Разработка
открытого урока алгебры и информатики
по
теме «Применение интеграла при вычислении площади криволинейной трапеции»
11
класс
Методы:
объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, практический.
Тип учебного занятия: интегрированный урок
Формы работы:
фронтальная, индивидуальная.
УМК: Программы для
общеобразовательных школ: Алгебра и начала анализа (профильный уровень) 11 кл./
под ред. А.Г. Мордкович – М.: Мнемозина, издание 3-е 2007;
Дидактическое
сопровождение: карточки-задания с текстами для
тренировочных заданий; компьютер с электронными страничками, содержащими тексты
заданий для урока, самостоятельной работы, дополнительными заданиями; макеты
криволинейных трапеций для практической работы
Используемая
литература:
1.
«Алгебра и начала анализа: (профильный уровень) 11
кл./ под ред. А.Г. Мордкович – М.: Мнемозина, издание 3-е 2007;
учеб. пособие»
/П.В.Семенов.- М.Мнемозина, 2007. (ЕГЭ шаг за шагом)
2.
Рязановский А.Р., Мирошин В.В. Готовимся к
ЕГЭ. Математика. Решение задач повышенной сложности - изд. Интеллект-Центр,
2007
3.
Тематические тесты. Математика. ЕГЭ -2007г. / под
ред. Ф.Ф.Лысенко – изд. Легион, Ростов-на-Дону, 2007г., 256с (пособие
для самостоятельной подготовки учащихся)
Тема: Применение
интеграла при вычислении площади криволинейной трапеции
Цель:
1.
Продолжить формирование навыков применения
алгоритма вычисления интегралов на компьютере.
2.
Отработать приёмы вычисления площадей с помощью
интегралов, работая коллективно и индивидуально.
3.
Рассмотреть возможные варианты применения интегралов
на уроках геометрии и физики.
Задачи:
- обучающие – учить учащихся интегрировать
знания по вычислению
площадей криволинейных трапеций, полученные
на уроках алгебры и
информатики;
- развивающие – путем дифференцированного
подхода предложить ученикам
задания разного уровня сложности по выбору, стимулируя
их умственную
деятельность;
- воспитывающие - продолжить ознакомительные
беседы по практическому
применению приобретенных математических
знаний.
Ход урока
I.
Организационный момент
Постановка цели урока
Математика
II. Повторение. Площадь криволинейной
трапеции
2.1 Повторение. Нахождение площади
криволинейной трапеции. Метод прямоугольников.
(презентация)
1) Учитель: Из
курса «Алгебра и начала анализа» вам известно понятие криволинейной
трапеции. Вспомните его.
Ученик :
(Пусть функция
f(x) непрерывна на отрезке [a, b
] и неотрицательна, т.е. f(x) ≥ 0 при всех
x Î [ a, b]. )
Определение: Фигура, ограниченная отрезком [a,b], содержащемся
в ОХ, графиком непрерывной функции у=f(x), отрезками х=а и х=b, называется
криволинейной трапецией.
2) Учитель: Находя приближенно площадь криволинейной трапеции, мы
получаем значение интеграла.
Формально
процедура численного интегрирования заключается в том, что отрезок [а, b]
разбивается на n частичных отрезков.
Эти приближенные равенства называются формулами прямоугольников.
В том случае, когда f(x) 0,
формула (1) с геометрической точки зрения означает, что площадь криволинейной
трапеции aABb, ограниченной дугой кривой y=f(x), осью Ох и
прямыми х=а и х=b, принимается приближенно равной площади
ступенчатой фигуры,
образованной из n
прямоугольников с основаниями и высотами: y0,
y1, y2, …, yn-1 – в случае формулы (1)
(рис.8)
3) Какие из фигур являются криволинейными
трапециями (слайд 3).
4) Выберите из этих фигур те, которые являются
криволинейными трапециями (слайд 4).
2.2 Построение графиков функций по заданным формулам: (карточки-задания) (Приложение 1).
Вариант I. 1_часть: 1),
5), 6) Вариант II. 2_часть: 2),
7), 8)
2.3 Нахождение площади криволинейной трапеции математическим
путем.
Информатика
2.4 Алгоритм вычисления площади
криволинейной трапеции.
2.4.1. Определение задачи. Не все вычисления поддаются вычислениям по формулам. Поэтому
существуют методы приближенных вычислений. Для того, чтобы лучше понять как
можно выполнить вычисления площади криволинейной трапеции с помощью метода
прямоугольников, нам потребуется компьютер. Но, хотя компьютер и называют
универсальной машиной, без наших команд сам он площадь криволинейной трапеции
не вычислит. Поэтому перед нами стоит задача: разработать алгоритм, по
которому можно вычислять площади любой криволинейной трапеции.
2.4.2. Повторение: свойства алгоритмов (определенность, дискретность, массовость,
результативность) (слайд 7).
2.4.3. Составление
словесного алгоритма, обладающего всеми этими свойствами.
