (в, з).

   V.            Итоги урока.

Вопросы обучающимся:

– Какое уравнение называется квадратным?

– Какое квадратное уравнение называется приведённым?

– Как преобразовать неприведённое квадратное уравнение в приведённое?

– В чём заключается приём решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена?

– Любое ли квадратное уравнение может быть решено указанным приёмом?

– На чем основан вывод формулы корней квадратного уравнения?

– Как вычислить дискриминант квадратного уравнения?

– Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

– Как определить количество корней квадратного уравнения?

– В каких случаях применяется формула II корней квадратного уравнения?

– В каком отношении находятся D₁ и D?

– По какой формуле вычисляется D₁?

– Можно ли применять формулу I корней квадратного уравнения, если коэффициент b чётный?

– Могут ли получиться разные корни при применении различных формул корней квадратного уравнения?

VI.            Домашнее задание: прочитать п.     ; выполнить  № 534 (б, г, д),  № 535 (б, д, е), № 537 (а, в).

Урок № 48

Цели: продолжить формирование умения решать квадратные уравнения по формуле.

Ход урока.

I.                  Организационный момент.

Сообщение темы и целей урока.

II.               Актуализация знаний и умений обучающихся.

1.     Проверка домашнего задания.

2.     Проверка знания теоретических сведений по теме.

Вопросы обучающимся:

– Какое уравнение называется квадратным?

– Какое квадратное уравнение называется приведённым?

– Как преобразовать неприведённое квадратное уравнение в приведённое?

– В чём заключается приём решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена?

– Любое ли квадратное уравнение может быть решено указанным приёмом?

– На чем основан вывод формулы корней квадратного уравнения?

– Как вычислить дискриминант квадратного уравнения?

– Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

– Как определить количество корней квадратного уравнения?

– В каких случаях применяется формула II корней квадратного уравнения?

– В каком отношении находятся D₁ и D?

– По какой формуле вычисляется D₁?

– Можно ли применять формулу I корней квадратного уравнения, если коэффициент b чётный?

– Могут ли получиться разные корни при применении различных формул корней квадратного уравнения?

3.     Устная работа.

– Вычислите:

а) ;                  б) ;                   в) ;

г) ;                  д) ;             е) .

I.                       

II.                       

III.                      Проверочная работа.

– Вычислите дискриминант квадратного уравнения и напишите, сколько корней имеет уравнение:

В а р и а н т  1 а) 5х2 – 4х – 1 = 0; б) х2 – 6х + 9 = 0; в) 3х – х2 + 10 = 0; г) 2х + 3 + 2х2 = 0.

В а р и а н т  2 а) 3х2 – 5х + 2 = 0; б) 4х2 – 4х + 1 = 0; в) 2х – х2 + 3 = 0; г) 3х + 1 + 6х2 = 0.

О т в е т ы:

В а р и а н т  1 а) D = 36, 2 корня; б) D = 0, 1 корень; в) D = 49, 2 корня; г) D = –20, нет корней.

В а р и а н т  2 а) D = 1, 2 корня; б) D = 0, 1 корень; в) D = 16, 2 корня; г) D = –15, нет корней.

IV.                       Формирование умений и навыков.

На этом уроке основное внимание следует уделить непосредственному применению алгоритма вычисления корней квадратного уравнения по формуле. Важно, чтобы обучающиеся запомнили этот алгоритм, а также желательно, чтобы они начали запоминать формулу корней.

Во избежание формального применения алгоритма на этом уроке следует решать упражнения, в которых требуется проводить преобразования квадратного уравнения к общему виду.

Кроме того, следует приучать обучающихся преобразовывать даже квадратные уравнения стандартного вида к более «удобным», решение которых будет менее громоздким и трудным, чем решение исходного уравнения. Для этого следует обратить внимание на  т р и   с л у ч а я, встречающиеся при решении квадратных уравнений:

1) Коэффициент а является отрицательным. Нужно домножить обе части уравнения на –1.

2) Все коэффициенты уравнения имеют общий делитель. Нужно разделить обе части уравнения на этот делитель.

3) Среди коэффициентов уравнения встречаются дробные. Нужно умножить обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей, чтобы коэффициенты стали целыми (возможны исключения).

Также на этом уроке следует чередовать полные и неполные квадратные уравнения, чтобы обучающиеся осознанно выбирали рациональный способ решения: по общей формуле либо по одному из алгоритмов решения неполного квадратного уравнения.

1. № 541 (а, г, д).

2. № 542 (б, г, ж), № 543 (б, е).

3. № 544 (а, г), № 546 (б), № 547 (б, г).

4. № 549.

    № 544.

Р е ш е н и е

а) ;

     = 0;

     = 0;

D =  = 225 + 136 = 361;   D > 0;   2 корня.

 = 1,7;

 = –0,2.

О т в е т: –0,2; 1,7.

П р и м е ч а н и е. При решении этого квадратного уравнения нецелесообразно домножить обе части уравнения на число, чтобы получить целые коэффициенты. Наоборот, работа с дробным свободным членом позволяет упростить ход вычислений.

г) –x(x + 7) = (x – 2)(x + 2);

    –х² – 7x = х² – 4;

    –2х² – 7x + 4 = 0;

    2х² + 7x – 4 = 0;

D = (7²) – 4 ∙  2 ∙  (–4) = 49 + 32 = 81;   D > 0;   2 корня.

 = 0,5;

 = –4.

О т в е т: –4; 0,5.

№ 546 (б).

Р е ш е н и е

15х² + 17 = 15 (х + 1)²;

15х² + 17 = 15 (х² + 2х + 1);

15х² + 17 = 15х² + 30х + 15;

30х – 2 = 0;

х = .

О т в е т: .

№ 549.

х² = 0,5х + 3.

Г р а ф и ч е с к о е   р е ш е н и е

– Построим график функций у = х² и у = 0,5х + 3.

Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения.

Графиком функции у = х² является парабола, вершина которой находится в начале координат, ветви направлены вверх. Контрольные точки:

х	–2	–1	0	1	2
у	4	1	0	1	4

Графиком  функции  у = 0,5х + 3  является  прямая,  проходящая  через точки:

х	0	–2
у	3	2

х₁ ≈ –1; х₂ = 2.

А н а л и т и ч е с к о е   р е ш е н и е
(с помощью формулы корней)

х² – 0,5х – 3 = 0;

2х² – х – 6 = 0;

D = (–1)² – 4 · 2 · (–6) = 1 + 48 = 49; D > 0; 2 корня.

 = –1,5;

 = 2.

О т в е т: –1,5; 2.

V.   Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Как определить количество корней квадратного уравнения?

– Каков алгоритм вычисления корней квадратного уравнения?

– Что нужно сделать, прежде чем применять алгоритм вычисления корней, если коэффициент а квадратного уравнения является отрицательным?

– Что нужно сделать, если все коэффициенты квадратного уравнения имеют общий делитель?

– Что нужно сделать, если хотя бы один коэффициент квадратного уравнения является дробным?

VI.                       Домашнее  задание:  № 542 (а, в, е, з),  № 543 (г, д),  № 544 (в),  № 545 (а, г), № 547 (в).

Урок № 49.

Цели: : формировать умения применять формулы I и II для решения квадратных уравнений.

Ход урока

I.                  Организационный момент.

Сообщение темы и целей урока.

II.               Актуализация знаний и умений обучающихся.

1.     Проверка домашней работы. (Разбор нерешенных примеров)

2.     Устная работа.

1. Назовите коэффициенты a, b, c уравнений:

а) 4х² – 5х – 7 = 0;                   г) 8 – 9х² = 0;

б) х² + 2 – 3х = 0;                    д) 11х² = 0;

в) 3х² + 2х = 0;                                 е) 17 – х² – х = 0.

2. Решите уравнение:

а) 2х² – 18 = 0;                                  в) х² + 16 = 0;

б) 3х² – 12х = 0;                      г) 3,6х² = 0.

3. Сколько корней имеет уравнение:

а) 6х² – 5х = 0;                                  в) 3х² – 4 = 0;

б) х² – 4х + 4 = 0;                    г) 2х² + 7 = 0?

I.                       

II.                       

III.                      Формирование умений и навыков.

Все  у п р а ж н е н и я, решаемые на этом уроке, можно разбить на три группы:

1-я  г р у п п а. Упражнения  на  непосредственное  применение  формулы (II) корней квадратного уравнения.

2-я  г р у п п а. Упражнения с выбором формулы (I или II) корней квадратного уравнения в зависимости от второго коэффициента.

3-я  г р у п п а. Упражнения повышенной трудности.

1. № 539 (б, г, ж), № 540 (в, з).

При решении этих упражнений демонстрируем обучающимся применение новой формулы для случая, когда корни уравнения являются иррациональными. Для этого вызываем двух учеников к доске и параллельно проводим решение по разным формулам.

№ 539 (ж).

Р е ш е н и е

7z² – 20z + 14 = 0.

Ф о р м у л а  I	Ф о р м у л а  II
D = (–20)2 – 4 · 7 · 14 =     = 400 – 392 = 8.	D1 = (–10)2 – 7 · 14 =       = 100 – 98 = 2.
(Ещё раз замечаем, что D1 = .)
x = . Вынесем множитель из-под знака корня: x = , то есть x = .	x = .

Таким образом, получаем такие же корни.

2. № 541 (б, в, ж), № 546 (а, г), № 550 (б), № 552 (а, в), № 553 (а).

3. № 554, № 555.

Эти упражнения можно предложить сильным в учебе обучающимся, сократив для них количество заданий из 1-й и 2-й группы.

№ 554.

Р е ш е н и е

а) х² – 5х + 6 = 0;

D = (–5)² – 4 · 1 · 6 = 25 – 24 = 1, D > 0.

x₁ =  = 2;                x₂ =  = 3.

6х² – 5х + 1 = 0;

D = (–5)² – 4 · 6 · 1 = 25 – 24 = 1, D > 0.

x₁ = ;     x₂ = .

б) 2х² – 13х + 6 = 0;

D = (–13)² – 4 · 2 · 6 = 169 – 48 = 121, D > 0.

x₁ = ;  x₂ =  = 6.

6х² – 13х + 2 = 0;

D = (–13)² – 4 · 6 · 2 = 169 – 48 = 121, D > 0.

x₁ = ;  x₂ =  = 2.

Можно  предположить,  что  корни  уравнений  ax² + bx + c = 0 и cx² +
+ bx + a = 0 являются взаимно-обратными числами. Докажем это.

ax2 + bx + c = 0.	cx2 + bx + a = 0.
x1 = ; x2 = .	x3 = ; x4 = .

(Мы предполагаем, что b² – 4ac ≥ 0, то есть корни существуют.)

Вычислим  x₁ ∙  x₄ = =

 = 1. Значит, х₁ и х₄ – взаимно-обратные числа.

Аналогично доказывается, что x₂ и x₃ – взаимно-обратные числа.

№ 555.

Р е ш е н и е

х² – ах + (а – 4) = 0.

D = (–а)² – 4 · 1 · (а – 4) = а² – 4а + 16.

Чтобы определить количество корней, необходимо оценить дискриминант. Выделим в выражении квадрат двучлена:

D = (а² – 2 · 2 · а + 4) + 12 = (а – 2)² + 12.

Дискриминант принимает положительные значения при любом а (точнее D ≥ 12), значит, при любом а уравнение имеет два корня.

О т в е т: а) нет; б) нет; в) при любом а.

IV.                       Итоги урока.

Вопросы обучающимся:

– В каких случаях применяется формула II корней квадратного уравнения?

– В каком отношении находятся D₁ и D?

– По какой формуле вычисляется D₁?

– Можно ли применять формулу I корней квадратного уравнения, если коэффициент b чётный?

– Могут ли получиться разные корни при применении различных формул корней квадратного уравнения?

V.   Домашнее задание: № 539 (в, е, з), № 540 (б, е, ж), № 541 (е, з), № 548 (б, г), № 551 (а, г, д).