Разработка темы Показательная и логарифмическая функция

Алгебра и начала анализа – 11

 

 

 

Разработка темы:

Показательная и логарифмическая функция

 

 

Должны знать:

- обозначение и основные свойства показательной и логарифмической функции;

- определение логарифма числа;

- формулировку теоремы об обратной функции;

- свойства логарифмов;

- вид простейших показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

 

Уметь:

- строить графики показательной и логарифмической функций;

- выполнять преобразования выражений;

- решать простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства и сводимые к ним.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок № 1.

 

Показательная функция. Её свойства и график.

 

Мы говорили о функциях, которые имели показатель постоянный, а основание менялось.

y = x⁵ ,  y = √x ,  y = x².

Сейчас: основание постоянно, а показатель меняется.

Во многих областях науки и техники при изучении различных явлений и процессов обнаруживается одна общая функциональная зависимость между двумя переменными величинами, участвующими в данном процессе.

 

Пример 1.

С изменением высоты над уровнем моря  атмосферное давление изменяется по закону  Р = Р₀ ∙ а^h, где

Р₀ – давление на уровне моря;

а – постоянная;

h – высота.

 

Пример 2.

Рост древесины происходит по закону А = А₀ ∙ а^kt, где

А₀ – начальное количество древесины;

а – постоянная;

к – постоянная;

t – время изменения.

 

Пример 3.

Распад радия протекает по закону  х = х₀ ∙ а^kt, где

х₀ – начальное количество радия;

а – постоянная;

к – постоянная;

t – время распада.

 

Пример 4.

Размножение бактерий в какой-либо культуре протекает по закону 

у = у₀ ∙ а^kt, где

у₀ – начальное количество бактерий;

а – постоянная;

к – постоянная;

t –время.

 

Процесс органического роста можно описать функциями вида у = с ∙ а^kх

Мы будем говорить о функциях, где с = к = 1.

Это функция у = а^х , где а › 0, а ≠ 1.

Определение: функция, заданная формулой у = а^х , где а › 0, а ≠ 1, называется показательной функцией с основанием а.

 

Свойства функции.

 

Рассмотрим конкретную функцию (листок – пополам)

 

1) Д = R, E = R₊                                         1) Д = R, E = R₊

2) непрерывна, следовательно                 2) непрерывна, следовательно

дифференцируема в любой точке;            дифференцируема в любой точке;

3) возрастающая функция;                       3) убывающая функция;

4) (0; 1).                                                     4) (0; 1).

 

Ученик работает у доски:

Построить в одной системе координат графики функций у = 3^х и у = (1/3)^х

Назвать общие и различные свойства (3 › 1, 0 ‹ 1/3 ‹ 1)

Как по графику определить основание показательной функции?

Будет ли показательной функция   у = 1^х? (посмотреть график)

Имеют место следующие равенства:

а¹ = а,                   а^-х = 1/а^х,              (а/в)^х = а^х/в^х                   а^х/а^у = а^х-у

 

а^х ∙ а^у = а^х+у,          (а ∙ в)^х = а^хв^х,                 (а^х)^у = а^ху

 

Этими свойствами мы будем пользоваться при решении показательных уравнений.

Примеры:

а^х = в                    2^х = 2√2               (1/3)^х = 1              (1/5)^х = 5

          

Сравнить (устно):

(0, 13)^0,5 и 1                   (8/5)^-3 и (5/8)²                (6/7)^0,8 и 1

 

 Итог урока:

- общие и различные свойства;

- от чего зависит возрастание и убывание показательной функции.

 

Домашнее задание:

1)    построить графики функций у = (1/5)^х и у = π^х и описать их свойства;

2)    построить в одной системе координат графики функций

у = х² и у = √х  на [0; ∞) и описать их свойства.

 

 

 

 

 

 

Урок №2.

Понятие об обратной функции.

Логарифмическая функция, её свойства и график.

 

I. Проверка домашнего задания:

1 ученик: построить график функции у = π^х  и описать её свойства;

2 ученик: построить график функции у =(1/5)^х и описать её свойства;

3 ученик: второе задание разным мелом на доске.

