Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка уроков повторения стереометрии при подготовке к сдаче ЕГЭ по математике в 11 классе

Разработка уроков повторения стереометрии при подготовке к сдаче ЕГЭ по математике в 11 классе


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Аннотация


Приведенное ниже планирование уроков повторения поможет учащимся не только закрепить материал, изученный в курсе стереометрии 10-11 классов, но и познакомиться с новыми методами решения задач на нахождение расстояний и углов пространстве. Решение одной задачи разными способами позволит им (если времени будет достаточно) проверить правильность решения той или иной задачи. Уверенное владение различными методами решения задач типа С2 ЕГЭ снимет напряжение и неуверенность учащихся на экзамене.

Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве


  1. Планирование учебного времени (всего 12 часов)


    1. Расстояние между двумя точками (1 час)

      1. Поэтапно-вычислительный метод;

      2. Координатный метод;

      3. Векторный метод

    2. Расстояние от точки до прямой (1 час)

      1. Поэтапно-вычислительный метод;

      2. Метод параллельных прямых;

      3. Векторный метод;

      4. Координатный метод

    3. Расстояние от точки до плоскости (2 часа)

      1. Поэтапно-вычислительный метод;

      2. Метод параллельных прямых и плоскостей;

      3. Метод объемов;

      4. Координатный метод;

      5. Векторный метод

    4. Расстояние между скрещивающимися прямыми (2 часа)

      1. Поэтапно-вычислительный метод;

      2. Метод параллельных прямой и плоскости;

      3. Метод параллельных плоскостей;

      4. Метод ортогонального проектирования

    5. Угол между двумя прямыми (1 час)

      1. Поэтапно-вычислительный метод;

      2. Векторно-координатный метод;

      3. Векторный метод

    6. Угол между прямой и плоскостью (1 час)

      1. Поэтапно-вычислительный метод;

      2. Векторно-координатный метод;

      3. Векторный метод

    7. Угол между плоскостями (2 часа)

      1. Поэтапно-вычислительный метод;

      2. Метод параллельных прямых;

      3. Метод параллельных плоскостей;

      4. Метод использования перпендикуляров к плоскостям;

      5. Использование теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника;

      6. Векторно-координатный метод;

  1. Решение одной задачи различными методами (2 часа)



  1. План-конспект урока

Тема урока: «Угол между двумя прямыми»

Цели урока:

  • отработать применение теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния и угла между скрещивающимися прямыми;

  • формировать умения анализировать, переносить знания в новые ситуации при решении задач;

  • тренировать пространственное воображение;

  • воспитывать стремление к приобретению новых знаний, интерес к предмету.

Оборудование:

  • Оборудование для применения ИКТ (интерактивная доска).

  • Раздаточный материал в виде готовых чертежей



ХОД УРОКА

I. Организационный момент (приветствие, постановка цели урока, раздача готовых чертежей к задачам).

Учитель: Здравствуйте, приветствую вас на уроке по теме «Угол между двумя прямыми».
Целью нашего урока является отработка ваших теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния и угла между скрещивающимися прямыми различными методами.

II. Актуализация знаний.

Повторяются: определение скрещивающихся прямых, признаки скрещивающихся прямых, определение расстояния между скрещивающимися прямыми



hello_html_56c63c01.jpg

Определение:


Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости



hello_html_7d9c1011.gif

Признак скрещивающихся прямых:


Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются


hello_html_5f16b07e.gif

Расстояние между скрещивающимися прямыми:


Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми a и b называется длина их общего перпендикуляра.








III. Устная работа (задания проецируются на экран)

В каждой из следующих задач нужно изобразить расстояние и угол между указанными скрещивающимися прямыми.

Задача № 1: Изобразите расстояние и угол между скрещивающимися диагональю грани куба и стороны параллельной грани.

Решение:
hello_html_56c63c01.jpg


hello_html_m61ee16b5.png.

Задача № 2: Изобразите расстояние и угол между скрещивающимися диагоналями параллельных граней куба.


hello_html_3624b55b.jpg










Решение.

 hello_html_724da5a7.png.



Задача № 3: Изобразите расстояние и угол между скрещивающимися диагональю грани куба и высотой куба в параллельной грани.

Решение.

hello_html_m7f10d381.jpg

hello_html_37621501.png.

IV. Работа по готовым чертежам (задания есть у каждого ученика, а также проецируются на экран)

При нахождении угла между прямыми используют:

  1. Формулу hello_html_m6ce6c4e3.gifhello_html_m47453532.gif для нахождения угла hello_html_6f95504e.gif между прямыми hello_html_17aa43f7.gifи hello_html_m23b673a1.gif, если стороны hello_html_m734afb91.gifи hello_html_559071c1.gifтреугольника hello_html_m26883eb9.gifсоответственно параллельны этим прямым;

  2. формулу hello_html_54df12fc.gif или в координатной форме hello_html_m2096c8c8.gifдля нахождения угла hello_html_6f95504e.gif между прямыми hello_html_17aa43f7.gifи hello_html_m23b673a1.gif, если векторы hello_html_m527f3e3f.gifи hello_html_2c6a85d8.gifпараллельны этим прямым.



З

B

адача № 1(поэтапно-вычислительный метод): В кубе АВСDА1В1С1D1 найти угол между прямыми А1D и D1Е , где Е - середина ребра СС1

hello_html_m5a3377d3.jpg

C

C1

E

D



Решение.

Пусть hello_html_6e035ad6.gif- середина ребра BB1, aребро куба, hello_html_6f95504e.gif - искомый угол. Так как hello_html_38021109.gif, то hello_html_6f95504e.gif - угол при вершине hello_html_d968bab.gif в треугольнике hello_html_66dfa3d.gif.

Из треугольника hello_html_170ec6ad.gif имеем hello_html_md551659.gif, а из треугольника hello_html_d93c5c2.gifполучаем hello_html_m4df2b7bc.gif, откуда hello_html_m2bf14ebe.gif. Далее в треугольнике hello_html_66dfa3d.gif используем теорему косинусов hello_html_6df6bfe7.gif.

hello_html_m2e29e280.gif, откуда hello_html_58e045b4.gifи hello_html_m626e4709.gif


Задача № 2 (векторно-координатный метод): В правильной шестиугольной призме hello_html_621ab499.gif, все ребра которой равны 1, найти угол между прямыми hello_html_4179d93a.gif и hello_html_2ac0ee5c.gif.

Решение:hello_html_m14f7e0ea.jpg

Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке. Тогда hello_html_m301e2d2.gif, hello_html_3593b821.gif, hello_html_m4af7891.gif, hello_html_m47482e88.gif, hello_html_m444e2fdb.gif, hello_html_m41fb1287.gif.



Используя формулу 2), получаем

hello_html_m13537172.gif. Тогда hello_html_7339f919.gif, где hello_html_m749c816e.gifискомый угол.

Задача № 3 (векторный метод):  В кубе hello_html_m50233e16.gif найти угол между прямыми hello_html_m2457b412.gifи hello_html_7c903056.gif, где hello_html_72fc65f4.gifсередины ребер hello_html_6cc70686.gif соответственно.





В1


hello_html_61084724.jpg

C1




Р

а




С



D



Решение:

Пусть hello_html_b826abb.gif где hello_html_158ee82.gifhello_html_m1566bb21.gif

Тогда hello_html_7f686b4f.gif

hello_html_m19ecbb57.gif, откуда находим

hello_html_13d3c894.gif

hello_html_3ac366ba.gif


hello_html_34f1ca1.gif.


Подставив полученные значения в формулу, получим

hello_html_m6d1d6db1.gif: hello_html_5b4caf6d.gif. Отсюда hello_html_m4bb5ffd4.gif где hello_html_m749c816e.gifискомый угол

V. Домашнее задание:

1) Точка hello_html_62e630bc.gifсередина ребра hello_html_m37079aef.gifкуба hello_html_m50233e16.gif. Найдите угол между прямыми hello_html_636a09e.gif и hello_html_7699e3e6.gif

2) В правильной шестиугольной призме hello_html_3a8bd68f.gif, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми hello_html_4179d93a.gif и hello_html_m24333684.gif

VI. Подведение итогов урока, выставление оценок

  1. Проверочная работа

1 вариант

    1. В правильной четырехугольной пирамиде hello_html_m33c0924.gif сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины hello_html_718f0f76.gif до грани hello_html_80ae6ed.gif.

    2. В кубе hello_html_m50233e16.gif точки hello_html_m4f26a87a.gif и hello_html_6e035ad6.gif- середины ребер hello_html_8c9704d.gifи hello_html_79cc00c9.gif соответственно. Найдите косинус угла между прямыми hello_html_m5147299b.gifи hello_html_17a5b0f4.gif.

    3. В кубе hello_html_m50233e16.gif найдите угол между плоскостями сечений hello_html_m473e1e7c.gifи hello_html_m4ccdc0b3.gif



  1. Краткий анализ знаний учащихся, полученных на уроках повторения по теме «Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве»

При обучении стереометрии учителю следует повышать наглядность преподавания, уделять больше внимания изображению геометрических фигур, формированию конструктивных умений и навыков. Особого внимания требуют вопросы, связанные с вычислением расстояний и углов в пространстве применительно к конкретной фигуре. Они остаются трудными для большинства учащихся, причем, даже в тех достаточно типичных ситуациях, которые используются в задачах повышенного уровня. Так, если в задачах высокого уровня сложности рассматривается угол между двумя плоскостями, которые зачастую являются плоскостями боковых граней или плоскостями проведенных сечений, то в задачах повышенного уровня это угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани пирамиды или плоскостью типичного сечения призмы. Задачи, связанные с такими ситуациями, из года в год присутствуют в вариантах, тем не менее, процент их верного решения невысок. Это объясняется двумя причинами. Первая причина связана с тем, что углы между плоскостями (а также другие вопросы, связанные с углами и расстояниями в пространстве) в учебниках часто рассматриваются и проходят первичное закрепление до изучения многогранников и тел вращения. Поэтому очень важно при изучении каждого вида многогранников и тел вращения, а также при повторении материала обращать внимание учащихся на использование изученных ранее геометрических фактов для вычисления элементов рассматриваемой фигуры.

Вторая причина связана с задачами, в которых рассматриваются углы между прямой и плоскостью или между плоскостями, где необходимо применять планиметрический материал, нередко усвоенный непрочно. В данном случае речь идет о решении прямоугольных (реже – косоугольных) треугольников. Поэтому необходимо наиболее часто используемые сведения из планиметрии восстанавливать в памяти учащихся при изучении стереометрии

Вполне возможно, что часть учащихся, потенциально обладающих уровнем подготовки, достаточным для решения геометрических задач, помещаемых в варианты ЕГЭ, просто не доверяет своим знаниям и умениям и, предполагая, что задачи очень трудные, не пытаются их решить. Здесь, видимо, могло бы помочь более активное ознакомление учащихся с задачами, которые использовались в вариантах прошлых лет. Такие задачи представлены в сборниках, содержащих задания и варианты контрольных измерительных материалов, использованных при проведении ЕГЭ. Знакомясь с ними, учащиеся не только повторят некоторые геометрические сведения и приемы решения, но также увидят, что задачи по планиметрии при рациональном способе решения не требуют длинной цепочки рассуждений и выкладок, а стереометрические задачи повышенного уровня построены на достаточно типичных ситуациях и тоже решаются в 2-3 действия.

Приведенное выше планирование уроков повторения поможет учащимся не только закрепить материал, изученный в курсе стереометрии 10-11 классов, но и познакомиться с новыми методами решения задач на нахождение расстояний и углов пространстве. Решение одной задачи разными способами позволит им (если времени будет достаточно) проверить правильность решения той или иной задачи. Уверенное владение различными методами решения задач типа С2 ЕГЭ снимет напряжение и неуверенность учащихся на экзамене.


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 16.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров344
Номер материала ДВ-263139
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх