Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по теме "Теорема Пифагора"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка урока по теме "Теорема Пифагора"

библиотека
материалов

урок – проект по математике в 8 классе


«Теорема Пифагора» одно из сокровищ геометрии!


Цели урока:

  • познакомить с историей теоремы;

  • научить доказывать теорему разными способами;

  • учить использовать полученные знания на практике и в повседневной жизни.

Задачи:

Образовательные:

  • расширение знаний учащихся о жизни великого математика Пифагора, о знаменитой теореме Пифагора и её различных способах доказательства.

Развивающие:

  • развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: работы с дополнительной литературой по математике; поиска, выбора и анализа нужной информации по заданной теме и составления сообщения в краткой форме, оформлении наглядности и защиты своего выступления.

Воспитательные:

  • воспитание устойчивого интереса к изучению предмета геометрии;

  • понимания роли геометрии в решении практических задач;

  • подготовка к ОГЭ.

Используемые технологии:

Проектная технология, информационно-коммуникационные технологии.

  1. Вступительное слово учителя.

(Слайд №1, слайд №2)

Начало нового тысячелетия заставляет задуматься о годах минувших. Человечество осмысливает свою жизнь, жизнь предков, ход истории, в том числе развитие науки. Истоки математики находятся в Египте и Вавилонии, но, как вам известно, их превращение в полноводный поток проходило в Древней Греции. Первым в ряду философов и математиков древности стоит Пифагор. О жизни Пифагора известно только то, что ничего нельзя утверждать наверняка. О нём написано одновременно и много, и мало. Имя Пифагора обросло огромным количеством легенд. Вот одна из них: Пифагор путешествовал по Востоку, был в Египте, там познакомился с наукой жрецов, но “дал подписку о неразглашении”. Свое слово он сдержал, поскольку действительно ничего не опубликовал, но делился своими знаниями с узким кругом доверенных лиц. Легенды хороши тем, что не заботясь о мелочах, чётко высвечивают главное. Так и эта легенда представила нам образ научного Прометея, который принес в Грецию математику, но подарил её только избранным.

Цель проекта:

  • Ответить на вопрос: «Почему же теорему Пифагора называют сокровищем геометрии?»

На этот вопрос у нас отвечали две группы: «Историки» и «Теоретики». Предоставим им слово. (Слайд №3)


  1. Представление группы «Историки».

Ученик 1. (Болгаров Д.)

Приступив к выполнению проекта, мы поставили перед собой задачи:

  • изучить биографию Пифагора;

  • изучить историю открытия теоремы;

  • установить какое значение имеет открытие теоремы Пифагора в геометрии;

  • сформулировать в чем заключается гениальность теоремы Пифагора.

Биография Пифагора. (Самылкина О.) Родился он около 570 г. до н. э. на острове Самосе в г. Сидоне, расположенном у самых берегов Малой Азии. Отец Пифагора, Мнесарх, был ювелиром. Он был достаточно богат, чтобы дать сыну хорошее воспитание. Мать Пифагора звали Пифазис. Это имя она получила от собственного мужа в честь Пифии, жрицы Аполона. Пифия предсказала Мнесарху и его жене появление на свет сына, который превзойдет всех в уме и красоте.

Сын также был назван в честь Пифии. Пифагор – это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор – "убеждающий речью").

Пифагор с ранних лет стремится узнать как можно больше. Он обучался в нескольких храмах Греции. По преданию Пифагор, чтобы ознакомиться с мудростью восточных ученых, выехал в Египет и как будто прожил там 22 года. В Египте он создает центр своей философской системы. Пифагор вводит слово «философ» – тот, кто пытается узнать. До него ученые называли себя мудрецами – «тот, кто знает».

(Токарев С.) Хорошо овладев всеми науками, в том числе и математикой, он переехал в Вавилон, где прожил 12 лет и ознакомился с научными знаниями вавилонских жрецов.

Затем у халдейских магов изучает теорию чисел. И, может быть, отсюда пошла та числовая мистика приписывания числам божественной силы, которая Пифагором была преподнесена как философия.

После возвращения домой Пифагор попытался создать на родине свою школу, которая вызвала недовольство жителей острова, и Пифагору пришлось покинуть родину. Он переселяется в южную Италию – колонию Греции – и здесь, в Кротоне, вновь основывает школу – пифагорейский союз, просуществовавший почти тридцать лет.

(Слайд№4)

Школа Пифагора. (Комендантова Ю.) Свою школу Пифагор создает как тайную организацию со строго ограниченным числом учеников из аристократии, и попасть в нее было не просто. Претендент должен был выдержать ряд испытаний; по утверждению некоторых историков, одним из таких испытаний являлся обет пятилетнего молчания, и все это время принятые в школу могли слушать голос учителя лишь из-за занавеса, а увидеть могли только тогда, когда их "души будут очищены музыкой и тайной гармонией чисел".

Пифагорейцы были увлечены построением правильных геометрических фигур с помощью циркуля и линейки. Увлеченные этим «строительством» они выстроили фигуры вплоть до правильного шестиугольника и озадачились тем, как с помощью циркуля и линейки построить правильный семиугольник? (это им не удалось).

Несомненно, со школы Пифагора в математику твердо вошло положение о необходимости строгих доказательств, что и придало ей значение особой науки.

