Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / РАЗРАБОТКА УРОКА " РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

РАЗРАБОТКА УРОКА " РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ"

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ УРОК РЕШЕНИЕ ТРИГ. УРАВНЕНИЙ.doc

библиотека
материалов


3ГБОУ СПО (ССУЗ) «Чебаркульский профессиональный техникум».


















Методическая разработка урока

по алгебре и началам анализа.


Тема: «Общие методы решения тригонометрических уравнений».









Разработала: Преподаватель математики Зайцева Светлана Егоровна.















2016г.



Тема урока: «Общие методы решения тригонометрических уравнений».

Цели урока:

Образовательные:

- актуализировать знания обучающихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач на экзамене;

- рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

- познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Развивающие:

- содействовать развитию у обучающихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

- формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

Воспитательные:

- вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Дата проведения: 25.01.2014 г.

Продолжительность урока: 2 часа

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.

Группа НПО – II курс (профессия: Повар, кондитер).


Структура урока:

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа.

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.


Ход урока.

1. Вводно-мотивационная часть

1.1.Организационный момент.

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить обучающихся к общению.

Содержание этапа:

1.Приветствие . Преподаватель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются на экзамене. (1 слайд)


2. Проверка готовности обучающихся к уроку.

Преподаватель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!


3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Преподаватель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.

Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений. (2 слайд)

В начале урока мы вспомним решение линейных и квадратных уравнений, основные формулы тригонометрии.

Далее работа будет чередоваться: мы повторим числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения, уравнения вида

A sinx + В cosx = С. После каждого блока заданий проводим разноуровневые проверочные работы, задания которых вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания, умения и навыки. Проверяем решения, и вы выставляете себе оценку за каждый вид заданий.

После чего познакомимся с решением симметричных тригонометрических уравнений, решением тригонометрических уравнений путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Обсудим полученные результаты работы на уроке, оценим индивидуальную работу. Затем получите инструктаж по выполнению домашнего задания, подведем итоги урока. Согласны с таким планом работы? Хорошо! Итак, приступаем.


1.2. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения обучающихся, которые будут использованы на уроке.

Содержание этапа:

Преподаватель: Первое задание для устной работы - решите уравнения:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы(3 слайд)



А) 3 х – 5 = 7

Б) х2 – 8 х + 15 = 0

В) 4 х2 – 4 х + 1= 0

Г) х4 – 5 х2 + 4 = 0

Д) 3 х2 – 12 = 0

Ответы

4

3; 5

0,5

-2; -1; 1; 2

-2; 2

Преподаватель: Второе задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы(4 слайд)



А) (sin a – 1) (sin a + 1)

Б) sin2 a – 1 + cos2 a

В) sin2 a + tg a ctg a + cos2 a

Г) hello_html_m4b68388b.gif

Ответы

- cos2 a

0

2

|1- tg х|

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа: обеспечивать развитие у обучающихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора разноуровневого задания.

Содержание этапа:

Преподаватель: Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения. Обучающиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

Преподаватель: А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.

Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание. (5 слайд)


1 вариант

Ответы

2 вариант

Ответы

sin (-π/3)

-hello_html_m6543d92.gifhello_html_m582d9ef4.gif

cos (-π/4 )

hello_html_5672a2bd.gif

cos 2π/3

- 1/2

sin π/3

hello_html_54a28295.gif

tg π/6

hello_html_m5ff46f83.gif

ctg π/6

hello_html_25ce4692.gif

ctg π/4

1

tg π/4

1

cos (-π/6)

hello_html_54a28295.gif

sin (-π/6)

-1/2

sin 3π/4

hello_html_5672a2bd.gif

cos 5π/6

-hello_html_m6543d92.gifhello_html_m582d9ef4.gif

Преподаватель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов

оценка

6

5

5

4

4

3

< 4

2

На экране проецируются ответы(6 слайд)

Преподаватель: А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Обучающиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

Преподаватель: Выполняем следующую работу также самостоятельно. Вычислите:

На экране проецируется задание. (7 слайд)


1 вариант

Ответы

2 вариант

Ответы

arcsinhello_html_m6543d92.gifhello_html_m5afdbedc.gif

π/4

arccoshello_html_m6543d92.gifhello_html_m5afdbedc.gif

π/4

arccos 1

0

arcsin 1

π/2

arcsin (- 1/2 )

- π/6

arccos (- 1/2)

2π/3

arccos (-hello_html_m582d9ef4.gif)

5π/6

arcsin (-hello_html_m582d9ef4.gif)

- π/3

arctg hello_html_18a36a23.gif

π/3

arctg hello_html_537b73e4.gif

π/6

Преподаватель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов

оценка

5

5

4

4

3

3

< 3

2

На экране проецируются ответы(8 слайд)

Преподаватель: Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а, cosx = а, tg х=а.

Обучающиеся называют формулы решения уравнений (9 слайд)


sinx

х = (-1)karcsin а + π k, k hello_html_m289d78ff.gifZ


cosx = а

х = ± arccos а + 2 π k, k hello_html_m289d78ff.gifZ


tg х = а

х = arctg а + π k, k hello_html_m289d78ff.gifZ.


Преподаватель: Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

A sin2 х + В sin х + С =0 или A sin2 х + В cos х + С =0

Решим уравнение:

sin2 х + 5 sin х - 6 =0.

Обучающиеся решают уравнение, вводят замену sin х = z, решая квадратное уравнение

z2 + 5 z - 6 = 0, находят z1 = 1; z2 = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π k, khello_html_m289d78ff.gifZ.

Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ),

т.е. -6 не принадлежит [-1; 1]

Преподаватель:

При решении уравнения вида A sin2 х + В cos х + С =0 вводим замену

sin2 х = 1 - cos2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение 2 sin2 х + 3 cos х -3 =0.

Обучающиеся решают уравнение, вводят замену sin2 х = 1 - cos2 х, получили

2 (1 - cos2 х) +3 cos х -3 =0.

- 2 cos2 х + 3 cos х - 1 = 0 | (-1)

2 cos2 х - 3 cos х + 1 = 0

Замена cos х= t, |t| hello_html_3c7bee2b.gif 1,

Решая квадратное уравнение 2 t 2 - 3t +1 = 0,

находят t1 = 1; t2 = 0,5

Решением уравнения

cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k hello_html_m289d78ff.gifZ.

Решением уравнение

cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2π n, n hello_html_m289d78ff.gifZ.

Преподаватель: А теперь выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.

На экране проецируется задание. (10 слайд)

На оценку

1 вариант

Ответы

2 вариант

Ответы

«3»

2 cos2х + 5 sin х - 4= 0


(-1)kπ/6 + πk, khello_html_m289d78ff.gifZ

3 sin x - 2 cos2x = 0

(-1)kπ/6 + πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z


«4»


cos 2х + cos х = 0

π + 2πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z

± π/3 + 2πn, nhello_html_m289d78ff.gif Z

cos 2x + sin x = 0

π/2 + 2πn, n hello_html_m289d78ff.gif Z

(-1)k+1 π/6 + πk, khello_html_m289d78ff.gifZ

«5»

hello_html_2924c8a2.gif sin (x/2) + 1= cos x

2 πn, n hello_html_m289d78ff.gif Z

(-1)k+1π/2+2πk, khello_html_m289d78ff.gifZ

hello_html_2924c8a2.gifcos (x/2) - 1 = cos x


π + 2πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z

± π/2 + 4πn, n hello_html_m289d78ff.gif Z


Преподаватель: Ребята, проверьте свое решение с ответами. На экране проецируются ответы. (11 слайд)

Физкультминутка.

Преподаватель: Ребята, а сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений.

Упражнение 1.(12 слайд)

Цель этого упражнения - устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

  • В положении стоя положите руки на бедра.

  • Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.

  • Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз.

Упражнение 2 . (13 слайд)

Цель - укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и предотвращения болей в области шеи.

Поза: сидя или стоя

Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз.

Надавите указательным пальцем на подбородок.

Сделайте движение шеей назад.

Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд.
Повторите 10 раз.

Преподаватель: Ну вот, немного отдохнули, теперь продолжим вспоминать основные методы решения тригонометрических уравнений.

б) однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.

Решите уравнение 2 sin x+ 3 cos x = 0.

Обучающиеся решают уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk, k hello_html_m289d78ff.gifZ или х = - arctg 1,5 + πk, k hello_html_m289d78ff.gifZ

Преподаватель: Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0. Разделив обе части уравнения на cos2x ≠ 0, получим уравнение вида А tg 2x + В tg x + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите уравнение 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0

Обучающиеся решают уравнение 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0

2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0 | : cos2х ≠ 0

2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0

замена tg x = t, 2 t2 – 3 t – 5 =0, t1 = -1; t2 = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/4 + πk , k hello_html_m289d78ff.gifZ.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n hello_html_m289d78ff.gifZ.

Преподаватель: К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = D, преобразуем данное уравнение А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х =D (sin2 х + cos2х)

или (А –D) sin2 х + В sinх cos х + (С-D) cos2х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

A sin x+ B cos x = С

A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С

2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos2(x/2) - sin2(x/2) )= С (sin2(x/2) + cos2(x/2)). А теперь выберите два уравнения и самостоятельно решите их.

На экране проецируется задание. (14 слайд)


На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»


1) 3 sin x+ 5 cos x = 0

2) 5 sin2 х - 3 sinх cos х -2cos2х = 0

1) 2 cos x+ 3 sin x = 0

2) 6sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0

«4»


1) 3 cos2х + 2 sin х cos х = 0

2)5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1

1) 2 sin2 x – sin x cosx = 0

2) 4 sin2 х - 2sinх cos х - 4cos2х =1

«5»

1) 2 sin x - 5 cos x = 3

2)1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0

1) 2 sin x + 4 cos x = - 3

2) 2 sin2 х - 2sin 2х +1 = 0

Преподаватель: Ребята, проверьте свое решение с ответами.

На экране проецируются ответы(15 слайд)

На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»


1) - arctg 5/3+ πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z.

2) π/4 + πk; - arctg 0,4 + πn,k, n hello_html_m289d78ff.gifZ.

1) - arctg 2/3+ πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z.

2) arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n hello_html_m289d78ff.gif Z.

«4»


1) π/2 + πk; - arctg1,5 + πn, k, n hello_html_m289d78ff.gifZ.

2)- π/4 + πk; arctg 0,5 + πn, k, nhello_html_m289d78ff.gifZ.

1) πk; arctg 0,5 + πn, k, n hello_html_m289d78ff.gif Z.

2) -π/4 + πk; arctg 5/3 + πn, k, n hello_html_m289d78ff.gif Z.

«5»

1) 2arctg( - 1 hello_html_23bb1515.gif) + 2hello_html_m15ac7f98.gifk, k hello_html_29ad1cd6.gifZ,

2) π/4 + πk; arctg 7 + πn, k, n hello_html_m289d78ff.gif Z.

1) 2arctg( 2 hello_html_68b4fcc6.gif) + 2hello_html_m15ac7f98.gifk, k hello_html_29ad1cd6.gifZ,

2) π/4 + πk; arctg 1/3 + πn, k, n hello_html_m289d78ff.gif Z.


Преподаватель: Продолжим рассмотрение основных методов решения тригонометрических уравнений.

Б) различные алгоритмы решения уравнений вида A sin x+ B cos x = С. (16 слайд)


1) переход к половинному аргументу мы рассмотрели ранее.

2) использование универсальной подстановки

sinх = hello_html_m6a560db8.gif , cos х = hello_html_a1fc00a.gif

3) введение вспомогательного угла

A sin x+ B cos x = С | : hello_html_m7c327e2.gif ≠ 0,


hello_html_m11203678.gifsin x + hello_html_7e047977.gifcos x = hello_html_466e4b36.gif ,


Обозначим hello_html_m23f802b6.gif , hello_html_5fef9a0.gif , получим

hello_html_m5a4ec4b0.gif .

откуда
hello_html_34b759b6.gif ,

х+ β = hello_html_m643295c5.gif,

x = hello_html_m8c7b94f.gif,

А теперь попробуйте решить уравнение hello_html_18a36a23.gifsin x + cos x = 1 одним из предложенных способов.

Обучающиеся решают уравнение, консультируются у преподавателя в случае возникновения затруднений.

Преподаватель: А теперь сверьте свои ответы с ответами соседа. Сверили. Молодцы! А сейчас выполним самостоятельную работу следующего характера. Решите тригонометрическое уравнение вида A sin x+ B cos x = С рассмотренными способами.

На экране проецируется задание. (17 слайд)


На оценку

1 вариант

2 вариант

sin x + 3 cos x = 2

2 sin x+ 3 cos x = 1

3

Используя один из предложенных способов

4

Используя любые два из предложенных способов

5

Используя три предложенные способа

Ответ

2 arctg(1 hello_html_m36a45170.gif)/5 + hello_html_m48fa43d.gifk, k hello_html_29ad1cd6.gifZ,

2 arctg(1 hello_html_m2d4b034c.gif)/2 + hello_html_m48fa43d.gifk, k hello_html_29ad1cd6.gifZ,

На экране проецируются ответы

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Задачи этапа: организовать деятельность обучающихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.

Содержание этапа:

Преподаватель: А сейчас познакомимся с решением тригонометрических уравнений новыми способами:

А) введением нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений. (18 -20 слайд)

Введем понятие симметричного уравнения

Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) = R (у; х).

Рассмотрим уравнение 4 sinх - 6 sinх cos х + 4 cosх + 1 = 0 ,

т.к. (sin x + cos x)2 = 1 + 2 sin x cos x, то sinx ·cos x = (sin x + cos x)2 - 1 , получим

2

4 sin х + 4 cosх - 6 (sin x + cos x)2 - 1 + 1 = 0 ,

2

4 sin х + 4 cosх - 3 ( (sin x + cos x)2 – 1) + 1 = 0 ,

Введем обозначение t = sin x + cos x, получим

4 t – 3 (t2 -1) + 1 = 0

– 3 t2 + 4 t + 4 = 0

3 t2 - 4 t - 4 = 0 . Решая квадратное уравнение, найдем t 1 = 2, t 2 = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sinх + cosх = 2 и sinх + cosх = -2/3 .

Решим каждое уравнение :

sin х + cosх = 2, 2 sin x/2 cos x/2 + cos2 x/2 - sin 2 x/2= 2(cos2 x/2 + sin 2 x/2 ),

2 sin x/2 cos x/2 - cos2 x/2 –3 sin 2 x/2 = 0.

Делим все уравнение на ( - cos2x/2), имеем:

3 tg2x/2 - 2 tg x/2 + 1 = 0, D < 0, уравнение не имеет решения.

sin х + cosх = -2/3, 2 sin x/2 cos x/2 + cos2 x/2 - sin 2 x/2= -2/3 (cos2 x/2 + sin 2 x/2 ),

6 sin x/2 cos x/2 +3 cos2 x/2 - 3sin 2 x/2= -2(cos2 x/2 + sin 2 x/2 ),

6 sin x/2 cos x/2 +5cos2 x/2 – sin 2 x/2 = 0.

Делим все уравнение на ( - cos2x/2), имеем:

tg2x/2 – 6 tg x/2 – 5 = 0, tg x/2 = а, а2 – 6 а – 5 = 0, D = 36 – 4·1·(- 5) = 36 + 20 = 56,

hello_html_mf0624ad.gif = hello_html_47a9af1f.gif = 2hello_html_7bcbd898.gif , t 1,2 = hello_html_m330a0a47.gif = 3hello_html_3219f419.gif,
tg x/2 = 3hello_html_3f488561.gif
x = 2arctg (3hello_html_3f488561.gif) + 2hello_html_m15ac7f98.gifk , khello_html_5d3594ae.gif.

Б) методом разложения на множители. (21- 22 слайд)

1)Вспомним использование данного метода при решении известного вида уравнений:

sinх + sin3 х + sin5 х = 0

сгруппируем слагаемые:

(sinх + sin5 х) + sin3 х = 0

2 sincos 2х + sin3х = 0

sin3х ( 2 cos 2х + 1 ) = 0

переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:

sin3х = 0 или 2 cos 2х + 1 = 0

cos 2х = - 1/2,

3х = πn , 2х = ± 2π /3 + 2πn , n hello_html_m289d78ff.gif Z.

х = πn /3, n hello_html_m289d78ff.gif Z. х = ± π /3 + πn , n hello_html_m289d78ff.gif Z.

2)Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin 3 х + 3 sinх - 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или 4 ·1 3 + 3 · 1 - 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin 3 х + 3 sinх - 7 – (4 · 1 3 + 3 · 1 - 7 ) = 0

или 4 ( sin 3 х - 1 ) + 3 ( sinх - 1 ) = 0 .

Разложим на множители:

4 ( sinх - 1 ) ( sin 2 х + sinх +1 ) + 3 ( sinх - 1 ) = 0

( sinх - 1 ) ( 4 ( sin 2 х + sinх + 1) + 3 ) = 0

( sinх - 1 ) ( 4 sin 2 х + 4 sinх + 4 + 3 ) = 0

( sinх - 1 ) ( 4 sin 2 х + 4 sinх + 7 ) = 0, откуда

sinх - 1 = 0 или 4 sin 2 х +4 sinх + 7 = 0

sinх = 1 sin x = а, -1hello_html_m1be58944.gif а hello_html_m1be58944.gif 1, 4а2 + 4а +7 = 0, D = 16 -4 hello_html_m7909264c.gif4hello_html_m7909264c.gif7 = - 96˂ 0

х = π/2 + 2пk, k hello_html_m289d78ff.gif Z решений нет

В) методом оценки левой и правой частей. (23-24 слайд)

Рассмотрим уравнение sin x/4 + 2 cos (x- 2 π)/3 = 3

Вспомним, что – 1 ≤ sin x/4 ≤ 1

– 2 ≤ 2 cos (x-2 π)/3 ≤ 2

_____________________________

– 3 ≤ sin x/4 + 2 cos(x-2 π)/3 ≤ 3.

Исходное уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sin x/4 = 1 и 2 cos (x-2 π)/3 = 2 или

shello_html_61b638da.gifin x/4 = 1

cos (x-2 π)/3 = 1 . Решая уравнение sin x/4 = 1 , получим х = 2 π+ 8πn, n hello_html_m289d78ff.gif Z.

Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn - 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3, х = 2 π + 8 πn. Итак, cosn /3 = 1.

Это возможно только в тех случаях, когда, n делится нацело на 3, т.е. n = 3 k, k hello_html_m289d78ff.gif Z.

Значит, решением исходного уравнения являются числа вида х = 2 π + 24 π k, k hello_html_m289d78ff.gif Z.


3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого обучающегося по выполнению самостоятельной работы.

Содержание этапа:

Преподаватель: А теперь вы оцените свою работу на уроке. Вы самостоятельно выполнили 5 упражнений:

1 – находили значения тригонометрических функций;

2 – находили значения обратных тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

4 – решение однородных тригонометрических уравнений;

5 – решение уравнений вида a sinx+b cosx = c

Найдите среднее арифметическое всех выставленных оценок, округлите результат, и эти оценки я вам выставляю в журнал.

3.2. Информация о домашнем задании.

Задачи этапа: сообщить обучающимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

Содержание этапа:

Преподаватель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений новыми способами я предлагаю вам выполнить домашнее задание следующего содержания (25 слайд):

1. введением нетрадиционной замены решите симметричное тригонометрическое уравнение cos6х + sin6 х = 16 sin2 х cos2х ;

2. выражение sin3 х + 3 sin х - 4 разложить на множители различными способами;

3. методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение

sin3 х + 3 sin х - 4 = 0

4. методом оценки левой и правой частей решите тригонометрическое уравнение

2 ( сosх + sin х ) + sin 2 х + 1 = 0

3.3. Подведение итогов урока.

Задачи этапа: вспомнить основные моменты урока, проанализировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания в дальнейшем

Содержание этапа:

Преподаватель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с обучающимися подводятся итоги урока (26 слайд):

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

- Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?

- Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Преподаватель: Дорогое ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен. До свидания! (27 слайд)


Список литература:


  1. Ананьев Ю.А., Дворянинов С.В., Неценко Ю. Н. «Экзаменационные задачи по алгебре и началам анализа за курс средней школы». Самара, СОИПКПРО, 1993

  2. Блошкин Б.Ф. «Самостоятельные и контрольные работы по математике 9-10 классы». М., Просвещение 1969

  3. Богомолов И.В., Сергиенко Л.Ю. «Сборник дидактических заданий по математике. М., Высшая школа, 1986

  4. Зильберберг Н.И. «Алгебра и начала анализа в 10 классе» (для углубленного изучения математики) Псков, ПОИПКРО, 1994

  5. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. «Контрольные и проверочные работы по алгебре 10-11 классы» М., Дрофа, 2001

  6. Ивлев Б.М. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа». М., Просвещение, 1990

  7. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. «Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10 класс». М., Просвещение, 1997

  8. Кононов А.Я. «Устные занятия по математике в старших классах» М., Столетие, 1997

  9. Краснова Л.Г., Матвеева Е.Д., Степанова М.И. «Сборник контрольных заданий» Чувашия, РИПКРНО, 1983

  10. Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» М., Мнемозина, 2001

  11. Самусенко А.В. «Математика: типичные ошибки абитуриентов» Минск, Высшая школа, 1995

  12. Щукина В. «Репетитор. Математика. Физика» М., НПО Перспектива, 1993

  13. http://www.falto.ru/article/article4_1.html










Анализ урока (кратко)


Урок «Общие методы решения тригонометрических уравнений» подготавливает обучающихся к экзамену, т.к. он включает в себя:

  1. повторение:

  • числовых значений тригонометрических функций,

  • обратных тригонометрических функций,

  • формул для решения простейших тригонометрических уравнений,

  1. Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

  2. Различные алгоритмы решения уравнений вида A sin x+ B cos x = С.

  3. Закрепление навыков и проверку умений решать тригонометрические уравнения.

  4. Знакомство с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

  5. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Обучающиеся самостоятельно выполнили 5 упражнений:

1 – находили значения тригонометрических функций;

2 – находили значения обратных тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

4 – решение однородных тригонометрических уравнений;

5 – решение уравнений вида a sinx+b cosx = c.

Обучающиеся сами себя оценивали по таблицам ,где было указано за какое количество заданий какая оценка ставиться . В конце урока они находили среднее арифметическое всех выставленных оценок, округляли результат и получили свою оценку.

Допустили ошибки:

  • При преобразовании тригонометрических выражений

  • Вычислительные при решении уравнений

  • При нахождении корня уравнения (вместо х/2 сразу пишут х)

  • При преобразовании квадратных корней

Обучающиеся по ходу урока видят, что одно и то же уравнение можно решить разными способами, сами выбирают способ при решении уравнений в самостоятельной работе. Это позволит им в дальнейшем решать тригонометрические уравнения быстрее более удобным способом.



Выбранный для просмотра документ решение триг.ур..ppt

библиотека
материалов
Обобщающий урок по теме: «Общие методы решения тригонометрических уравнений»...
Цели урока: Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригономет...
1.2 Устная работа Решите уравнения А) 3 х – 5 = 7 Б) х2 – 8 х + 15 = 0 В) 4 х...
1.2 Устная работа Ответы - cos2 a 0 2 |1- tg х|
2.1 Повторение 1 вариант sin (-π/3) cos 2π/3 tg π/6 ctg π/4 cos (-π/6) sin 3π...
2.1 Повторение Кол-во верных ответов	оценка 6	5 5	4 4	3 < 4	2
2.1 Повторение
2.1 Повторение Ответы 1 вариант π/4 0 - π/6 5π/6 π/3 Ответы 2 вариант π/4 π/2...
2.1 Формулы решения уравнений sinx =а, cosx = а, tg х=а. sinx =а cosx = а tg...
2.1 А)а)Основные методы решения тригонометрических уравнений. по известным ал...
2.1 А)а)Основные методы решения тригонометрических уравнений. по известным ал...
Цель этого упражнения - устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в...
Физкультминутка Упражнение 2 «Египтянин» Цель - укрепление мышц задней сторон...
2.1 А) б)Основные методы решения тригонометрических уравнений. по известным а...
2.1 А) б)Основные методы решения тригонометрических уравнений. по известным а...
2.1 Б)Различные алгоритмы решения уравнений вида A sin x+ B cos x = С 1) пере...
2.1 Б)Различные алгоритмы решения уравнений вида A sin x+ B cos x = С 1 вариа...
2.2. Решение тригонометрических уравнений новыми способами: А) введением нетр...
4 sin х + 4 cosх - 6 (sin x + cos x)2 - 1 + 1 = 0 , 2 4 sin х + 4 cosх - 3 (...
Б) методом разложения на множители.
В) методом оценки левой и правой частей.
3.2. Информация о домашнем задании. выполнить домашнее задание следующего сод...
3.3. Подведение итогов урока. -Что нового узнали на уроке? - Испытывали ли вы...
 Спасибо вам за работу на уроке. До свидания!
27 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Обобщающий урок по теме: «Общие методы решения тригонометрических уравнений»
Описание слайда:

Обобщающий урок по теме: «Общие методы решения тригонометрических уравнений» Разработала: Преподаватель математики Зайцева Светлана Егоровна.

№ слайда 2 Цели урока: Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригономет
Описание слайда:

Цели урока: Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

№ слайда 3 1.2 Устная работа Решите уравнения А) 3 х – 5 = 7 Б) х2 – 8 х + 15 = 0 В) 4 х
Описание слайда:

1.2 Устная работа Решите уравнения А) 3 х – 5 = 7 Б) х2 – 8 х + 15 = 0 В) 4 х2 – 4 х + 1= 0 Г) х4 – 5 х2 + 4 = 0 Д) 3 х2 – 12 = 0 Ответы 4 3; 5 0,5 -2; -1; 1; 2 -2; 2

№ слайда 4 1.2 Устная работа Ответы - cos2 a 0 2 |1- tg х|
Описание слайда:

1.2 Устная работа Ответы - cos2 a 0 2 |1- tg х|

№ слайда 5 2.1 Повторение 1 вариант sin (-π/3) cos 2π/3 tg π/6 ctg π/4 cos (-π/6) sin 3π
Описание слайда:

2.1 Повторение 1 вариант sin (-π/3) cos 2π/3 tg π/6 ctg π/4 cos (-π/6) sin 3π/4 2 вариант cos (-π/4 ) sin π/3 ctg π/6 tg π/4 sin (-π/6) cos 5π/6

№ слайда 6 2.1 Повторение Кол-во верных ответов	оценка 6	5 5	4 4	3 &lt; 4	2
Описание слайда:

2.1 Повторение Кол-во верных ответов оценка 6 5 5 4 4 3 < 4 2

№ слайда 7 2.1 Повторение
Описание слайда:

2.1 Повторение

№ слайда 8 2.1 Повторение Ответы 1 вариант π/4 0 - π/6 5π/6 π/3 Ответы 2 вариант π/4 π/2
Описание слайда:

2.1 Повторение Ответы 1 вариант π/4 0 - π/6 5π/6 π/3 Ответы 2 вариант π/4 π/2 2π/3 - π/3 π/6 Кол-во верных ответов оценка 5 5 4 4 3 3 < 3 2

№ слайда 9 2.1 Формулы решения уравнений sinx =а, cosx = а, tg х=а. sinx =а cosx = а tg
Описание слайда:

2.1 Формулы решения уравнений sinx =а, cosx = а, tg х=а. sinx =а cosx = а tg х = а

№ слайда 10 2.1 А)а)Основные методы решения тригонометрических уравнений. по известным ал
Описание слайда:

2.1 А)а)Основные методы решения тригонометрических уравнений. по известным алгоритмам.

№ слайда 11 2.1 А)а)Основные методы решения тригонометрических уравнений. по известным ал
Описание слайда:

2.1 А)а)Основные методы решения тригонометрических уравнений. по известным алгоритмам.

№ слайда 12 Цель этого упражнения - устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в
Описание слайда:

Цель этого упражнения - устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела. Поза: стоя В положении стоя положите руки на бедра. Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок. Вернитесь в исходное положение. Повторите 10 раз. Физкультминутка Упражнение 1 «Глядя в небо»

№ слайда 13 Физкультминутка Упражнение 2 «Египтянин» Цель - укрепление мышц задней сторон
Описание слайда:

Физкультминутка Упражнение 2 «Египтянин» Цель - укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и предотвращения болей в области шеи. Поза: сидя или стоя Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз. Надавите указательным пальцем на подбородок. Сделайте движение шеей назад. Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд. Повторите 10 раз.

№ слайда 14 2.1 А) б)Основные методы решения тригонометрических уравнений. по известным а
Описание слайда:

2.1 А) б)Основные методы решения тригонометрических уравнений. по известным алгоритмам. 1 вариант На «3» 1) 3 sin x+ 5 cos x = 0 2)5 sin2 х -3sinх cos х -2cos2х=0 На «4» 1) 3 cos2х + 2 sin х cos х =0 2)5sin2 х + 2sinхcos х - cos2х =1 На «5» 1) 2 sin x - 5 cos x = 3 2) 1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0 2 вариант На «3» 1) cos x+ 3 sin x = 0 2)6 sin2 х- 5sinх cos х +cos2х=0 На «4» 1) 2 sin2 x – sin x cosx =0 2) 4sin2 х -2sinхcos х –4cos2х=1 На «5» 1) 2 sin x + 4cos x = - 3 2) 2 sin2 х - 2sin 2х +1 =0

№ слайда 15 2.1 А) б)Основные методы решения тригонометрических уравнений. по известным а
Описание слайда:

2.1 А) б)Основные методы решения тригонометрических уравнений. по известным алгоритмам. Ответы 1 вариант 1) 2) 1) 2) 1) 2) Ответы 2 вариант 1) 2) 1) 2) 1) 2)

№ слайда 16 2.1 Б)Различные алгоритмы решения уравнений вида A sin x+ B cos x = С 1) пере
Описание слайда:

2.1 Б)Различные алгоритмы решения уравнений вида A sin x+ B cos x = С 1) переход к половинному аргументу ; 2) использование универсальной подстановки; 3) введение вспомогательного угла

№ слайда 17 2.1 Б)Различные алгоритмы решения уравнений вида A sin x+ B cos x = С 1 вариа
Описание слайда:

2.1 Б)Различные алгоритмы решения уравнений вида A sin x+ B cos x = С 1 вариант 2 вариант sin x + 3 cos x = 2 2 sin x+ 3 cos x = 1 На «3» Используя один из предложенных способов На «4» Используя любые два из предложенных способов На «5» Используя три предложенные способа Ответы

№ слайда 18 2.2. Решение тригонометрических уравнений новыми способами: А) введением нетр
Описание слайда:

2.2. Решение тригонометрических уравнений новыми способами: А) введением нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений Введем понятие симметричного уравнения Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) = R (у; х). Рассмотрим уравнение 4 sin х - 6 sinх cos х + 4 cosх + 1 = 0 , т.к. (sin x + cos x)2 = 1 + 2 sin x cos x, то sinx ·cos x = (sin x + cos x)2 - 1 , получим 2

№ слайда 19 4 sin х + 4 cosх - 6 (sin x + cos x)2 - 1 + 1 = 0 , 2 4 sin х + 4 cosх - 3 (
Описание слайда:

4 sin х + 4 cosх - 6 (sin x + cos x)2 - 1 + 1 = 0 , 2 4 sin х + 4 cosх - 3 ( (sin x + cos x)2 – 1) + 1 = 0 , Введем обозначение t = sin x + cos x, получим 4 t – 3 (t2 -1) + 1 = 0 – 3 t2 + 4 t + 4 = 0 3 t2 - 4 t - 4 = 0 . Решая квадратное уравнение, найдем t 1 = 2, t 2 = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sin х + cosх = 2 и sin х + cosх = -2/3. sin х + cosх = 2, 2 sin x/2cos x/2 + cos2x/2 - sin 2x/2=2(cos2 x/2 + sin 2 x/2), 2 sin x/2 cos x/2 - cos2 x/2 –3 sin 2 x/2 = 0,

№ слайда 20
Описание слайда:

№ слайда 21 Б) методом разложения на множители.
Описание слайда:

Б) методом разложения на множители.

№ слайда 22
Описание слайда:

№ слайда 23 В) методом оценки левой и правой частей.
Описание слайда:

В) методом оценки левой и правой частей.

№ слайда 24
Описание слайда:

№ слайда 25 3.2. Информация о домашнем задании. выполнить домашнее задание следующего сод
Описание слайда:

3.2. Информация о домашнем задании. выполнить домашнее задание следующего содержания: введением нетрадиционной замены решите симметричное тригонометрическое уравнение cos6х + sin6 х = 16 sin2 х cos2х ; 2. выражение sin3 х + 3 sin х - 4 разложить на множители различными способами; 3. методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение sin3 х + 3 sin х - 4 = 0 4. методом оценки левой и правой частей решите тригонометрическое уравнение 2 ( сosх + sin х ) + sin 2 х + 1 = 0

№ слайда 26 3.3. Подведение итогов урока. -Что нового узнали на уроке? - Испытывали ли вы
Описание слайда:

3.3. Подведение итогов урока. -Что нового узнали на уроке? - Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы? - Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы? - Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными? - Какие пробелы в знаниях выявились на уроке? - Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

№ слайда 27  Спасибо вам за работу на уроке. До свидания!
Описание слайда:

Спасибо вам за работу на уроке. До свидания!


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 12.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров260
Номер материала ДВ-520365
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх