Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по теме "Теорема о площади треугольника. Теорема синусов"

Разработка урока по теме "Теорема о площади треугольника. Теорема синусов"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Урок № 23-24

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Тема: Теорема о площади треугольника. Теорема синусов


Цели: 

  • Доказать теорему о площади треугольника и теорему синусов.

  • Показать применение этих теорем при решении задач.

  • Развивать память, внимание и логическое мышление обучающихся

  • Вырабатывать трудолюбие

Ход урока

  1. Организационные моменты.

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.


  1. Актуализация знаний учащихся:

  1. Проверка выполнения домашнего задания

  2. Проверка опорных знаний обучающихся.


Провести математический диктант (10 мин).


Вариант I

1. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 7 см, а высота равна 4 см.

2. Найдите синус угла, если его косинус равен hello_html_7f8f9891.gif.

3. Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,3.

4. Начертите треугольник АВС с тупым углом С. Проведите высоту треугольника из вершины В.

5. Луч ОС образует с положительной полуосью абсцисс угол 60°. Найдите координаты точки С, если ОС = 6 дм.

6. Определите, каким – остроугольным, прямоугольным или тупоугольным – является треугольник, два угла которого равны 43° и 48°.

7. Точка С единичной полуокружности имеет координаты http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image328.gif. Найдите угол, который образует луч ОС с положительной полуосью ОХ.

Вариант II

1. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 10 дм, а высота равна 5 дм.

2. Найдите косинус угла, если его синус равенhello_html_685d8d49.gif .

3. Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,7.

4. Начертите треугольник СDЕ с тупым углом Е. Проведите высоту треугольника из вершины С.

5. Луч ОВ образует с положительной полуосью абсцисс угол 30°. Найдите координаты точки В, если ОВ = 8 дм.

6. Определите, каким – остроугольным, прямоугольным или тупоугольным – является треугольник, два угла которого равны 35° и 56°.

7. Точка А единичной полуокружности имеет координаты http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image329.gif. найдите угол, который образует луч ОА с положительной полуосью ОХ.

 

  1. Объяснение нового материала.


1. Доказательство теоремы о площади треугольника можно организовать в форме беседы по вопросам:

1) чему равна площадь любого треугольника?

hello_html_783cc1c5.gifhello_html_m7c3e34c1.gifhello_html_mb331795.gifhello_html_m62a00377.gif



2) Какие формулы применяются для вычисления координат точки?


формулы вычисления координат точки с положительной ординатой hello_html_m7f7cbf08.gif hello_html_4211e10e.gif - координаты точки А.


  1. Формулы приведения


hello_html_m6d597175.gifhello_html_m73cb9409.gif

hello_html_32c6a1e0.gifhello_html_m7a4b9aa.gif


  1. По рисунку 292 учебника провести доказательство теоремы о площади треугольника.


2. Устно решить задачу: найти площадь треугольника АВС, если АВ = 12 см, АС = 8 см, http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image260.gifА = 30°.


  1. Проблемная ситуация.


Предлагается решить устно задачу

Верно ли для треугольника равенство: hello_html_m1b78ab55.gif?hello_html_41e768e0.png

hello_html_37ad31d9.gif

c=c=c


После того, как обучающиеся убедятся, что в прямоугольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, ставится вопрос: «Верно ли это утверждение для любого треугольника?». Ответ получим после доказательства теоремы синусов.


  1. Доказать теорему синусов, используя теорему о площади треугольника.


1). Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство. Пусть в hello_html_398e1265.gif AB = c,BC = a, AC = b.hello_html_1a6f508b.png

Докажем, что hello_html_m1b78ab55.gif.

По теореме о площади треугольника

hello_html_m7c3e34c1.gifhello_html_m19178b1c.gifhello_html_m53e684ff.gif

Из первых двух равенств получаем hello_html_m48b5b8c3.gifзначит, hello_html_49b09197.gifаналогично, из второго и третьего равенств следует hello_html_m1544640b.gif Итак, hello_html_m1b78ab55.gif. Теорема доказана.


Теорему можно записать и в другом виде: hello_html_2580361d.gif


2). В теореме синусов в том виде, в каком мы ее получили, присутствует недоговоренность: мы узнали, что отношения сторон к синусам противолежащих им углов равны между собой, но чему же именно равны эти отношения? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к рисунку


\begin{figure}\epsfbox{t16.2}\end{figure}


Для начала вспомним, как связаны угловая величина дуги и длина стягиваемой ей хорды. Из равнобедренного треугольника АВО на рис.  видно, что если дуга АВ имеет угловую величинуhello_html_m95205a7.gif, а радиус окружности равен R, то AB=2AM=2R sin(hello_html_54d79f22.gif (на рисунке дуга занимает меньшую из двух половин окружности, но величина дуги, дополняющей дугу AB до полной окружности, равна hello_html_329f5d19.gif и hello_html_5911483c.gif, так что формулой можно пользоваться для любых дуг).

Из теоремы о вписанном угле( величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается) следует, что величина угла АМВ, где точки А, М, В лежат на одной окружности (рис а)), полностью определяется


\begin{figure}\begin{tabular}{cc} \epsfbox{t16.3}& \epsfbox{t16.4}\\ а) & б) \end{tabular}\end{figure}

дугой АВ и не зависит от положения точки M вне дуги AB: на рис б). Углы AM1B, AM2B, AM3B и т. д. равны.

\begin{figure}\epsfbox{t16.5}\end{figure}

Теперь, когда в нашем распоряжении есть теорема о вписанном угле, мы можем наконец уточнить теорему синусов. Именно, рассмотрим треугольник ABC с углами A=, B=, C= и сторонами АВ=с, ВС=а, СА=b, и опишем около него окружность. Радиус окружности обозначим через R. В этой окружности длина хорды BC равна, как мы видели, 2Rsinhello_html_5571a9ab.gifhello_html_m62a00377.gif (имеется в виду та из дуг BC, что не содержит точки A). С другой стороны, по теореме о вписанном угле BC/2=, хорда же BC- не что иное, как сторона a треугольника ABC. Подставляя эти равенства в выражение для BC, получаем, что a=2Rsin, или a/sin=2R. Проделывая то же для двух других сторон, получаем:

если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы , ,  соответственно, то hello_html_54e96213.gif.

где R - радиус окружности, описанной около треугольника.


Таким образом, мы получили дополнительное правило отыскания радиуса описанной около треугольника окружности.


  1. Закрепление изученного материала (решение задач).


Урок № 23

1. Решить задачу № 1020 (б) на доске и в тетрадях.

Решение

S = http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image278.gifАВ · ВС sin http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image260.gifB = http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image278.gif∙  18http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image330.gif∙  3 sin 45° = 9http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image330.gif∙  3 ∙  http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image316.gif = 27 (cм2).

Ответ: 27 cм2.




2. Решить задачу № 1022.

Решение

= 60 см2; S = http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image278.gifАВ · AС sin A; 60 = http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image278.gifAB · 15 sin 30°;

60 = http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image331.gifАВ · http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image278.gif; АВ = 60 : http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image332.gif= 16 (см).

Ответ: 16 см.


3. Решить задачу № 1026.

Решение

Используем теорему синусов:

http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image333.gif;  http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image260.gifB = 180° – (60° + 75°) = 45°;

http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image334.gif;  AB = http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image335.gif≈ 15 (см).

SΔABC = http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image278.gifАC · AB sin A = http://compendium.su/mathematics/geometry9/geometry9.files/image278.gif· 12 · 15 sin 75° ≈ 87 (см2).

Ответ: АВ ≈ 15 см; SАВС = 87 см2.

 

Урок № 24

Решение номеров из учебника: №№ 1025(а, в, г, е, и), 1024


  1. Итоги урока.


  1. Домашнее задание: 

Изучить материал пунктов 96 и 97; повторить материал п. 89; решить задачи:

Урок № 23

№№ 1020 (а, в), 1023.

Урок № 24

№№ 1025 (б, д, ж).





6


Общая информация

Номер материала: ДВ-271957

Похожие материалы