Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка занятия по математике на тему "Иррациональные неравенства" (11 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка занятия по математике на тему "Иррациональные неравенства" (11 класс)

библиотека
материалов

Тема занятия: Иррациональные неравенства

(изучение нового материала)

Цели педагога: создать условия учащимся

  • для формирования представлений об основном методе решения иррациональных неравенств – методе возведения обеих частей в одну и ту же степень и сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем; о доказательстве неравенства методом от противного;

  • овладения умением использовать для доказательства неравенства методы: с помощью определения, от противного.

Цели ученика: изучить тему «Иррациональные неравенства» и получить последовательную систему математических знаний, необходимую для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на профильном уровне. Для этого необходимо:

  • иметь представление об основном методе решения иррациональных неравенств – методе возведения обеих частей в одну и ту же степень и сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем; о доказательстве неравенства методом от противного;

  • овладение умением использования метода решения иррациональных неравенств – метода возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: проявлять познавательный интерес к изучению предмета.

Предметные: уметь использовать метод возведения обеих частей неравенства в одну и ту же степень.

Метапредметные результаты изучения темы (универсальные учебные действия): регулятивные: учитывать правило в планировании и контроле способа решения; познавательные: строить речевое высказывание в устной и письменной форме; свободная работа с текстом научного стиля; коммуникативные: договариваться и приходить к общему решению совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.





Сценарий занятия

Этап урока

Действия учителя

Действия ученика

  1. Организационный момент.


Сообщить тему занятия, сформулировать цели занятия.


Тему записывают в тетрадь

2. Изучение нового материала (лекция).


Определение иррационального неравенства, метод решения.

Определение. Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в котором неизвестные величины (или некоторые функции неизвестных величин) находятся под знаком радикала.

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем.

Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, т.е. найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или её частях. При решении иррационального неравенства приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. При этом необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании неравенств каждый раз получалось неравенство, равносильное исходному на ОДЗ.

При решении иррациональных неравенств следует помнить, что при возведении обеих частей неравенства в нечётную степень всегда получается неравенство, равносильное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводить в чётную степень, то будет получаться неравенство, равносильное исходному и имеющее тот же знак лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Рассмотрим равносильность простейших иррациональных неравенств.



Иррациональные неравенства, содержащие корни в нечётной степени.

Пусть неравенство содержит корни в нечётной степени:

  1. Неравенство вида hello_html_41541d0b.gif hello_html_m7c48e444.gif hello_html_m5be8e6f7.gif, nhello_html_m2e28bbd1.gifN, равносильно неравенству hello_html_m4f49e6dd.gif .

  2. Неравенство вида hello_html_41541d0b.gif hello_html_m7c48e444.gif hello_html_m5be8e6f7.gif, nhello_html_m2e28bbd1.gifN, равносильно неравенству hello_html_6803b2c9.gif.

  3. Неравенство вида hello_html_41541d0b.gif hello_html_m1432dcb8.gif, nhello_html_m2e28bbd1.gifN, равносильно неравенству hello_html_6046bf6b.gif .

  4. Неравенство вида hello_html_41541d0b.gif > hello_html_758f3af0.gif, nhello_html_m2e28bbd1.gifN, равносильно неравенству hello_html_4901e689.gif .

Эти неравенства после возведения в нужную степень становятся рациональными и решаются методом интервалов.

Иррациональные неравенства, содержащие корни в чётной степени.

Рассмотрим решения неравенств, содержащих корни в чётной степени. Эти неравенства решаются более сложно, чем предыдущие.

  1. Неравенство вида hello_html_m1897c002.gif < hello_html_195d74b7.gif, nhello_html_m2e28bbd1.gifN, равносильно системе hello_html_7d9e6a6f.gif

  2. Неравенство вида hello_html_m1897c002.gif hello_html_m1432dcb8.gif, nhello_html_m2e28bbd1.gifN, равносильно системе hello_html_m20717c65.gif

  3. Неравенство вида hello_html_m1897c002.gif > hello_html_758f3af0.gif, nhello_html_m2e28bbd1.gifN, равносильно совокупности двух систем неравенств: hello_html_55f8a9d4.gif hello_html_m41e9d562.gif


Конспектируют теоретический материал в тетрадь

3. Первичное закрепление

Примеры решения неравенств, содержащих корни в нечётной степени.

Рассмотрим примеры.

Пример 1 (записывает на доске с комментариями).

Решить неравенство hello_html_b1152c0.gif hello_html_63603a25.gif.

Решение. Возведём обе части неравенства в третью степень, получим линейное неравенство hello_html_eeb477f.gif Решая его получим hello_html_7e11e950.gif

Ответ.hello_html_10edd0e3.gif



Пример 2 (контроль правильности решения и записи). Решить неравенство hello_html_m291eaf7e.gif hello_html_c8c3e1e.gif

Решение. Данное неравенство определено для всех х. Возведём обе его части в третью степень. Исходное неравенство тогда равносильно неравенству hello_html_m57085374.gif

Решая последнее неравенство, получим hello_html_m34b4b591.gif

Ответ.hello_html_1246f093.gif

Примеры решения неравенств, содержащих корни в чётной степени. Рассмотрим примеры решения некоторых конкретных иррациональных неравенств такого вида.

Пример 3 (записывает на доске с комментариями).

Решить неравенство hello_html_m51712c93.gif .

Решение. Согласно пункту 2, это иррациональное неравенство равносильно системе hello_html_m47ba0d15.gif или hello_html_mb29a80f.gif или hello_html_m6254dcdf.gif

Из первых двух неравенств найдём, что hello_html_m48d1da2a.gif.

Решая квадратное уравнение hello_html_m289cda37.gif получим корни x1=-1, x2=5. Поскольку ветви параболы левой части уравнения направлены вверх, то решением неравенства hello_html_3dca1485.gif будет множествоhello_html_m52a35457.gif.

Найдём пересечение полученных множеств, получим hello_html_45633bfb.gif;hello_html_m4f0ff780.gif).

Ответ.hello_html_45633bfb.gif;hello_html_m4f0ff780.gif).

Пример 4 (контроль правильности решения и записи)

Решить неравенство hello_html_ce8b2c6.gif hello_html_3dff4724.gif

Решение. Найдём ОДЗ данного неравенства. Это множество тех х, когда
hello_html_109246ce.gif Поскольку корнями левой части являются точки х1 = 1 и х2 = 5 и графиком левой части неравенства является парабола, ветви которой направлены вниз, то решением будет отрезок hello_html_m598efcc4.gif .

На ОДЗ исходное неравенство равносильно совокупности двух систем

hello_html_15316c06.gifhello_html_m30cb5f61.gif

Когда правая часть исходного неравенства неотрицательна, мы возводим в квадрат обе части, а когда правая часть отрицательна, то это неравенство верно для любого х из ОДЗ.

Решим сначала вторую систему этой совокупности. Имеем hello_html_m13f6b9c9.gif

Решением этой системы будет множествоhello_html_fa47e88.gif.

Решим первую систему совокупности. Имеем hello_html_7045f223.gif hello_html_m12fa9972.gif

Левая часть первого неравенства этой системы имеет корни х1=3 и х2=23/5, поэтому его решением будет множество hello_html_7d40fc8c.gif. В пересечении с решением второго неравенства, мы получим промежуток hello_html_25257368.gif.

Объединяя решения совокупности систем, получим hello_html_15358e1e.gif.

Ответ.hello_html_m5effc4f6.gif.

Решение иррациональных неравенств более сложного вида.

Рассмотрим решение неравенств более сложного вида.

Пример 5. (контроль правильности решения и записи)

Решить неравенство hello_html_3c232861.gif

Решение. Найдём ОДЗ данного неравенства hello_html_27cce0f4.gif или hello_html_52261673.gif Тогда ОДЗ будет множество hello_html_2dbe7089.gif

Решим сначала уравнениеhello_html_m338f0025.gif Корнями первого сомножителя являются точки х1 = -1, х2 = 3, а корнем второго – точка х3 = 1. Значения х2 = 3 и х3 = 1, входящие в ОДЗ неравенства, обязательно должны войти в ответ.

