Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Разработка урока "Тригонометрия в нашей жизни"

Разработка урока "Тригонометрия в нашей жизни"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Учитель: Виноградова Марина Александровна


Дата: 26.11.2015


Предмет: Алгебра и начала анализа

Класс: 11 (профильный)


Тема урока: Тригонометрия в нашей жизни


Единица содержания: способ организации учебного исследования.


Цель:


обучающий аспект

  • знать этапы организации учебного исследования (познавательные УУД);

  • применять тригонометрические понятия для решения треугольников (познавательные УУД);

  • уметь самостоятельно определять цели своего обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи (регулятивные УУД);

  • уметь определять понятия, создавать обобщения, классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации, устанавливать причинно-следственные связи, логически рассуждать и делать выводы (познавательные УУД);

  • уметь работать со сплошным и не сплошным текстом (познавательные УУД).


развивающий аспект

  • развивать математическую речь (понимать значение математических терминов, грамотно и точно употреблять термины (познавательные и коммуникативные УДД);

  • развивать аналитическое мышление при выборе способа решения задач (познавательные УУД);

  • развивать смысловое чтение (познавательные УУД);

  • развивать логическое мышление при проведении учебного исследования (познавательные УУД);

  • развивать умение самостоятельно ставить цель, планировать и оценивать свою учебную деятельность (регулятивные УУД).


воспитывающий аспект:

  • воспитывать познавательный интерес к математике, пониманию ее роли в решении практических задач (познавательные и личностные УДД);

  • воспитывать культуру сотрудничества при работе в паре (коммуникативные и личностные УДД).


Тип урока: урок комплексного применения знаний.


Этапы урока:


  1. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности.

  2. Применение знаний и способов действий.

  3. Подведение итогов на рефлексивной основе.

  4. Домашнее задание.


Ресурсы урока: задания для работы в группах, задания на готовых чертежах, модель водосточной трубы,материалы для исследования и оформления доказательства.




ТЕЗИС

“Великая книга природы может быть прочтена только теми, кто знает язык, на котором она написана, и этот язык – математика”.

 Г. Галилей

Ход урока

  1. Этап подготовки к активной учебно-познавательной деятельности

  1. Установление связи между изученным учебным материалом и данной темой

10 мин

Задача: обеспечение мотивации, актуализация знаний

Метод: репродуктивный

Форма работы: фронтальная, индивидуальная

Деятельность учителя

До начала урока ученики делятся на пары самостоятельно. Пары в классе сложившиеся, примерно равные по силе.


Сообщение об оценочном листе, в котором учащиеся фиксируют баллы за работу на уроке.

(Приложение 1)


Задача № 1

Задача № 2

Задача № 3

(Приложение 2)

Деятельность учащихся

Знакомятся с организацией работы на уроке, оценочным листом.







Решают задачи (одна из них ЕГЭ № 6), проверяют решение, выставляют баллы в оценочный лист.

Деятельность учителя

Сравните задачи, что их связывает?

Почему на экзамене по математике проверяется умение «решать треугольник»?

Выскажите ваше мнение?

Многие задаются вопросами: зачем нужна тригонометрия?

Как она используется в нашем мире?

С чем может быть связана тригонометрия?

И вот ответы на эти вопросы предлагаю ответить сегодня на уроке.

Сообщение темы урока «Тригонометрия в нашей жизни».

Цель урока: выполнить исследование по теме «Тригонометрия в нашей жизни».

Вспомним, как организовать исследование. Из каких этапов оно состоит.

(Приложение 3)

Деятельность учащихся

Проявляют интерес к содержанию, погружаются в проблему, выражают мотивацию к совместной учебной деятельности на уроке.







Знакомятся с этапами, характерными для учебного исследования.


  1. Применение знаний и способов действий 27 мин.

Задача: обеспечение усвоения знаний и способов действий на уровне применения в измененной ситуации

Метод: продуктивный

Форма работы: групповая, фронтальная, индивидуальная


Деятельность учителя


1 этап исследования. Постановка проблемы:

Почему знания тригонометрии необходимы для современного человека?


2 этап исследования. Изучение теории, посвященной данной проблематике.

Выясним, как развивалась наука тригонометрия, что повлияло на ее развитие, кто внес вклад в ее развитие.


Организация работы по выдвижению гипотезы.

ВИДЕОФРАГМЕНТ

(закат, звездное небо, закат)


А начиналось все очень давно.


Раньше люди считали, что Земля – это центр Вселенной и она неподвижна, что Солнце совершает за сутки один оборот вокруг Земли (геоцентрическая система мира, «гео» - Земля).

Сравнивая положение солнца и звезд люди стали вести календари, чтобы правильно определять время сева и сбора урожая.

Обрабатывая данные измерений, устанавливали даты религиозных праздников.


Древний Вавилон


Первые отрывочные сведения по тригонометрии сохранились на клинописных табличках Древнего Вавилона.

Вавилонские жрецы, проводившие астрономические наблюдения, обнаружили, что в день равноденствия Солнце от восхода до заката описывает на небесном своде полуокружность, в которой видимый поперечник (диаметр) Солнца укладывается ровно 180 раз.

А поскольку звезды и планеты представлялись древним точками на небесной сфере, то сначала стала развиваться именно сферическая тригонометрия. Ее считали разделом астрономии.

Астрономы Междуречья научились предсказывать положение Земли и Солнца, и именно от них к нам пришла система измерения углов в градусах, минутах и секундах.

По звездам вычисляли местонахождение корабля в море или направление движения каравана в пустыне.

56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей.

Естественно, все измерения, связанные с расположением светил на небосводе, – измерения косвенные. Прямые могли быть проведены только на поверхности Земли, но и здесь далеко не всегда удавалось непосредственно определить расстояние между городами, и тогда вновь прибегали к косвенным измерениям. Например, вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от какого-нибудь шеста, высота которого была известна. Аналогичным образом вычисляли и размеры острова в море.

Подобные задачи сводятся к анализу треугольника, в котором одни его элементы выражают через другие.

Древняя Греция


Первые важные достижения в развитии тригонометрии принадлежат древнегреческим ученым- астрономам.

Они научились определять расстояние до небесных тел. Эта задача требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Рассматривая прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры вычисляли величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°).

Например, 12-я и 13-я теоремы второй книги Начал Евклида (конец 4–3 в. до н. э.) выражают по существу теорему косинусов. Во 2 в. до н.э. астроном Гиппарх из Никеи (180–125 до н.э.) составил таблицу для определения соотношений между элементами треугольников расположенных в окружности, по существу, вычислил значения тригонометрических функций.

Гиппарх подсчитал в круге заданного радиуса длины хорд, отвечающих всем углам от 0 до 180°, кратным 7,5°, сейчас мы такую таблицу назвали бы таблицей синусов.

Труды Гиппарха до нас не дошли, но многие сведения из них включены в Альмагест (II в.) – знаменитое сочинение в 13 книгах греческого астронома и математика Клавдия Птолемея (ум. ок.160 н. э.).

Он даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, им описана стереографическая проекция, исследованы несколько практических задач, например: определение высоты и азимута небесного светила по его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу.

В общем, можно сказать, что тригонометрия использовалась для:

  • точного определения времени суток;

  • вычисления будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений Солнца и Луны;

  • нахождения географических координат текущего места;

  • вычисления расстояния между городами с известными географическими координатами.

Труд Птолемея несколько веков служил введением в тригонометрию для астрономов.


Древняя Индия


Если греки по углам вычисляли хорды, то индийские астрономы в сочинениях 4–5 вв. перешли к полухордам двойной дуги, т.е. в точности к линиям синуса (рис. 2).

Они пользовались и линиями косинуса – вернее, не его самого, а «обращенного» синуса, получившего позднее в Европе название «синус-верзус», сейчас эта функция, равная 1 – cos уже не употребляется. Впоследствии тот же подход привел к определению тригонометрических функций через отношения сторон прямоугольного треугольника.

Термины «синус» и «косинус» пришли от индийцев, не обошлось и без любопытного недоразумения. Полухорду индийцы называли «ардхаджива» (в переводе с санскрита – «половина тетивы лука»), а потом сократили это слово до «джива».

Мусульманские астрономы и математики, получившие знания по тригонометрии от индийцев, восприняли его как «джиба», а затем оно превратилось в «джайб», что на арабском языке означает «выпуклость», «пазуха». Наконец, в 7 в. «джайб» буквально перевели на латынь словом «sinus», которое не имело никакого отношения к обозначаемому им понятию. Санскритское «котиджива» – синус остатка (до 90°), а на латинском – sinus complementi, т.е. синус дополнения, в 17 в. сократилось до слова «косинус».

Наименования «тангенс» и «секанс» (в переводе с латинского означающие «касательная» и «секущая») введены в 1583 немецким ученым Финком.


Арабские ученые


Большой вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые, например, Аль-Баттани (ок. 900 н.э.). В 10 в. багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа (940–997), присоединил к линиям синусов и косинусов линии тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов. Он дает им те же определения, которые содержатся и в наших учебниках. Абу-ль-Вефа устанавливает и основные соотношения между этими линиями.

Итак, к концу 10 в. ученые исламского мира уже оперировали, наряду с синусом и косинусом, четырьмя другими функциями – тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом; открыли и доказали несколько важных теорем плоской и сферической тригонометрии; использовали окружность единичного радиуса (что позволило толковать тригонометрические функции в современном смысле); придумали полярный треугольник сферического

треугольника.

Арабские математики составили точные таблицы, например таблицы синусов и тангенсов с шагом в 1' и точностью до 1/700 000 000. Очень важной прикладной задачей была и такая: научиться определять направление на Мекку для пяти ежедневных молитв, где бы ни находился мусульманин.

Особенно большое влияние на развитие тригонометрии оказал «Трактат о полном четырехстороннике» астронома Насир-эд-Дин из Туса (1201–1274), известного так же под именем ат-Туси. Это было первое в мире сочинение, в котором тригонометрия трактовалась как самостоятельная область математики.


Европейские математики


В 12 в. были переведены с арабского языка на латинский ряд астрономических работ, по ним впервые европейцы познакомились с тригонометрией.

Трактат Насир-эд-Дина произвел большое впечатление на немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436–1476). Современники больше знали его под именем Региомонтана (так переводится на латинский название его родного города Кенигсберга, ныне – Калининграда). Региомонтан составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с точностью до седьмой значащей цифры). Он впервые отступил от шестидесятеричного деления радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса. Таким образом, синусы выражались целыми числами, а не шестидесятеричными дробями. До введения десятичных дробей оставался только один шаг, но он потребовал более 100 лет. Труд Региомонтана «Пять книг о треугольниках всех видов» сыграл в европейской математике ту же роль, что и сочинение Насир-эд-Дина в науке мусульманских стран.

За таблицами Региомонтана последовал ряд других, еще более подробных. Друг Коперника Ретик (1514–1576) вместе с несколькими помощниками в течение 30 лет работал над таблицами, законченными и изданными в 1596 его учеником Отто. Углы шли через 10'', так что синусы имели 15 верных цифр.

Дальнейшее развитие тригонометрии шло по пути накопления и систематизации формул, уточнения основных понятий, становления терминологии и обозначений. Многие европейские математики работали в области тригонометрии. Среди них такие великие ученые, как Николай Коперник (1473–1543), Тихо Браге (1546–1601) и Иоганн Кеплер (1571–1630).

Франсуа Виет (1540–1603) дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников, открыл «плоскую» теорему косинусов и формулы для тригонометрических функций от кратных углов.

Исаак Ньютон (1643–1727) разложил эти функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе.

Долгое время тригонометрия носила геометрический характер, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Современный вид тригонометрия получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707 – 1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу («тригонометрический круг» или «единичная окружность»). Он разработал тригонометрию как науку о функциях, рассматриваемых как отношение соответствующих тригонометрических линий к радиусу. Это позволило понимать под аргументом тригонометрических функций как углы и дуги, так и отвлеченные числа.

Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения.

Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения.

К концу 18 в. тригонометрия как наука уже сложилась

После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

3 этап исследования. Выдвижение гипотезы.

Гипотеза

Закономерности физических явлений природы, физиологических процессов можно описать с помощью тригонометрии и тригонометрических функций.


Деятельность учащихся


1 этап исследования. Постановка проблемы.

Осмысление и принятие учебной задачи.

Организация работы в парах.


2 этап исследования. Изучение теории, посвященной данной проблематике. Анализируют историю развития тригонометрии, выясняют причины, повлиявшие на ее развитие и выдвигают гипотезу.


Представление работы пар.















































































































































































































































































































































3 этап исследования. Выдвижение гипотезы.

Выдвигают гипотезу.

4 этап исследования. Доказательство гипотезы.

Организация работы по доказательству гипотезы.


Практическая задача

«Соединение двух труб»

Жестянщику надо изготовить колено цилиндрической водосточной трубы диаметром D. Взяв лист железа (без учета швов), он должен его разрезать. По какой линии нужно разрезать второй лист, чтобы соединить две трубы? Постройте эту линию.

4 этап исследования. Доказательство гипотезы.






Выполнение задания. Проверка.

Изготовление учащимися модели (соединение двух труб).



Выставление баллов в оценочный лист.

Изучение материалов, связанных с применением знаний тригонометрии в разных областях жизнедеятельности человека.

(Приложение 5)

Выполнение заданий в парах (5 пар).

Отбор фактов, установление сфер применения, оформление плаката.

5 этап исследования. Формулировка вывода.

Оценка работы пары другими парами (1-2 балла).

Выставление баллов в оценочный лист.

  1. Этап подведения итогов урока на рефлексивной основе 7 мин.

Задача: мобилизация учащихся на рефлексию своей работы по достижению цели урока (мотивации, способов деятельности, эмоционального состояния)

Метод: продуктивный

Форма работы: фронтальная

Показатели РРЭ: готовность учащихся к анализу и оцениванию собственной учебно-познавательной деятельности

(Ответы на вопросы, самостоятельные выводы)

Оценивание: с использованием листа оценивания

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Организация рефлексии.

Повторение целей урока.

Рефлексия по содержанию учебного материала - вернуться к вопросам по теме, которые ставили в начале урока.

Над какой темой мы сегодня работали?

Какую цель перед собой поставили?

Каким способом ее достигли?

Повторите этапы исследования.


Рефлексия собственной деятельности – закончить предложение: сегодня на уроке я …

hello_html_65293656.png



Воспроизводят формулировки целей (проблем, вопросов), поставленных ими в начале урока, и делают вывод: получен ли на него ответ.




Высказываются о том, что они освоили на уроке, какие приемы и способы они для этого использовали.

Определение личной комфортности на уроке.

Выражение удовлетворенности совместной учебной деятельностью и мотивация к ее дальнейшему продолжению.

  1. Домашнее задание 1 мин.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Домашнее задание: Задачи ЕГЭ № 6 на сайте «Решу ЕГЭ». Вариант № 8632586

Получают домашнее задание.


Приложение 1


Лист оценивания __________________________________________(Фамилия, имя)


№ п/п

Задание

Количество баллов

Максимальное количество баллов

1

Задача 1


2

2

Задача 2


2

3

Задача 3


2

4

Практическая работа в паре


2

5

Исследовательская работа в паре


2






Итоговая отметка: 9 - 10 баллов – «5»

7 - 8 баллов – «4»










































Приложение 2

1.

Задача № 1


В треугольнике АВС угол С = 900, АС = 20, hello_html_26324dad.gif. Найдите ВС.












http://math.reshuege.ru/get_file?id=20487

Задача № 2

Угол наклона всех эскалаторов московского метро равен 30 градусам. Зная это, количество ламп на эскалаторе и примерное расстояние между лампами, можно вычислить примерную глубину заложения станции. На эскалаторе станции «Цветной бульвар» 15 ламп. Рассчитайте, какова глубина заложения станции, если расстояния между лампами, от входа эскалатора до первой лампы и от последней лампы до выхода с эскалатора равны 6 м.

img3












Задача № 3


Фуэте ([-тэ]; фр. fouetté от fouetter «хлестать; подгонять; взбивать») — сокращенное название виртуозного движения классического танца, исполняющегося как ряд последовательно повторяющихся туров в быстром темпе и на одном месте, при выполнении которых работающая нога по окончании каждого поворота на 360° открывается точно в сторону (à la seconde, на 2-ю позицию) на высоту 45 - 90°.  В балете «Лебединое озеро» исполнительница главной партии выполняет по 32 фуэте подряд. Поворот на какой угол совершает балерина? Найдите время вращения балерины, если скорость ее вращения 2 оборота в секунду.











2.

Задача № 1

В треугольнике АВС угол С = 900, ВС = 9, hello_html_80c5844.gif. Найдите АС.













http://math.reshuege.ru/get_file?id=20487

Задача № 2

Угол наклона всех эскалаторов московского метро равен 30 градусам. Зная это, количество ламп на эскалаторе и примерное расстояние между лампами, можно вычислить примерную глубину заложения станции. На эскалаторе станции «Арбатская» 21 лампа. Рассчитайте, какова глубина заложения станции, если расстояния между лампами, от входа эскалатора до первой лампы и от последней лампы до выхода с эскалатора равны 6 м.

img3













Задача № 3

Винт (upright spin, scratch spin) — вращение стоя.

Если фигурист совершает поворот на угол 10 800 градусов при выполнении упражнения «Винт» за 12 секунд, то он получает оценку «отлично». Определите, какое количество оборотов совершит фигурист за это время и скорость его вращения (обороты в секунду).















Приложение 3


Этапы исследования

Постановка проблемы

Почему знания тригонометрии необходимы для современного человека?


Гипотеза (предположение)

Большинство физических явлений природы, физиологических процессов, закономерностей можно описать с помощью тригонометрии и тригонометрических функций.


Изучение теории, посвященной данной проблематике

  • Какие понятия тригонометрии чаще всего используются в реальной жизни?

  • В каких областях применяется?


Доказательство

Анализ и обобщение материала, комментарий

  • Приведите примеры


Вывод




Приложение 4


Практическая задача «Соединение двух труб»


Жестянщику надо изготовить колено цилиндрической водосточной трубы диаметром D. Взяв лист железа (без учета швов), он должен его разрезать. По какой линии нужно разрезать второй лист, чтобы соединить две трубы? Постройте эту линию.



Ответ: по синусоиде.

рис3 copy









Приложение 5

Материалы для исследования.

См. файл (архив) Материалы к уроку Тригонометрия.





Автор
Дата добавления 30.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров231
Номер материала ДВ-298600
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх