КГУ «Маяковская средняя школа отдела
образования акимата Алтынсаринского района»
Занятие
на учебно-тренировочных сборах по подготовке учащихся
11-х классов к ЕНТ
Тема:
«Арифметическая и геометрическая прогрессии»
Подготовила и провела:
учитель математики
Кутенко
Татьяна
Владимировна
Январь
2016 год
с.Первомайское
Тема: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
Класс: 11
Цель:
1.Обобщить и систематизировать знания по
арифметической и геометрической прогрессии.
2. Способствовать
развитию навыков применения основных формул в ходе решения задач ЕНТ.
3. Воспитать волю и
настойчивость для достижения конечных результатов.
Задачи:
1.
Повторить понятия
арифметической и геометрической прогрессии.
2.
Используя формулы
вычисления n-го члена и суммы первых n-членов
арифметической и геометрической прогрессии применить их для решения конкретных
задач.
3.
Сформировать глубину и оперативность
мышления.
Ход занятия:
1.
Организационный момент.
А) Приветствие,
знакомство с участниками занятия (ребята называют свое имя и говорят одно
прилагательное, которое начинается на первую букву имени. Начинает учитель:
Татьяна-трудолюбивая).
Б)
Психологический настрой:
«Человек страшится только того, чего не знает. Знанием
побеждается страх»(слайд
№2)
Учитель: на уроках алгебры в 9 классе вы решали задачи
по теме «Последовательности». На уроках вы знакомились с возрастающими,
убывающими, ограниченными, неограниченными последовательностями, но особое
внимание уделяли двум последовательностям, каким?
Ученик: Арифметическая и геометрическая
последовательности.
Учитель: этим последовательностям дали имена и сказали
о них: «Прогрессии». Что означает слово «Прогрессия»? (слайд №3)
Ученик: Движение вперед.
Учитель:Эпиграф к уроку: (слайд №4)
Закончился XX-ый век.
Куда стремится
человек?
Изучен космос и
моря,
Строенье звезд
и вся Земля.
Но нас зовет
известный лозунг:
«Прогрессио -
движение вперед».
Учитель: Сегодня мы будем двигаться вперед и убедимся,
что раздел математики «Прогрессии» является неотъемлемой частью окружающего нас
Мира и часто встречается в заданиях по подготовке к ЕНТ.
2.
Актуализация знаний
учащихся.
А)
Ответим устно на вопросы:
1.
Какую прогрессию называют
арифметической?
2.
Какую прогрессию
называют геометрической?
3.
Как найти разность
арифметической прогрессии?
4.
Как найти знаменатель
геометрической прогрессии?
5.
Назовите формулу n -го члена арифметической прогрессии. Что в формуле обозначает n?
6.
Назовите
формулу n -го члена геометрической прогрессии.
Б) Давайте вспомним формулы. Посмотрите на слайд и
соотнесите формулы в нужные столбцы. (слайд №5 )
В) (слайд №7) перед Вами несколько числовых
последовательностей. Выберите те, которые являются арифметической прогрессией и найдите ее разность; геометрической
прогрессией и найдите ее знаменатель. Для этого заполните небольшую таблицу на
листочках. (Дается время 2мин.).
Сверяем свои ответы и
оцениваем себя. (Слайд №6,7).
Г) Решение задач. Работа в парах.(слайды № 8,9)
3.
Обобщение и
систематизация знаний.
Роль прогрессий в
повседневной жизни
Установочный этап.
Учитель: Прогрессии мы с вами изучали
И много новых формул
вы узнали.
Различные задачи порешали,
И вот теперь настал
для вас
Главнейший и важнейший
час:
Где мы применим
прогрессии сейчас?(Слайд №10).
I.
Основная часть.
1)
Работа в парах.
Учитель: я вам расскажу легенду об изобретении шахматной доски (слайд 11)
Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной
игры, своего подданного мудреца Сету, чтобы наградить его за остроумную
выдумку. Мудрец Сета, попросил за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за
вторую- 2 зерна, за третью-4 зерна и т.д. Обрадованный царь приказал выдать
такую «скромную» награду. Однако оказалось, что царь не в состоянии выполнить
желание мудреца Сеты, так как нужно было выдать
такое количество зерен пшеницы, которое можно собрать
лишь с
площади в 2000 раз большей поверхности Земли.
Сегодня мы с вами проведем небольшое исследование и
решим эту задачу. Работаем в группах. Решение оформляем на листах А4.
(приложение 2)
Дано: {bn} 1; 2; 4; 8;….
Найти: S64
Решение:
b1=1
b2=2
q= b2/ b1
q=2/1=2
S64=1(264-1)/2-1=264-1=18446744073709551615
Восемнадцать квинтильонов
четыреста сорок шесть квадрильонов
семьсот сорок четыре триллиона
семьдесят три биллиона
семьсот девять миллионов
пятьсот пятьдесят одна тысяча
шестьсот пятнадцать
2) Работа в группах:
Задача: Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей.
Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. "Хорошо, - ответил
продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром,
а
заплати только за его
гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за
них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй гвоздь заплатишь
две полушки, за третий гвоздь -
четыре полушки, и так
далее за все гвозди: за каждый в два раза больше, чем за предыдущий".
Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался
ли купец, и если да, то насколько?
Решение: За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить
¼+½+1+2+22+23+….+221 копеек. Сумма эта равна копеек, т.е. около 42 тысяч
рублей.
Купец проторговался.
Продавцу же такая торговля принесла
богатство. При таких
условиях не обидно будет даром дать и
лошадь в придачу к
гвоздям.
Учитель:Вы убедились, что раздел математики
«Прогрессии» являются неотъемлемой частью окружающего нас мира?
Учитель:Сейчас вам необходимо показать свои знания по
этой теме и порешать задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию:
4.
Решение задач по
подготовке к ЕНТ с
последующей проверкой
Учитель:Решение задач
пройдет под девизом
«Гений состоит из 1 процента вдохновения и99
процентов потения»Т. Эдисон(слайд №14)
1. В арифметической прогрессии , а произведение . Найти прогрессию.
Решение:
В данной прогрессии 10 членов, значит .
;
.
Систему можно решить, используя теорему, обратную теореме Виета.
Получаем: и .
Условию задачи удовлетворяет две прогрессии:
а) 5,7,9,11,13,15,17,19,21,23.
б) 23,21,19,17,15,13,11,9,7,5.
2. Сумма второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 16,
а произведение первого и пятого ее членов равно 28. Найти и d.
Решение этой задачи окажется более простым, если воспользоваться
свойством суммы членов, равноотстоящих от концов, для прогрессии, составленной
из пяти членов:
; тогда .
Систему можно решить устно:
.
Зная и ,
находим d: ,
d = 3 и d = -3.
Ответ: 2; 14; 3; -3;
3. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна15.
Если к ним прибавить соответственно числа 1, 4, 19, то получатся три числа,
составляющие геометрическую прогрессию. Найти эти числа.
Решение:
По условию , так как , то 2, , . Тогда
, .
По условию , , .
Используя характеристическое свойство геометрической прогрессии,
имеем: :
81 = (6 – d) (24 + d), d+ 18d – 63 = 0, d= 3, d= -21.
Тогда или .
Ответ: 2; 5; 8; и 26; 5; -16.
5.
Подведение итогов занятия.
Рефлексия.
Итак, ребята, наше занятие подошло к концу. Что мы
сегодня с вами повторили? Что нового узнали? Завершить наше занятие хочу
такими словами: (слайд № 16)
Урок сегодня завершен,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут!
6.Резервные задания:
Пример 1.
При хранении бревен
строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен
находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?
Решение.
Кладку бревен рассмотрим
в виде арифметической прогрессии, где а1= 1, а2= 2, аn=
12
d = 2 – 1 = 1
an = a1+
d · (n - 1)
12 = 1 + n – 1
n = 12
Ответ: 78 бревен.
Пример 2.
Найти сумму
двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если: а1 = -5, d
= 0,5
Решение
Ответ: -27
Пример 3.
Найти прогрессию,
зная, что сумма первого и пятого членов ее равна 12, а
произведение второго
члена на четвертый равно 32.
Решение.
По первому условию а
1 +а 5 =12. Следовательно, а 1 +а 1 +4d=12. По второму
условию а 2 а 4 =32
или (а 1 +d)(а 1 +3d)=32
. Решим систему: { ;
{ ; { ; {
Отсюда 1) d=2 2) d=-2
a 1 =6-4=2 a 1 =6+4=10
Искомая прогрессия
имеет вид:
2,4,6,8,... или
10,8,6,4,...
Обе полученные
прогрессии удовлетворяют условия задачи.
Пример 4.
Третий член
арифметической прогрессии равен 4, а шестой равен -5. Сколько
нужно взять членов,
чтобы их сумма была равна -4?
Решение.
По условию имеем а 3
=4; а 6 =-5; S n =-4; n=?
Имеем {
Решая эту систему,
получаем: a 1 =10, d=-3.
Подставив теперь
известные S n , a 1 и d в формулу суммы S n арифметической
прогрессии, будем
иметь:
-8=(20-3n+3)n,
3n 2 -23n-8=0,
n 1 =8, n 2 =-1/3.
n 2 -не удовлетворяет
условию задачи, так как .
Ответ: n=8.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.