(слайды 8-11)
1
шаг.
Разбить отрезок [а,b] на n равных отрезков точками a=X0 < X1
< X2 < ... < Xn=b (слайд 8).
2
шаг.
На каждом из полученных отрезков построим прямоугольник, одной стороной
которого будет отрезок [Xi,Xi+1], а другой - отрезок, длина которого
равна f(Xi) (слайд 9).
Случай
при n=4 показан на рисунке 2.
рис.2
3
шаг.
Площадь криволинейной трапеции можно приближенно считать равной сумме площадей
заштрихованных прямоугольников (слайд10).
Как
сделать, чтобы сумма площадей прямоугольников с большей точностью совпадала с
площадью криволинейной трапеции? (Если увеличить число отрезков [Xi,Xi+1],
т.е. отрезок [а,b] разбить на большее число равных отрезков, то сумма их
площадей все с большей точностью будет совпадать с площадью криволинейной
трапеции. Значит, точность вычисления площади криволинейной трапеции
определяется величиной n).
4
шаг.
Как можно вычислить площадь каждого каждого прямоугольника? (слайд 11).
Одна
из сторон прямоугольника, построенного на отрезке [Xi,Xi+1],
равна
h=(b-a)/n, а вторая - f(Xi) . Поэтому в первом случае площадь
<<левого>> прямоугольника вычислится по формуле ((b-a)/n)*f(Xi)).
Площадь
криволинейной трапеции в первом случае приближенно равна сумме
<<левых>> прямоугольников:
S =(b-а)/n *( f(X0)
+ ---- * f(X1) + ... + ---- * f(Xn-1))
причем,
чем больше n, тем больше точность вычисления площади криволинейной трапеции.
2.4.4. Выделение
аргументов и результатов. Какие данные нам нужны для
ее решения?
Ученики: Начало отрезка (a), конец отрезка (b),
количество отрезков (n) , на которые разделен отрезок [a,b]. Выполнить задание с помощью заготовки на интерактивной доске
(Приложение 2).
Аргументы: а -
начальное значение интервала;
b - конечное значение интервала;
n - число разбиений интервала [а,b].
Результат: s - приближенное значение криволинейной трапеции.
Вопрос к ученикам:
Как найти сумму S f(xn)*h?
Ученики: нужно
воспользоваться циклическим алгоритмом от 1 до n с шагом 1
2.4.5. Построение алгоритма в виде блок-схемы на интерактивной доске
(Приложение 2).
2.4.6.
Составление программы:
Program strap;{Вычислить
площадь криволинейной трапеции}
uses
crt;
var
n,i:integer;a,b,s,h,x:real;
begin
clrscr;
writeln('Введите нижнюю и верхнюю границы интервала: ');
write('а= '); read(a); write('b= '); read(b);
write('Введите число
прямоугольников n= '); read(n);
h:=(b-a)/n; x:=a;
s:=0;
for
i:= 1 to n do
begin
s:=s+(x+2)*(x+2)*h; x:=x+h;
end;
writeln('Площадь криволинейной трапеции= ',s:10:9);
writeln('Press
ENTER');
readkey;
end.
2.4.7. Прочитаем программу strap, запустим
на выполнение. Для функции Y=x*x, а=2, в=5, n=256
получим результат 38.87702179. Естественно, возникают вопросы: Верить ли
этому результату? Как проверить?
Для ответа на эти вопросы можно поступить так. Мы уже говорили выше, что для
повышения точности результата нужно увеличить число разбиений. Возьмем число
разбиений 512, получим результат 38.93849373. Мы видим, что для этих разбиений
две первых значащих цифры сошлись и, значит, этим значащим цифрам можно верить.
Попробуем увеличить число разбиений до 1024. Получим через 2 секунды результат
38.96924257. Сравнивая результат при 512 и 1024 разбиениях мы обнаруживаем, что
сходятся три значащих цифры. Значит, здесь получена точность до трех значащих
цифр, т.е. можно верить результату равному 38.9 с точностью до 0.1.
2.4.8.
Тестирование программы: нахождение и сверка
результатов с математическими вычислениями (занесение результатов в тетрадь) (Приложение
3).
Вариант I. 1_часть:
1), 5), 6) Вариант II. 2_часть:
2), 7), 8)
III.
Проверка результатов
работы (Приложение 3). Анализ полученных результатов.
3.1. Сверка
ответов. Самооценка (поставить оценки в тетради). Cдать их
на проверку.
IV. Итог урока: Сегодня
на уроке мы повторили материал к ЕГЭ по математике и информатике.
Приложение
1
Практическая работа
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
В1. y=(x+2)2,
y=0, x=0
n=9
n=100
|
В9. y= sinx, y=0, , x=0
n=10
n=98
|
В2. y= 2x-x2,
y=0
n=11
n=101
|
В10. y=cosx, y=0,
x=0,
n=8
n=100
|
В3. y=0.5x2+2x, y=0, x=3
n=10
n=20
|
В11. y=2cosx, y=0,
n=10
n=95
|
В4. y= 1-x2, y=0
n=8
n=98
|
В12. y=2cosx, y=0,
n=8
n=95
|
В5. y=
sin2x, y=0,
n=8
n=72
|
В13. y=2x2+1, y=0, x=0, x=3
n=10
n=100
|
В6. y=cosx+1,
y=0,
n=10
n=100
|
В14. y= -x2-4x,
y=0, x=-3, x=-1
n=10
n=100
|
В7. y=sinx+1,
y=0,
n=9
n=100
|
В15. y= x2-4x+5,
y=0, x=0, x=4
n=13
n=97
|
В8. y=cosx, y=0, x=, x=-
n=12
n=92
|
В16. y=(x-1)2+1, y=0, x=-1, x=2
n=11
n=51
|
Вариант I.
1_часть: 1), 5), 6)
2_часть: Найдите площадь фигуры,
ограниченной линиями
у = - х2 +
4х + 3 и у = х2 –2х -3
На дом:
15), 8)
|
Вариант II.
1_часть: 2), 7), 8)
2_часть: Найдите
площадь фигуры, ограниченной линиями
у = - х2 –
2х + 5 и у = х2 + 4х + 5
На дом: 12),
16)
|
Приложение
3
Ответы
Практическая работа
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
В1. y=(x+2)2,
y=0, x=0 Ответ:
n=9 s= 2,238683
n=100 s= 2,6268
|
В9. y= sinx, y=0, , x=0 Ответ:
n=10 s=1,401746
n=98 s=1,488611
|
В2. y= 2x-x2, y=0 Ответ:
n=11 s= 1,322314
n=101 s= 1,333203
|
В10. y=cosx, y=0,
x=0, Ответ:
n=8 s=0,8968125
n=100 s=0,8680277
|
В3. y=0.5x2+2x, y=0, x=3 Ответ:
n=10 s=11,9475
n=20 s=12,71812
|
В11. y=2cosx,
y=0, Ответ:
n=10 s=1,839015
n=95 s=1,983441
|
В4. y= 1-x2, y=0 Ответ:
n=8 s=1,3125
n=98 s=1,333194
|
В12. y=2cosx,
y=0, Ответ:
n=8 s=2,18967
n=95 s=2,016467
|
В5. y=
sin2x, y=0, Ответ:
n=8 s=0,986972
n=72 s=0,9998235
|
В13. y=2x2+1, y=0, x=0, x=3 Ответ:
n=10 s=17,76
n=100 s=19,1736
|
В6. y=cosx+1,
y=0, Ответ:
n=10 s=3,455579
n=100 s=3,172992
|
В14. y= -x2-4x, y=0, x=-3, x=-1
Ответ:
n=10 s=7,32
n=100 s=7,3332
|
В7. y=sinx+1,
y=0, Ответ:
n=9 s=5,123289
n=100 s=5,139809
|
В15. y= x2-4x+5, y=0, x=0, x=4
Ответ:
n=13 s=9,39645
n=97 s=9,334467
|
В8. y=cosx, y=0, x=, x=- Ответ:
n=12 s=3,142318
n=92 s=3,018523
|
В16. y=(x-1)2+1, y=0, x=-1, x=2 Ответ:
n=11 s= 6,446281
n=51 s=6,089965
|
Вариант I.
1_часть: 1), 5), 6)
2_часть: Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
у = - х2 +
4х + 3 и у = х2 –2х -3
На дом:
15), 8)
|
Вариант II.
1_часть: 2), 7), 8)
2_часть: Найдите
площадь фигуры, ограниченной линиями
у = - х2 –
2х + 5 и у = х2 + 4х + 5
На дом: 12),
16)
|
program strap;{Ф.И., класс. Вычисление площади криволинейной
трапеции
методом левых
прямоугольников. Трапеция ограничена линиями y=x*x, y=0, x=3}
uses
crt;
var n:integer; a,b,s:real; {n,a,b,s
– глобальные переменные}
Function
f(x:real):real;
begin
f:=x*x;
end;
Procedure
Presentation;
begin
clrscr;
writeln('Учебная программа:');
writeln('Вычисление площади криволинейной трапеции
');
writeln('методом левых прямоугольников:');
end;
Procedure Input(var a,b:real;
var n:integer);
begin
write('Введите а='); read
(a);
writeln('Введите
b=');read (b);
writeln('Введите
n=');read (n);
end;
Procedure scriv (a,b:real;
n:integer; var s:real);
var h,x:real;
i:integer;
begin
h:=(b-a)/n; s:=0;
x:=a;
for i:=1 to n do
begin
s:=s+f(x);
x:=x+h
end;
s:=s*h;
end;
Procedure Output
(s:real);
begin
writeln;
write('s=',s:10:9);
end;
begin {main
program}
Presentation;
Input(a,b,n);
scriv
(a,b,n,s);
Output(s);
readkey;
end.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.