Разработка урока по теме "Уравнение прямой на плоскости"

1. Оргмомент.

Здравствуйте ребята. Тема нашего урока «Уравнение прямой». (слайд 1)

На прошлом уроке мы с вами доказали, что уравнение прямой в аналитической геометрии имеет следующий вид: ах + bу + с = 0, где а, b, с – некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел а или b не равно нулю.

И сегодня мы с вами рассмотрим различные способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости.

2. Устная работа.

Начнем мы наш урок с устной работы на повторение.

Задание 1: (слайд 2)

На координатной плоскости изображены графики следующих функций. Установите соответствие между графиками функций и формулами.

А) х = 3

Б) у = 3х + 2

В) у = – 4х + 5

Г) у = - 3х

Задание 2: «Определите знаки коэффициентов k и b в уравнении прямой у = кх + b». (слайд 3)

Рис. 1: k > 0, прямая возрастает; b < 0, т. к. b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

Рис. 2: < 0, прямая убывает; b > 0.

А как связаны между собой знак коэффициента k и угол наклона между прямой и положительным направлением оси абсцисс?

Если k > 0, то α < 90°. Если k < 0, то α > 90°.

Задание 3: «ах + bу + с = 0, а ≠ 0, b ≠ 0». (слайд 4)

В зависимости от значений а, b, с возможны следующие случаи:

Определите положение прямой на координатной плоскости, если:

1)   а ≠ 0, b ≠ 0, с = 0. (проходит через начало координат)

2)   а = 0, b ≠ 0, с ≠ 0. (прямая параллельна оси абсцисс)

3)   а ≠ 0, b = 0, с ≠ 0. (прямая параллельна оси ординат)

4)   а ≠ 0, b = с = 0. (прямая совпадает с осью ординат)

5)   а = с = 0, b ≠ 0. (прямая совпадает с осью абсцисс)

Задание 4: (слайд 5) На координатной плоскости изображена прямая, заданная уравнением 2х + у – 3 = 0, и векторы.

Выберите среди векторов направляющие векторы и нормальные векторы.:

По данному уравнению прямой определите координаты нормального вектора этой прямой: .

Мы посмотрели с вами, как они выглядят. Сколько можно провести нормальных векторов к этой прямой?

Хорошо, мы продолжаем наш урок.

3. Изучение нового материала.

На последнем уроке вам было дано задание найти все возможные формулы, задающие прямую на плоскости. И мне очень интересно узнать, к чему привели ваши поиски.

Итак, я предлагаю пополнить наш список уравнений, задающих прямую на плоскости: (первые два уравнения учитель записывает на доске, далее продолжают ученики)

1)   у = kx + b, где k, b – некоторые числа.

2)   ах + bу + с = 0, где а, b, с – некоторые числа, причем а ≠ 0 или b ≠ 0.

А теперь вам предоставляю возможность продолжить список.

3)   Если прямая проходит через точки А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂), то уравнение выглядит так: .

4)   Я предлагаю такой способ задания прямой: «Если прямая проходит через точку А (х₀; у₀) и  - направляющий вектор, то уравнение прямой имеет вид: ».

5)   А я могу составить уравнение прямой можно составить через вектор нормали: «Если прямая проходит через точку А (х₀; у₀) и  - нормальный вектор, то уравнение имеет вид: n₁(х – х₀) + n₂(у – у₀) = 0».

У кого-нибудь есть другие варианты?

Спасибо, вы нашли много уравнений, которые задают прямую на плоскости. Это, конечно же, не все уравнения. С остальными вы сможете познакомиться в ВУЗах.

4. Закрепление.

А теперь я предлагаю вам решить следующие задачи, выбрав наиболее рациональную формулу:

Задача 1:  Даны вершины треугольника A (- 3; 1), B (1; 5), C (3; 1).

а) Составить уравнение прямой, содержащей медиану АМ.

б) Составить уравнение прямой, содержащей среднюю линию, параллельно АС.

в) Составить уравнение прямой, проходящей через точку В перпендикулярно к медиане АМ.

Решение:

а) Точка М – середина стороны ВС. Найдем ее координаты:

;  М (2; 3).

Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и М. Воспользуемся формулой (3): .

; 

;

;

;

2х – 5у + 11 = 0.

Ответ: 2х – 5у + 11 = 0.

б) Искомая прямая, параллельная прямой АС, будет проходить через точку М, так как т. М – середина ВС. Для составления уравнения этой прямой, содержащей среднюю линию, воспользуемся формулой (4): , где  - направляющий вектор.

Составим уравнение прямой АС: у = 1 – прямая, параллельная оси Ох.

Определим координаты направляющего вектора:  .

р₂ = 0. Что же делать? Ведь на ноль делить нельзя.

В этом случае формулу (4) можно записать в ином виде: р₂(х – х₀) = р₁(у – у₀).

Подставим координаты вектора  и точки М в это уравнение и получим:

0 ∙ (х – 2) = - 1∙ (у - 3);

- у + 3 = 0;

у = 3 – уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника.

в) А теперь составим уравнение прямой, проходящей через точку В (1; 5) перпендикулярно медиане АМ.

2х – 5у + 11 = 0 – уравнение прямой, содержащей медиану АМ.

Определим координаты направляющего вектора прямой АМ: .

Направляющий вектор прямой АМ является нормальным вектором для искомой прямой, т. е. .

Воспользуемся формулой (5): n₁(х – х₀) + n₂(у – у₀) = 0.

5(х - 1) + 2(у - 2) = 0;

5х – 5 + 2у – 4 = 0;

5х + 2у – 9 = 0 – уравнение искомой прямой.

Ответ: 5х + 2у – 9 = 0.

Задача 2: Точки А и В симметричны относительно некоторой прямой. Запишите уравнение этой прямой, если А (-2; 3), В (2; 1).

Решение:

а – ось симметрии, так как точки А и В симметричны относительно прямой а.

АС = СВ.

Найдем координаты точки С:

;  С (0; 2).

Вектор  – нормальный вектор прямой а.

 Найдем его координаты: .

Воспользуемся формулой (5): n₁(х – х₀) + n₂(у – у₀) = 0.

4 (х - 0) - 2(у - 2) = 0;

4х – 2у + 4 = 0;

2х – у + 2 = 0 – уравнение прямой а.

Ответ: 2х – у + 2 = 0.

Хорошо, с задачами вы справились.

5. Подведение итогов.

Сегодня на уроке мы с вами познакомились с новыми формулами, которые вы можете в дальнейшем использовать при решении задач.

Дома я предлагаю решить задачи, чтобы потренироваться в применении этих формул.

6. Домашнее задание.

Вершина треугольника АВС имеют координаты: А (- 7; 5), В (3; - 1), С (5; 3).

а) Составьте уравнения прямых АВ, ВС и АС.

б) Составьте уравнения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

в) Составьте уравнения прямых, содержащих средние линии треугольника.

Всем спасибо.

Урок окончен. До свидания.