Разработка занятия по математике на тему "прямоугольные координаты в пространстве"

«Прямоугольные координаты в пространстве. Действия над векторами, которые заданы координатами».

В методической разработке представлена методика проведения тематической лекции с элементами беседы и проблемного поиска.  

Цель занятия: - обобщить и систематизировать знания обучаемых о прямоугольных координатах и векторах на плоскости и на основе этих знаний вывести представление о координатах в пространстве, формулы действий над векторами в пространстве;

1 Организационный момент (2 мин.)

1.1 Перекличка студентов.

1.2 Подготовка студентов к занятию.

2 Мотивация. Целевая установка. (2 мин.)

             2.1 Преподаватель сообщает тему занятия, раскрывает ее значение в общем курсе дисциплины, позитивно настраивает на достижение задач занятия, мотивирует  через показ значимости изучения темы,  знакомит с  планом занятия, критериями оценивания.

3 Актуализация опорных знаний (12мин.)

             3.1 Преподаватель напоминает, что векторы рассматривались при изучении предметов «Физика», «Геометрия». Для выявления остаточных знаний студентов преподаватель предлагает такие вопросы:

- Является ли векторной величина:

 а) объем, б) перемещение точки, в) работа, г) сила?

- Сколько существует направленных отрезков, которые изображают:

а) связанный вектор, б) свободный вектор?

-      Сколько ненулевых векторов задаются двумя точками?

-    Равны ли вектора  и  , если четырёхугольник ABCD- параллелограмм?

-       Может ли вектор  равняться вектору ?

-       Сколько существует векторов, противолежащих данному?

-     Коллиниарны ли вектора   и , если прямые AB и CD пересекаются?

             3.2 Студенты проверяют домашнее задание фронтально  по чертежам, выполненным на доске:

 По чертежу разложить указанные вектора по векторам и  :

                                                        N

                               M                                  P     

                           

                                              

 По чертежу найти указанную сумму (разность):

  

 3.3 Преподаватель предлагает студентам проблемную ситуацию : могут ли вектора    быть коллинеарными, если коллинеарны вектора  и  ? Мы к концу занятия должны будем решить этот вопрос.

           3.4 Что бы лучше повторить координаты точек, преподаватель предлагает студентам творческое задание по координатам точек на плоскости выполнить рисунок (приложение Г):

(-9;5), (-7;5), (-6;6), (-5;6), (-4;7), (-4;6), (-1;3), (8;3), (10;1), (10;-4), (9;-5), (9;-1), (7;-7), (5;-7), (6;-6), (6;-4), (5;-2), (5;-1), (3;-2), (0;-1), (-3;-2), (-3;-7), (-5;-7), (-4;-6), (-4;-1), (-6;3), (-9;4).

                                             

4 Сообщение новых знаний, формирование профессиональных умений и навыков ( 40мин.)

       4.1  Преподаватель сообщает студентам, что изучение данной темы требует помощи студентов, поэтому  что кое-какие определения и понятия рассматривались и использовались при изучении других дисциплин, предлагает студентам записать тему и план лекции (слайд 2):

   1) Проекция вектора на ось.

   2)Прямоугольная система координат.

   3) Координаты вектора. Разложение вектора по координатным осям.

    4)  Действия над векторами, которые заданы координатами.

    5) Примеры других видов координатных систем.

        4.2  Преподаватель сообщает новые знания согласно плану лекции

1) Проекция вектора на ось

Так при использовании векторов в физике составные вектора на осях координат называют проекциями вектора на оси координат. Координаты составляющих по осям, то, то есть координаты вектора, называют скалярными проекциями, или коротко, проекциями вектора на оси координат, и обозначают . В прикладных вопросах вектор нередко задают модулем (длиной вектора) и углами, которые вектор образует с осями координат.

 

В этом случае координаты (проекции) вектора на плоскости вычисляются по формулам

,   где и  - углы между вектором и осями ОХ и ОУ соответственно. В пространстве имеют место аналогичные формулы :

,

 где x,y,z- координаты вектора , а - направляющие косинусы. Для направляющих косинусов верно следующее утверждение: .

Объяснения сопровождаются демонстрацией с помощью презентации.

Преподаватель предлагает найти в опорном конспекте (приложение В) полученную информацию, после чего ответить на вопросы

- Какой угол образует вектор плоскости  с осью ОХ?

- Чему равна проекция вектора   на ось ОХ?

2) Прямоугольная система координат

       Преподаватель сообщает , что эта часть была подготовлена студентом как опережающее задание. Пояснения студента сопровождает необходимыми разъяснениями и наводящими вопросами.

Двое  из студентов представляет опережающее задание.

    «Положения точки на плоскости или в пространстве можно охарактеризовать с помощью набора чисел, который называют её координатами. Наиболее распространённым в математике и её применении являются прямоугольные декартовы координаты.

       Прямоугольная система координат связана с именем французского математика Рене Декарта. В своих работах он дал общие принципы использования системы координат для описания геометрических объектов алгебраическими методами.

       Прямоугольную систему координат мы широко использовали при изучении функций. Переход от плоскости к пространству связаны с необходимостью введения дополнительной характеристики для описания положения точки в пространстве. Действительно, положение самолета в пространстве не определяется только наземными координатами (долготой и широтой). Необходимо знать ещё и высоту над поверхностью земли. Эта и другие ситуации наводят на мысль про введение дополнительной координатной оси для задания точек при помощи трёх координат : А(x;y;z).

          При построении прямоугольной системы координат в пространстве через произвольную точку пространства О (начало координат) проводят три взаимно перпендикулярных прямых (координатные оси), которые называют осью абсцисс (ОХ), осью ординат (ОУ), и осью аппликат (ОZ). На осях указывают положительное направление и единичный отрезок.

     В конкретных случаях, например, при изучении физических величин, используют и другие обозначения для координатных осей на плоскости и в пространстве(t, если речь идет о времени, V- про скорость, p-давление, S-путь и т.д.).

      Координаты точки определяются как числа, соответствующие основаниям перпендикуляров, опущенных на каждую из координатных осей из точки.

        Плоскость, которая проходит через оси ОХ и ОУ называется координатной плоскостью ХY. Аналогично вводится понятие плоскостей XZ, YZ.

Напомним, что координатные оси делят плоскость на четверти, их четыре (счет ведется от положительного направления оси ОХ против часовой стрелки).

Координатные же плоскости делят пространство на восемь частей, которые называют октандрами.

         В прямоугольной системе координат на плоскости каждой точке соответствует упорядоченная пара чисел- её координаты и, наоборот, каждой паре чисел соответствует точка на координатной плоскости. Такое же соответствие даёт возможность отождествлять точки с упорядоченной тройкой чисел в пространстве, которые называются координатами точки в пространстве (абсцисса, ордината, аппликата) и обозначается: А(x;y;z) или просто (x;y;z).

    Причем, если точка лежит на координатной оси или координатной плоскости, то некоторые координаты точки равны нулю. Предлагаем вам рассмотреть следующую блок-схему (приложение д):

             Векторы, как и точки, можно охарактеризовать упорядоченным набором чисел- координатами.

Если при помощи параллельного переноса совместить начало вектора с началом координат, то такой вектор называют радиус- вектором и его координаты совпадают с координатами точки- конца вектора.

   Пусть вектор  на плоскости, где задана прямоугольная система координат.  i и j  обозначим единичные векторы, которые направлены вдоль осей координат. Их называют ортами. Поскольку вектора i и j  не коллиниарны, то вектор  можно однозначно выразить через эти вектора

 

Эту запись коротко записывают так : , а числа  называют координатами вектора . Аналогично можно определить координаты вектора в пространстве:

.

      Преподаватель оценивает подготовленное студентом задание и его представление в аудитории. Предлагает всем студентам для закрепления материала построить прямоугольную систему координат в пространстве. Поясняет в ходе изучения каких спец.дисциплин будет использоваться прямоугольная система координат.

     В качестве подведения итогов выступления студентов преподаватель предлагает ответить на вопросы:

- Что называют прямоугольными координатами точки М?

- Сколько координат имеет точка на плоскости и в пространстве?

- Как называются эти координаты и в каком порядке записываются?

- Что такое октанты?

- Как называются координатные плоскости и сколько их?

- Точка лежит на плоскости ХУ, назовите не нулевые координаты точки.

- Какие вектора называют координатными?

- Назовите координаты вектора 

- Определите координаты векторов

3) Действия над векторами, которые заданы координатами

Преподаватель предлагает рассмотреть по опорному конспекту (приложение В) как выполняются действия над векторами в пространстве и сравнить с действиями над векторами на плоскости:

- Как найти координаты вектора, если заданы координаты начала и конца вектора?

-  Как найти длину вектора?

- Как найти сумму (разность) векторов?

- Как найти произведение вектора на число?

- Условие коллиниарности векторов?

- Как найти скалярное произведение векторов?

- Условие перпендикулярности векторов?

         4.3  В качестве первичного закрепления преподаватель предлагает у доски решить следующие задания:

- Дано: . Найти

       а) координаты вектора

       б) вектор, противоположный вектору

        в) скалярное произведение векторов .

- Проверить коллиниарны ли вектора

        а) А(1;1)       В(7;3)           С(-4;-5)           D(5;-2)

        б) А(2;1)       В(6;5)           С(-1;-1)           D(7;-5)

          4.4  Приглашает выступить студентов, получивших заранее задание подготовить сообщения о полярной, цилиндрической, сферической системе координат. Выслушивает, корректирует при необходимости сообщения студентов, дополняет, оценивает.

Трое студентов кратко делают сообщения о других системах координат : полярной, цилиндрической и сферической.

5. Закрепление изученного материала ( 14мин.)

      5.1  Студенты самостоятельно решают задания (задания на слайдах)

- Найти проекции на оси координат вектора плоскости, длина которого равна 8, а угол, который образовывает вектор с осью х, равен а) 0⁰;   б) 30⁰;   в) 45⁰;    г) 90⁰.

-  Даны точки А(4;0;-3)   В(8;0;1)      С(2;0;-1)     Д(-2;0;3)

    а) коллиниарны ли вектора ; б) перпендикулярны ли вектора.

     5.2   Преподаватель предлагает студентам дать пояснение на проблемный вопрос, поставленный в начале занятия, проанализировать в каком случае вектора коллиниарны, какое направление они имеют, от чего это зависит.

      5.3   Предлагает решить тестовые задания (приложение А,Б)

6. Подведение итогов (5 мин.)

         6.1  Студенты сдают тестовые задания

         6.2  Преподаватель подводит итоги изученного материала: «Тему сегодняшнего занятия сложно отнести и к алгебре и к геометрии и к физике и к географии. Одно точно что  ни одной  из этих дисциплин не обойтись без координат и векторов. Мы рассмотрели огромный массив материала и возможно это стало благодаря тесной взаимосвязи материала, изученного вами раннее. Надеюсь, что вы сегодня ещё раз убедились в том что изучать дисциплину не так уж трудно, поскольку многие вещи в математике взаимосвязаны и их можно запоминать по аналогии»

           6.3 Преподаватель подводит итоги активности студентов на занятии.

7. Домашнее задание (3 мин.)

            [2] §2п 40-42 изучить ,

            № 15, 17, 21, 23* выполнить письменно,

            творческое задание: выполнить при помощи графической программы рисунок по координатам точек.

Приложение А

Тесты

Вариант 1

1. Какая физическая величина является векторной

а) температура

б) скорость

в) масса

2. Векторы  имеют одинаковую длину. Равные ли они?

         а) да

         б) нет

         в) невозможно определить

3. Координаты вектора , если А(2;1), В(3;4):

а)

б)

в)

4. Коллиниарны ли вектора  , если ?

а) коллиниарны

б) не коллиниарны

в) невозможно определить

5. Вектор- это…

а) прямая

б) луч

в) направленный отрезок

6. В каком четверти может быть располагаться точка, если её ордината отрицательна

а) I

б) II

в) III или IV

7. Длина какого вектора наибольшая ?

 а)

б)

в) 

Приложение Б

Тесты

Вариант 2

1. Какая физическая величина является скалярной

а) угловая скорость

б) сила

в) работа

2. Даны векторы . Найти

         а) (2;2)

         б) (-8;6)

         в) (-2;2)

3. Координаты вектора , если А(-3;2), В(2;1):

а)

б)

в)

4. Коллиниарны ли вектора  , если ?

а) коллиниарны

б) не коллиниарны

в) невозможно определить

5. Отрезки AB и CD принадлежат параллельным прямым. Равны ли вектора ?

а) да

б) нет

в) не обязательно

6. В каком четверти может быть располагаться точка, если её абсцисса отрицательна

а) I

б) II или III

в) IV

7. Длина какого вектора наибольшая ?

 а)

б)

в) 

Приложение В

Векторы и координаты в пространстве

                 Многие величины в физике не могут быть выражены только числами. Например: сила, она должна иметь направление.

            Вектор имеет две характеристики: длину и направление.

      А                               В           

     одинаково направленные вектора  

  противоположно направленные вектора

Одинаково или противоположно направленные вектора называются коллинеарными.

Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и равны их длины.

                                 Сложение векторов

       Правило треугольника       

Правило параллелограмма         

                                     Вычитание векторов

                        

                                Умножение вектора на число

 

                                                                                   

Условие коллиниарности: вектора  коллиниарны тогда и только тогда, когда существует такое число , что

 Определение. Три и более вектора называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.

Теорема. Любой вектор в пространстве может быть разложен в линейную комбинацию трех некомпланарных векторов, т.е.  любой вектор пространства , где - тройка некомпланарных векторов.

            Таким образом вектора  являются базисом пространства, а  числа  называются координатами вектора  в данном базисе. Таких базисов в пространстве бесконечно много и координаты одного и того же вектора в пространстве в разных базисах будут разными. В качестве стандартного базиса пространства принят декартовый базис.

Определение. Декартовым базисом пространства называется тройка взаимно перпендикулярных, единичных векторов  , которые составляют правую тройку (с конца вектора переход от  к  виден против часовой стрелки).

Из определения следует, что ,   , , тогда коэффициенты вектора в разложении вектора в линейную комбинацию по декартовому базису и есть декартовы координаты вектора.

Пример.   , значит  .

Декартовые базисные вектора определяют положительное направление декартовых осей координат

Ось  OX называется осью абсцисс, OY - осью ординат,  OZ- осью аппликат.

Действия с векторами, заданных координатами

                              Координаты вектора

         

Длина вектора (абсолютная величина)

                          Действия с векторами. Заданных координатами.

           Пусть даны два вектора

                  

                               Скалярное произведение векторов

                или    

                                   Угол между векторами

               

                                    Условие перпендикулярности векторов

                

                                    Расстояние между двумя точками

                

                                   Координаты середины отрезка

                 

Приложение Г

Изобразите точки с заданными координатами на координатной плоскости и последовательно соедините их.

                    (-9;5),   (-7;5),   (-6;6),   (-5;6),   (-4;7),   (-4;6),   (-1;3),   (8;3),   (10;1),  

                    (10;-4),  (9;-5),   (9;-1),   (7;-7),     (5;-7),    (6;-6),   (6;-4),   (5;-2),   (5;-1),   

                     (3;-2),   (0;-1),  (-3;-2),     (-3;-7),   (-5;-7),   (-4;-6),   (-4;-1),   (-6;3),   (-9;4).