Последние годы жизни Пифагора. Однако судьба самого Пифагора и его школы имела печальный конец, потому что идеология, лежавшая в основе деятельности школы, неуклонно влекла его к гибели. О смерти Пифагора известно мало, существует как минимум 3 версии его ухода:

  • преследование пифагорейцев;

  • Пифагор и пифагорейцы прибыли в Метапонт, где произошла вспышка народного восстания. Он погиб в ночных стычках;

  • в Метапонте, но от разрыва сердца.

Пифагор не оставил после себя собрания сочинений, он держал свое учение в тайне и передавал ученикам устно. В результате, тайна умерла вместе с ним.

Итак, это тот самый человек, чьим именем была названа теорема, которую все мы учим в школе. Пифагор являлся первым выдающимся ученым, который утверждал, что явления природы можно объяснить математически. И нам стоит поблагодарить Пифагора за все изобретенные им полезные «вещицы».

(Слайд№5, слайд№6)

Вывод группы «Историки»: (Слайд№6) (Болгаров Д.)

Важность теоремы состоит, прежде всего, в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

(Слайд№7)

Представление группы «Теоретики».

Ученик 1. (Слайд№7, Слайд№8,Слайд№9, Слайд№10, Слайд№11,Слад№12, Слайд№13)

Свои задачи в ходе проекта мы определили следующим образом:

  • отыскать несколько способов доказательства теоремы Пифагора;

  • провести классификацию методов доказательства;

  • привести примеры;

  • произвести синтез материалов и создать презентацию.

Теорема Пифагора имеет богатую историю. За 8 веков до нашей эры эта теорема была хорошо известна индийцам под названием «правила веревки», использовалась ими для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта. О том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 есть прямоугольный, знали за 2000 лет до н.э. египтяне, которые использовали этот факт в определении прямых углов при строительстве зданий. Доказательство теоремы самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время имеется свыше 500 различных доказательств теоремы Пифагора.

Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так:
площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Мы провели исследование, нашли много способов доказательства теоремы Пифагора и составили классификацию этих методов:
доказательства, основанные на равновеликости фигур;

  • аддитивные доказательства; (аддитивность (лат. additivus — прибавляемый) — свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям)

  • доказательства методом построения;

  • алгебраические доказательства.

Шесть способов доказательства теоремы Пифагора

(Слайд№8)

1. Древнекитайское доказательство (Пакина О.)

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе

hello_html_mb51aa21.png

hello_html_144410f7.gif


a2 + 2ab +b2 = c2 + 2ab


a2 +b2 = c2

(Слайд№9)

2. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)(Тимофеева О.)hello_html_1c5578b0.png

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого. Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту

S = hello_html_m1a93c573.gif

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

S = hello_html_mbfc0178.gif

Приравнивая данные выражения, получаем:

hello_html_m7a3bdc33.gifили с2 = a2 + b2


(Слайд№10)


  1. Старейшее доказательство (Харьянова Ю.)

(содержится в одном из произведений Бхаскары).

hello_html_m5a014d3b.png

Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а, АЕ = b);

Пусть СКhello_html_m1f42313.gifВЕ = а, DLhello_html_m1f42313.gifCK, AMhello_html_m1f42313.gifDL hello_html_73c71d6d.gif

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит KL = LM = ME = EK = a-b.

hello_html_m511476e3.gif; hello_html_86ef2ed.gif; hello_html_6a8e4fe.gif .


(Слайд№11)


4. Доказательство простейшее (Петрова Д.)



hello_html_4819917c.png

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника.

Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.


(Слайд№12)

5. Доказательство древних индусов (Буяков П.)

а) б)hello_html_68f98cd.png







Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е. с2 = а2 + b2.

Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом: Смотри!

(Слайд№13)

6. Доказательство Евклида

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры. hello_html_49c9fbd1.png





(Слайд№14)

БОЛГАРОВ Д. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет немецкого писателя-романиста Шамиссо:


Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
 Быки ревут, ее почуя, вслед.
 Они не в силах свету помешать,
 А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
 От страха, что вселил в них Пифагор.


Вывод группы теоретиков. Харьянова Ю.

К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.

Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеству доказательств теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана. С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно более пятисот, но стремление к преумножению их числа сохранилось. ДЕРЗАЙТЕ!

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем.

ВЫВОД учителя: Сегодня мы много узнали о жизни Пифагора, о его знаменитой теореме. Мы с вами сегодня убедились в том, что теорема Пифагора популярна по трем причинам:

1) простота;

2) красота;

3) значимость.

Вот почему теорему Пифагора называют сокровищем геометрии

Благодаря тому, что теорема Пифагора позволяет находить длину гипотенузы, не измеряя ее непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трехмерное пространство и дальше – в многомерные пространства. Этим определяется ее исключительная важность для геометрии и математики в целом. Вы показали себя знатоками теоремы Пифагора, любознательными учениками, умеющими думать. Спасибо всем за активное участие в проекте.

Прежде чем оценить, ответьте для себя на вопросы:

1. Узнали ли вы что-то новое?

2. Заинтересовало ли вас содержание проекта?

3. Довольны ли вы своей работой сегодня?

Рефлексия.

Родители отвечают на вопрос:

1.Выступление какой группы Вам больше всего понравилось?

«Историки»?

«Теоретики»?

А наша работа над проектом продолжается. Каждый ученик вместе со своими родителями получает задание в группе «Практики».

Задание. Привести пример нетрадиционного применения теоремы Пифагора к решению практических задач

Ученики оценивают свой вклад в работу своей группы.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 27.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров381
Номер материала ДВ-293120
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх