Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по теме "Уравнение с двумя переменными и его график"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка урока по теме "Уравнение с двумя переменными и его график"

библиотека
материалов

Урок 37-38

Тема: Уравнение с двумя переменными и его график

 

Цели:

  • Ввести основные понятия и термины темы.

  • Развивать память, внимание и логическое мышление обучающихся

  • Вырабатывать трудолюбие


Ход урока

  1. Организационные моменты.

Сообщение темы и цели урока

 

  1. Изучение нового материала.

Равенство, содержащее две переменные, называют уравнением с двумя переменными (или неизвестными). Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений неизвестных, которые обращают это уравнение в верное равенство. Уравнение с двумя переменными может иметь: бесконечное множество решений или ограниченное число решений, а также не иметь решений.


Пример 1

Рассмотрим следующие уравнения с двумя переменными:

а) Уравнение 3х + 7у = 10 (уравнение прямой) имеет бесконечное множество решений.

б) Уравнение |х - 1| + hello_html_e0736f1.gif = 0 имеет единственное решение: х = 1, = 0.

в) Уравнение hello_html_2fe97525.gif + hello_html_7214c6.gif = 0 имеет четыре решения: х = 1, у = 2; х = 1, у = -2; х = -1, у = 2; х = -1, у = -2.

г) Уравнение |х - 1| + hello_html_27431514.gif = -5 не имеет решений.

Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными.

 

Пример 2

а) Уравнения |х| + hello_html_m13987441.gif = 0 и hello_html_7a2a5240.gif + |у - 1| = 0 равносильны, т. к. имеют одно и то же решение: х = 0 и у = 1.

б) Уравнение |х| + hello_html_m13987441.gif = 0 и hello_html_7a2a5240.gif + |hello_html_e0736f1.gif - 1| = 0 неравносильны, т. к. первое имеет одно решение: х = 0, у = 1, а второе - два решения: х = 0, у = 1 и х = 0, у = -1.

Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если одна часть уравнения представляет собой многочлен стандартного вида, а другая - число 0, то степень уравнения считают равной степени этого многочлена. Для определения степени уравнения его заменяют равносильным, одна часть которого - многочлен стандартного вида, а другая - нуль.

 


Пример 3

Уравнение hello_html_m735efdcc.gif = hello_html_3fa96c3.gif - 2х2у равносильно уравнению hello_html_3fa96c3.gif + 4hello_html_28e92212.gif + 4hello_html_m4265c824.gif = hello_html_3fa96c3.gif - 2х2у и равносильно уравнению 2hello_html_28e92212.gif + 2hello_html_m4265c824.gif + hello_html_7a2a5240.gifу = 0. Поэтому данное уравнение является уравнением пятой степени.

Графиком уравнения с двумя переменными называют множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

 

Пример 4

а) Графиком уравнения ах + by = с (где а ≠ 0 или ≠ 0) является прямая.

б) Графиком уравнения у = аhello_html_7a2a5240.gifbх + с (где а ≠ 0) является парабола.

в) Графиком уравнения http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image682.jpg  (где с ≠ 0 и ad - bc ≠ 0) является гипербола.

Рассмотрим еще одно важнейшее и часто встречающееся уравнение - уравнение окружности с центром в точке (а; b) и радиусом R: hello_html_m6b6c9cb4.gif + hello_html_m238faf4b.gif =hello_html_150ae70e.gif.

 

Пример 5

Выведем уравнение окружности.

Рассмотрим окружность с центром в точке 0(а; b) и радиусом R. Выберем произвольную точку А(х; у) на окружности. Проведем отрезки ОВ и АВ параллельно оси абсцисс и оси ординат соответственно.

 

http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image683.jpg

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОАВ, в котором катеты  OB = |х - а| и АВ = |у -b| и гипотенуза ОА = R. Запишем для этого треугольника теорему Пифагора:

hello_html_m79d5eef9.gif= hello_html_m71ffb22f.gif = hello_html_7713449b.gif, или hello_html_m27d3d76b.gif+ hello_html_632df6ec.gifhello_html_150ae70e.gif, или hello_html_m6b6c9cb4.gif + hello_html_m238faf4b.gif =hello_html_150ae70e.gif.

Это и есть уравнение окружности. В частности, уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид: hello_html_7a2a5240.gif + hello_html_2b03742e.gifhello_html_150ae70e.gif.

 

Пример 6

Построим график уравнения hello_html_7a2a5240.gif - 2х + hello_html_2b03742e.gif + 4у = 0.

Так как в уравнение переменные х и у входят во второй степени (и ниже), то это уравнение окружности. Выделим в уравнении полные квадраты по переменным хну. Для этого запишем уравнение в виде (hello_html_7a2a5240.gif - 2х + 1) + (hello_html_2b03742e.gif + 4y + 4) = 5 или http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image684.jpg

Видно, что это уравнение окружности с центром в точке O(1; -2) и радиусом http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image685.jpg Теперь легко построить и сам график.

 

http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image686.jpg

 

Пример 7

Построим график уравнения http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image687.jpg

 

Прежде всего отметим, что у ≥ 0. Возведем обе части уравнения в квадрат: hello_html_2b03742e.gif = 4х - hello_html_7a2a5240.gif, или hello_html_2b03742e.gif - hello_html_7a2a5240.gif - 4х = 0. Выделим квадрат разности по переменной х: hello_html_2b03742e.gif+ (hello_html_7a2a5240.gif - 4х + 4) = 4, или hello_html_m618f3a98.gif + hello_html_2b03742e.gif = 22. Получили уравнение окружности с центром в точке O(2; 0) и радиусом R = 2.

Учитывая ограничение у ≥ 0, имеем верхнюю полуокружность. Теперь можно строить график.

 

http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image688.jpg

 

Заметим, что графики уравнений с двумя переменными могут иметь самый разнообразный и даже необычный вид.





  1. Формирование умений и навыков

Задание на уроке 37.

395 (а, г); 396 (а, в); 397 (г); 399 (а, д, ж); 402 (а, г).


Задание на уроке 38.

404 (б); 405 (а); 408; 410; 411 (а).


 

  1. Итоги урока

Контрольные вопросы

1. Определение уравнения с двумя переменными.

2. Что называют решением уравнения с двумя переменными?

3. Какие уравнения называют равносильными?

4. Как определить степень целого уравнения с двумя переменными?

5. Уравнение окружности с центром в точке O(а; b) и радиусом R.

  

  1. Домашнее задание.

Прочитать п. Выполнить номера из учебника

Урок 37

395 (б, в); 396 (б, г); 397 (в); 399 (б, е, з).


Урок 38

402 (б, в); 404 (а); 405 (в); 406; 409; 411 (б).

 



4



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 19.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров486
Номер материала ДВ-271960
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх