Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по теме "Графический метод определения числа корней уравнений с параметрами,содержащих модули".

Разработка урока по теме "Графический метод определения числа корней уравнений с параметрами,содержащих модули".

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Разработка урока Зарьянцевой В.П. предназначена для обучающихся профильных 10-х, 11-х классов. ( Подготовка к ЕГЭ, в18)

Пояснительная записка


Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углублённого изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

Основным направлениям модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развёрнутым ответом (часть С). а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и его математической культуры.

Графическому решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приёмов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приёмами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы. Считаем необходимым систематизировать повторение темы «Графики и функции» в количестве 6 часов. Данная модель урока является промежуточным циклом.










Урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков.



Урок-практикум.



Тема: «Графический метод определения числа корней

уравнений с параметрами, содержащих знак модуля»



Цели:

Познавательная (обучающая): обобщение, углубление уже известного материала на построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля, и решение уравнений с параметрами.


Развивающая: формирование умений анализировать, сравнивать, обобщать, переносить знания в новые ситуации.


Воспитательная: воспитание личностных качеств, обеспечивающих успешность исполнительской деятельности (трудолюбия, внимательности, аккуратности).

Воспитание личностных качеств, обеспечивающих успешность творческой деятельности (активности, увлечённости, целеустремлённости, наблюдательности, интуиции, сообразительности, самостоятельности).



План урока.


1. Организационный этап.

2. Этап всесторонней проверки ЗУН.

3. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению материала по решению уравнений с параметром и уравнений содержащих переменную под знаком модуля с параметром графическим способом.

4. Этап проверки понимания учащимися материала: использование графического способа решения уравнений с параметрами.

5. Этап закрепления и контроля знаний, навыков учащихся по данной теме.

6. Этап информирования учащихся о домашнем задании, инструктаж о его выполнении.

  1. Подведение итогов урока.


Ход урока



  1. Организационный этап.

Дидактическая задача: Подготовить учащихся к работе на уроке, определить цели и задачи урока.

Учитель организует учащихся, сообщает тему урока, дату проведения урока, цели и задачи урока.



  1. Этап всесторонней проверки ЗУН.

Дидактическая задача: Глубоко и всесторонне проверить знания учащихся по построению графиков функций, содержащих знак модуля и радикала, выявив причины обнаруженных пробелов в знаниях и умениях для их устранения. Стимулировать опрашиваемых и весь класс к овладению традиционными приёмами в построении графиков и графическом решении уравнений.

На данном этапе используем различные методы проверки знаний, начиная от фронтальной беседы, индивидуального опроса. Постановка дополнительных вопросов для проверки прочности и глубины осознанности знаний; создание при опросе нестандартных заданий.

Использование мультимедийного проектора. Тестовое задание на соответствие графиков и их аналитической записи.

На предыдущих двух уроках была отработана методика построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.


Определите, какой функции, заданной формулой, соответствует график.

Задание 1


  1. у = |х|


а)


  1. у = |х+1|


б)


  1. у = |х|+1


в)


  1. у = |х+1|-1


г)


hello_html_m41f88ef0.pnghello_html_m7ed48cfc.pnghello_html_m633ab66d.pnghello_html_560a024d.png









Ответ:

1

2

3

4


а

в

г

б



Задание 2


  1. hello_html_m3846b58b.png


аhello_html_m72735f37.pnghello_html_2e48d830.pnghello_html_46e586b6.png)

  1. hello_html_me702c0f.png


б)

  1. hello_html_6da8c111.png


в)







О.Д.З. hello_html_249eda1c.png

hello_html_460f4c29.png

hello_html_756156fc.png hello_html_m54844606.png


О.Д.З. hello_html_7d0969cf.png

x – любое

hello_html_m28d55ad0.png

hello_html_m6419d545.png

hello_html_m15e4d130.png

О.Д.З. hello_html_249eda1c.png

hello_html_460f4c29.png

(2,2) – вершина графика

hello_html_64ef6d9e.pngшаблон



Ответ:

1

2

3


а

б

в


Задание 3


  1. у =|x2-4x+3| 2) y= x2 -4|x|+3 3) у=|x2-


y=x2-4x+3

  • Найдем абсциссу вершины параболы: у’=2x – 4, y’=0

х=2, у=-1. (2;,-1)

  • Найдем точки пересечения с осью Ох: у=0, х2-4х+3=0

hello_html_m22cdb0f.gifx=1 (1;0 )

x=3 (3;0)

  • Найдем точки пересечения с осью Оу: x=0, y=3 (0;3)


а) б) в)

hello_html_m2e46f56d.pnghello_html_1578cd70.pnghello_html_m4d8c2042.pnghello_html_m6a827390.png





Ответ:

1

2

3


б

в

а


Задание 4


  1. hello_html_7215814d.png

  2. hello_html_6bc418b2.png

  3. hello_html_m6f37cf5d.png

  4. hello_html_m7d05429e.png


у = log2 x, x>0

а)

б)

вhello_html_m3c18dd7.png)

г)

hello_html_m6e02cb9e.pnghello_html_m1f665c1d.pnghello_html_m376ba8d5.png






Ответ:

1

2

3

4


а

в

б

г


Задание 5


  1. hello_html_m333edc47.png

  2. hello_html_m51ec2d20.png

  3. hello_html_m7b98e793.png


а)

График функции

hello_html_m51ec2d20.pngполучаем из графика hello_html_63377112.png в результате сдвига вправо на 3 единицы по Ох и вверх на 1 единицу по Оу

Д(у) = (-;3) (3;+ )

Е(у) = (-;1) (1;+ )

асимптоты х=3; у=1



hello_html_m30950ad3.pnghello_html_m20b392da.png

б)

График функции может быть получен из графика hello_html_m78591f91.png в результате зеркального отображения относительно оси Оу правой части графика (левая часть отбрасывается)






в) hello_html_m4a20f0d3.png

Если х>0, то ветвь гиперболы в I четверти. При x<0 происходит отображение относительно оси абсцисс графика hello_html_54e0fceb.png, т.к. графики функций y=f(x) и y=-f(x) расположены симметрично оси абсцисс

hello_html_300e9c09.png





Ответ:

1

2

3


в

а

б



  1. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению материала по решению уравнений с параметром содержащих переменную под знаком модуля графическим способом.


Дидактическая задача: организовать и направить мыслительную деятельность учащихся на решение уравнений с параметром графически. Эти навыки учащиеся смогут применить при решении заданий из ЕГЭ.


Сегодня нам предстоит продолжить наше знакомство с уравнениями с параметрами. На прошлых уроках мы научились решать не только линейные уравнения с параметрами, но и решали дробно-рациональные уравнения, рассматривали задачи, при которых мы прибегали к решению уравнений с параметрами, решали уравнения с параметром под знаком модуля аналитическим способом. И вот сегодня на уроке мы с вами будем решать уравнения с параметрами, содержащие знак модуля, и рассмотрим графический метод решения таких уравнений.



Пример № 1: Найдите число корней уравнения hello_html_m50f72c5b.png в зависимости от параметра a.

Решение:


Построим график функции hello_html_31c25045.png и hello_html_m582473e1.png в одной системе координат.

Уравнение hello_html_m50f72c5b.png имеет столько решений, сколько раз прямая hello_html_m582473e1.png пересекает график функции hello_html_31c25045.png

  1. Построим график функции hello_html_7a2a2969.png

Найдём абсциссу вершины параболы с помощью производной:

hello_html_m7b7825d0.gif hello_html_3fde6282.gif hello_html_m6076771e.gif hello_html_m444d02a5.gif

точка hello_html_m5f86a990.png с 0х: hello_html_190c7d10.gif hello_html_129139f5.gif

с 0y: hello_html_m586c392e.gif


  1. Построим график функции hello_html_31c25045.png






Для того, чтобы построить график функции hello_html_31c25045.png, если известен график функции hello_html_7a2a2969.png, нужно оставить на месте ту часть, где hello_html_m5c19f9d1.png, и симметрично отобразить относительно оси х другую его часть, где hello_html_m72cd266d.png

  1. Построим прямую у = a

  2. Пhello_html_m1df8a33.pngостроение:











  1. Видно:

  1. если hello_html_23eff375.gif, то графики не имеют общих точек, т.е. нет корней;

  2. если hello_html_m15b886f5.gif, то графики имеют две общие точки, т.е. два корня;

  3. если hello_html_m16671021.gif, то графики пересекаются в четырёх точках, что даёт четыре корня;

  4. если hello_html_39585989.gif то графики имеют три общие точки, т.е. три корня;

  5. если hello_html_1a79a44c.gif то графики имеют две общие точки, т.е. два корня.



Пример № 2: Найдите значение параметра m, при котором уравнение hello_html_1124fb41.gif имеет ровно три корня.


Решение:

Построим график функции hello_html_m6170910.png и hello_html_m46ef8290.png на одном чертеже.


  1. Построим график функции hello_html_m6170910.png

Найдем координаты вершины параболы выделением квадрата двучлена

hello_html_686eb1.gif

hello_html_m4286276b.gifвершина параболы

hello_html_m6bbffd99.gif

hello_html_743c5bde.gif


  1. Построим график функции hello_html_m6170910.png.

Для того, чтобы построить график функции hello_html_m6170910.png, если известен график hello_html_m561553de.png, нужно оставить на месте ту часть, где hello_html_m5c19f9d1.png, и симметрично отобразить относительно оси х другую его часть, где hello_html_m72cd266d.png.

  1. Построим прямую у = m

  2. Пhello_html_m24e02b95.pngостроение:











  1. Очевидно, что исходное уравнение имеет ровно 3 решения тогда и только тогда, когда графики двух вышеуказанных функций пересекаются ровно в 3-х точках, т.е. при hello_html_1448f549.gif


Пример № 3: Найдите число решений уравнения hello_html_m4e88babb.gif в зависимости от параметра p

Решение:

Построим график функций hello_html_m5404c827.png и hello_html_11e82d33.png на одном чертеже.

  1. Построим график функции hello_html_16cfb6b6.png, найдем абсциссу вершины параболы с помощью производной.

hello_html_3fbc9070.gif

hello_html_m4110719c.gif

hello_html_m3466e8b2.gifhello_html_m7178c66d.gif

hello_html_15dd1bc4.gif

  1. Построим график функции hello_html_m5404c827.png.Для того, чтобы построить график функции hello_html_m5404c827.png, нужно оставить на месте ту часть графика функции hello_html_16cfb6b6.png, которая соответствует неотрицательной части определения функции hello_html_16cfb6b6.png. Отобразив эту часть симметрично относительно оси у, получим другую часть графика, соответствующую отрицательной области определения.

  2. Построим прямую у = рhello_html_m5806de20.png

  3. Построение:








  1. Очевидно, что исходное уравнение имеет ровно три корня тогда и только тогда, когда графики пересекаются ровно в 3-х точках, т.е при р = 2.



Пример № 4: Определить корни уравнения hello_html_76d4c224.png в зависимости от параметра m.


Решение:


  1. Построим график hello_html_m70e939f0.png.

Сделав необходимые преобразования, получим график функции hello_html_m41b5b111.png

  1. Построим прямую у = т



  1. Пhello_html_c5f0a77.pngостроение:








4) Ответ:

а) если m = 0, то 2 решения;

б) если m > 0, то 4 решения.



Пример № 5: Найти значение параметра p, при котором уравнение

hello_html_m16898c45.gifимеет одно решение


Решение:


  1. Преобразуем: hello_html_24931770.gif

  2. Построим график функции hello_html_m41ae2cd7.gif получаем его из графика функции hello_html_195b57f4.gif в результате зеркального отображения той части графика, которая расположена ниже оси х, остальная часть графика не меняется.




  1. Построим график hello_html_1bdeb9a5.gif асcимптоты х = -3,

у = 1.

hello_html_m2b9c0076.png












Ответ: а) при p = 0 и p = 1 уравнение имеет одно решение.


  1. Этап проверки понимания учащимися материала: использование графического способа решения уравнений с параметрами.

Дидактическая задача: установить, усвоили или нет учащиеся связь между фактами, закономерностями в построении графиков и определении числа корней уравнений.


Работа ведётся у доски 3 учащимися (пример В8 ЕГЭ 2009г.).


Пример № 1. При каких значениях параметра hello_html_27d75749.gif уравнение hello_html_4771a7fe.gif имеет

два корня.


Решение:

  1. построим график функции hello_html_77a3b336.gif и hello_html_71e0a56a.gif на одном чертеже.

  2. Построение: hello_html_69d6f0b5.png







Ответ: а) если а = 0, то 1 решение

б) если а > 0, то 2 решения.


Пример № 2.


hello_html_be55b99.png


Пример № 3. Найти все значения m, при которых уравнение hello_html_55ffc323.gif имеет ровно два решения.

Решение:

  1. построим график функции hello_html_m11279c92.png и hello_html_33ac70a7.png на одном чертеже.

hello_html_mde7c51.gif

hello_html_6629e83d.gif

hello_html_2d6bb646.gif

hello_html_m6e7eb20f.png

  1. Построение:








Ответ: а) если m = 3, то 1 решение; б) m > 3, то 2 решения.

  1. Этап закрепления и контроля знаний, навыков учащихся по данной теме.

Дидактическая задача: закрепить у учащихся те знания и умения, которые необходимы для подготовки к ЕГЭ.


Самостоятельная работа (2 варианта) – 20 минут.


Вариант 1

Вариант 2

1. При каком значении hello_html_168dd0cb.gif уравнение имеет один корень?

hello_html_7006e714.gif

1. При каком значении hello_html_168dd0cb.gif уравнение не имеет ни одного корня?

hello_html_6736a42f.gif

2. При каком значении hello_html_168dd0cb.gif уравнение имеет ровно 4 корня?

hello_html_16c4d02e.gif

2. При каком значении hello_html_168dd0cb.gif уравнение имеет ровно 2 корня?

hello_html_653cc55.gif

3. При каком значении hello_html_168dd0cb.gif уравнение имеет ровно 3 корня?

hello_html_m4c28300a.gif

3. При каком значении hello_html_168dd0cb.gif уравнение имеет ровно 3 корня?

hello_html_5cdd70a9.gif

4. Определить количество корней уравнения, взаимозависимого от параметра hello_html_168dd0cb.gif.

hello_html_m208843e7.gif

4. Определить количество корней уравнения, взаимозависимого от параметра hello_html_168dd0cb.gif.

hello_html_m4d622d6d.gif


Решения задач самостоятельной работы приведены в Приложении 1.



  1. Этап информирования учащихся о домашнем задании, инструктаж о его выполнении.

Дидактическая задача: сообщить учащимся домашнее задание, разъяснить методику его выполнения и подвести итоги работы.

Учитель поясняет домашнее задание, обращая внимание учащихся на

то, что аналогичные задания были разобраны на доске.

С помощью беседы обсуждается план решения домашнего задания.


Домашнее задание:

Определить количество корней уравнения, в зависимости

от параметра hello_html_168dd0cb.gif.

1) hello_html_3662c8d8.gif

2) hello_html_4079ace1.gif

3) hello_html_23a19232.gif

4) hello_html_6a8e5640.gif

Решения задач домашнего задания приведены в Приложении 2.


  1. Подведение итогов урока:

Дидактическая задача: проанализировать работу на уроке, дать оценку успешности достижения цели и наметить перспективу на будущее.









































Список литературы.


    1. 3000 конкурсных задач по математике. / Е.Д. Куланин [и др.] – М.: Рольф, Айрис-пресс, 2000. – 624 с., с илл.

    2. Слонимская И.С. Математика. Экспресс-репетитор для подготовки к ЕГЭ. «Уравнения» и «неравенства». / Н.С. Слонимская – М.: АСТ: Астрель, 2009. – 157 с.

    3. Родионов Е.М. Математика. Решение задач с параметрами: Пособие для поступающих в вузы. / Е.М. Родионов. – М: Изд-во НЦ ЭНАС, 2006. – 216 с.

    4. Гельфанд И.М. Функции и графики (основные приёмы). / И.М. Гельфанд, Е.Г. Глаголева, Э.Э. Шноль. М.: Наука, 1973 – 96 с., с илл.

    5. Гурский И.П. Функции и построение графиков. / И.П. Гурский – М.: Просвещение, 1968 – 215 с., с илл.
























Приложение 1.


Решения задач самостоятельной работы:

Вариант 1

Вариант 2

1. При каком значении hello_html_168dd0cb.gif уравнение имеет один корень?

hello_html_7006e714.gif

Решение:

Построим hello_html_658f2aa6.gif

hello_html_ma6107b1.png


Один корень при hello_html_5b430df8.gif

1. При каком значении hello_html_168dd0cb.gif уравнение не имеет ни одного корня?

hello_html_6736a42f.gif

Решение:

Построим hello_html_262e709d.gif


hello_html_m41cded1e.png


При hello_html_4eaad5ca.gif уравнение не имеет решений.

2. При каком значении hello_html_168dd0cb.gif уравнение имеет ровно 4 корня?

hello_html_16c4d02e.gif


Решение:

Построим hello_html_15a8cba2.gif

hello_html_1482ea2c.gif


hello_html_d6e3ba.gif

hello_html_712af2d6.png

При hello_html_3eb37ccc.gif уравнение имеет 4 корня.

2. При каком значении hello_html_168dd0cb.gif уравнение имеет ровно 2 корня?

hello_html_653cc55.gif

Решение:

Построим hello_html_m1c123ff0.gif

hello_html_m56cad686.gif


hello_html_460c914c.gif










hello_html_12ff844.png

При hello_html_54782677.gif уравнение имеет 2 корня

3. При каком значении hello_html_168dd0cb.gif уравнение имеет ровно 3 корня?


hello_html_m4c28300a.gif

Решение:


Построим график:


hello_html_m4b18a481.png



При hello_html_14e7600f.gif уравнение имеет ровно 3 решения.

3. При каком значении hello_html_168dd0cb.gif уравнение имеет ровно 3 корня?


hello_html_5cdd70a9.gif

Решение:


Построим график:


hello_html_54e24300.png



При hello_html_2bc4a7e3.gif уравнение имеет ровно 3 решения.


4. Определить количество корней уравнения, в зависимости от параметра hello_html_168dd0cb.gif.

hello_html_m208843e7.gif

Решение:


Построим график hello_html_m554b9f59.gif


hello_html_30452388.png



При hello_html_4eaad5ca.gif нет корней

При hello_html_771eb4da.gif 2 корня

При hello_html_549a4d8e.gif 4 корня


4. Определить количество корней уравнения, в зависимости от параметра hello_html_168dd0cb.gif.

hello_html_m4d622d6d.gif

Решение:


Построим график hello_html_m38a1f1d3.gif



hello_html_205ac4d2.png


При hello_html_4eaad5ca.gif нет корней

При hello_html_771eb4da.gif 2 корня

При hello_html_549a4d8e.gif 4 корня






Приложение 2.


Решение домашнего задания:



1) hello_html_3662c8d8.gif

Построим график.

hello_html_23de9d8d.png

hello_html_m7b59fc47.gif






2) hello_html_m67ba7c8c.gif

Построим график.

hello_html_m71e7bbbe.png

hello_html_cf24f43.gif







3) hello_html_23a19232.gif

Построим график hello_html_m6bce41b6.gif

hello_html_m7549f5c3.pnghello_html_m73e30b5c.gif

hello_html_4c3f8346.gif


4) hello_html_6a8e5640.gif

Построим график.


hello_html_3e2b8e0e.pnghello_html_11457068.gif



hello_html_7f97aae4.gif




Автор
Дата добавления 02.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров206
Номер материала ДВ-404633
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх