Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по теме "Уравнение прямой на плоскости"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Разработка урока по теме "Уравнение прямой на плоскости"

библиотека
материалов

1. Оргмомент.

Здравствуйте ребята. Тема нашего урока «Уравнение прямой». (слайд 1)

На прошлом уроке мы с вами доказали, что уравнение прямой в аналитической геометрии имеет следующий вид: ах + bу + с = 0, где а, b, с – некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел а или b не равно нулю.

И сегодня мы с вами рассмотрим различные способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости.

2. Устная работа.

Начнем мы наш урок с устной работы на повторение.

Задание 1: (слайд 2)

На координатной плоскости изображены графики следующих функций. Установите соответствие между графиками функций и формулами.

А) х = 3

Б) у = 3х + 2

В) у = – 4х + 5

Г) у = - 3х



Задание 2: «Определите знаки коэффициентов k и b в уравнении прямой у = кх + b». (слайд 3)

Рис. 1: k > 0, прямая возрастает; b < 0, т. к. b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

Рис. 2: < 0, прямая убывает; b > 0.

А как связаны между собой знак коэффициента k и угол наклона между прямой и положительным направлением оси абсцисс?

Если k > 0, то α < 90°.

Если k < 0, то α > 90°.





Задание 3: «ах + bу + с = 0, а ≠ 0, b ≠ 0». (слайд 4)

В зависимости от значений а, b, с возможны следующие случаи:

Определите положение прямой на координатной плоскости, если:

  1. а ≠ 0, b ≠ 0, с = 0. (проходит через начало координат)

  2. а = 0, b ≠ 0, с ≠ 0. (прямая параллельна оси абсцисс)

  3. а ≠ 0, b = 0, с ≠ 0. (прямая параллельна оси ординат)

  4. а ≠ 0, b = с = 0. (прямая совпадает с осью ординат)

  5. а = с = 0, b ≠ 0. (прямая совпадает с осью абсцисс)



Задание 4: (слайд 5) На координатной плоскости изображена прямая, заданная уравнением 2х + у – 3 = 0, и векторы.

Выберите среди векторов направляющие векторы и нормальные векторы.:



По данному уравнению прямой определите координаты нормального вектора этой прямой: hello_html_1aa50fc3.gif.

Мы посмотрели с вами, как они выглядят. Сколько можно провести нормальных векторов к этой прямой?

Хорошо, мы продолжаем наш урок.

3. Изучение нового материала.

На последнем уроке вам было дано задание найти все возможные формулы, задающие прямую на плоскости. И мне очень интересно узнать, к чему привели ваши поиски.

Итак, я предлагаю пополнить наш список уравнений, задающих прямую на плоскости: (первые два уравнения учитель записывает на доске, далее продолжают ученики)

  1. у = kx + b, где k, b – некоторые числа.

  2. ах + bу + с = 0, где а, b, с – некоторые числа, причем а ≠ 0 или b ≠ 0.

А теперь вам предоставляю возможность продолжить список.

  1. Если прямая проходит через точки А (х1; у1) и В (х2; у2), то уравнение выглядит так: hello_html_5a9a4fb0.gif.

  2. Я предлагаю такой способ задания прямой: «Если прямая проходит через точку А (х0; у0) и hello_html_m7898c84a.gif - направляющий вектор, то уравнение прямой имеет вид: hello_html_m481b3b36.gif».

  3. А я могу составить уравнение прямой можно составить через вектор нормали: «Если прямая проходит через точку А (х0; у0) и hello_html_5777568c.gif - нормальный вектор, то уравнение имеет вид: n1(х – х0) + n2(у – у0) = 0».

У кого-нибудь есть другие варианты?

Спасибо, вы нашли много уравнений, которые задают прямую на плоскости. Это, конечно же, не все уравнения. С остальными вы сможете познакомиться в ВУЗах.

4. Закрепление.

А теперь я предлагаю вам решить следующие задачи, выбрав наиболее рациональную формулу:



Задача 1: Даны вершины треугольника A (- 3; 1), B (1; 5), C (3; 1).

а) Составить уравнение прямой, содержащей медиану АМ.

б) Составить уравнение прямой, содержащей среднюю линию, параллельно АС.

в) Составить уравнение прямой, проходящей через точку В перпендикулярно к медиане АМ.



Решение:

а) Точка М – середина стороны ВС. Найдем ее координаты:

hello_html_7f1590df.gif

hello_html_m67bc0064.gif; М (2; 3).

Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и М. Воспользуемся формулой (3): hello_html_5a9a4fb0.gif.

hello_html_m3b356774.gif;

hello_html_c4d8331.gif;

hello_html_58503a14.gif;

hello_html_7b957b30.gif;

2х – 5у + 11 = 0.

Ответ: 2х – 5у + 11 = 0.

б) Искомая прямая, параллельная прямой АС, будет проходить через точку М, так как т. М – середина ВС. Для составления уравнения этой прямой, содержащей среднюю линию, воспользуемся формулой (4): hello_html_m481b3b36.gif, где hello_html_m7898c84a.gif - направляющий вектор.

Составим уравнение прямой АС: у = 1 – прямая, параллельная оси Ох.

Определим координаты направляющего вектора: hello_html_6b3fe384.gif.

р2 = 0. Что же делать? Ведь на ноль делить нельзя.

В этом случае формулу (4) можно записать в ином виде: р2(х – х0) = р1(у – у0).

Подставим координаты вектора hello_html_m44add84.gif и точки М в это уравнение и получим:

0 ∙ (х – 2) = - 1∙ (у - 3);

- у + 3 = 0;

у = 3 – уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника.

в) А теперь составим уравнение прямой, проходящей через точку В (1; 5) перпендикулярно медиане АМ.

2х – 5у + 11 = 0 – уравнение прямой, содержащей медиану АМ.

Определим координаты направляющего вектора прямой АМ: hello_html_6180b91e.gif.

Направляющий вектор прямой АМ является нормальным вектором для искомой прямой, т. е. hello_html_110c0a1a.gif.

Воспользуемся формулой (5): n1(х – х0) + n2(у – у0) = 0.

5(х - 1) + 2(у - 2) = 0;

5х – 5 + 2у – 4 = 0;

5х + 2у – 9 = 0 – уравнение искомой прямой.

Ответ: 5х + 2у – 9 = 0.



Задача 2: Точки А и В симметричны относительно некоторой прямой. Запишите уравнение этой прямой, если А (-2; 3), В (2; 1).

Решение:

а

А

В

С



а – ось симметрии, так как точки А и В симметричны относительно прямой а.

АС = СВ.

Найдем координаты точки С: hello_html_7f1590df.gif

hello_html_m67396901.gif; С (0; 2).

Вектор hello_html_3b8cd368.gif – нормальный вектор прямой а.

Найдем его координаты: hello_html_m512b5538.gif.

Воспользуемся формулой (5): n1(х – х0) + n2(у – у0) = 0.

4 (х - 0) - 2(у - 2) = 0;

4х – 2у + 4 = 0;

2х – у + 2 = 0 – уравнение прямой а.

Ответ: 2х – у + 2 = 0.



Хорошо, с задачами вы справились.

5. Подведение итогов.

Сегодня на уроке мы с вами познакомились с новыми формулами, которые вы можете в дальнейшем использовать при решении задач.

Дома я предлагаю решить задачи, чтобы потренироваться в применении этих формул.

6. Домашнее задание.

Вершина треугольника АВС имеют координаты: А (- 7; 5), В (3; - 1), С (5; 3).

а) Составьте уравнения прямых АВ, ВС и АС.

б) Составьте уравнения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

в) Составьте уравнения прямых, содержащих средние линии треугольника.

Всем спасибо.

Урок окончен. До свидания.



Общая информация

Номер материала: ДВ-253685

Похожие материалы