Разработка внеурочного занятия по геометрии в 8 классе по теме "Среднии линии трапеции"

Методическая разработка

 занятия по геометрии  в 8 классе по теме

 «Трапеция. Средние линии трапеции.»

Учитель:  Левина Наталья  Александровна

Методические комментарии.       Геометрии отводится ведущая роль в формировании дедуктивного стиля мышления. Значительная роль в развивающей функции обучения отводится усвоению, открытию и доказательству теорем наряду с разнообразием геометрических задач. Одним из важных направлений в психолого-педагогических исследованиях, посвященных методам обучения математики, является «проблемное обучение». Существенным условием проявления проблемного обучения является исследовательский характер работы учащегося в процессе обучения. Деятельность учащихся должна быть так организована, чтобы ученик был активным, самостоятельным, решал задачи, требующие не только знания, но и определенной сообразительности и догадки.

Знания, полученные ранее в теме «Четырехугольники. Площадь четырехугольников» позволяют это сделать. В подростковом возрасте   ведущей деятельностью учащихся является деятельность общения в процессе обучения. Для организации такой деятельности учитель предлагает учащимся включиться в поиск новых фактов и способов доказательства этих фактов: каждому ученику предлагается канва занятия, которую учащиеся заполняют в течении занятия. В ходе такой деятельности развивается любознательность, интерес к математике, формируются универсальные учебные действия: обобщение, абстрагирование, синтез. Познавательная деятельность направлена на познание системы отношений в процессе отыскания различных методов, приёмов доказательства теорем и решения практических задач.

Технологическая карта занятия

Тема занятия: Трапеция. Средние линии трапеции.

Тип занятия: Систематизация знаний, изучение нового материала.                                                                             

Оборудование: Компьютер, проектор, экран, раздаточный материал.

Цели занятия:  

Предметные:

1) обобщить и систематизировать знания учащихся о свойствах трапеции

2) открыть и доказать новые свойства трапеции

3) узнать приемы дополнительных построений при решении задач на трапецию

Метапредметные :

1) умение самостоятельно определять цели своего обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе;

2) умение выдвигать гипотезы при решении задачи и понимать необходимость их проверки;

3) устанавливать причинно — следственные связи, проводить доказательные рассуждения и делать выводы;

4) формировать умение сравнивать, анализировать, обобщать, классифицировать,  используя разные основания .

Личностные :

 1) готовность и способность к саморазвитию на основе мотивации к обучению и познанию;

2) развивать познавательный интерес к математике;

3) развивать критичность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении геометрических задач и доказательстве математических утверждений.

Планируемые результаты:

1) учащийся узнает о приёмах дополнительных построений при решении задач на трапецию и научится применять их при доказательстве теорем и решении задач;

2) учащийся научится применять свойство отрезка, соединяющего середины боковых и середины оснований при решении задач;

3) учащийся узнает теорему Эйлера, новые свойства средней линии трапеции;

4) учащийся систематизирует свои знания о свойствах трапеции.

Основные понятия: Свойство средней линии трапеции; формулы вычисления площади трапеции; прямая Эйлера; свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции; свойство отрезка, соединяющего середины оснований трапеции;

Организационная  структура занятия.

1. Ориентировочно – мотивационная часть

      1) Этап мотивации

      2) Этап постановки учебной задачи

2. Операционно -  познавательная часть

    1) Подготовка к восприятию (устная работа в парах и фронтально)

    2) Восприятие (практическая работа, доказательство свойств)

    3) Осознание, осмысление (доказательство теоремы разными способами)

    4) Закрепление, применение (ключевые задачи, тест)

3. Рефлексивно – оценочная часть

     1) Подведение итогов

     2) Планирование дальнейшей учебной деятельности

     3) Домашнее задание

Ход занятия

1.    Мотивационно – ориентировочная часть занятия

 Мотивация учебной деятельности учащихся.                                             Постановка цели и задач.

1.1 Организационный этап: Здравствуйте! Сегодня на занятии мы будем работать тетрадях и с выданным раздаточным материалом. В тетрадях запишите число, занятие по геометрии. Лист «Приложение №2» подпишите.

1.2.Установление происхождения темы: Трапеция. Средние линии трапеции.

Неделю назад к этому занятию вам было выдано задание №4 :1) решить задачу№1; 2) выписать все теоретические положения о трапеции, которые вам известны. Сдайте листы.

Ø    Учащиеся сдают задание, выполненное на листах.

Ø    Работают в парах, проверяют решение задачи №1.

Задача№1  В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, меньшее основание равно 3, а большее 5. Найти площадь трапеции.

Ø    Ответ :16

3

                                      1) S = 0,5(BC + AD)*BK,  BC + AD = 8

                                      2) KH = 3, AK =DH = 1

                                      3) ∆ACD = ∆DBA (по трем сторонам), то

                                      ˂CAD =˂BDA

5

                                     4) ∆AOD – равнобедренный и прямоугольный,

                                       ˂ODA=45°

                                     5 )∆BKD -прямоугольный, равнобедренный, то BK = KD

                                     6) BK= 3 + 1= 4, S = 0,5*8*4 = 16

1.3.Мотивация учебной деятельности: Решите устно задачи

Задача №1

1) Основания трапеции равны 14 и 42. Найти больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

2) Найти площадь равнобедренной трапеции, боковая сторона которой равна 5, а высота и меньшее основание равны 4.

3) Углы при основании трапеции равны 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 11 и 1. Найти основания трапеции.

Ø  Учащиеся фронтально решают устно задачи

14

4

№1.1                                         №1.2                                             №1.3

		42

 

Ответ: 21                                         Ответ: 28                              Ответ:?

Ø Учащиеся затрудняются в решении третьей задачи.

1.4. Постановка целей урока. Почему вы не можете решить эту задачу. Ведь не случайно она включена в список устных задач?  Наверное есть свойства трапеции, о которых нам неизвестно. Какие задачи можно поставить на этом уроке?

Ø Узнать свойства трапеции, связанные со средними линиями, т. е. Отрезками, соединяющими середины боковых сторон и середины оснований трапеции.

Ø Свойство средней линии трапеции, соединяющей боковые стороны трапеции нам известно.

Итак, тему урока можно обозначить так: Трапеция. Средние линии трапеции.

2. Операционно -  познавательная часть занятия

2.1 Актуализация знаний

Заполните таблицу в листе «Приложение №2» самостоятельно, а затем проверьте свое решение в парах.

Ø Учащиеся решают тест и приходят к необходимости доказать свойство: Если сумма углов при одном основании трапеции равна 90°,     то отрезок,  соединяющий середины оснований, равен

          полуразности оснований трапеции.

Ø  Во фронтальной работе учащиеся доказывают данное свойство.

С

М

                            

В

                                                            

 

Д

А

N

                                                                                                                                   

Необходимы дополнительные построения для доказательства свойства. Вспомним какие дополнительные построения в трапеции помогают решать задачи. Обратимся к материалам проекта «Дополнительные построения в трапеции»

Ø Учащиеся работают с Приложением №3 «Дополнительные построения в трапеции»

  2.2 Изучение нового материала

Ø Учащиеся предлагают построить прямые параллельные боковым сторонам трапеции через середину меньшего основания.

Ø Во фронтальной работе учащиеся доказывают данное свойство.

B

C

M

                                                       

			D

 

1) МК ׀׀ АВ, МТ׀׀ СД, то ˂МКТ + ˂МТК = 90° и ˂КМТ = 90°;

2) АN = NД, АК = ВМ и ТД = МС, тогда КN = NT;

3) МN – медиана треугольника КМТ, проведенная из вершины прямого угла, то МN равна половине гипотенузы КТ;

4) КТ = АД — АК — ТД = АД — (ВМ + МС) = АД — ВС

5) МN = 0,5КТ = 0,5(АД — ВС)

 2.3 Применение изученного материала

Теперь можно решить устно задачу: Углы при основании трапеции равны 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 11 и 1. Найти основания трапеции.

a

   

1) Средняя линия трапеции, соединяющая середины боковых сторон, равна 11, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 1;

2) По свойству средней линии трапеции 0,5(а + в) = 11;

3) По свойству отрезка, соединяющего середины оснований 0,5(а — в ) = 1

4) а + в= 22, а — в = 2, то  а = 12, в = 10

2.4 Контроль и коррекция знаний

Работа в пара. Какие теперь виды трапеций можно определить? Разделите все трапеции на четыре группы и определите отличительное свойство этой группы.

ü Произвольные трапеции.

ü Прямоугольные трапеции.  Высота прямоугольной трапеции является боковой стороной трапеции.

ü Равнобедренные трапеции. Диагонали и углы при основании равнобедренной трапеции равны.

ü  Трапеции, в которых сумма углов при одном основании равна 90°. Отрезок, соединяющий середины оснований равен полуразности оснований трапеции.

Работа в учебных четверках. Решите задачу на один из видов трапеции.

1) В трапеции АВСД отрезки АД и ВС основания, угол А равен 67°, угол Д равен 23°, средняя линия равна 10,5см, а отрезок, соединяющий середины отрезков АД и ВС равен 3,5см. Найти наибольшее основание.                     (ответ :7см и 14см)

2) В трапеции АВСД отрезки АД и ВС основания, угол А равен 70°, угол Д равен 20°, средняя линия равна 24см, а отрезок, соединяющий середины отрезков АД и ВС равен 12см. Найти наименьшее основание.                                         (ответ :12см и 36см)

3) В трапеции сумма углов при одном из оснований равна 90°, отрезки соединяющие середины оснований и боковых сторон равны 3,5 и 17,5. Найти основания трапеции.

 (ответ: 21 и 14)

4) Основания равнобедренной трапеции равны 30см и 40см, а диагональ 37см. Найти площадь трапеции.

(Ответ: 420см²)

5) Найдите площадь равнобедренной трапеции, меньшее основание которой равно 10см, боковая сторона — 6см, а угол при меньшем основании — 120°.

(Ответ: 39√3 см²)

6 )Основания равнобедренной трапеции равны 11см и 17см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

(Ответ: 196см²)

7) Основания прямоугольной трапеции равны 6см и 10см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции.

(Ответ: 48см²)

ü  Учащиеся решают задачу в парах, затем проверяют решение в своей четверке и открывают свой ответ на зашифрованном табло.

14	48	21и 14
39√3	420	196
	12

ü На оборотной стороне откроется тема урока: m=1/2(a+b), n= 1/2(a – b)

3. Рефлексивно – оценочная часть занятия

3.1 Планирование дальнейшей учебной деятельности.

Каким общим свойством обладают все трапеции? Это свойство связан со средней линией трапеции.

ü Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований.

ü Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, заключенный между основаниями

ü Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности оснований трапеции.

ü Теорема Эйлера: точки пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции, диагоналей трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.

Чтобы решать более сложные задачи, нужно проверить и доказать эти свойства трапеции. Это и будет план учебной деятельности на последующих уроках.

3.2 Рефлексия учебной деятельности на занятии

 Подведем итоги занятия. Продолжите высказывания:

1) Самым интересным для меня было...

2) Я получил(а) полезную информацию о том, что...

3) Я хотел(а) бы еще узнать...

4) Мне понравилось...

5) Мне не понравилось…

3.3 Задание на длительное время:

Контрольные вопросы

       1) Определение трапеции.

2) Виды трапеций

3) Средняя линия трапеции. Ее свойство.

4) Площадь трапеции.

5) Теорема Пифагора.

6) Какие еще свойства трапеции тебе известны?

                                           Задачи.

1) В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, меньшее основание равно3, а большее 5. Найти площадь трапеции.

2) Найти площадь трапеции, если ее основания равны 6 и 27, а боковые   стороны 13 и 20.

 3) В равнобедренной трапеции АВСД большее основание АД равно 22, а  боковая сторона равна 10. Диагональ АС делит угол А пополам. Найти площадь трапеции.

4) Найти площадь равнобедренной трапеции, если угол при большем основании равен 60°. Средняя линия трапеции равна 4см, одно основание больше другого на 4 см.

5) Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма ее оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции.

6) Диагонали трапеции АС и ВД пересекаются в точке О. Площадь треугольника ВОС равна 9, а площадь треугольника АОД равна 16. Найти площадь трапеции АВСД.

7*) Доказать свойства средних линий трапеции:

1) Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, заключенный между основаниями

2) Теорема Эйлера: точки пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции, диагоналей трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой (проверить практическим путем).

3) Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности оснований трапеции

4) Если сумма углов при одном основании трапеции равна 90°, то отрезок,  соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований трапеции (вторым способом).

Приложение№2

Мозговой штурм «Трапеция. Неизвестное об известном»

Выясните, верно ли утверждение.

1	Фамилия, имя		Ответ
2	Умозаключение	Изображение                                (при необходимости)	да	нет	не знаю
3	Если в четырехугольнике две стороны параллельны, то этот четырехугольник — трапеция
4	Средняя линия трапеции параллельна основаниям
5	Сумма углов любой трапеции равна 360°
6	Сумма углов при любой стороне трапеции равна 180°
7	Если диагонали трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная
8	Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований
9	Площадь трапеции равна произведению ее основания на высоту
10	Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции           равна 10
11	Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, заключенный между основаниями трапеции
12	Точки пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции, диагоналей трапеции и  середины оснований трапеции лежат на одной прямой.
13	Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции.
14	Если сумма углов при одном основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований трапеции.
15		Всего

Приложение №3

 Дополнительные построения в трапеции при решении задач