Разработка заданий, направленных на развитие межпредметной интеграции на уроках математики

  Разработка заданий, направленных на развитие межпредметной интеграции на уроках математики

   Математика и русский язык

Мы, русские люди, говорим на родном нам языке – русском. И здесь важно, чтобы каждый учитель, в том числе и учитель математики, в совершенстве владел русским языком. Очень важно грамотно строить свою речь и учить этому детей; грамотно и в смысле русского языка и в смысле математическом. При проверке письменных работ требуется исправлять и грамматические ошибки, этому надо следовать неукоснительно. В практике работы учителя математики часто встречается необходимость произносить словесные формулировки математических выражений, таких как, например, «квадрат суммы двух выражений», «разность квадратов двух выражений» и т.д. И здесь важную роль в понимании математического смысла помогает грамматический анализ математического выражения.

Следует добиваться (в пределах разумного) полного и грамотного изложения своих мыслей, как в устной, так и в письменной речи. Нельзя требовать от учащихся, например, пояснений, как и на какой множитель, он сократил дробь при выполнении преобразований при самостоятельном выполнении упражнений. Но при работе у доски это почти обязательно.

Необходимо избегать, как правило, односложных ответов учащихся на уроках во время устного опроса.

В качестве сопутствующих межпредметных связей в процессе преподавания математики и русского языка можно привести такой пример. В 6 классе изучается тема «Числительное». Здесь изучаются как количественные, так и порядковые числительные, их склонение. Учителю математики следует это учитывать и предложить, например, такие задания. Пример 1

-  |-8| - |-5 | (Из модуля минус восьми вычесть модуль минус пяти).

-  |28,52|:|-2,3| (Модуль двадцати восьми целых пятидесяти двух сотых разделить на модуль минус двух целых трех десятых).

Можно предложить учителю русского языка дать подобные задания на его уроках. Время изучения материала совпадает. Возможно, дать общее домашнее задание по русскому языку и математике, а затем оценить отдельно по каждому предмету. К тому же учащиеся оценят необычность подобного задания, что вызовет дополнительный интерес к нему.

 Очень часто ученики в существительном «длина» пишут удвоенное «н». Имеет смысл разъяснить, что существуют слова «длина» и «длинна», но первое – это имя существительное и означает величину предмета, второе – краткое прилагательное, обозначающее свойство предмета (например, «дорога длинна»).

  Математика и физика

Связи между науками математики и физики многообразны и постоянны.

Математика как наука сформировалась первой, но по мере развития физических знаний математические методы находили все большее применение в физических исследованиях. Взаимосвязи математики и физики определяются, прежде всего, наличием общей предметной области, изучаемой ими, хотя и с различных точек зрения. Взаимосвязь математики и физики выражается во взаимодействии их идей и методов. Эти связи можно условно разделить на три вида:

– физика ставит задачи и создает необходимые для решения математические идеи и методы, которые в дальнейшем служат базой для развития математической теории;

– развитая математическая теория с ее идеями и математическим аппаратом используется для анализа физических явлений, что часто приводит к новой физической теории, которая  в свою очередь приводит к развитию физической картины мира и возникновению новых физических проблем;

– развитие физической теории опирается на имеющийся определенный математический аппарат, но последний совершенствуется и развивается по мере его использования в физике.

Именно  поэтому, в  системе школьных учебных предметов наибольшую связь, имеют математика и физика. Связь здесь состоит в том, что в целях формирования общеучебных умений и навыков при решении задач важно знакомить учащихся с общими методами и подходами (координатный, алгоритмический) к анализу задачи, ее решению и оформлению. Это должно отражать единство требований к решению задач по математике, физике и химии. На уроках химии решаются задачи, при этом очень часто приходится иметь дело с решением уравнений, выявлением прямой и обратной пропорциональной зависимости. Важно поэтому обеспечить единство подходов, о которых говорилось выше, использования на уроках химии тех алгоритмов, которые учащиеся уже применяли на уроках математики.

Понятие функциональной зависимости является  одним из ведущих в математике и очень часто используется на уроках физики. Первое знакомство с графиками ученики получают на уроках математики в 6 классе. При этом они учатся строить графики движения пешехода, поезда, температуры (по таблице), находить по графику значение одной переменной, если задано значение другой переменной. Ярким примером пропедевтики физических знаний является задача. При вычерчивании графиков на уроках физики учащиеся применяют знания по математике и развивают представления о функциональной зависимости. Надо обратить внимание на то, что при рассмотрении физических закономерностей широко используют графики, причем координатные оси обозначают символами тех физических величин, зависимость между которыми исследуется графиком.

Иногда учащиеся отождествляют график с траекторией движения.

Чтобы избежать такой ошибки, которая встречается в знаниях учащихся не только в 7 классе, но и в 9 классе, следует учить их читать и анализировать графики движения . Большие возможности для понимания функциональных зависимостей дает материал алгебры и физики в 7 классе . Здесь изучение темы «Движение и силы» в курсе физики несколько опережает изучение темы «Функция» в курсе алгебры, поэтому на уроках математики естественно использовать знания, полученные на уроках физики.

Вместе с тем, в дополнение к тем задачам по физике, которые даны в учебнике А.В. Перышкина, учащимся можно предложить рассмотреть задачу такого содержания:

Пример 1

- Велосипедист едет равномерно со скоростью 27 км/ч, его обгоняет мотоциклист, едущий со скоростью 72 км/ч. Построить график пути и скорости движения велосипедиста и мотоциклиста. Сравнить их .

На уроках алгебры в 7 классе дается понятие прямой, обратной пропорциональной линейной зависимостей. Использование физических задач на нахождение массы тела по его плотности и объему, силы давления по давлению и площади опоры позволят на уроках математики показать практическую ценность изучаемого материала .

При изучении темы «Скорость прямолинейного равноускоренного движения. График скорости» подчеркивается, что зависимость скорости от времени в этом случае является линейной. И от того, насколько ученики усвоили этот материал в курсе математики, зависит успешность усвоения материала по физике .

Дальнейшее изучение и углубление понятия функциональной зависимости происходит в 8 классе при изучении квадратичной функции и играет перспективную роль при изучении равноускоренного движения в курсе физики 9 класса. Поэтому при решении задач по физике по этой теме важно использовать этот же алгоритм решения квадратных уравнений, что и в курсе алгебры, использовать возможности теоремы Виета. Для устранения путаницы в умах учащихся между траекторией движения и графиком движения, а также для повторения метода графического решения уравнений к задачам в упражнении 7  можно добавить следующий пример:

Пример 2

- Автомобиль, имея начальную скорость 5 м/с, начинает двигаться с ускорением 2 м/с². Через сколько времени его путь составит 36 м? (задачу решить аналитически и графически) .

При изучении понятия мгновенной скорости по механике в 9 классе представляется возможным использовать предел и производную функции.

Эти понятия в курсе математики изучаются в 10 классе . Поэтому учитель физики в 9 классе знакомит учащихся с понятием мгновенной скорости лишь качественно, на основе идеи непрерывности движения. На уроках математики 10 класса при  изучении производной функции раскрывают механический смысл производной и записывают формулу скорости υ = х´ или υ(t) = х´(t). При повторении курса физики целесообразно дать более строгое определение мгновенной скорости на основе применения понятия о производной.

Еще одним из основных понятий математики является понятие вектора.   

Понятие о векторе и действиях с векторами изучают в курсе геометрии 8 – 9 классов. Поэтому к началу изучения темы «Законы взаимодействия и движения тел» в курсе физики 9 класса школьники уже имеют необходимую математическую подготовку и в этом случае созданы благоприятные условия для реализации межпредметной интеграции. И если учебник по геометрии 8 – 9 класса в некоторой мере учитывает имеющиеся знания по физике (например, п.76), но затем это не используется и не указывается практического применения изучаемого материала .

Современное преподавание математики требует органического сочетания экспериментального и теоретического методов изучения физики, выявления сути физических законов на основе доступных понятий элементарной математики. Такой подход одновременно обеспечивает повышение уровня математических знаний, формирует логическое мышление, осознание единства материального мира. Учащиеся начинают испытывать удовлетворение, замечая, что абстрактные математические формулы и уравнения имеют реальное воплощение в физических процессах.

Например, при рассмотрении задач о блоках, наклонных плоскостях и т. д. целесообразно указать учащимся направление поисков решения: записать уравнения второго закона Ньютона для данных тел (грузов), пояснив, что эта система уравнений будет линейной (решение ее известно из курса алгебры). При таком подходе обычно не вызывает затруднения иная формулировка задачи: по известным массам найти силу и ускорения грузов или наоборот.

В курсе физики 9 класса вывод формулы перемещения при равноускоренном движении основывается на формуле площади трапеции, которая учащимся к тому времени неизвестна. Изучение площадей отнесено к концу курса геометрии 9 класса. Учащимся можно предложить получить данную формулу, используя те сведения, которые им уже известны:

– формула площади прямоугольника;

– диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника.

S_OABC = S_OADC + S_ABD = S_OADC + S_ADBE

S_x = U_{0x *}t +

 

    Е                             В

         А                        D

U_0x                                                      U_0x

          О                                С

Осознание учащимися того факта, что они нашли выход из трудного положения, что решили задачу по-своему, заставляет их гордиться собой, своими знаниями, побуждает интерес к изучаемым предметам. Вместе с тем, данный пример позволяет показать, что математика – это факел, освещающий путь всем другим наукам.

Повторение и обобщение знаний о величинах (скорость, время, путь, площадь, объем), формулах, их выражающих, отработку умений их применения можно провести в форме игры-конкурса, целью которого будет подчеркивание взаимосвязи физики и математики; развитие логического мышления; воспитание познавательного интереса к учебным предметам. Вот некоторые вопросы и задачи по физике и математике, которые можно использовать в качестве заданий в ходе игры.

Пример 3

1.          В некотором царстве, в некотором государстве была такая единица длины – бумбас. Двор царского дворца имел форму прямоугольника со сторонами 50 и 80 бумбасов. Найдите площадь дворца в квадратных бумбасах. (4000(кв.бумбасов).

2.          А сам дворец стоял в углу двора, занимал квадрат со стороной 20 бумбасов. Царь решил выложить двор снаружи коврами, имевшими форму прямоугольников со сторонами 2 и 5 бумбасов. Сколько потребуется ковров? (360 ковров.)

3.          На какую высоту возвышался бы столб, составленный из всех миллиметровых кубиков одного кубометра, выложенных один на другой?

4.          В бассейне с горизонтальным дном площадью 1 га содержится 10 миллионов литров воды. Можно ли в этом бассейне провести соревнования по плаванию? ( Высота слоя воды 1 дм.)

5.          Смекалкин спросил младшего брата: «Какой объем имеет 1 лист бумаги?». Брат удивился: «Разве у листа бумаги может быть объем?» Смекалкин дал ему 300 листов бумаги, сложенных в пачку и предложил использовать ее для вычисления объема листа. Длина пачки 300 мм, ширина 203 мм, высота 30 мм. Найдите объем одного листа. (Объем равен 6090 кубических миллиметров.)

   Математика и информатика

В современных условиях, когда информационные технологии все шире и прочнее входят в нашу жизнь, в практике работы учителей все чаще используется электронно-вычислительная техника. Аспекты применения ЭВТ – это, прежде всего, демонстрационная и вспомогательная. Используя проектор, кинокамеру, фотокамеру, можно организовать демонстрацию различных процессов, происходящих в природе, математике и практике. Для математики – это движение, использование на практике таких утверждений, как « треугольник – жесткая фигура» и др.

Если, в соответствии с учебным планом школы, введено более раннее (в младшем и среднем звене) преподавание информатики, то использовать ЭВМ можно и по другим аспектам. Так, в качестве закрепления, можно предложить учащимся, используя программу Excel построить график квадратичной функции. Это позволит учащимся убедиться в правильности своих рассуждений и математических выкладок.

Точно также учащиеся могут построить графики тригонометрических функций, прежде всего y = sinx, y = cosx, y = tgx, а также более сложных функций. Кроме того, можно привлечь ЭВМ с помощью той же программы Excel для проверки правильности решения тригонометрических и других уравнений и неравенств, нахождения пределов функций. Понятие предела в курсе математики средней школы дается на интуитивном уровне и, поэтому, построение соответствующих графиков функций при стремлении аргумента к тому или иному числу, позволит этот интуитивный уровень свести к интуитивно-наглядному.

В курсе математики средней школы только упоминается о существовании других систем счисления кроме десятичной. В процессе изучения соответствующей темы в курсе информатики значительно расширяется понятие числа, систем счисления, их необходимости, т.к. все электронно-вычислительные машины работают на использовании двоичной системы счисления. Очень интересным получается вечер по математике и информатике, где интегрируются знания учащихся по этим предметам.

Эффектно получаются фокусы, предложенные Я.И. Перельманом в своей книге– «Угадать число спичек», «Не открывая кошельков» и др .

 Тема «Алгоритмизация и программирование» изучается на всех ступенях средней школы, но на разном уровне. В начальной школе происходит знакомство на интуитивном уровне с понятиями алгоритма, алгоритмических конструкций, основ алгебры логики. В качестве учебных задач рассматривают бытовые, игровые, сказочные алгоритмы. В средних классах школы в рамках данной темы происходит уточнение понятия алгоритма, основы алгебры логики излагаются на более формальном уровне. 

В целях развития познавательного интереса учащихся к данной теме А.А. Чернов в своем учебном пособии предложил задания межпредметного содержания :

Пример 1

- Собрались все четырехугольники на лесной поляне и стали обсуждать вопрос о выборе короля. Долго спорили и вот один старый параллелограмм сказал: «Давайте отправимся все в столицу королевства, и кто первым войдет в нее, тот и станет королем!» Рано утром отправились все в путь. Путь им преградила река, которая сказала: «Переплывут меня те, у кого диагонали точкой пересечения делятся пополам!» Часть четырехугольников осталась на берегу, а остальные переплыли. Затем они подошли к высокой горе, которая сказала, что она пропустит только тех, у кого диагонали равны. Пришлось некоторым путникам остаться, а остальные пошли дальше, пока не дошли до узкого моста. Мост пропускал только тех, у кого диагонали пересекаются под прямым углом. Эту преграду прошел один. Кто?

Пример 2

- Составить алгоритм и программу на указанную тему (например, определить тип треугольника; составить программу определения существования треугольника со сторонами (а, b, с)).

Условие существования треугольника известно из геометрии: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей. Программа может выглядеть следующим образом :

Programv1;

Vara, b, c: real;

Begin

Writeln ('введите длины трех сторон треугольника');

Readln (a, b, c);

If (a+b>c) and (b+c>a) and (a+c>b)

Thenwriteln ('треугольник существует')

Elsewriteln ('треугольник не существует');

End.

   Математика и черчение. Математика и рисование

К началу изучения курса черчения учащиеся знакомы с такими понятиями, как:

- точка, прямая, луч, угол, плоскость, треугольник, четырехугольник и их свойства;

-  умеют измерять отрезки и углы;

- знают признаки равенства треугольников;

- имеют представление о перпендикуляре и могут построить серединный перпендикуляр отрезка;

-  знают признаки параллельности двух прямых и обратные теоремы;

 - знакомы с понятием поперечного масштаба и др.

Вместе с тем, изучение предмета «Черчение» оказывает неоценимую помощь в развитии пространственного воображения школьников. Практика построения аксонометрических проекций плоских и пространственных фигур используется при построении чертежей фигур в стереометрии .

Ортогональная проекция широко используется в архитектуре при изображении фасада и плана проектируемых зданий. В техническом черчении при построении комплексных чертежей деталей используется ортогональное проектирование на три взаимно перпендикулярные плоскости. В курсе геометрии в ортогональной проекции строятся изображения тел вращения.

Кроме этого метод ортогональных проекций был разработан живописцами Древнего Египта. Ортогональные проекции позволяли древнеегипетскому художнику сообщать зрителю объективную информацию об окружающем мире. При изображении животных, например, выбирался вид сбоку. Очень интересно рисовалась человеческая фигура: голова и ноги изображались сбоку, а грудь и плечи рисовались спереди.

Центральная проекция используется в архитектуре для построения наглядного изображения проектируемых зданий. Этот вид проекций нашел широкое применение в живописи (здесь имеют место, так называемые прямая перспектива, используемая для изображения удаленных от рисующего объектов, и обратная перспектива, лежащая в основе иконописи); кроме этого, на центральном проектировании основан один из важнейших разделов геометрии – проективная геометрия. В живописи наиболее широкое применение находит центральная проекция.

При анализе вышесказанного можно сделать следующий вывод, что возможности применения различных видов проекций, безусловно влияет на развитие кругозора учащихся, на формирование интереса к изучению геометрии.

   Математика и география

Межпредметная интеграция в изучении данных наук заключаются в следующем (не считая применения элементарных вычислений):

-         изучение масштаба;

-         отношение площадей подобных фигур;

-         географические координаты.

При изучении масштаба учителю географии можно предложить решить такую задачу:

Измерив, расстояние от Москвы до Благовещенска по карте и, используя масштаб, вычислить расстояние между данными городами. Приняв скорость движения самолета в 720 км/ч, определить время его полета.

При изучении темы «Решение треугольников» на уроке математики дать понятие о триангуляции, как о способе измерения площадей на местности.

При изучении подобия фигур в курсе геометрии полезно решить задачу, подобную такой:

На карте с масштабом 1: 10 000 площадь острова 2 кв.см. Какова площадь данного острова в действительности?

При изучении сферы в курсе стереометрии полезно объяснить учащимся, почему географические координаты измеряются в градусной мере.

Программа по географии 9 класса предусматривает изучение темы «Территориальная структура АПК». Закрепление материала можно провести в форме учебно-деловой игры «Фермер», предложенной В.М. Симоновым в своем учебном пособии, с целью закрепить материал по географии сельского хозяйства страны, а также с целью формирования вычислительных навыков и навыков анализа, работы со статистическими данными .

Учащиеся исполняют роли арендаторов и фермеров. В процессе проводятся расчет количественно-качественных характеристик продукции; стоимость перевозок различной продукции; стоимость участков земли или их аренда; урожайность различных видов сельскохозяйственных культур.

Сценарий игры:

На доску вывешивается карта района, на территории которого будет разворачиваться игра.

На карте указан город (потребитель) и три кольца зон, распределенных по секторам. Каждое из колец находится на разном расстоянии от города: первое –10 км, второе – 50 км, третье – 150 км. Сектора (продаваемые или сдаваемые в аренду участки земли) имеют разную площадь и разную цену. Предлагается возможным выращивание следующих сельскохозяйственных культур и тариф на перевозку продукции.

     Для производства 3 т молока на 1 корову требуется 25 к.е., которые можно получить с 5 га пастбищ, 5 т кормовых и 2,5 т зерна. Но зерно требуется предварительно отвезти в город и переработать по цене 50 руб. за 1 т.

Спрос населения:

1.          На цветы – 50 000 руб./год.

2.          На овощи – 100 000 руб./год.

3.          На картофель – 10 000 руб./год.

4.          На молоко – 100 000 руб./год.

5.          На мясо – 100 000 руб./год.

6.          Зерно может поставляться только на мельзавод, где приобретается по указанной цене. Стоимость 1т комбикорма – 200 руб. плюс самовывоз.

Игроки выбирают вид землевладения и на аукционе приобретают земельные участки под ссуду в банке (беспроцентный заем в размере 10 000 руб. Все остальные заёмы даются под 5% годовых).

Выбирается и объявляется вид сельскохозяйственной деятельности (цветоводство, животноводство и т.п.). Более одного вида в конкретный год выбирать нельзя. Деятельность ежегодно должна меняться.

После обозначения всех хозяйств на карте каждый должен рассчитать свой годовой доход и заключить договор с потребителем.

После заключения договоров извлекается карточка из конверта «Случайные события». Делается пересчет.

После осуществления операций по выращиванию, переработке и продаже подсчитывается уровень удовлетворения платежеспособного спроса потребителей. Если спрос удовлетворен полностью, цена на данную продукцию на «следующий год» остается прежней. Если спрос не удовлетворен, то цена возрастает на величину неудовлетворенного спроса для «следующего года». (Например: спрос по молоку 100 тыс. руб., было продано на 80 тыс. руб., т.е. спрос удовлетворен на 80%. Следовательно, цена молока возрастает до 120 % от исходной).

После проведения расчетов между всеми участниками игры и получения годовой прибыли (дохода) они принимают решения о видах деятельности на следующий год. Подводятся предварительные итоги.

После завершения трехгодичного цикла производства, соответствующего максимальному севообороту, выводятся окончательные оценки. В завершение игры подводятся итоги – выявляются «миллионеры» и «банкроты».

Модернизация российского образования предполагает расширение возможности интеграции предметов школьной программы. Наибольшие перспективы кроются в тесной взаимосвязи таких дисциплин, которые всесторонне рассматривают человека в философском единстве как существо биологическое и социальное. Именно сам человек, его взгляды на окружающий мир, его деятельность наиболее близки и понятны учащимся.

Современный подход к объяснению истории человечества невозможно обосновать без знания географических и биологических особенностей развития; их, в свою очередь, нельзя объяснить, не зная основ химии и физики; а современные экологические, демографические, социально-экономические проблемы трудно понять в отрыве от истории и математики.

Интеграцию этих предметов можно применять как на уроках, так и во внеурочное время.

   Математика и история. Математика и астрономия

К измерению геометрических величин относят: измерение углов, расстояний, длин кривых, площадей поверхностей, объемов фигур в пространстве. Изучение этих тем пронизывает весь курс геометрии от начала до конца и служит не только освоению теории, но и выработке практических умений и навыков. В гуманитарных классах важно еще уделить внимание истории математики, прослеживая развитие с древнейших времен до наших дней методов вычисления геометрических величин.

Например, при изучении темы "Углы между прямыми и плоскостями в пространстве" желательно отметить, что проблема измерения углов восходит к глубокой древности.  Необходимость точно определить положение на небе Солнца и звезд стимулировала создание специальных приборов для определения углов, под которыми видны эти светила. Одним из первых таких угломерных инструментов была астролябия, изобретенная Гиппархом (180– 125 гг. до н. э.) и усовершенствованная впоследствии Региомонтаном (1436– 1476). Она состояла из тяжелого медного диска – лимба (рис. 1), который подвешивался за кольцо так, чтобы он висел вертикально. Полоса ГГ₁ шла горизонтально. По краю лимба наносилась шкала, разделенная на градусы. К лимбу крепилась стрелка АА₁, называемая алидадой, которая могла вращаться вокруг центра лимба и имела на концах поперечные пластинки с отверстиями – диоптрами. Для определения высоты звезды над горизонтом наблюдатель прикладывал глаз к нижнему диоптру и поворачивал алидаду так, чтобы звезда была видна через другой диоптр.  

Деление на шкале, около которого останавливался край алидады, и показывало высоту звезды в градусах над горизонтом, измеряя фактически градусную величину дуги Г₁А₁.

Располагая плоскость лимба горизонтально, можно было измерять углы и в горизонтальной плоскости. Для этого после установки астролябии алидаду наводили сначала на один объект наблюдения и засекали угол на шкале лимба, а затем – на другой объект и также засекали угол. Разность между этими углами давала искомый угол, под которым видны данные объекты.

На старинной гравюре (рис.2) художник изобразил моряка эпохи великих географических открытий, прокладывающего курс корабля с помощью астролябии и других измерительных инструментов:

 

              Рис. 1.  Астролябия                                          Рис. 2.  Прокладка курса корабля

                                                                                         при  помощи астролябии

  Интересной темой является нахождение формы и размеров Земли. Урок по этой теме целесообразно организовать в виде небольшой научной конференции, на которой заслушиваются доклады, самостоятельно подготовленные учащимися.

Первые мысли о шарообразности Земли возникли вVI—V вв. до н. э. Они появились в результате астрономических наблюдений. Было замечено, в частности, что при лунных затмениях тень на Луне имеет форму круга. Это объяснили тем, что, встав между Солнцем и Луной, Земля отбрасывает свою тень на Луну, следовательно, Земля круглая или шарообразная. Мысль о шарообразности Земли подтверждали наблюдения за появлением из-за горизонта кораблей: сначала показывалась верхняя часть мачты, а затем, постепенно, по мере приближения корабля, появлялись и остальные его части. Такой эффект объясняли тем, что корабль двигается по дуге шаровой поверхности Земли и его более высокие части раньше выступают из-за наивысшей точки дуги, расположенной между кораблем и наблюдателем.

Заметим, что когда мы говорим о шарообразности Земли, то не имеем в виду реальную земную поверхность. Поверхность Земли неровная, на ней имеются высокие горы и глубокие ущелья. Речь идет о некоторой идеальной поверхности, часть которой составляет поверхность мирового океана. Там же, где нет океанов или морей, такую поверхность представляют мысленно и относительно нее считают высоту рельефа местности. Именно эта высота и указывается на географических картах.

После того, как была высказана гипотеза о шарообразности Земли, возник вопрос о ее размерах. Первый дошедший до нас способ измерения размеров Земли был предложен и осуществлен ученым из Александрии Эратосфеном в III в. до н.э. Из рассказов путешественников Эратосфену было известно, что в городе Сиене (ныне Асуан), находящемся к югу от Александрии, имеется колодец, дно которого освещается Солнцем ровно в полдень самого длительного дня в году. Измерения Эратосфена показали, что в тот же день и час отклонение Солнца от Зенита в Александрии составляет 1/50 часть окружности и, следовательно, длина окружности Земли в 50 раз больше расстояния от Александрии до Сиены. Измерив это расстояние с помощью посланного им гонца, Эратосфен определил длину окружности Земли. Она оказалась равна 250 тысячам стадий. Стадия не была точно определенной мерой длины. За стадию принималось расстояние, которое проходит человек за время, нужное для подъема Солнца над горизонтом. Учитывая среднюю скорость человека, и то, что подъем Солнца над горизонтом происходит за 2 минуты, можно заключить, что стадия составляла примерно 160-185м. Если за стадию принять 160 м, то получится очень точный результат 40000 км. Однако ясно, что измерения Эратосфена не могли быть такими точными хотя бы потому, что Сиена расположена не строго на юг от Александрии, и точность измерения шагами не очень велика.

И.М. Смирнова в своей работе описала более точные измерения Земли, использующие астрономические наблюдения, проведенные в XVII в  . Для этого на поверхности Земли выбирались два пункта, расположенные на одном меридиане. Наблюдая из них за Солнцем или звездами, например за Полярной звездой, определяли величину дуги этого меридиана. Измерив затем расстояние между этими пунктами, находили длину всей окружности Земли.

Измерение больших расстояний на поверхности Земли оказывается не таким простым делом, как может показаться на первый взгляд. Как уже отмечалось, земная поверхность не ровная. Одни ее точки расположены выше, другие ниже. На пути могут встретиться препятствия: горы, болота, реки и т. д. Преодолеть эти трудности измерения расстояний позволяет способ Фалеса Милетского. В начале XVII в. его усовершенствовал голландский математик Снеллиус. Для нахождения расстояния между значительно удаленными друг от друга пунктами П и X Снеллиус строил сеть из треугольников с началом в точке П и концом в X, которую он назвал триангуляцией. Сеть строилась таким образом, чтобы из каждой вершины были видны соседние с ней вершины. Измерив расстояние между какими-нибудь соседними вершинами, например ПП₁ (рис. 3) и углы, образованные сторонами треугольников, входящих в триангуляцию, с помощью тригонометрических формул находились все остальные расстояния:

 

Рис. 3. Измерение больших расстояний методом  Снеллиуса

Используя физические соображения, основанные на учете вращения Земли, И. Ньютон высказал предположение, что Земля сжата у полюсов, как мандарин, и имеет форму эллипсоида вращения. С другой стороны, немецкий ученый И. Эйзеншмидт, основываясь на таблицах измерений дуг меридианов, утверждал, что Земля не только не сплюснута у полюсов, но, наоборот, вытянута, как лимон. Между учеными разгорелись споры по поводу этих двух точек зрения. Каждая из сторон приводила доводы в свою пользу. Для того чтобы разобраться с этим вопросом, парижская академия в 1735 г. решила послать две экспедиции: одну – на экватор, в Перу, другую – на север, в Лапландию. Преодолев значительные трудности, экспедиции произвели измерения, убедительно доказавшие правоту И. Ньютона. Длина дуги меридиана в 1⁰ в Лапландии составила 111,95 км, во Франции – 111,21 км, в Перу – 110,61 км. Сжатие поверхности Земли у полюсов составило около 20 км с каждой стороны.

Мы привели данные в километрах, однако в XVIII в. ни метра, ни километра еще не существовало. Все измерения проводились в других единицах. Их было очень много, и определены они были неточно, что вносило путаницу в вычисления. Например, арабская миля равнялась 4000 локтей, локоть уже равен ширине 8 кулаков, кулак – ширине четырех пальцев, палец – толщине 6 ячменных зерен, а ячменное зерно – толщине 6 волос с ослиной морды.

Для того чтобы унифицировать измерения, Национальное собрание Франции в 1791 г. решило ввести единую меру длины, в качестве которой была принята одна десятимиллионная часть дуги парижского меридиана от Северного полюса до Экватора. Она была названа метром от греческого слова  "метрон",  что значит мера. Тогда же были учреждены две экспедиции для точного измерения этого меридиана. Шесть лет заняли измерения и вычисления. В результате работ был изготовлен эталон из платины, который хранится во Французском государственном архиве и называется архивным метром.

   Математика и трудовое обучение

На уроках трудового обучения учащиеся, используя знания, полученные на уроках рисования и математики, знакомятся с техническим рисунком, чертежом, разверткой, масштабом. Они овладевают навыками выполнения и чтения чертежа и эскиза детали призматической формы (в 2–3 проекциях), расположения видов на чертеже, получают представление о сборочном чертеже .

Межпредметная интеграция в процессе изучения геометрического материала курса математики активизирует мыслительную деятельность учащихся, их пространственное воображение и логическое мышление, облегчает усвоение материала смежных дисциплин, способствует сокращению учебного времени на изучение сопряженных тем различных предметов. Кроме того, при систематическом использовании на уроках математики сведений, получаемых на уроках рисования и труда, учащиеся более осознанно воспринимают практическое значение математики, с меньшей затратой времени приобретают навыки применения математического аппарата в практической деятельности. Это в конечном итоге ведет к предупреждению формализма в знаниях учащихся.

Межпредметная интеграция при формировании пространственных представлений учащихся  осуществляется путем выполнения специальных заданий, не выходящих за рамки школьной программы. Приведем некоторые из них (прежде всего это задания на наблюдение).

- Распознавание видов геометрических фигур на моделях, рисунках, чертежах.

-  Описание признаков различных пространственных фигур.

-  Выяснение взаимного расположения заданных фигур в пространстве.

- Расстановка моделей пространственных фигур перед наблюдателем в соответствии с данным рисунком.

- Сопоставление различных видов изображения пространственных фигур (рисунки, схемы, чертежи) с моделями этих фигур.

Каждый вид таких заданий должен быть представлен серией подготовительных упражнений, расположенных в порядке возрастания трудности их восприятия учащимися:

В наборе имеющихся рисунков геометрических фигур (прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, цилиндра...) найти рисунок, соответствующий данной модели.

1.          В наборе имеющихся чертежей геометрических фигур (куба, прямоугольной пирамиды, конуса...) найти чертеж, соответствующий модели данной фигуры.

2.          В наборе имеющихся рисунков геометрических фигур (куба, треугольной призмы, конуса, цилиндра...) найти рисунок, соответствующий данному чертежу.

   Приведенная последовательность упражнений полезна для развития и углубления пространственных представлений учащихся, для закрепления навыков, полученных при выполнении аналогичных заданий на уроках рисования, математики и трудового обучения. Умения, приобретенные учащимися в результате выполнения таких заданий на уроках рисования, математики и трудового обучения, будут в дальнейшем полезными при изучении черчения.

Используя знания, полученные на уроках рисования и трудового обучения, можно предложить упражнения, направленные на развитие пространственных представлений средствами измерения.

Например:

- Измерить определенные элементы моделей фигур для последующего сравнения этих элементов.

-  По модели прямоугольного параллелепипеда построить его развертку (выполнив необходимые измерения). Вычислить объем модели.

-  По развертке прямоугольного параллелепипеда вычислить (выполнив необходимые измерения) площадь поверхности и объем этой фигуры.

Содержание задач на вычисление и методика работы с ними должны быть направлены на развитие у учащихся геометрической зоркости, правильного понимания чертежа к задаче, умения мысленно расчленять сложную фигуру на такие элементарные составляющие фигуры, площади поверхностей и объемы которых они умеют вычислять.  

  Математика и экономика

    В программе курса математики в 11 классе при изучении логарифмов одним из сложных моментов в усвоении считается натуральный логарифм. Основанием натурального логарифма является число е. Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов .  Примерное значение равно 2,71828…. Для полного понимания, что представляет эта постоянная, приводятся  примеры, включающий в себя  экономический расчет.

Пример 1

Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли.  Идем дальше. Давайте поделим рост не на два периода по 50%, а на 3 сегмента по 33% каждый. Кто сказал, что надо ждать целых 6 месяцев до начала получения прибыли? Давайте детализируем наши вычисления.

А почему бы не разбить год на более короткие периоды? Как насчет месяца, дня, часа или даже наносекунды? Наша прибыль взлетит до небес?

      Прибыль увеличится, но уже не намного. Попробуем подставить в нашу волшебную формулу  разные значения n, и получим следующее:

n          (1 + 1/n)ⁿ

1          2

2          2.25

3          2.37

5          2.488

10         2.5937

100        2.7048

1,000      2.7169

10,000     2.71814

100,000    2.718268

1,000,000  2.7182804

...

 Результаты растут и сходятся к числу 2.718. Так… подождите… да это же число е!

Если выражаться  математическими терминами, число е определяется как коэффициент роста при непрерывном делении 100% прибыли на меньшие и меньшие периоды:

 рост = число e = lim n→∞ (1+1/n)n

Данный предел сходится к одной точке, и этому есть доказательства. Как вы видите, когда берем меньшие периоды, общая прибыль всегда остается около 2.718.

Пример 2: максимальная ставка процента

Допустим, у меня есть 120 рублей на счету в банке с 5% ставкой. Мой банк очень щедр, и обеспечивает мне максимально возможную капитализацию. Сколько у меня будет денег через 10 лет?

 Пример 3:

Наша ставка составляет 5%, и нам повезло с непрерывной капитализацией. После 10 лет мы получим 120 × e0.05 × 10 = 197,85 рублей.   

Конечно, большинство банков не настолько хороши, чтобы предоставить вам лучший из возможных процентов . 

Как показывает практика работы, у учащихся различных возрастных групп наблюдаются различия в мотивации обучения. В младшем звене основным мотивом является новый вид деятельности человека, его изменившийся статус в обществе. В старшем звене основополагающим мотивом является профессиональная направленность – выбор «кем быть?»  

Предложенные задания, составленные с учетом взаимосвязи с другими школьными дисциплинами интересны и неотрывны от жизни. Задания в форме игры или викторины будут интересны школьникам 5-7 классов 

Ученикам старших классов задания, связанные с экономикой могут принести пользу при выборе будущей профессии.