Разработка урока по теме "Решение экономических задач из структуры ЕГЭ по математике"

Решение «экономических» задач из структуры ЕГЭ по математике

Бикмуллина Флюся Тимергалиевна, учитель математики Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Пелевская  средняя общеобразовательная школа» Лаишевского муниципального района Республики  Татарстан

Актуальность  работы: Цель любого учителя состоит в том, чтобы помочь каждому школьнику научиться быстро решать задачи, оформлять их чётко и компактно. Развивать способность мыслить свободно, без страха, творчески. Стараться дать возможность каждому школьнику расти настолько, насколько он способен. ЕГЭ обязателен для всех выпускников.  Если хочешь набрать  высокие баллы, то каждый выпускник должен стараться решать более трудные задачи.

Тип урока: урок применения знаний на практике.

Форма урока: урок-практикум.

Цели: повторение теоретического материала – составление математической модели  практических задач, формирование практических навыков решения задач №17 единого государственного экзамена.

Задачи:

- способствовать запоминанию основной терминологии, умению построить математическую модель задачи;

- формировать умение упорядочить полученные знания для рационального применения;

- развитие вычислительных  навыков учащихся;

-формирование логического мышления;

- способствовать развитию интереса к математике; умений применять новый материал на практике и в жизни.

Оборудование к уроку: доска, компьютер с проектором.

Ход урока:

I. Организационный момент

Урок сопровождается компьютерной презентацией. (Сообщить тему и цели урока.)

Сегодня мы немного отвлечемся от стандартных логарифмов, интегралов, тригонометрии и т.д., а вместе этого рассмотрим более жизненную задачу из ЕГЭ по математике, которая имеет прямое отношение к нашей отсталой российской сырьевой экономике. А если быть точным, мы рассмотрим задачу про вклады, проценты и кредиты. Потому что именно задачи с процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена по математике. Сразу оговорюсь, что за решение этой задачи согласно спецификациям ЕГЭ предлагается сразу три первичных балла, т. е. экзаменаторы считают эту задачу одной из самых сложных.

II. Актуализация знаний учащихся

Фронтальная работа с классом –повторение теоретического материала:

1.     Какую основную терминологию мы знаем при решении содержательных задач из различных областей, в частности «банковских»?

 S - сумма кредита  (руб.)

k   - процентная ставка   (%)   m= 1+ 0,01k.

Х- ежегодная выплата--  платеж (руб.)

п – срок кредита ( месяц, год)

2.     Что необходимо знать и понимать при решении задач на проценты:

1% - это одна сотая часть чего-либо;

За 100%  принимаем ту величину, с которой сравниваем;

Формулы для подсчета процентов:

если величину  S увеличить на k %, то получим S(1+0,01k)

если величину S уменьшить на k %, то получим S(1- 0,01k)

если величину S дважды увеличить на k %, то получим S(1+0,01k)²

если величину S дважды уменьшить на k %, то получим S(1- 0,01k)².

Примеры  развития вычислительных навыков ( использовать рациональный метод вычисления)

1,01*2975=

1,1*2618=

1,1*5945000=

 

3.     Что необходимо знать и понимать при решении задач  на погашение кредита равными долями

Пусть размер кредита  S.

Процент банка равен к%, а ежегодная выплата по кредиту равна Х.

Тогда через год после начисления процентов и выплаты суммы X размер долга равен: S( 1+0,01к ) - X.

Обозначим m= 1+ 0,01к.

•      Тогда через два года размер долга составит: S₂ =(Sm – X)m-X

•      Через три года: ((Sm – X)m-X)m – X.  

•      Через четыре года (((Sm – X)m-X))m – X)m – X.

•      ...через п лет Sm^п- X(m^п-1+….m³+m²+m+1).   

Для подсчета величины в скобках иногда применяется формула суммы n членов геометрической прогрессии.

Примеры для вычисления

k=5%, n=2             m=?    Ответы  m=1,05     m²=1,05²=1,1025

k=15%, n=2           m=?     m²=1,15²=1,3225  

k=14,5%, n=2        m=?    m²=1,145²=1,311025

k=14,5%, n=2        m=?   m³=1,2³=1,728

k=10%, n=3           m=?     m³=1,1³=1,331  

4.     Вопросы на рассуждение

1)    Общая сумма выплат после полного погашения  кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит.

2)    Чем больше годовой платеж, тем….. срок кредита.

3)    Сумма кредита после полного погашения кредита стала 127 %.

4)    4.Может ли  кредит в сумме 1 млн. рублей  с 1% ставкой  погашен за 9 месяцев с ежемесячными платежами не более  125 тысяч рублей ?

III. Разбор задач на использование  практических умений

На простейших «банковских»  задачах  с равными платежами  построить математическую модель.

Задача №1.

 31 декабря Алексей планирует взять кредит на сумму 9282000 рублей.
Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?  Ответ:

Задача №2

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Ответ:                                                  

Задача №3.

Антон взял кредит в банке на срок 12 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 13%. Найдите месячную процентную ставку.  Ответ :                                               

IV. Решение задач из открытого банка задач

Задача № 4.

15 января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата	15.01	15.02.	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (% от кредита)	100%	90 %	80 %	70 %	60%	50%	0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?   Ответ:  22,5

 Составление математической модели

Введем обозначения:

S сумма кредита,  k – процентная ставка, m= 1+0,01k

Долг уменьшается до 0,  значит последовательность долга по месяцам:

     S,   0,9S,  0,8S,  0,7S,  0,6S,  0,5S , 0S

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на k%, это означает, что  последовательность  сумм долга с %  такова:

mS,   0,9mS,  0,8mS,  0,7mS,  0,6mS,  0,5mS , 0mS

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

mS- 0,9S,  0,9mS-0,8S,  0,8mS -0,7S, 0,7mS- 0,6S,  0,6mS- 0,5S , 0,5mS- 0S

Общая сумма выплат:

mS- 0,9S+ 0,9mS-0,8S+ 0,8mS -0,7S+0,7mS- 0,6S+0,6mS- 0,5S+0,5mS- 0S= mS(1+0,9+0,8+0,7+0,6+0,5+0)- S(0,9+0,8+0,7+0,6+0,5+0)= 4,5mS- 3,5S

4,5*1,05S- 3,5S=1,225S

1,225S/S*100%= 122,5%    k=22,5 %

Ответ 22,5

Задача №6
В январе был выдан кредит на сумму 15млн.рублей на развитие бизнеса.  В таблице представлен график его погашения

Дата	февраль	март	апрель	май	июнь	июль
Долг (% от кредита)	100%	75 %	65 %	50 %	25%	0%

В конце каждого месяца, начиная с марта, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. Сколько рублей было переплатил бизнесмен при таких условиях  кредита?    Ответ:  23625000

За­да­ние№7. Алек­сей взял кре­дит в банке на срок 12 ме­ся­цев. По до­го­во­ру Алек­сей дол­жен вер­нуть кре­дит еже­ме­сяч­ны­ми пла­те­жа­ми. В конце каж­до­го ме­ся­ца к остав­шей­ся сумме долга до­бав­ля­ет­ся к % этой суммы и своим еже­ме­сяч­ным пла­те­жом Алек­сей по­га­ша­ет эти до­бав­лен­ные про­цен­ты и умень­ша­ет сумму долга. Еже­ме­сяч­ные пла­те­жи под­би­ра­ют­ся так, чтобы долг умень­шал­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый месяц (на прак­ти­ке такая схема на­зы­ва­ет­ся «схе­мой с диф­фе­рен­ци­ро­ван­ны­ми пла­те­жа­ми»). Из­вест­но, что общая сумма, вы­пла­чен­ная Алек­се­ем банку за весь срок кре­ди­то­ва­ния, ока­за­лась на 13 % боль­ше, чем сумма, взя­тая им в кре­дит. Най­ди­те к.

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна S .

По усло­вию долг Алек­сея дол­жен умень­шать­ся до нуля рав­но­мер­но:

 

К концу каж­до­го ме­ся­ца к сумме долга до­бав­ля­ет­ся m % . Пусть m=1+0.01k  Тогда по­сле­до­ва­тель­ность сумм долга вме­сте с про­цен­та­ми та­ко­ва:

 

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

 

 

Всего сле­ду­ет вы­пла­тить:

Общая сумма вы­плат ока­за­лась на 13% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит, по­это­му: S(6,5m-5,5)=1,13S       6,5m-5,5=1,13     m=1,02

От­ку­да по­лу­ча­ем, что k=2 %

 Ответ: 2.

V. Самостоятельная работа

1 вариант

1.     Построить математическую модель

В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года.
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

2.     Решить задачу

За­да­ние 17 № 506957. Сер­гей взял кре­дит в банке на срок 9 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 12%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Сер­ге­ем. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну.

Сколь­ко про­цен­тов от суммы кре­ди­та со­ста­ви­ла общая сумма, упла­чен­ная Сер­ге­ем банку (сверх кре­ди­та)?

2 вариант

1.     Построить математическую модель

 В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?
Решить задачу

За­да­ние 17 № 509004. Алек­сей взял кре­дит в банке на срок 17 ме­ся­цев. По до­го­во­ру Алек­сей дол­жен вер­нуть кре­дит еже­ме­сяч­ны­ми пла­те­жа­ми. В конце каж­до­го ме­ся­ца к остав­шей­ся сумме долга до­бав­ля­ет­ся r % этой суммы и своим еже­ме­сяч­ным пла­те­жом Алек­сей по­га­ша­ет эти до­бав­лен­ные про­цен­ты и умень­ша­ет сумму долга. Еже­ме­сяч­ные пла­те­жи под­би­ра­ют­ся так, чтобы долг умень­шал­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый месяц (на прак­ти­ке такая схема на­зы­ва­ет­ся «схе­мой с диф­фе­рен­ци­ро­ван­ны­ми пла­те­жа­ми»). Из­вест­но, что общая сумма, вы­пла­чен­ная Алек­се­ем банку за весь срок кре­ди­то­ва­ния, ока­за­лась на 27 % боль­ше, чем сумма, взя­тая им в кре­дит. Най­ди­те r.

     Собрать работы учащихся  для проверки.

    VI. Подведение итогов

«Банковские» задачи  на ЕГЭ — это достаточно сложные задачи под номером 17. С ними справится каждый. Для решения задачи 17 в варианте ЕГЭ понадобятся самые основные формулы вычисления выплат, сумм, процентной ставки,  вычислительные навыки, умения детализировать и привести к простейшему виду громоздкое выражение.

Основная формула всего одна — это вычисление размера долга в зависимости от срока кредита.

В общем, учитесь решать задачи на вклады и кредиты, готовьтесь к экзаменам и сдавайте их «отлично».

Домашнее задание

( из Решу ЕГЭ)

За­да­ние 17(1) . 15-го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 19 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­растёт на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца. Из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та 30% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит. Най­ди­те r.

За­да­ние 17 (2). 15-го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 39 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­растёт на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца. Из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 20% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит. Най­ди­те r.

За­да­ние 17 (3). Алек­сей взял кре­дит в банке на срок 17 ме­ся­цев. По до­го­во­ру Алек­сей дол­жен вер­нуть кре­дит еже­ме­сяч­ны­ми пла­те­жа­ми. В конце каж­до­го ме­ся­ца к остав­шей­ся сумме долга до­бав­ля­ет­ся r % этой суммы и своим еже­ме­сяч­ным пла­те­жом Алек­сей по­га­ша­ет эти до­бав­лен­ные про­цен­ты и умень­ша­ет сумму долга. Еже­ме­сяч­ные пла­те­жи под­би­ра­ют­ся так, чтобы долг умень­шал­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый месяц (на прак­ти­ке такая схема на­зы­ва­ет­ся «схе­мой с диф­фе­рен­ци­ро­ван­ны­ми пла­те­жа­ми»). Из­вест­но, что общая сумма, вы­пла­чен­ная Алек­се­ем банку за весь срок кре­ди­то­ва­ния, ока­за­лась на 27 % боль­ше, чем сумма, взя­тая им в кре­дит. Най­ди­те r.

За­да­ние 17 (4). Сер­гей взял кре­дит в банке на срок 9 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 12%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Сер­ге­ем. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну.

Сколь­ко про­цен­тов от суммы кре­ди­та со­ста­ви­ла общая сумма, упла­чен­ная Сер­ге­ем банку (сверх кре­ди­та)?

Краткое описание документа:

Цель любого учителя состоит в том, чтобы помочь каждому школьнику научиться быстро решать задачи, оформлять их чётко и компактно. Развивать способность мыслить свободно, без страха, творчески. Стараться дать возможность каждому школьнику расти настолько, насколько он способен. ЕГЭ обязателен для всех выпускников. Если хочешь набрать высокие баллы, то каждый выпускник должен стараться решать более трудные задачи.Потому что именно задачи с процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена по математике.