Разработка "Занимательные задачи по геометрии"

Занимательные задачи по геометрии

1.     Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в 15ч. 30 мин?

2.     Найдите угол между часовой и минутной стрелкой в 12ч. 20мин.

3.     Найдите угол между часовой и минутной стрелкой, если часы показывают 12ч. 35мин.

4.     Найдите угол между часовой и минутной стрелкой в 7ч. 38мин.

5.     Узнайте через, сколько минут после того, как часы показывали ровно 4ч., минутная стрелка догонит часовую.

6.      Стрелки часов только что совпали. Через сколько минут они будут смотреть в противоположные стороны?

7.     Сейчас угол между часовой и минутной стрелками настенных часов прямой. Чему может быть равен угол между этими стрелками через полчаса?

8.     На сторонах АВ, ВС, и АС равностороннего треугольника АВС взяты соответственно точки  D, Е, F, так что АD =BE=CF. Каков вид треугольника DEF? Докажите.

9.     Через точку В проведены четыре прямые так, что АВ пересекаются ВС, ВЕ пересекаются ВС, и проведена прямая АC, пересекающая данные прямые так, что АВ=ВС. Прямая АС пересекает ВЕ в точке Е. Докажите, что      АВЕ=     ВСD.

10. Дан угол в 13º. Как получить угол в 11º ?

11. Дан угол в 37º. Постройте циркулем угол в 3º.

12. Как с помощью циркуля и линейки разделить угол величиной в 19º на 19 равных частей?

13.  Из точки Щ на плоскости выходят два луча. Как проверить, используя только Цируль, равен ли угол между ними108º ?

14. В треугольнике АВС биссектрисы углов ВАС и АВС пересекаются в точке О. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 125º.

15. Разделите треугольник с углами 15º, 105ºи  60º на три равнобедренных треугольника.

16. Какой треугольник надо взять, чтобы после проведения в нем одного отрезка получить все известные виды треугольников: равносторонний, равнобедренный, равносторонний, прямоугольный, остроугольный, тупоугольный?

17. Треугольник АВС является прямоугольным с гипотенузой АВ. На прямой АВ по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки АК=АС и ВМ= ВС. Найдите угол КСМ.

18. У звезды АСЕВD равны углы при вершинах А и В, углы при вершинах Е и С, а также длины отрезков АС и ВЕ (рис. 1). Докажите, что AD=BD.              

19.  Какие треугольники можно разрезать на два равнобедренных треугольника?

20. В равностороннем треугольника АВС с длиной стороны а точки M, N, P, Q, O расположены так, что N лежит на стороне АВ, Q – на стороне ВС, а М и Р – на стороне АС. При этом О является точкой пересечения отрезков NP и MQ. Известно, что МА+АN=PC =CQ =а. Найдите величину угла NOQ.

21. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 32º. Найдите угол между основанием этого треугольника высотой треугольника, проведенной из вершины угла при основании.

22. Угол между двумя высотами остроугольного треугольника АВС равен 60º, и точка пересечения высот делит одну  из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Докажите, что треугольник АВС – равносторонний.

23.  В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30º. Докажите, что отрезок перпендикуляра, проведенного к гипотенузе через её середину до пересечения с катетом. Втрое меньше большего катет.

24.  Разделите угол 90º на три равные части с помощью циркуля и линейки.

25. Дан угол 63º. С помощью циркуля и линейки разделите его

1)    на 3 равные части;

2)    на 7 равных частей.

26. Не долго думая

Скажите сколько в комнате кошек, если в каждом из четырех углов комнаты сидит по одной кошке, против каждой кошки сидит по 3 кошки и на хвосте у каждой кошки сидит по кошке?

27. Вниз – вверх

Мальчик плотно прижал грань синего карандаша к грани желтого карандаша. Один сантиметр (в длину)  прижатой грани синего карандаша, считая от нижнего конца, запачкан краской. Желтый карандаш мальчик держит неподвижно, а синий, продолжая прижимать к желтому, опускает на 1 см, затем возвращает в прежнее положение, опять на 1 см и опять возвращает в прежнее положение:10 раз он так опускает и 10 раз поднимает синий карандаш(20 движений).

Если допустить, что за это время краска не высыхает и не истощается, то на сколько сантиметров в длину окажется запачканным желтый карандаш после двадцатого движения?

28. Переправа через реку

Небольшой воинский отряд подошел к реке, через которую необходимо было переправиться. Мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг офицер замечает у берега двух мальчиков, забавляющихся в лодке. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или двое мальчиков – не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Каким образом?

Решайте эту задачу «в уме» или практически,- используя шашки, спички, или что-либо в это роде и передвигая их по столу через воображаемую реку.

29. Волк, коза и капуста

Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека , то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии человека» никто никого не ел». Человек все таки перевез свой груз через реку. Как он это сделал?

30. Сколько деталей?

В токарном цехе завода вытачиваются детали из свинцовых заготовок. Из одной заготовки  - деталь. Стружки. Получившиеся при выделке шести деталей, можно переплавить и приготовить ещё одну заготовку. Сколько деталей можно сделать таким образом из 36 свинцовых заготовок?

31. Волшебный цифровой треугольник

В вершинах треугольника я поместил числа 1.2 и 3,  а вы разместите числа 4, 5, 6, 7, 8,  9 по сторонам треугольника так, чтобы сумма всех чисел вдоль каждой стороны треугольника равнялась 17. Это не трудно, так как, я подсказал, какие числа следует поместить в вершинах треугольника.

Значительно дольше придется вам повозиться, если я заранее не скажу, какие числа следует поместить в вершинах треугольника, и предложу снова разместить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, каждое по одному разу, вдоль сторон и в вершинах треугольника так, чтобы сумма чисел на каждой стороне треугольника равнялась 20.

Когда получите искомое расположение чисел, поищите ещё и ещё новые расположения. Условия задачи могут выполняться при самых разнообразных расположениях чисел

32. Четырьмя прямыми                                       

Возьмите лист бумаги и нанесите на нем девять точек так., чтобы они  расположились в форме квадраты, как показано на рисунке. Перечеркните теперь все точки четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги