Разработка урока по теме "Свойства квадратных корней"

Урок  алгебры с  мультимедийной  презентацией   в 8  классе  по  теме

«Квадратный  корень  из   произведения  и  дроби».

    Цель:

1. Познакомиться   с правилами  извлечения  квадратного  корня  из произведения и  дроби.

2. Научиться  применять их при  нахождении  значения   выражений.

3. Развивать вычислительные навыки,  логическое  мышление,  основные свойства внимания: устойчивость, переключение, распределение и концентрацию.

4. Воспитывать любознательность, совершенствовать навыки самоконтроля, дисциплинированность ума, умение применять ранее полученные знания в новой ситуации.

Ход  урока.

I.                    Оргмомент.

«Математика  - это  широкий  чудесный  пейзаж,  открытый  перед  всеми,  для  кого   мышление  составляет  величайшую  радость».  С.  Коваль.    Слайд № 1.

-Надеюсь,  что  и    вам  работа  на  сегодняшнем  уроке    доставит  радость.

-Откройте  тетради,  запишите  число, классная  работа   и на  полях поставьте  себе  оценку,  которую  вам  хотелось  бы  получить  сегодня  на  уроке, а также  запишите,   какие  чувства  вам  хотелось  бы  испытать  к  концу  урока.

II.                  Актуализация  опорных  знаний.

1.       Вставьте  нужные  буквы  в математических  терминах (слайд № 2):  

по..коре…ое    выр…жение, извл…чение корня, р…дикал,  …рифм…тический корень, раци…нальное   и  и…аци…нальное числа.

2.       С  какой  темой  связаны  все  эти  термины?  Какое  из  этих  слов  для  вас новое (радикал)?   Кто знает,   что  оно  означает?

3.       Давайте поговорим  о  слове  «корень».  Где  ещё  вы  встречаетесь  с этим  словом?

     Прямое, биологическое  значение: «корень дерева», «корень зуба».  Но  у него имеется и метафорический иносказательный смысл: «корень зла», «родовые корни». Как  вы  думаете, что  означает   крылатое изречение Козьмы Пруткова «Зри в корень!»?  (призывает к постижению сути, первоосновы, первопричины проблемы).

    В Древней Индии неизвестное именовалось (слайд № 3)«мула», что означает «начало», «основание», «корень (дерева)». Арабы для этих целей использовали слово «джизр» с тем же значением. Европейцы перевели его на латынь   как radix - «корень». Так возник математический термин «радикал». С этим названием связан и привычный нам значок корня    . 

    А история его такова.

На протяжении нескольких веков математики вслед за Леонардо Пизанским квадратный корень обозначали Рх(сокращение от слова radix). Постепенно Рх превратилось в строчную r. В книге по алгебре Кристофа Рудольфа – первом руководстве подобного рода, написанном на немецком языке (1525г.),- вместо r используется значок √. Этот символ уже похож на тот, которым пользуемся и мы. Современную запись корней разных степеней -  ,  ,…       -    мы находим у голландского математика Альбера Жирара.

А горизонтальную черту над выражением под радикалом ввёл в 1637г.  Рене Декарт.

III.            Графический  диктант  (слайд № 4)

Если   на слайде   верное  утверждение,  то  вы  в тетради  ставите   значок    «---«,  неверное – Λ.

1.      ,  где b² =a,  a≥0,   b≥0.

2.     ;     

 3.     - рациональное  число;  

4. 3,56… - иррациональное  число;

 5.  = - 7;

. Выражение     имеет  смысл  при х≤ - 5;   

  7.   = IаI. 

    8.  4.  

  9. Между  числами    и    заключено  целое  число  3.

*Взаимопроверка  в  парах   и самооценка   по  готовому  рисунку   на  слайде  презентации:

  ____    ___ Λ___ Λ Λ ___ Λ ___     (без  ошибок - «5»;  1 – 2  ошибки – «4»;  3 – 4 ошибки – «3», 

более  4  ошибок  - «2»).

*Во  время  графического  диктанта    у  доски  3 человека  работают  индивидуально:

1)  Сравнить числа:    а)     и  ;   б) 6  и

2) Упростить:  а)                      б)  

3) Вычислить         Ÿ                 

*Анализ    задания № 3   и    выводы  по  его  решению:

-Сравните  результаты  в  первых  двух  выражениях  и  в  последних. 

-Что представляет левая часть равенства  в  первом  и  втором   выражениях? (квадратный корень из произведения    и   произведение квадратных корней).

-Что представляет левая  часть  равенства  в   третьем  и  четвёртом  выражениях? (квадратный  корень  из  дроби,  частное от  деления  корня  из  числителя  на  корень  из  знаменателя)

-Как    записать  это  равенство  в общем  виде?   Сформулируйте  правило.

-Для всех ли случаев это утверждение будет верным?

*Запись  в тетради:  , где  a≥0,  b≥0.     =,  где  а≥0, b>0. (на  доске плакаты)

*Являются  ли  записанные  равенства  тождествами? 

*Изученные свойства читаются как справа налево, так и слева направо

*Схемы  на доске:  = Ÿ;     =  .

*Чтение  правил  в  учебнике  на  странице  96 (параграф 23)  и странице  100 (параграф 24).

IV. Закрепление  изученного:  работа  в парах   № 1 (первая  цифра  заданного  номера)  и  № 2  (вторая  цифра  заданного  номера)   №340 (2,3);  341(3,5); 363(1,2);  364 (2,3)

*Взаимопроверка  по  готовым  результатам:  пара № 1  проверяет  у  пары  № 2  и  наоборот. (Ответы  на  слайде № 5)

V. Динамическая  пауза.       Сюрприз.

      Миниатюра, которую разыгрывают ученики.

За столом сидит ученик, он в роли учителя математики. К столу прикреплен плакат «Экзамен по математике».

   Вбегает ученик.

    - Извлекать корни умеешь? – спрашивает экзаменатор.

Ученик:

    - Да. Конечно. Нужно потянуть за стебель растения посильнее, и корень его извлечется из почвы.

    - Нет, я имела  в виду другой корень, например, из девяти.

     - Это будет «девя», так как в слове «девять» суффиксом является «ть».

    - Ты  меня не совсем понял, я имела  в виду корень квадратный.

    - Квадратных корней не бывает. Они бывают мочковатые и стержневые.

    - Арифметический квадратный корень из девяти?

    - А,  тогда  три, так как три в квадрате равно девяти.

При этом ученик берет со стола плакат с записью    =3 и показывает его аудитории.

VI.  Применение  изученных  свойств  квадратных  корней  в других областях.

1.       Физика: (слайд  № 6)  С какой скоростью должна лететь ракета, чтобы оторваться от земли? Эту скорость можно найти из формулы…,  при  определении  первой  космической  скорости  используется  формула  …,  при  броуновском движении средняя квадратичная скорость молекул газа находится по формуле…

2.       Геометрия: (слайд № 7) На  уроках  геометрии   мы  будем    рассматривать такие  правила:  катет прямоугольного треугольника равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. А высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое проекций катета на гипотенузу.

VII.  Домашнее  задание:

Как  видим  понятие  корня  широко,

Во  многих  областях  находит  применение  оно.

Но  дома  математический  смысл  в  это  понятие 

Вы должны  вложить

Изученные  сегодня  свойства  ещё  раз  в  §§23 – 24  закрепить, 

При  решении  № 345 (1, 3)   и  №  369 (2, 4)  применить.

Ну  а  кто  хочет  логику  и  смекалку  развивать, 

может  одно  из  трёх  дополнительных  заданий  для  себя  подобрать.

В  дневник  не  забудьте  задание  записать

И  постарайтесь  выполнить  его  на  «5».

 слайд № 8 §§23-24, № 345 (1, 3); 369 (2, 4)  всем

По  желанию:   1) сообщение  о  Рене  Декарте

  2) выполнить   задание   из   книги  Я.И Перельмана  «Занимательная алгебра»    глава 5,   задача №3:

   Что больше: √7+√10 или √3+√19?   (решать  путём  возведения  в  квадрат  данных  выражений)

3)  выполнить тест, включающий  экзаменационные  задания  (см ниже)

VIII. Работа  в группах.

*Выполнение  заданий  из  учебника  с  самостоятельным  изучением  теории.

Группа  № 1:  № 344 (1), 346 (2)   с применением  формул  сокращённого  умножения.

Группа  № 2:   № 366 (2,6)  предварительно  в  параграфе  24  прочитать  как избавиться  от  иррациональности  на  странице  100  и разобрать  решение  задачи  2 на  странице  101.

Группа № 3 : №  349 (3, 4) предварительно  проанализировать  в  учебнике  решение   задачи  3   на  странице 97 в  параграфе  23

IX.  Итог  урока.  Слайд № 9

*К каким выражениям  можно применить изученные  сегодня   свойства арифметического квадратного корня?

1)2)      3) 

4)    5)           6)

X.  Рефлексия.

*Поднимите, пожалуйста, руки те, кто достиг своих поставленных в начале  урока  целей.

*Поднимите руки те, кто получил оценку выше той, которую поставил себе на полях в начале урока.

*А теперь поднимите руки те, кто не достиг тех результатов, которые намечал в начале урока.

*Что еще нужно подучить, над чем нужно поработать?

• 1 слайд

  «Математика - это широкий
  чудесный пейзаж,
  открытый перед всеми,
  для кого мышление составляет
  величайшую радость».
  С. Коваль.
  

• 2 слайд

  по..коре…ое выр…жение,
  извл…чение корня,
  р…дикал,
  …рифм…тический корень,
  раци…нальное и
  и…аци…нальное числа.
  

• 3 слайд

  В Древней Индии неизвестное именовалось «мула», что означает «начало»,«основание», «корень (дерева)»
  Арабы для этих целей исполь-зовали слово «джизр»
  Европейцы перевели его на латынь как «radix» - «корень». Так возник математический термин «радикал». С этим названием связан и привычный нам значок корня .
  

• 4 слайд

  На протяжении нескольких веков математики вслед за Леонардо Пизанским квадратный корень обознача
  ли Рх(сокращение от слова radix).
  Постепенно Рх превратилось в строчную
  r.
  В книге по алгебре Кристофа Рудольфа – первом руководстве подобного рода, написанном на немецком языке (1525г.),- вместо r используется значок √. Этот символ уже похож на тот, которым пользуемся и мы.
  А горизонтальную черту над выражением под радикалом ввёл в 1637г. Рене Декарт.
  31.03.1596 –
  11.02.1650 г.
  Современную запись корней разных степеней - 𝟑 𝟒 ,… - мы находим у голландского математика Альбера Жирара.
  

• 5 слайд

  1. а =b,еcли 𝒃 𝟐 = а, a≥0, b≥0.
  𝟐. 𝟔𝟒 =8
  9. Между числами 𝟖 и 𝟏𝟎 заключено целое число 3.
  3. 𝟑 - рациональное число
  4. 3,56… - иррациональное число
  Λ
  Λ
  Λ
  Λ
  𝟓. 𝟒𝟗 = - 7;
  

• 6 слайд

  № 340
  2) 𝟎,𝟎𝟏⦁𝟏𝟔𝟗 = 𝟎,𝟎𝟏 • 𝟏𝟔𝟗 =0,1 • 13= 1,3
  3) 𝟔𝟐𝟓•𝟗•𝟑𝟔 = 𝟔𝟐𝟓 • 𝟗 • 𝟑𝟔 =25•3•6=450
  № 343
  3) 𝟑 • 𝟕 • 𝟐𝟏 = 𝟑•𝟕•𝟐𝟏 = 𝟐𝟏 𝟐 =‌l21l=21
  5) 𝟏 𝟐 • 𝟐 𝟑 • 𝟑 = 𝟏 𝟐 ∙ 𝟐 𝟑 ∙𝟑 = 𝟏 =1
  

• 7 слайд

  № 363
  1) 𝟒 𝟗 + 𝟏 𝟗 = 𝟒 𝟗 + 𝟏 𝟗 = 𝟐 𝟑 + 𝟏 𝟑 = 𝟑 𝟑 = 1
  2) 5 𝟏 𝟐𝟓 - 3 𝟏 𝟗 = 5 𝟏 𝟐𝟓 - 3 𝟏 𝟗 =5• 𝟏 𝟓 - 3• 𝟏 𝟑 = 1 – 1 = 0
  № 364
  2) 𝟏𝟐𝟖 𝟖 = 𝟏𝟐𝟖 𝟖 = 𝟏𝟔 = 4
  3) 𝟒 𝟒𝟎 𝟏𝟎 =4 𝟒𝟎 𝟏𝟎 =4 𝟒 = 4•2 = 8
  

• 8 слайд

  С какой скоростью должна лететь ракета, чтобы оторваться от земли можно найти по формуле:
  скорость ракеты
  ускорение свободного падения
  R-радиус земного
  шара
  При определении первой космической скорости
  G-гравитационная постоянная;
  M-масса Земли;
  R-радиус Земли.
  

• 9 слайд

  При броуновском движении средняя квадратичная скорость молекул газа находится по формуле
  

• 10 слайд

  §§23-24, № 345 (1, 3); 369 (2, 4) всем
  По желанию: 1) сообщение о Рене Декарте
  2) выполнить задание из книги Я.И Перельман «Занимательная алгебра» глава 5, задача №3:
  Что больше: √7+√10 или √3+√19? (решать путём возведения в квадрат данных выражений)
  3) выполнить тест , включающий экзаменационные задания
  

• 11 слайд

  4 𝟑 ц
  к 15 у
  𝟔 𝟑 н
  
  
  𝟓 - 𝟐 и
  7 м
  
  
  
  1 - 2 𝟓 ы
  и
  

• 12 слайд

  К каким выражениям можно применить свойства арифметического квадратного корня?