Разработка урока по теме "Непозиционные системы счисления"

Тема: Системы счисления

Цели: Познакомить учащихся с историей возникновения и развития систем счисления; указать основные недостатки и преимущества непозиционных систем счисления.

Учащиеся должны знать:

-определение понятий: «цифра», «число», «система счисления», «непозиционная система счисления»

Учащиеся должны уметь:

-записывать числа в непозиционной системе счисления.

ХОД УРОКА.

     I.            Изложение нового материала.

Человеку издревле приходилось считать различные предметы, нужно было и записывать их количество. Самой первой возникла система записи, при которой числа обозначались соответствующим количеством черточек (или засечек на деревяшке). Такая запись получается очень громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа. Появились разные условные обозначения для различных чисел. Например, многие народы использовали в качестве цифр буквы, к которым добавляли специальные значки. На Руси таким знаком было титло:               

В любом случае число изображалось с помощью любых символов, которые называются цифрами.

Цифры – это символы, которые участвуют в записи числа и составляют некоторый алфавит.

Что же такое число?

Число – это некоторая величина.

А получалось число сложением цифр по особым правилам , поэтому система оставалась сложной. Представьте: чтобы пользоваться древнерусской системой счисления, нужно было знать числовое значение 30 букв, а еще  несколько особых символов, увеличивавших это значение ("тысяча", "тьма", "легион", "лео" и др -  все они получались при приписывании к "единице" -- букве "аз" разных значков). Вычисления же в таких системах были вообще чрезвычайно затруднены.

На разных этапах развития человечества правила записи чисел были различны и поэтому появились разные системы счисления

Система счисления-  это способ записи  чисел с помощью цифр.

Система счисления делится на следующие виды:

1)    непозиционные системы счисления;

2)    Позиционные системы счисления.

 II.            Непозиционные системы счисления

Непозиционной С. С. – называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент (значение) каждой цифры не зависит от её положения (места, позиции) в записи числа.

Например:

К непозиционной системе счисления относится  римская система счисления, где  цифры обозначаются буквами латинского алфавита:

 I – 1; V – 5; X – 10; L – 50;

C – 100; D – 500; M – 1000; …

Рассмотрим  римское число VVV - 15. При записи числа использовались одинаковые  «цифры» -  V.  И если сравнить их между собой, то получим абсолютное равенство. Т.е. на каком бы месте ни стояла цифра в записи числа, ее «вес» всегда один и тот  же (5).

Для записи римских чисел используется правило: меньшие знаки, поставленные справа от большего, прибавляются к его значению, а меньший знак, поставленный слева от большего, вычитаются из него.

 IX обозначает 9,

 XI обозначает 11.

Задание:  представьте таким образом числа:

1) MMIV

2) LXV

3) 28, 99 ( XXVIII, IC= -1+100)

Недостатки непозиционных С.С.

1)      не удобна запись больших чисел

2)      невозможно записывать дробные и отрицательные числа

3)     сложно выполнять арифметические операции

Развитие римской системе счисления  привело к появлению современных позиционных систем счисления.

III.       Д. / З.

1.    Запишите год, месяц, число своего рождения с помощью римских цифр.

2.    Придумайте свою непозиционную систему счисления.

3.    Какой числовой эквивалент (значение) имеет цифра 6 в числах 6789, 3650, 16, 69.

4.    Запишите с помощью старинной С.С. сумму 2357 руб. 53 коп.

Тема:  Позиционные системы счисления.

Цели: Сформировать у учащихся понятие «позиционные системы счисления»

Учащиеся должны знать:

- какая  система счисления называется «позиционной» и почему;

- приводить примеры позиционных С.С.

- развернутую форму записи числа в позиционной СС.

Учащиеся должны уметь:

-приводить примеры чисел различных  позиционных систем счисления, определять основание СС

- записывать числа в развернутой форме

ХОД УРОКА.

                             I.           Постановка целей урока.

На прошлом занятии мы познакомились с непозиционной СС. Каковы же были предпосылки для создание позиционных СС?

                         II.           Проверка домашнего задания

                     III.           Позиционные  системы счисления.

Позиционной С. С.  – называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент  (значение) каждой цифры  зависит от её положения (места, позиции) в коде числа.

Привычной нам системе для записи чисел используются 10 различных знаков (цифры 0-9). Поэтому ее называют десятичной системой счисления.  Мы настолько привыкли к нашей десятеричной системе, что даже не задумываемся, насколько гениальной была идея, положенная в ее основу: значение цифры зависит от ее позиции (места) в числе.

Например, число 444 записано тремя одинаковыми цифрами, но каждая из них имеет свое значение: четыре сотни, четыре десятка и четыре единицы. То есть его можно записать вот так:

444 = 4.100 + 4.10 + 4.1.

Достоинства любой позиционной С.С:

1)  простота  выполнения арифметических  действий,

2)  нет ограничений в количестве цифр, необходимые для записи числа.

Позиционных систем много, т.к. за основание можно взять любое число не меньше 2.

У каждой С.С. имеется основание. Оно показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.

Основание позиционной системы счисления – это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной системе счисления. 

Данные  о некоторых системах счисления запишем в таблицу

Система счисления	Основание	Алфавит цифр	Где используются
Двоичная	2	0,1	В ЭВМ
Восьмеричная	8	0,1,2,3,4,5,6,7	В ЭВМ
Пятиричная	5	0,1,2,3,4	В Китае
Десятичная	10	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9	В повседневной жизни
Шестнадцатеричная	16	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, А(10), В(11), C(12), D(13), E(14), F(15)	В ЭВМ

Задание:     Правильно   ли указаны основания данных чисел:

                           123₄ –  4-основание (да)

                            567₁₀ – 10-основание (да)

                                                        125₄ –   4 основание , (нет, т.к. есть цифра 5)

                      IV.           Развернутая форма записи числа.

В позиционной  системе счисления любое число может быть представлено следующим образом:

А_q=а_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2 + a _n-3 q^n-3 …  a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + …a_-m q^-m  

А-само число

q  - основание системы счисления;

n  - число разрядов целой части числа;

m - число разрядов дробной части числа;

a_i - цифры данной системы.

Пример 1: записать в развернутом виде А₁₀= 255, 43

     А₁₀= 2 * 10² + 5 * 10¹ + 5 * 10 ⁰+4*10^-1+3*10^-2  

Пример 2: записать в развернутом виде А₈= 255, 43

      А₈= 2 * 8² + 5 * 8¹ + 5 * 8⁰+4*8^-1+3*8^-2                    

Пример 3: записать в развернутом виде А₁₆= 2А, F3

      А₁₆= 2 * 16¹ + 10 * 16⁰+15*16^-1+3*16^-2

Свернутой формой записи числа называется запись в виде:

А_q=а_n-1  a_n-2 a _n-3 …  a₀  a_-1a_-m 

Именно такой формой записи мы пользуемся в повседневной жизни.

                          V.       Закрепление пройденного.

Задание 1: представьте следующие числа в развернутом виде:

1.   А₁₀=5319,12

      А₁₀= 5*10³ + 3*10² + 1*10¹ + 9*10⁰ + 1*10^-1 + 2*10^-2

2.   А₅=23415,6 (не правильно)

      А₅=2430,21 (А₅=2*5³ + 4*5² + 3*5¹ + 0*5⁰ + 2*5^-1 + 1*5^-2)

3.   А₂=101,11 (А₂=1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1 + 1*2^-2)

Задание 2: Сравните числа:

1. 5₁₀ и 5₈   (5₁₀ =5₈ )

2. 1111₂ и 1111₈ (1111₂ < 1111₈)

Задание 3: Запишите в свернутой форме следующие  числа:

А₁₀=1*10⁴ + 4*10³ + 3*10² + 5*10¹ + 1*10⁰ + 1*10^-1 (14351,1)

А₈=2*8⁵ + 5*8⁴ + 3*8³ + 5*8² + 1*8¹ + 1*8⁰ (25311)

A₇=4*7² + 8*7¹ + 5*7⁰ + 1*7^-1+ 1*7^-2(485,11)

A₁₆=1*16⁴ + 10*16³ + 3*16² + 11*16¹ + 1*16⁰ + 10*16^-1(1А3В1,А)

Д/З:

Задание 1: Записать в развернутом виде

А₁₀ = 143511,34

А₂=101101

     А₉=8881,4

     А₈=120,234

     А₁₆=2E5A,12,

А₄=100,21

Ответ А16=2*16^3 + 14*16^2 + 5*16^1+10*16^0 + 1*16^-1 + 2*16^-2 = 8192 + 3584 + 80 + 10 + 1/16 + 2/256= 11866,0703125,