Инфоурок Геометрия КонспектыРазработка уроков повторения стереометрии при подготовке к сдаче ЕГЭ по математике в 11 классе

Разработка уроков повторения стереометрии при подготовке к сдаче ЕГЭ по математике в 11 классе

Скачать материал

Аннотация

 

Приведенное ниже планирование уроков повторения поможет учащимся не только закрепить материал, изученный в курсе стереометрии 10-11 классов, но и познакомиться с новыми методами решения задач на нахождение расстояний и углов пространстве. Решение одной задачи разными способами позволит им (если времени будет достаточно) проверить правильность решения той или иной задачи. Уверенное владение различными методами решения задач типа С2  ЕГЭ снимет напряжение и неуверенность учащихся на экзамене.

Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве

 

I.      Планирование учебного времени (всего 12 часов)

 

1.                  Расстояние между двумя точками (1 час)

1.1.                        Поэтапно-вычислительный метод;

1.2.                        Координатный метод;

1.3.                        Векторный метод

2.                  Расстояние от точки до прямой (1 час)

2.1.                        Поэтапно-вычислительный метод;

2.2.                        Метод параллельных прямых;

2.3.                        Векторный метод;

2.4.                        Координатный метод

3.                  Расстояние от точки до плоскости (2 часа)

3.1.                        Поэтапно-вычислительный метод;

3.2.                        Метод параллельных прямых и плоскостей;

3.3.                        Метод объемов;

3.4.                        Координатный метод;

3.5.                        Векторный метод

4.                  Расстояние между скрещивающимися прямыми (2 часа)

4.1.                        Поэтапно-вычислительный метод;

4.2.                        Метод параллельных прямой и плоскости;

4.3.                        Метод параллельных плоскостей;

4.4.                        Метод ортогонального проектирования

5.                  Угол между двумя прямыми (1 час)

5.1.                        Поэтапно-вычислительный метод;

5.2.                        Векторно-координатный метод;

5.3.                        Векторный метод

6.                  Угол между прямой и плоскостью (1 час)

6.1.                        Поэтапно-вычислительный метод;

6.2.                        Векторно-координатный метод;

6.3.                        Векторный метод

7.                  Угол между плоскостями (2 часа)

7.1.                        Поэтапно-вычислительный метод;

7.2.                        Метод параллельных прямых;

7.3.                        Метод параллельных плоскостей;

7.4.                        Метод использования перпендикуляров к плоскостям;

7.5.                        Использование теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника;

7.6.                        Векторно-координатный метод;

8.              Решение одной задачи различными методами (2 часа)


 

II.               План-конспект урока

Тема урока: «Угол между двумя прямыми»

Цели урока:

  • отработать применение теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния и угла между скрещивающимися прямыми;
  • формировать умения анализировать, переносить знания в новые ситуации при решении задач;
  • тренировать пространственное воображение;
  • воспитывать стремление к приобретению новых знаний, интерес к предмету.

Оборудование:

  • Оборудование для применения ИКТ (интерактивная доска).
  • Раздаточный материал в виде готовых чертежей

 

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (приветствие, постановка цели урока, раздача готовых чертежей к задачам).

Учитель: Здравствуйте, приветствую вас на уроке по теме «Угол между двумя прямыми».
Целью нашего урока является отработка ваших теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния и угла между скрещивающимися прямыми различными методами.

II. Актуализация знаний.

Повторяются: определение скрещивающихся прямых, признаки скрещивающихся прямых, определение расстояния между скрещивающимися прямыми

 

Определение:

 

Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости

 

 

Признак скрещивающихся прямых:

 

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются

 

Расстояние между скрещивающимися прямыми:

 

Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми a  и  b называется длина их общего перпендикуляра.

 

 

 

 

III. Устная работа (задания проецируются на экран)

В каждой из следующих задач нужно изобразить расстояние и угол между указанными скрещивающимися прямыми.

Задача № 1: Изобразите расстояние и угол между скрещивающимися диагональю грани куба и стороны параллельной грани.

Решение:

.


Задача № 2: Изобразите расстояние и угол между скрещивающимися диагоналями параллельных граней куба.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 .

 

Задача № 3: Изобразите расстояние и угол между скрещивающимися диагональю грани куба и высотой куба в параллельной грани.

Решение.

.

IV. Работа по готовым чертежам (задания есть у каждого ученика, а также проецируются на экран)

При нахождении угла между прямыми используют:

1.      Формулу  для нахождения угла  между прямыми и , если стороны и треугольника соответственно параллельны этим прямым;

2.      формулу  или в координатной форме для нахождения угла  между прямыми и , если векторы и параллельны этим прямым.

 

B

 
Задача № 1(поэтапно-вычислительный метод): В кубе АВСDА1В1С1D1 найти угол между прямыми А1D и D1Е , где Е - середина ребра СС1

D

 

E

 

C1

 

C

 

 

Решение.

Пусть - середина ребра BB1, a ребро куба,  - искомый угол. Так как , то  - угол при вершине  в треугольнике .

Из треугольника  имеем , а из треугольника получаем , откуда . Далее в треугольнике  используем теорему косинусов .

, откуда и

 

Задача № 2 (векторно-координатный метод): В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямыми  и .

Решение:

Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке. Тогда , , , , , .

 

Используя формулу 2), получаем

. Тогда , где искомый угол.

Задача № 3 (векторный метод):  В кубе  найти угол между прямыми и , где середины ребер  соответственно.

 

 

 

 

В1

 

C1

 
 

 

 


Р

а

 

 

 

С

 

 

D

 
 

 


 Решение:

Пусть  где  

Тогда  

, откуда находим

 

.

 

Подставив полученные значения в формулу, получим

: .  Отсюда  где искомый угол

V. Домашнее задание:

1) Точка середина ребра куба . Найдите угол между прямыми  и

2)  В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми  и

VI. Подведение итогов урока, выставление оценок

III.           Проверочная работа

1 вариант

1.      В правильной четырехугольной пирамиде  сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины  до грани .

2.      В кубе  точки  и - середины ребер и  соответственно. Найдите косинус угла между прямыми и .

3.      В кубе  найдите угол между плоскостями сечений и

 

IV.            Краткий анализ знаний учащихся, полученных на уроках повторения по теме «Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве»

При обучении стереометрии учителю следует повышать наглядность преподавания, уделять больше внимания изображению геометрических фигур, формированию конструктивных умений и навыков. Особого внимания требуют вопросы, связанные с вычислением расстояний и углов в пространстве применительно к конкретной фигуре. Они остаются трудными для большинства учащихся, причем, даже в тех достаточно типичных ситуациях, которые используются в задачах повышенного уровня. Так, если в задачах высокого уровня сложности рассматривается угол между двумя плоскостями, которые зачастую являются плоскостями боковых граней или плоскостями проведенных сечений, то в задачах повышенного уровня это угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани пирамиды или плоскостью типичного сечения призмы. Задачи, связанные с такими  ситуациями, из года в год присутствуют в вариантах, тем не менее, процент их верного решения невысок. Это объясняется двумя причинами. Первая причина связана с тем, что углы между плоскостями (а также другие вопросы, связанные с углами и расстояниями в пространстве) в учебниках часто рассматриваются и проходят первичное закрепление до изучения многогранников и тел вращения. Поэтому очень важно при изучении каждого вида многогранников и тел вращения, а также при повторении материала обращать внимание учащихся на использование изученных ранее геометрических фактов для вычисления элементов рассматриваемой фигуры.

 Вторая причина связана с задачами, в которых рассматриваются углы между прямой и плоскостью или между плоскостями, где необходимо применять планиметрический материал, нередко усвоенный непрочно. В данном случае речь идет о решении прямоугольных (реже – косоугольных) треугольников. Поэтому необходимо наиболее часто используемые сведения из планиметрии восстанавливать в памяти учащихся при изучении стереометрии

 Вполне возможно, что часть учащихся, потенциально обладающих уровнем подготовки, достаточным для решения геометрических задач, помещаемых в варианты ЕГЭ, просто не доверяет своим знаниям и умениям и, предполагая, что задачи очень трудные, не пытаются их решить. Здесь, видимо, могло бы помочь более активное ознакомление учащихся с задачами, которые использовались в вариантах прошлых лет. Такие задачи представлены в сборниках, содержащих задания и варианты контрольных измерительных материалов, использованных при проведении ЕГЭ. Знакомясь с ними, учащиеся не только повторят некоторые геометрические сведения и приемы решения, но также увидят, что задачи по планиметрии при рациональном способе решения не требуют длинной цепочки рассуждений и выкладок, а стереометрические задачи повышенного уровня построены на достаточно типичных ситуациях и тоже решаются в 2-3 действия.

Приведенное выше  планирование уроков повторения поможет учащимся не только закрепить материал, изученный в курсе стереометрии 10-11 классов, но и познакомиться с новыми методами решения задач на нахождение расстояний и углов пространстве. Решение одной задачи разными способами позволит им (если времени будет достаточно) проверить правильность решения той или иной задачи. Уверенное владение различными методами решения задач типа С2  ЕГЭ снимет напряжение и неуверенность учащихся на экзамене.

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработка уроков повторения стереометрии при подготовке к сдаче ЕГЭ по математике в 11 классе"

Настоящий материал опубликован пользователем Хазиева Альфия Нильсовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Скачать материал
    • 16.12.2015 2266
    • DOCX 299.5 кбайт
    • 54 скачивания
    • Оцените материал:
  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Хазиева Альфия Нильсовна
    Хазиева Альфия Нильсовна

    учитель

    • На сайте: 11 лет и 11 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 14618
    • Всего материалов: 11

    Об авторе

    Категория/ученая степень: Высшая категория
    Место работы: МБОУ "Школа №25"
    История моей семьи – страница многовековой истории Отечества. Семья ... Как я понимаю это слово? Мне кажется, что я понимаю его через слово родители. Ведь родители, воспитывая детей, создают будущую историю нашей страны а, значит, и историю мира. Имею ли я право заглядываться на историю мира? Я обычный учитель средней школы. Живу в постоянных трудовых буднях, не думая о том, что я делаю историю нашей страны, воспитывая своих детей, как не думали об этом мои родители, родители моих родителей … Что движет историю – народ или выдающиеся личности? Как она движется – по прямой или по спирали? Как бы то ни было, история каждой страны, как мозаика из маленьких кусочков, складывается из историй отдельных семей. И зачастую любовь к родине – это в первую очередь любовь к семье. К своему ближайшему окружению и привязанность к местам, знакомым с детства. Мои предки не были выдающимися личностями (теми, что движут историю), они просто с любовью делали каждый своё дело. Мой прадед Кеяз Ханбик Хэлфэ был сельским историком (село Старое Шаймурзино Дрожжановского района); его сын Рахимжан Ханбикович Ахтямов, до 1918 года (до занятия Казани белочехами) учился в медресе «Мухаммадия», а в 1918 году вернулся в село и стал учить шакирдов в медресе. В 1923 году открылась начальная школа, он заведовал школой, был первым директором ШКМ и первым директором средней школы. Дед Рахимжан Ахтямов – из рода Шафигуллы бабая, а женился он на дочери Шарифзян хазрат из рода Акбарди бабая из Малой Цильны (соседняя деревня). Таким образом, два рода, начало которых относится к 1670 годам, породнились. Бабушка Махфуза Шариповна (в девичестве Салихова) всю жизнь проработала учителем начальных классов. Мои бабушка и дедушка учили детей. В их семье было шестеро детей и одним из них – мой отец Ахтямов Нильс Рахимзянович, который родился в 1931 году. На его хрупкие подростковые плечи легли все семейные заботы, так как отца семьи в 1942 году призвали на фронт и он, защищая Родину, погиб. Семья осталась без кормильца, а самой младшей сестренке в это время был всего один год. Мой отец очень любил учиться, был самым лучшим учеником в классе, но судьба распорядилась так, что он должен был присматривать за детьми ... Трудилась в семье только мама. Папа два года учился самостоятельно, экстерном. Закончил он школу «круглым отличником». Тяжело было нашей стране восстанавливать хозяйство в послевоенные годы, тяжело было и семьям. Но желание учиться не исчезло. Бабушка не хотела учить сына дальше, долго сомневалась, но поняла, что не имеет права отказывать ему в этом. Через трудности, лишения, но мой отец в 1949 году стал студентом пединститута. Тропа педагога… Наверно это было судьбой. Но нет, через три года в Казани открыли Казанский авиационный институт и мой отец, как один из лучших студентов физмата, был принят без конкурса на третий курс. Быть строителем самолетов… Вот судьба моего отца! После окончания вуза его оставляли в аспирантуре, но он пошел работать на авиационный завод. Работал инженером, летал бортинженером, испытывая самолеты, а с 1966 года занимал должность заместителя главного инженера по оборудованию. Он строил завод, рос вместе с ним, болел душой за него. Был награжден орденами «Трудового Красного знамени» и «Знак Почета», медалью «За Трудовую доблесть», являлся лауреатом Государственной премии СССР в области космической связи. Я горжусь своим отцом, и, несмотря на то, что его в 1992 году не стало, очень его люблю и хочу, чтобы мои дети выросли такими же честными, добрыми и порядочными людьми. Вы думаете, что прервалась моя педагогическая ниточка. Нет, моя мама всю жизнь проработала учителем русского языка и литературы. Именно её любовь к своей профессии, каждодневная подготовка к урокам, принципиальность, настойчивость в достижении цели являются для меня примером человека, влюбленного в профессию учителя. Нас в семье трое: две сестры и младший брат. Каждый из нас стремится внести свою лепту в историю нашей страны. Сестра работает акушером-гинекологом, брат занимается рекламным бизнесом, я – учитель математики и информатики. Я не сразу стала учителем, после окончания Казанского Государственного Университета 11 лет проработала инженером-программистом на КАПО им С.П.Горбунова, но тропа судьбы привела меня в школу.

Рабочий лист. Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень. Задание 11. Стереометрия. Решение практических задач. Параллелепипед.

Файл будет скачан в формате:

  • pdf
1436
69
11.01.2024
«Инфоурок»

Материал разработан автором:

Шакурова Мария Анатольевна

Учитель

Об авторе

Категория/ученая степень: Высшая категория
Место работы: МАОУ СОШ № 25
Преподаю математику и информатику. Педагогический стаж работы 21 год. Высшая категория. Являюсь классным руководителем. Очень люблю свою профессию и посвящаю ей все свободное время. Разрабатываю уроки, создаю тесты, изучаю новые программы. Есть у меня и хобби. Мне нравится конструировать и шить одежду.
Подробнее об авторе
Рабочий лист. Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень. Задание 11. Стереометрия. Решение практических задач. Параллелепипед. Содержит задачи на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда, куба; площади основания параллелепипеда. Задания на перевод из кубических сантиметров в литры.

Краткое описание методической разработки

Рабочий лист. Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень. Задание 11. Стереометрия. Решение практических задач. Параллелепипед. Содержит задачи на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда, куба; площади основания параллелепипеда. Задания на перевод из кубических сантиметров в литры.

Смотреть ещё 5 938 курсов

Методические разработки к Вашему уроку:

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

7 347 747 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Оформите подписку «Инфоурок.Маркетплейс»

Вам будут доступны для скачивания все 326 319 материалов из нашего маркетплейса.

Мини-курс

Психотерапевтические методы работы с детьми и подростками

3 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе
  • Этот курс уже прошли 22 человека

Мини-курс

Основы и техники психологического консультирования

5 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе
  • Этот курс уже прошли 19 человек

Мини-курс

Комплексное развитие языковых навыков в преподавании английского языка

4 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе
  • Этот курс уже прошли 22 человека
Смотреть ещё 5 938 курсов