Разработка урока по теме: "Вычисление интегралов"

Тема урока: "Вычисление интегралов"

Цели урока:
1.  Обучающая цель: Систематизировать практические и теоретические знания, выработать умение находить неопределенный и определенный интегралы. Развивать культуру устного вычисления определенных интегралов

2.  Развивающая цель:  Развивать мышление и речь обучающихся. Развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, сопоставление), внимание, память;

3. Воспитательная цель:Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, используя при   этом здоровьесберегающие технологии ведения урока (урок-игра).

Задачи урока:

ü    Развитие познавательного интереса к предмету;

ü    воспитание самостоятельности, настойчивости  при достижении конечного результата.

ü    формирование культуры учебной деятельности и информационной культуры;

ü    обеспечить повторение основных понятий.

Форма проведения: урок-игра

Тип урока: урок обобщения и  закрепления

Оборудование:

1.     Меню для каждого столика, табличка с номером стола.

2.     Картинки блюд, с разноуровневыми задания.

3.     “Хлеб”- бланки со справочными материалами, помогающими при нахождении интегралов.

4.     Презентация

5.     Задания выполнимые на интерактивной доске

Предварительная подготовка к проведению урока:

- разбить группу на группы по 4 человека (распределить по столикам в кафе)

 - приготовить разноцветные бланки задач соответственно меню, таблички с номерами столов (в том числе vip стол для гостей урока), бланки со справочным материалом, помогающих при нахождении интегралов (так называемый “Хлеб”), картинки предлагаемых блюд с разноуровневыми заданиями.

План  урока

1.            Организационный момент.

2.            Проверка Д.З. Историческая справка. (Сообщение)

3.            Работа устно. Проверка “кредитоспособности”.

4.            Закрепление изученного материала. Приём официантами заказов от каждого столика.

·     Нахождение неопределенных интегралов. (Холодные закуски).

·     Вычисление определенных интегралов. (Первые блюда).

·     Вычисление площади криволинейной трапеции. (Вторые блюда)

5.            Рефлексия. (Напитки).

6.            Подведение итогов урока.

Ход урока

1.                 Организационный момент

- Сегодняшний урок я хочу начать со слов:

“Чтобы переваривать знания,
их надо поглощать с аппетитом”
А.Франс

- Так как, ваша  будущая  профессия связана  питанием, мы  сегодня с вами посетим необычное кафе, математическое, с названием «Интеграл». Почему такое название, как вы думаете?

- Да, именно потому, что сейчас изучаем эту тему.

- А как вы думаете,  откуда возникло понятие интеграла?

Ответы: Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади (квадратуру) любых фигур и объёмы (кубатуру) произвольных тел.

2.  Проверка домашнего задания (сообщение)

Евдокс Книдский : - Я доказал  теоремы об объёме пирамиды; теоремы о том, что площади двух кругов относятся, как квадраты их радиусов. При доказательстве применил так называемый метод «исчерпывания».

Архимед:Через две тысячи лет метод «исчерпывания» был преобразован в метод интегрирования, с помощью которого удалось объединить самые разные задачи – вычисление площади, объёма, массы, работы, давления, электрического заряда, светового потока и многие, многие другие.

Что представляет собой  «метод исчерпывания»?

Официант: Рассмотрим пример, предположим, что  надо вычислить объём лимона, имеющего неправильную форму, и поэтому применить какую-либо известную формулу объёма нельзя. С помощью взвешивания найти объём также трудно, так как плотность лимона в разных частях его разная.

Поступим следующим образом. Разрежем лимон на тонкие дольки. Каждую дольку приближённо можно считать цилиндриком, радиус основания, которого можно измерить. Объём такого цилиндра вычислить легко по готовой формуле. Сложив объёмы маленьких цилиндров, мы получим приближенное значение объёма всего лимона. Приближение будет тем точнее, чем на более тонкие части мы сможем разрезать лимон.

Архимед: Я продолжил развивать идеи своих предшественников,  определил длину окружности, площадь круга, объём и поверхность шара, показал, что определение объёмов шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения сводится к определению объёма цилиндра, т.е определил интегралы.

Евдокс Книдский : Что же такое интеграл? 

Иоганном Бернулли: Слово «интеграл» произошло  от латинского  integer — целый, то есть целая, вся — площадь.

Лейбниц: Современное обозначение неопределенного интеграла было введено мной в 1675 году. Я адаптировал интегральный символ , образованный из буквы S —  в символ.

- Ну, а теперь перейдём к трапезе.

Сегодня,  вы должны отведать в нашем кафе комплексный обед, представленный из холодных закусок –нахождение неопределенных интегралов, первые блюда - вычисление определенных интегралов. Вторые блюда - вычисление площади криволинейной трапеции.За каждые блюда вы получаете баллы, официанты фиксируют все набранные баллы и в конце вам предоставят счет.

Первым делом давайте  проверим, а кредитоспособны ли вы? Хватит ли у вас знаний по теме ” Интегралы”, чтобы вкусить всю прелесть этих блюд? Ну что же, приступим.

3.   Работа устно. Проверка “кредитоспособности”. (См. приложение)

Задание 1.Продолжите предложение: (Вопросы высвечиваются на доске)

1.       Если для любого х из множества Х выполняется равенство F´(x) = f(x), то функцию F(x) для функции f(x),называют …. первообразной;

2.       Любая первообразная  для функции f на промежутки I может быть записана виде……. F(x) + С

3.       Совокупность всех первообразных функций     F(x) + Сдля данной функции f(x) называется … неопределенный интеграл функции f(x)

4.       С помощью формулы Ньютона – Лейбница находят…определенный интеграл;  

5.   Пусть на отрезке [а;b] осиОх задана непрерывная функция f(x), не имеющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а;b] и прямыми x = а иx=b,называют……криволинейной трапецией

Задание 2: Исправите ошибку. (См. приложение)

1). Исправить ошибки в записи    ;      ( 2x  + C)

.            (– 5x  +  C)

             (               

              (  + C = -                        

==4=4-0=1 (1)

 

4.Закрепление изученного материала

Администраторы-официанты  принимают заказы.

- Перед вами на столах лежит меню сегодняшнего дня. Самостоятельно выбирайте блюдо, обратите внимание, что предлагаемые блюда разные по сытности и стоимости.  Стоимость каждого блюда обозначена в баллах.

1. Официанты разносят холодные закуски.

Приступайте. Желаю вам приятного аппетита!

Задание 1. Найти неопределенные интегралы:

Салат «Весна» - 3 балла

1)        ;      2) ;     3);  4);  

Ответы:  1) ;     2) ;   3) 4);

Салат «Интегральная рапсодия» - 4 балла

1) 3);2)

Ответы: 1) 2) Решение

3)     

Салат «Неопределенная мечта» - 5 баллов

1)   

Решение

 

Решение.

Разделим почленно на 

Согласно свойствам неопределенного интеграла, интеграл от суммы равен сумме интегралов от каждого из слагаемых:

Получили сумму табличных интегралов, которые в свою очередь равны

Ответ.

Обучающиеся   выполняют задания.

- Вы так увлечены предлагаемыми блюдами нашей интегральной кухни, что даже забыли о “хлебе”! Сейчас вам ”хлеб” будет очень кстати.

- Проводится смена блюд. И сейчас на ваших столах появятся прекрасные интегральные первые блюда.

2. Официанты разносят первые блюда.

Задание  2. Найти определенные интегралы:

Борщ с интегралом - 3 балла

1) 2)   3)

Ответы: 1);  2);  3)

Cуп из курицы (интегральное искусство) – 4 балла

1) + 5)dx;     2)

Ответы: 1)      2)

3)

Окрошка - 5 баллов

1)    2)

1)Решение

2)  Решение

(Официанты  проверяют работы, выставляют баллы в оценочный лист)

3.Официанты разносят вторые блюда.

Блинчики с мясом «Равновесие»:

Задание 3.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Блинчики с «интегралом»- 3 балла

1. y  =  ,  y = 0, x =0, x = 1.  Фигуру необходимо аккуратно изобразить.

Ответы:  кв.ед.,

Плов «Интегральная фантазия» - 4 балла

1.            . Фигуру необходимо аккуратно изобразить.

Ответ: кв. ед

«Интегральный бифштекс»- 5 балла

Ответ:кв. ед

(Официанты  проверяют работы, выставляют баллы в оценочный лист)

4)                Напитки: коктейль «Интеграл» (см. приложение)

(Официанты  проверяют работы, выставляют баллы в оценочный лист, суммируют набранные баллы, выводят средний балл)

5)                Подведение итогов.

В соответствии с количеством набранных баллов каждый посетитель кафе получит “бонусы”  в журнал.