Решим строгое неравенство hello_html_75e41ea0.gif . Поскольку второй сомножитель всегда неотрицателен, то неравенство будет выполняться, если hello_html_m3f99951f.gif. Решая его, получим hello_html_49c981b3.gif Возьмём пересечение этого множества и ОДЗ, получим решение строгого неравенства на ОДЗ: hello_html_10a5d0bf.gif

Поскольку точки х2 = 3 и х3 = 1 входят в ОДЗ неравенства, то мы их включим в ответ: hello_html_3181db97.gif

Ответ.hello_html_3181db97.gif

Пример 6 (записывает на доске с комментариями)

Решить неравенство hello_html_20b2a19f.gif

Решение. Найдём ОДЗ данного неравенства из решения системы hello_html_m4a745a2a.gif

Решая её получим множество hello_html_2439e596.gif.

Поскольку на ОДЗ обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому, возведя левую и правую части этого неравенства в квадрат и приведя подобные члены, получим равносильное неравенство hello_html_m515ac7a4.gif hello_html_361d4ee3.gif

Поскольку при hello_html_608b539c.gif или hello_html_m740d56c1.gif правая часть неравенства hello_html_361d4ee3.gif отрицательна, а левая часть неотрицательна, то неравенство hello_html_361d4ee3.gif справедливо при всех xhello_html_ma42033.gif.

Если hello_html_a073c5c.gif, то для всех hello_html_759b7ac.gif обе части неравенства (1) неотрицательны. Возведя обе части этого неравенства в квадрат и приведя подобные члены, получим неравенство hello_html_61120657.gif

Решением этого неравенства будет множество hello_html_255460ec.gif В пересечении с отрезком [5/2; 5], мы получим промежуток (3; 5].

Объединяя множества решений, соответствующие двум рассмотренным случаям, получаем решение исходного неравенства (3; +∞).

Ответ. (3; +∞).

Пример 7. (записывает на доске с комментариями)

Решить неравенство hello_html_m77a41f76.gif

Решение. Областью допустимых значений данного неравенства будет множество
[-1; +∞). На этом множестве неравенство равносильно совокупности двух систем

hello_html_3f08fca8.gifhello_html_41d68628.gif

Решим первую систему совокупности. Рассмотрим решение второго неравенства этой системы

hello_html_1dfbc708.gifили hello_html_m5fc8269d.gif или hello_html_69070fcf.gif или hello_html_m7d798ed9.gif

Поскольку пересечение множеств решений первого и второго неравенств этой системы пусто, то у этой системы решений нет.

Решим вторую систему. Решением первого и второго неравенства этой системы будет множество hello_html_7065e7a9.gif

Решим последнее неравенство второй системы. Для этого приведём его к виду
hello_html_26fe851d.gif

Поскольку каждое слагаемое правой части этого неравенства больше соответствующего слагаемого левой части, то оно справедливо для всех х из ОДЗ. Поэтому решением второй системы будет множество [-1;+∞).

Ответ. [-1; +∞).

Записывают в тетрадь













На доске и в тетради













Записывают в тетрадь





















На доске и в тетради

















































На доске и в тетради





























Записывают в тетрадь





































Записывают в тетрадь

  1. Итог урока. Рефлексия

  • Что нового узнали на уроке?

  • Чему научились?

  • Оцените свою работу на уроке.

Отвечают на вопросы


Список литературы

[1] Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1987.

[2] Мельников И.И., Сергеев И.Н. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. М.:МГУ, 1994.

[3] Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Математика. М.: Русское слово, 2001.

[4] Михайлова Ж.Н. Алгоритмы – ключ к решению задач по алгебре. 10 – 11 классы. М.: Просвещение, 2009.



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 17.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1267
Номер материала ДA-050014
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх