Разработка уроков повторения стереометрии при подготовке к сдаче ЕГЭ по математике в 11 классе

Аннотация

Приведенное ниже планирование уроков повторения поможет учащимся не только закрепить материал, изученный в курсе стереометрии 10-11 классов, но и познакомиться с новыми методами решения задач на нахождение расстояний и углов пространстве. Решение одной задачи разными способами позволит им (если времени будет достаточно) проверить правильность решения той или иной задачи. Уверенное владение различными методами решения задач типа С2  ЕГЭ снимет напряжение и неуверенность учащихся на экзамене.

Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве

I.      Планирование учебного времени (всего 12 часов)

1.                  Расстояние между двумя точками (1 час)

1.1.                        Поэтапно-вычислительный метод;

1.2.                        Координатный метод;

1.3.                        Векторный метод

2.                  Расстояние от точки до прямой (1 час)

2.1.                        Поэтапно-вычислительный метод;

2.2.                        Метод параллельных прямых;

2.3.                        Векторный метод;

2.4.                        Координатный метод

3.                  Расстояние от точки до плоскости (2 часа)

3.1.                        Поэтапно-вычислительный метод;

3.2.                        Метод параллельных прямых и плоскостей;

3.3.                        Метод объемов;

3.4.                        Координатный метод;

3.5.                        Векторный метод

4.                  Расстояние между скрещивающимися прямыми (2 часа)

4.1.                        Поэтапно-вычислительный метод;

4.2.                        Метод параллельных прямой и плоскости;

4.3.                        Метод параллельных плоскостей;

4.4.                        Метод ортогонального проектирования

5.                  Угол между двумя прямыми (1 час)

5.1.                        Поэтапно-вычислительный метод;

5.2.                        Векторно-координатный метод;

5.3.                        Векторный метод

6.                  Угол между прямой и плоскостью (1 час)

6.1.                        Поэтапно-вычислительный метод;

6.2.                        Векторно-координатный метод;

6.3.                        Векторный метод

7.                  Угол между плоскостями (2 часа)

7.1.                        Поэтапно-вычислительный метод;

7.2.                        Метод параллельных прямых;

7.3.                        Метод параллельных плоскостей;

7.4.                        Метод использования перпендикуляров к плоскостям;

7.5.                        Использование теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника;

7.6.                        Векторно-координатный метод;

8.              Решение одной задачи различными методами (2 часа)

II.               План-конспект урока

Тема урока: «Угол между двумя прямыми»

Цели урока:

• отработать применение теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния и угла между скрещивающимися прямыми;
• формировать умения анализировать, переносить знания в новые ситуации при решении задач;
• тренировать пространственное воображение;
• воспитывать стремление к приобретению новых знаний, интерес к предмету.

Оборудование:

• Оборудование для применения ИКТ (интерактивная доска).
• Раздаточный материал в виде готовых чертежей

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (приветствие, постановка цели урока, раздача готовых чертежей к задачам).

Учитель: Здравствуйте, приветствую вас на уроке по теме «Угол между двумя прямыми».
Целью нашего урока является отработка ваших теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния и угла между скрещивающимися прямыми различными методами.

II. Актуализация знаний.

Повторяются: определение скрещивающихся прямых, признаки скрещивающихся прямых, определение расстояния между скрещивающимися прямыми

	Определение: Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости
	Признак скрещивающихся прямых: Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются
	Расстояние между скрещивающимися прямыми: Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми a  и  b называется длина их общего перпендикуляра.

III. Устная работа (задания проецируются на экран)

В каждой из следующих задач нужно изобразить расстояние и угол между указанными скрещивающимися прямыми.

Задача № 1: Изобразите расстояние и угол между скрещивающимися диагональю грани куба и стороны параллельной грани.

Решение:

.

Задача № 2: Изобразите расстояние и угол между скрещивающимися диагоналями параллельных граней куба.

Решение.

 .

Задача № 3: Изобразите расстояние и угол между скрещивающимися диагональю грани куба и высотой куба в параллельной грани.

Решение.

.

IV. Работа по готовым чертежам (задания есть у каждого ученика, а также проецируются на экран)

При нахождении угла между прямыми используют:

1.      Формулу  для нахождения угла  между прямыми и , если стороны и треугольника соответственно параллельны этим прямым;

2.      формулу  или в координатной форме для нахождения угла  между прямыми и , если векторы и параллельны этим прямым.

B

Задача № 1(поэтапно-вычислительный метод): В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ найти угол между прямыми А₁D и D₁Е , где Е - середина ребра СС₁

D

E

C1

C

Решение.

Пусть - середина ребра BB_1, a – ребро куба,  - искомый угол. Так как , то  - угол при вершине  в треугольнике .

Из треугольника  имеем , а из треугольника получаем , откуда . Далее в треугольнике  используем теорему косинусов .

, откуда и

Задача № 2 (векторно-координатный метод): В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямыми  и .

Решение:

Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке. Тогда , , , , , .

Используя формулу 2), получаем

. Тогда , где искомый угол.

Задача № 3 (векторный метод):  В кубе  найти угол между прямыми и , где середины ребер  соответственно.

В1

	C1

 

Р а

С

	D

 

 Решение:

Пусть  где  

Тогда  

, откуда находим

.

Подставив полученные значения в формулу, получим

: .  Отсюда  где искомый угол

V. Домашнее задание:

1) Точка середина ребра куба . Найдите угол между прямыми  и

2)  В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми  и

VI. Подведение итогов урока, выставление оценок

III.           Проверочная работа

1 вариант

1.      В правильной четырехугольной пирамиде  сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины  до грани .

2.      В кубе  точки  и - середины ребер и  соответственно. Найдите косинус угла между прямыми и .

3.      В кубе  найдите угол между плоскостями сечений и

IV.            Краткий анализ знаний учащихся, полученных на уроках повторения по теме «Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве»

При обучении стереометрии учителю следует повышать наглядность преподавания, уделять больше внимания изображению геометрических фигур, формированию конструктивных умений и навыков. Особого внимания требуют вопросы, связанные с вычислением расстояний и углов в пространстве применительно к конкретной фигуре. Они остаются трудными для большинства учащихся, причем, даже в тех достаточно типичных ситуациях, которые используются в задачах повышенного уровня. Так, если в задачах высокого уровня сложности рассматривается угол между двумя плоскостями, которые зачастую являются плоскостями боковых граней или плоскостями проведенных сечений, то в задачах повышенного уровня это угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани пирамиды или плоскостью типичного сечения призмы. Задачи, связанные с такими  ситуациями, из года в год присутствуют в вариантах, тем не менее, процент их верного решения невысок. Это объясняется двумя причинами. Первая причина связана с тем, что углы между плоскостями (а также другие вопросы, связанные с углами и расстояниями в пространстве) в учебниках часто рассматриваются и проходят первичное закрепление до изучения многогранников и тел вращения. Поэтому очень важно при изучении каждого вида многогранников и тел вращения, а также при повторении материала обращать внимание учащихся на использование изученных ранее геометрических фактов для вычисления элементов рассматриваемой фигуры.

 Вторая причина связана с задачами, в которых рассматриваются углы между прямой и плоскостью или между плоскостями, где необходимо применять планиметрический материал, нередко усвоенный непрочно. В данном случае речь идет о решении прямоугольных (реже – косоугольных) треугольников. Поэтому необходимо наиболее часто используемые сведения из планиметрии восстанавливать в памяти учащихся при изучении стереометрии

 Вполне возможно, что часть учащихся, потенциально обладающих уровнем подготовки, достаточным для решения геометрических задач, помещаемых в варианты ЕГЭ, просто не доверяет своим знаниям и умениям и, предполагая, что задачи очень трудные, не пытаются их решить. Здесь, видимо, могло бы помочь более активное ознакомление учащихся с задачами, которые использовались в вариантах прошлых лет. Такие задачи представлены в сборниках, содержащих задания и варианты контрольных измерительных материалов, использованных при проведении ЕГЭ. Знакомясь с ними, учащиеся не только повторят некоторые геометрические сведения и приемы решения, но также увидят, что задачи по планиметрии при рациональном способе решения не требуют длинной цепочки рассуждений и выкладок, а стереометрические задачи повышенного уровня построены на достаточно типичных ситуациях и тоже решаются в 2-3 действия.

Приведенное выше  планирование уроков повторения поможет учащимся не только закрепить материал, изученный в курсе стереометрии 10-11 классов, но и познакомиться с новыми методами решения задач на нахождение расстояний и углов пространстве. Решение одной задачи разными способами позволит им (если времени будет достаточно) проверить правильность решения той или иной задачи. Уверенное владение различными методами решения задач типа С2  ЕГЭ снимет напряжение и неуверенность учащихся на экзамене.