Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по теме "Неполные квадратные уравнения"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Разработка урока по теме "Неполные квадратные уравнения"

библиотека
материалов

Урок №46

Тема: «Неполные квадратные уравнения».

Цели:

  1. ввести понятия квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения;

  2. формировать умения записывать квадратное уравнение в общем виде, различать его коэффициенты;

  3. формировать умения решать неполные квадратные уравнения различных видов;

  4. формировать умения решать задачи с использованием неполных квадратных уравнений;

  5. развивать память, внимание и логическое мышление обучающихся;

  6. вырабатывать трудолюбие и целеустремленность обучающихся.


Ход урока.

  1. Организационный момент.

Сообщение темы и целей урока.


  1. Актуализация знаний и умений обучающихся.

Устная работа.

1. Является ли число а корнем уравнения:

а) 2х – 7 = 8, а = 7,5;

б) х2х – 20 = 0, а = 5;

в) (х3 + 12) (х2 – 8) = 0, а = hello_html_m66520858.gif.

2. Найдите корни уравнения:

а) (х – 3 ) (х + 12) = 0;

б) (6х – 5) (х + 5) = 0;

в) (х – 8) (х + 2) (х2 + 25) = 0.


III. Объяснение нового материала.

Для введения понятия квадратного уравнения используется задача, при решении которой возникает уравнение, еще не известное обучающимся. Возникает проблемная ситуация: мы не можем решить практическую задачу, так как пока не умеем решать уравнения нового вида.

На доску выносится запись:

Уравнение вида ах2 + bx + c = 0, где a, b, c
числа,
а ≠ 0, называется квадратным.

Далее рассматривается вопрос о коэффициентах квадратного уравнения. Число а называется первым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом и число с – свободный член. Особое внимание обращаем, что число а не может быть равным нулю, так как в этом случае уравнение примет вид + с = 0, а это линейное уравнение.

Числа b и с, в отличие от а, могут быть и равными нулю. Если хотя бы одно из них равно нулю, то уравнение называется неполным. Можно предложить учащимся самостоятельно выписать виды неполных квадратных уравнений:

b

с

Уравнение

0

Х

ах2 + с = 0

Х

0

ах2 + = 0

0

0

ах2 = 0

Для усвоения понятия квадратного уравнения и его коэффициентов следует предложить учащимся задание:

Укажите, какие из данных уравнений являются квадратными, объясните ответ:

а) 2х2 + 7х – 3 = 0; д) hello_html_m739bd68b.gifх2 – 6х + 1 = 0;

б) 5х – 7 = 0; е) 7х2 + 5х = 0;

в) –х2 – 5х – 1 = 0; ж) 4х2 + 1 = 0;

г) hello_html_m3d02b75b.gif + 3х + 4 = 0; з) х2 hello_html_md2c2009.gif = 0.

Затем определяется, какое квадратное уравнение называется приведенным, приводятся примеры.

Решение неполных квадратных уравнений.

Для осознанного восприятия приёмов решения неполных квадратных уравнений объяснение проводим на конкретных примерах с последующим составлением алгоритмов решения.

1. № 514 (устно).

2. hello_html_2eaf668.gif

П р и м е р 1. 3,8х2 = 0.

Р е ш е н и е

Разделим обе части уравнения на 3,8 (число, не равное нулю) и получим уравнение, равносильное исходному:

х2 = 0.

Мы знаем, что существует только одно число – нуль, квадрат которого равен нулю, следовательно, уравнение имеет единственный корень х0 = 0.

О т в е т: 0.

В ы в о д: уравнение вида ах2 = 0 (а ≠ 0) имеет единственный корень х0 = 0.

3. hello_html_m78e4463c.gif

П р и м е р 2. –3х2 + 21 = 0.

Р е ш е н и е

Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на –3:

3х2 = –21;

х2 = 7.

Отсюда х = hello_html_1b64b270.gif или х = –hello_html_1b64b270.gif.

О т в е т: х = hello_html_1b64b270.gif; х = –hello_html_1b64b270.gif.

П р и м е р 3. 4х2 + 6 = 0.

Р е ш е н и е

Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на 4:

4х2 = –6;

х2 = hello_html_6bd175b.gif.

Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то уравнение не имеет корней.

О т в е т: нет корней.

В ы в о д: для решения уравнения вида ах2 + с = 0 (с ≠ 0) воспользуемся алгоритмом:

1) Перенесём свободный член с в правую часть уравнения.

2) Делим обе части уравнения на а (с ≠ 0, а ≠ 0), получаем уравнение х2 = hello_html_25c8ea00.gif.

3) Если hello_html_25c8ea00.gif > 0, то уравнение имеет два корня:

hello_html_6b65d824.gif.

Если hello_html_25c8ea00.gif < 0, то уравнение не имеет корней.

4. hello_html_m124fd194.gif

П р и м е р 4. 5х2 + 7х = 0.

Р е ш е н и е

Разложим левую часть уравнения на множители:

х (5х + 7) = 0.

Отсюда: х = 0 или 5х + 7 = 0;

5х = –7;

х = hello_html_16e51774.gif;

х = –1,4.

О т в е т: 0; –1,4.

В ы в о д: для решения уравнения вида ах2 + bx = 0 (b ≠ 0) воспользуемся алгоритмом:

1) Разложим левую часть уравнения на множители, получим x (ax +
+
b) = 0.

2) Решаем уравнение ах + b = 0; х = hello_html_m2722a374.gif.

3) Уравнение имеет два корня: hello_html_m68df3eb.gif.

5. Приведённые примеры показывают учащимся, что неполное квадратное уравнение может иметь один или два корня, а может и не иметь корней. В дальнейшем возможно обобщение этого вывода для любых квадратных уравнений.

Для систематизации знаний, полученных на уроке, можно предложить учащимся составить следующую таблицу:

Коэффициент,

равный нулю

b = 0;
c = 0

b = 0

c = 0

Вид

2 = 0

2 + c = 0

2 + = 0

Решение

х2 = 0

2 = –c

х2 = hello_html_m47a65b5f.gif

х ( + b) = 0

х = 0 или
+ b = 0

Корни

х = 0

Если hello_html_m47a65b5f.gif > 0, то х1, 2 = hello_html_m5ba77025.gif

Если hello_html_m47a65b5f.gif < 0, то корней нет

х1 = 0,

х2 = hello_html_132b742d.gif



V. Формирование умений и навыков.

На первых порах желательно, чтобы учащиеся перед решением неполных квадратных уравнений вслух проговаривали их вид и алгоритм решения, пока не будет сформирован устойчивый навык.

515 (а, в, д), № 517 (а, в, е), № 519 (устно), № 523 (а, в).


Решение задач с помощью неполных квадратных уравнений.

З а д а ч и, решаемые на этом уроке, можно разбить на две группы:

1) Уравнения, сводящиеся к неполным квадратным путём преобразований.

2) Текстовые задачи, решаемые алгебраическим методом с помощью неполных квадратных уравнений.

1-я г р у п п а.

1) hello_html_m98e7a83.gif = 2.

Р е ш е н и е

Умножив обе части уравнения на 4, получим:

(х – 2)2 + 2(х + 1)2 = 8.

После преобразований имеем уравнение:

3х2 – 2 = 0;

х2 = hello_html_m427b1386.gif;

х =hello_html_m7fd42b3a.gif.

О т в е т: hello_html_m7fd42b3a.gif.

2. hello_html_7e7e1597.gif.

Р е ш е н и е

Умножив обе части уравнения на 12, получим:

12х2 + 12 – 4 (х2 + 3) = 6 (х2 + 2) – 3(х2 + 4);

12х2 + 12 – 4х2 – 12 = 6х2 + 12 – 3х2 – 12;

5х2 = 0;

х = 0.

О т в е т: 0.

3. hello_html_6de46e7a.gif = (2 – х) (х + 5).

Р е ш е н и е

Умножив обе части уравнения на 3, получим:

(х – 5)2 – 6х + 5 = 3 (2 – х) (х + 5);

х2 – 10х + 25 – 6х + 5 = 6х + 30 – 3х2 – 15х;

4х2 – 7х = 0;

х (4х – 7) = 0;

х = 0 или 4х – 7 = 0;

х = hello_html_605135b4.gif.

О т в е т: 0; hello_html_605135b4.gif.

2-я г р у п п а.

Прежде чем перейти к решению задач, необходимо, чтобы учащиеся проговорили, какие этапы включает в себя решение любой задачи алгебраическим методом.

1. № 524.

Р е ш е н и е

Последовательные целые числа отличаются на единицу (последующее больше предыдущего).

Пусть х – меньшее целое число, тогда (х + 1) – последующее целое число (большее). Произведение этих чисел равно х (х + 1), что составляет х2 + х. Зная, что произведение в 1,5 раза больше квадрата меньшего числа, составим уравнение:

х2 + х = 1,5х2;

0,5х2 + х = 0;

х (–0,5х + 1) = 0;

х = 0 или –0,5х + 1 = 0;

х = 2.

Очевидно, что х = 0 противоречит условию задачи (произведение чисел будет равно квадрату меньшего числа). Значит, эти числа 2 и 3.

О т в е т: 2; 3.

2. № 526.

Р е ш е н и е

hello_html_m12b04e1f.png

Площадь квадрата составляет 59 + 85 = 144 см2. Пусть х см – сторона квадрата, тогда х2 см2 – его площадь. Получаем уравнение:

х2 = 144;

х = ±12.

Так как длина стороны квадрата выражается положительным числом, то х = –12 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 12 см.

3. № 527.

Р е ш е н и е

hello_html_36e2edf1.png

Пусть t ч – время, через которое расстояние между туристами будет 16 км. За это время один турист прошёл на север 4t км, а второй на запад 5t км. Расстояние между ними равно длине отрезка ЗС и вычисляется по теореме Пифагора: (ЗС)2 = (0З)2 + (0С)2. Зная, что длина отрезка ЗС равна 16 км, составляем уравнение:

(16)2 = (5t)2 + (4t)2;

256 = 25t2 + 16t2;

41t2 = 256;

t2 = hello_html_58227d96.gif;

t = ±hello_html_m294a439.gif;

t ≈ ±2,5.

Так как время выражается положительным числом, то t ≈ –2,5 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: ≈ 2,5 ч.

4. Для сильных в учебе учащихся можно предложить задачу повышенной сложности.

530.

Согласно условию, отношение длины экрана к его ширине равно 4 : 3, это значит, что можно обозначить 4х и 3х длину и ширину экрана соответственно (в дюймах). Диагональ вычисляется по теореме Пифагора:

(25)2 = (4х)2 + (3х)2;

625 = 16х2 + 9х2;

25х2 = 625;

х2 = 25;

х = ±5.

х = –5 – не удовлетворяет условию задачи. Длина экрана равна 4 · 5 = 20 дюймов, а ширина равна 3 · 5 = 15 дюймов. В сантиметрах эти величины составляют 20 · 2,54 = 50,8 и 15 · 2,54 = 38,1 соответственно.

О т в е т: 20; 15; 50,8; 38,1.


VI. Итоги урока.

Вопросы обучающимся:

Какое квадратное уравнение называется неполным?

Какие существуют виды неполных квадратных уравнений?

Какие корни имеет уравнение вида ах2 = 0?

Как решается неполное квадратное уравнение, в котором коэффициенты b = 0, с ≠ 0? Сколько корней может иметь такое уравнение?

Как решается неполное квадратное уравнение, в котором коэффициенты b ≠ 0, с = 0? Сколько корней может иметь такое уравнение?

Какие этапы выделяются при решении задачи алгебраическим методом?


  1. Домашнее задание: прочитать п. ; № 515 (б, г, е), № 518 (а, г, д, е), № 521 (а, в), № 520, № 529




Общая информация

Номер материала: ДВ-271935

Похожие материалы