 

II. Фронтальная работа.

1)    Вычислить  ((√2)^√2)^√2;  (3^√3+1)²∙9^√3

2)    Сравнить  (1/2)^√3 и  2^-1,5 ;  (π/3)^√3∙√5 и  (π/3)^{√7 +1}

3)    Решить уравнение

 

2^х = 4;  (1/2)^х = 1;  3^{х – 1} = 1/9;  2^х = 3  - решить пока не можем

(только графически)

 

Запишем в общем виде  а^х = в.

Корень показательного уравнения будем называть логарифмом.

x – логарифм (показатель)

log – обозначение

 

x = log _a b

Логарифмом числа в по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число в.

a - основание

в - число

х - показатель

 

Устно:

1)    Найти  логарифмы чисел

log ₂ 32 ,  log ₁₀ 100 (log ₁₀ – десятичный логарифм,  lg)

log ₅ 0,04.

Теперь мы можем решить уравнение  2^х = 3

х = log₂ 3

 

Рисунок на доске и в тетради

у = х²  и у = √х  на [0; ∞)

Как появились?

х ² = у

х = √у

у = √х   обратные функции

 

Функции непрерывные, возрастающие, графики симметричны относительно прямой у = х.

Существует теорема об обратной функции:

Если функция возрастает (или убывает) на данном промежутке, то она обратима. Обратная к данной функция определена в области значений данной функции и тоже является возрастающей (убывающей).

 

Рассмотрим функцию у = а^х, а›0.Повторим её свойства. Значит по теореме об обратной функции будет существовать обратная функция, которая будет возрастающей и графики функций будут симметричны относительно прямой

у = х.

х =log _ay, a›1

y = log _a x - обратная функция

Свойства логарифмической функции.

1) D = R₊,  E = R

2) непрерывна

3) возрастающая

4) (1; 0)

 

Рассмотрим функцию у = а ^х,  0 ‹ а ‹ 1

 

Свойства функции.

1) D = R₊,  E = R

2)непрерывна

3)убывающая

4) (1; 0)

 

Основные свойства логарифмов.

1) а^log_a^b =b – основное логарифмическое тождество

2) log_a 1 = 0

3) log _a a = 1

4) log _a xy = log _ax + log _a y

5) log _a x\y = log _ax – log _a y

6) log _a x^p = p log _a x

 

Итог урока

В одной системе координат построить графики показательной и логарифмической функций; общие и различные свойства. От чего зависит возрастание или убывание функции?

 

Укажите неверное равенство

log ₂ 16 = 4,  log ₃ 1\81 = 4,  log _0,1 1 = 0,  log ₁₀ 100 = 3

 

Домашнее задание: п.10, доказать свойства и формулу перехода к другому основанию.

 

Урок № 3.

Применение свойств показательной и логарифмической функций при решении  уравнений и неравенств.

 

 

I. Проверка домашнего задания:

 

1 ученик: начертить схематично график функции у = а^х при а›1 и 0‹а‹1 и описать их свойства.

2 ученик: начертить схематично графики функций у = log _ax при а›1 и 0‹а‹1 .

3 ученик: доказать основные свойства логарифмической функции.

 

II. Фронтальная работа.

1)    Перейти к основанию 10

log ₂ 20,  log _0.5 6,  log _√3 25

2)    Запишите формулу перехода от произвольного основания к общему.

3)    Не используя вычислительные инструменты, вычислите

log ₁₂ 4 + log ₁₂ 3                               log ₃ 2 + log ₃ 4,5

 

lg 8 + lg 125                                      log ₂ 7 – log ₂ 7\16

 

4)    Найдите область определения следующих функций

у = log ₂ (x-3),  y = log _0,1(10 – 2x),  y = log ₇ (2x + 3)

 

 

III. По теме:

а^f(x) = a ^g(x)                                                       log _a f(x) = log _a g(x)

              Сравниваем показатели

f(x) = g(x)                                                        f(x) = g(x)

 

1) (1/5)^{х + 2х – 5} = 25                                         1) log _0,3(5+2x) = 1

                    Проверка обязательна!

 

В показательных уравнениях используем свойства функции: если в левой и правой частях стоят степени с одинаковым основанием, то сравниваем показатели. В логарифмических уравнениях если основания логарифмов равны, то сравниваем выражения, стоящие под знаком логарифма.

 

IV.Обучающая самостоятельная работа (без оценок)

 

1)    2^{7 – 3х}  = (1/2)^{х – 4}

2)    log _0,5 (2x – 3) – 1|2 log _0,5 (2x + 3) = 0

3)    log _√3(x² – 5x – 3) = 2

4)    3^{x +x – 0,5} = 9√3

 

Проверить каждое уравнение подробно.

Какие свойства показательной и логарифмической функций использовали, решая эти уравнения?

 

Домашнее задание: № 522- №530, №573, № 567, № 568 – по вариантам.

 

 

Урок № 4.

 

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

 

I. Проверка домашнего задания.

Самостоятельная работа на листочках (10 минут) для учета знаний.

 

1) 3^{х -17х+63,5} = 27√ 3                                 1)2^х-8х+19 = 16

 

2) log _x-1(x² - 7x + 41) = 2                        2) log _2-x(x² – 5x + 2) = log _2-x (2 – x)²

 

3) 7^{x – 5x + 6} < 1                                           3) 3^{x – 3x + 5}< 27

 

II.Фронтальная работа.

1)    Разложить на множители: 3^х-2; 9^х.

2)    Представьте в виде произведения трёх множителей: 5^2х-2; 6^х+2; 10^х-1.

3)    Какие уравнение или неравенство не имеют решений:

0,2^х – 5^х <0; 0,2^х + 5^х = 0; 0,2^х – 5^х =0; 0,2^х + 5^х >0.

 

III. Работа по теме.

 

a^2f(x) + a^f(x) + c = 0                                    log _a² f(x) +log _a f(x) + c = 0

 

а^f(x) = y                                                     log _a f(x) = y

 

3^2x+1 - 10∙3^x +3 = 0                                  log²₄ x  + log ₄ √x – 1,5 = 0

3^x = y                                                        log ₄ √x = y

3y² -10y + 3 = 0                                       2y² +y – 1,5 = 0

y = 3, y = 1|3                                            y = 1, y = -3|2

x = 1, x = -1                                             x = 4, x = 1|8 – не удовл. усл.

Проверка.                                                Проверка.

 

IV. Обучающая самостоятельная работа с обязательной проверкой на доске.

 

1)    25^х  - 8∙5^х +15 = 0

2)    lg² х² – lg x² = 6

3)    5^2(log ₅^{2 + x)} -2 = 5^{x + log} ₅²

4)    √log₃ x⁹ – 4 log₃√3x = 1

V.Домашнее задание.

            

Урок № 5.

 

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

 

I.                   Проверка домашнего задания.

II.                Письменный опрос на листочках(10 минут)

       1 вариант: 1)построить схематически график показательной функции при а

>1 и описать свойства;

2)построить схематически график логарифмической функции при 0< а< 1 и описать свойства.

2 вариант: 1)построить схематически график показательной функции при 0<а<1 и описать свойства; 2) построить схематически график логарифмической функции при а>1 и описать свойства.

 

III.             Фронтальная работа.

1)    Укажите приёмы решения следующего уравнения

Log ₃ x∙ log ₉ x∙log ₂₇ x∙ log ₈₁ x = 2/3

 

2)    Укажите неверное равенство  log ₃ 27 = 3; log ₅ 0,125 = -3; log _0,5  0,5 = 1;

Log₁₀ 10000 = 5.

3)    Решите неравенство 2^х < ½;  (3/7)^х< 1;  3^х<5.

4)    Решить уравнение log ₃ x = 2; log _0,4 x = -1;  10^x = π.

5)    Разложить на множители  3^х-3 ; 4^х ;  25^х+3

IV.            Решение уравнений. Указать способ решения.

1)    3^2х+1 – 3^2х + 3^2х+3 = 237

3^2х(1/3 – 1 + 27) = 237

3^2х = 9

х = 1

2) 5∙2^√х - 3∙2^{√х -1} = 56

2^√х(5 – 1,5) = 56

3)4^х + 2∙2^х – 80 = 0

2^х = у

у² +2у – 80 = 0

4)log ₃ x – log ₉ x + log ₈₁ x = ¾

5) lg(x² – 17) – lg (2x – 2) = 0

6) 3^x + 4∙3^x+1 = 13

7) 2^x+1 + 0,5^x-1 = 5

8) log _1/3 (x+2)² > 0

(x+2)²<1;

x+2 =0

9) 2^3-x : 16 < 1/8∙4^0,5+2x

10) log ₄(√59 – 10x  -1 ) = 0,5 + log₄(x-4)

11) 5^x+1 = 8^x+1

Каждому ряду решить по 3 уравнения, остальные доделать дома.

 

V.Домашнее задание – решить все уравнения и неравенства.

 

 

Урок  № 6.

 

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

 

I.Проверка домашнего задания – вывесить решения всех примеров с прошлого урока.

 

II. Фронтальная работа.

1)    Построить схематически графики следующих функций:

у = 3^х + 2, у = (1/2)^х – 1, у = 3∙(1/2)^х

2) Известно, что lg 2 = a, log ₂ 7 = b.Найти lg 56.

3) Укажите верное неравенство

log ₂ 1/5>log ₂ 1/3

log _0,1 5 < log _0,1 6

log _0,20,3< 1

log ₃ 2 > log ₃3

 

III.По теме.

Работа в группах(из группы по одному человеку на доске)

1)    5^х+1 – 5^х-1 = 24

2)    1+ log₂(x – 1) = log _{x – 1} 4

3)    log ₂(9 – 2^x) = 10^lg(3-x)

4)     6^x + 6^{x +1} = 2^x + 2^x+1 + 2^x+2

5)    log _0,5 (x + 3) < log _0,25 (x + 15)

Можно рядом написать ответы. Через 10 минут начинаем проверять. Тетради – выборочно.

V.               Домашнее задание:

1)    Определить знак числа  log_0,3 4; lg (3 – 1/3)

2)    Найти область определения функции

у = 1/log₁₂(x – 3 ) + √7 – x

3) Изобразить  схематически график функции у = lg √x

 

Урок № 7.

 

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

 

 

I.Фронтальная работа.

1) Определите знак числа : log₃ 5; log _1/3 0,9; log _√2 3 – 3.

2) Найдите значение числового выражения: log _√2 54 – log ₄ 9⁶.

3) Какое неравенство не имеет решения:

(2/3)^х  > (3/2)^х; (3/2)^х > 0; (2/3)^х < (3/2)^х ; (2/3)^х < 0.

4)Вычислить без таблиц и инструментов:log ₃ 2 + log ₃ 4,5; lg 13 – lg 130.

5) Прологарифмировать по основанию 3: 9а⁴ √ в; в²/27а⁴.

 

II.Проверочная работа (в тетради под копирку) из учебника.

Дополнительное задание – на листочках.

1 – вариант.

1/(lg x – 6 ) + 5/(lg x + 2 ) = 1

2 – вариант

1/( lg x + 1 ) + 6/( lg x + 5 ) = 1

 

Домашнее задание – учебник.

 

 

Урок № 8.

 

Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений.

 

 

I.Фронтальная работа.

 

1)    Что больше log _0,3 2 или log ₅ 3; log ₃10 или log ₈ 57.

2)    Известно, что log₅ 2 = a , log ₅ 3 = b. Выразите через а и в :

log ₅ 12 , log ₅ 72 , log ₅ 30.

3)    Найдите значение выражения  (log ₃ 16)/(log ₃ 4); (lg 8 + lg 18 )/( 2lg 2 + lg 3)

II.По теме

Решить систему (сильный ученик на доске с объяснениями )

log ₂(x + y) = 3,

log ₁₅ x = 1 – log ₁₅ y.

 

Проверка обязательна.

 

III.Из четырёх систем выбрать две и решить(можно разделить по рядам).

1)    х + у = 8,

log ₁₂ x + log ₁₂ y = 1.

2)    2^x + 3^y = 7,

2^2x + 3^2y = 25.

3)    2^x + (1/3)^y = 5,

2^2x + (1/3)^2y = 13.

4)    log ₃ (y – x ) = 1

3^x+1∙2^y = 24.

Критерии оценок:

на «5» - все

на «4» - 3

на «3» - 2

Собрать тетради.

IV. Домашнее задание – дорешать что не решили, из учебника решать системы.

 

 

Урок № 9.

 

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

 

I. Фронтальная работа.

1) Задайте формулой обратную функцию: у = 2 – 3х, у = 1/(х + 3), у = х³ + 1.

2) Решите неравенство: log _0,6 x > 2, log ₇ x < 1, log _0,5 (2 – 3x)< 1.

3) Вычислить без таблиц и калькулятора : 2lg 5 + ½ lg 16; (lg 81 + lg 64)/(2lg3 + 3lg 2).

 

II.По теме

Вспомним свойства логарифмов и формулу перехода к новому основанию.

 

Решение уравнений и неравенств(на листочках).Выбирать любые задания.

Критерии оценок:

«5» - 8

«4» - 6

«3» - 4

1)    log ₂ (x – 5)/(x + 5) + log₂(x² – 25) = 0

2)    log₂ x + log ₄ x + log ₈ x = 11

3)    2^{x – 1} – 3^x = 3^{x – 1} – 2^{x + 2}

4)    7∙4^x - 9∙14^x + 2∙49^x = 0

5)    3^2x + 3^x∙2^x - 2∙2^2x = 0

6)    x(lg 5 – 1 ) = lg ( 2^x + 1 ) – lg 6

7)    log ₂ x + log ₄ y = 4,

log ₄ x + log₂ y = 5.

8)    Найдите область определения функции  log _0,7(5 – 7x ).

9)    Вычислить  √ 25^{1/log 5} + 49^{1|log 7}

10)                       log ₅√x – 9   - log ₅ 10  +  log ₅√2x – 1  = 0

На следующем уроке на этих же листочках работа над ошибками.

III. Домашнее задание  - дорешать все примеры.

 

 

Урок № 10.

 

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

 

I. Листы раздать, обговорить способ решения каждого задания. Дома на этих же листах выполнить работу над ошибками.

         II. Математический диктант.

 

Постройте в одной системе координат схематически графики функций

у = 4^х и у = (1/4)^х                              у = 6^х и у = (1/6)^х

                           

Сравните:

 

log ₃ 5 и log ₃ 6                                    lg 7 и 3 lg 2

 

0,3^π и 0,3^-3                                           (1/2)^√5 и (1/2)^√3

     

Найдите область определения функции

 

у = log _0,2 (3x – 2)                                y = log ₂ (2 – 0,2x)

 

Листок соседу, сосед исправляет ошибки, потом сдают работы.

 

III. Проверочная работа под копирку (2 варианта)

1)    Постройте график функции

у = 3^х                                                у = (1/3)^х

 

2)    Как изменится у при изменении х

от -2 до 4                                          от -3 до 2

 

3)    Решите уравнение

2∙3^х+1 - 5∙3^х-1 = 117                           3∙4^х+1 - 5∙4^х-1 = 172

 

log _0,2 (x² – 4x) = -1                           log _0,25 (x² + 3x) = -1

 

4) Найдите область определения функции

         у = log _0,3 (2 – 5x)                              y = log _0,7 (7,5 – 3x)

 

5) Решите неравенство

         log ₃ (2x – 1) < 2                                log ₄ (3 – 2x) < 2

 

IV. Домашнее задание – учебник.

 

Урок № 11.

 

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

 

Карточки по вариантам; решают все в тетради, сдают листок с ответами. Тетради собирать выборочно.

 

I вариант (сильный)

 

1) 5^{1+log (x – y)} = 25

    log ₅ (x² – y²) – log ₅ (x + y) = 0

 

2) log ₂ (4^x + 4) = x + log ₂ (2^x+1 -3)

 

3) log ₅ x + log ₇ x = log ₅ 35

 

4) 5^{(log  x + log  y)} = 26

    xy = 64

 

II вариант «4»

 

1)    9^{х – 1} + 3^{х + 2} = 90

2)    4^х – 2^{х + 1} – 8 < 0

3)    log _1/3 (x + 2)² > 0

4)    3^x∙2^y = 576

log _√2 (y – x) = 4

 

III вариант «4»

 

1) lg (2x + 1) = 0,5lg(1 – 3x)

2) 2^x+1 + 0,5^{x -1} = 5

3) 3^x∙2^y = 972

    log _√3 (x – y) = 2

4) 2^4/x < 8^1/x+1/9

5) log _2x 64 – log _2x 8 = 3

 

IV вариант «3»

 

1)    lg² x² – lg x² = 6

2)    lg (x – 1) = 0,5lg(1 + 1,5x)

3)    25^{1/2x + 1} < 125^-2/3

4)    3∙2^x+1 - 6∙2^{x – 1} = 12

5)    log _x 2 + log ₂ x = 3 .1/3

V вариант «3»

 

1) 3^х + 4∙3^х+1 = 13

2) 3^{х –х – 3} ≥ 27

3) log _{x – 2} (x² – 6x + 10) = 1

4) log ₃ x + log _√3 x + log _1/3 x = 6

5) 3^4√x - 3∙3^2√x = 3^2√x – 3

 

VI вариант (для слабых или для фронтальной работы)

 

1)    log _x 2 = lg 2

2)    log _x 2 = log _x 3

3)    log _x 2 = log _x 2

4)    log _x 1 = lg 1

5)    log ₂ x = log ₃ x

6)    log _x 2 = log _x 2

7)    lg²(x + 1) + lg x² + 1 = 0

8)    lg²x/2 + lg (x/2)² + 1 = 0

 

 

Домашнее задание: подготовить вопросы по домашним работам, следующий урок – подготовка к контрольной работе.

 

 

Урок № 12.

 

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

 

 

Урок подготовки к контрольной работе. Решаем и разбираем примеры из домашней работы по данной теме, из самостоятельных и проверочных работ, вызвавших наибольшее затруднение.

 

Урок № 13.

 

Контрольная работа

 

Урок № 14.

 

Урок защиты рефератов.

 

Тема: свойства показательной и логарифмической функции

 

а) история введения показательной и логарифмической функций;

б) прикладные задачи;

в) интересные уравнения и неравенства, которые не решались раньше.

 

Задание даётся заранее, за неделю или две, кто о чём будет докладывать.

 

Задача Циолковского.

 

По закону, выведенному основателем космонавтики Циолковским, количество топлива, необходимое для того, чтобы ракета массой m без топлива получила скорость v₁  , выражено формулой

    

                        M = m(10^0,43v/v – 1), где

 

v₁  - cкорость истечения продуктов горения из ракетного двигателя;

v –скорость ракеты;

m –масса ракеты.

Какой скорости истечения продуктов горения надо достигнуть, чтобы ракете с массой 2,5 тонны с помощью 250 тонн топлива придать скорость 8 км/с?

 

250 = 2,5∙(10^{0,43 8/v} – 1 )

100 = 10^{0,43 8/v} – 1

101 = 10^{0,43 8/v}

lg 101 = 0,43 ∙8/v₁∙lg 10

v₁lg 101 = 0,43∙8

v₁ = (0,43∙8)/lg 101

v₁≈3,44/2≈1,7 м/сек

 

 

2) В ходе испытаний бывают аварии, и окружающей среде наносится ущерб.

Долгосрочные экологические последствия космических программ ещё не ясны. Учёные подсчитали, что две ракеты – носителя на твердом топливе , которые выводят космический корабль на орбиту, выбрасывают в верхние слои атмосферы около 300 тонн окиси алюминия.

В результате усиливается отражение солнечных лучей, что содействует общему подъёму температуры на планете, т. к. окись алюминия – белый порошок – вдвое увеличивает количество кристаллов льда в перистых облаках. Разовые полёты не так страшны, но если   их будет в год 52 запуска,  то в атмосфере Земли может накопиться около 1000 тысяч тонн окиси, что приведёт к аномалиям в климате.

 

 

 

 

   

Остров Бикини.

 

Американцы выселили всех людей с этого острова и создали там ядерный полигон. 37 лет – люди без Родины. С 1946 по1958 годы там было взорвано 23 ядерных бомбы. В 1968 году людям разрешили вернуться. Остров восстанавливали, но в 1978 году опять учёные обнаружили высокое содержание вредных веществ. Опять эвакуация всех жителей острова. Необходимо 60 – 90 лет, чтобы уровень радиации снизился до безопасного.