Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка темы Показательная и логарифмическая функция
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 20 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 203 курсов со скидкой 40%

Разработка темы Показательная и логарифмическая функция

библиотека
материалов

Алгебра и начала анализа – 11




Разработка темы:

Показательная и логарифмическая функция



Должны знать:

- обозначение и основные свойства показательной и логарифмической функции;

- определение логарифма числа;

- формулировку теоремы об обратной функции;

- свойства логарифмов;

- вид простейших показательных и логарифмических уравнений и неравенств.


Уметь:

- строить графики показательной и логарифмической функций;

- выполнять преобразования выражений;

- решать простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства и сводимые к ним.






















Урок № 1.


Показательная функция. Её свойства и график.

Мы говорили о функциях, которые имели показатель постоянный, а основание менялось.

y = x5 , y = √x , y = x2.

Сейчас: основание постоянно, а показатель меняется.

Во многих областях науки и техники при изучении различных явлений и процессов обнаруживается одна общая функциональная зависимость между двумя переменными величинами, участвующими в данном процессе.


Пример 1.

С изменением высоты над уровнем моря атмосферное давление изменяется по закону Р = Р0 ∙ аh, где

Р0 – давление на уровне моря;

а – постоянная;

h – высота.


Пример 2.

Рост древесины происходит по закону А = А0 ∙ аkt, где

А0 – начальное количество древесины;

а – постоянная;

к – постоянная;

t – время изменения.


Пример 3.

Распад радия протекает по закону х = х0 ∙ аkt, где

х0 – начальное количество радия;

а – постоянная;

к – постоянная;

t – время распада.


Пример 4.

Размножение бактерий в какой-либо культуре протекает по закону

у = у0 ∙ аkt, где

у0 – начальное количество бактерий;

а – постоянная;

к – постоянная;

t –время.


Процесс органического роста можно описать функциями вида у = с ∙ аkх

Мы будем говорить о функциях, где с = к = 1.

Это функция у = ах , где а › 0, а ≠ 1.

Определение: функция, заданная формулой у = ах , где а › 0, а ≠ 1, называется показательной функцией с основанием а.


Свойства функции.


Рассмотрим конкретную функцию (листок – пополам)


1) Д = R, E = R+ 1) Д = R, E = R+

2) непрерывна, следовательно 2) непрерывна, следовательно

дифференцируема в любой точке; дифференцируема в любой точке;

3) возрастающая функция; 3) убывающая функция;

4) (0; 1). 4) (0; 1).


Ученик работает у доски:

Построить в одной системе координат графики функций у = 3х и у = (1/3)х

Назвать общие и различные свойства (3 › 1, 0 ‹ 1/3 ‹ 1)

Как по графику определить основание показательной функции?

Будет ли показательной функция у = 1х? (посмотреть график)

Имеют место следующие равенства:

а1 = а, а = 1/ах, (а/в)х = ахх аху = ах-у


ах ∙ ау = ах+у, (а ∙ в)х = ахвх, (ах)у = аху


Этими свойствами мы будем пользоваться при решении показательных уравнений.

Примеры:

ах = в 2х = 2√2 (1/3)х = 1 (1/5)х = 5

Сравнить (устно):

(0, 13)0,5 и 1 (8/5)-3 и (5/8)2 (6/7)0,8 и 1


Итог урока:

- общие и различные свойства;

- от чего зависит возрастание и убывание показательной функции.


Домашнее задание:

  1. построить графики функций у = (1/5)х и у = πх и описать их свойства;

  2. построить в одной системе координат графики функций

у = х2 и у = √х на [0; ∞) и описать их свойства.







Урок №2.

Понятие об обратной функции.

Логарифмическая функция, её свойства и график.


I. Проверка домашнего задания:

1 ученик: построить график функции у = πх и описать её свойства;

2 ученик: построить график функции у =(1/5)х и описать её свойства;

3 ученик: второе задание разным мелом на доске.


II. Фронтальная работа.

  1. Вычислить ((√2)√2)√2; (3√3+1)2∙9√3

  2. Сравнить (1/2)√3 и 2-1,5 ; (π/3)√3∙√5 и (π/3)√7 +1

  3. Решить уравнение


2х = 4; (1/2)х = 1; 3х – 1 = 1/9; 2х = 3 - решить пока не можем

(только графически)


Запишем в общем виде ах = в.

Корень показательного уравнения будем называть логарифмом.

x – логарифм (показатель)

log – обозначение


x = log a b

Логарифмом числа в по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число в.

a - основание

в - число

х - показатель


Устно:

  1. Найти логарифмы чисел

log 2 32 , log 10 100 (log 10 – десятичный логарифм, lg)

log 5 0,04.

Теперь мы можем решить уравнение 2х = 3

х = log2 3


Рисунок на доске и в тетради

у = х2 и у = √х на [0; ∞)

Как появились?

х 2 = у

х = √у

у = √х обратные функции


Функции непрерывные, возрастающие, графики симметричны относительно прямой у = х.

Существует теорема об обратной функции:

Если функция возрастает (или убывает) на данном промежутке, то она обратима. Обратная к данной функция определена в области значений данной функции и тоже является возрастающей (убывающей).


Рассмотрим функцию у = ах, а›0.Повторим её свойства. Значит по теореме об обратной функции будет существовать обратная функция, которая будет возрастающей и графики функций будут симметричны относительно прямой

у = х.

х =log ay, a›1

y = log ax - обратная функция

Свойства логарифмической функции.

1) D = R+, E = R

2) непрерывна

3) возрастающая

4) (1; 0)


Рассмотрим функцию у = а х, 0 ‹ а ‹ 1


Свойства функции.

1) D = R+, E = R

2)непрерывна

3)убывающая

4) (1; 0)


Основные свойства логарифмов.

1) аlogab =b – основное логарифмическое тождество

2) loga 1 = 0

3) log a a = 1

4) log a xy = log ax + log a y

5) log a x\y = log ax – log a y

6) log a xp = p log a x


Итог урока

В одной системе координат построить графики показательной и логарифмической функций; общие и различные свойства. От чего зависит возрастание или убывание функции?


Укажите неверное равенство

log 2 16 = 4, log 3 1\81 = 4, log 0,1 1 = 0, log 10 100 = 3


Домашнее задание: п.10, доказать свойства и формулу перехода к другому основанию.


Урок № 3.

Применение свойств показательной и логарифмической функций при решении уравнений и неравенств.



I. Проверка домашнего задания:


1 ученик: начертить схематично график функции у = ах при а›1 и 0‹а‹1 и описать их свойства.

2 ученик: начертить схематично графики функций у = log ax при а›1 и 0‹а‹1 .

3 ученик: доказать основные свойства логарифмической функции.


II. Фронтальная работа.

  1. Перейти к основанию 10

log 2 20, log 0.5 6, log √3 25

  1. Запишите формулу перехода от произвольного основания к общему.

  2. Не используя вычислительные инструменты, вычислите

log 12 4 + log 12 3 log 3 2 + log 3 4,5


lg 8 + lg 125 log 2 7 – log 2 7\16


  1. Найдите область определения следующих функций

у = log 2 (x-3), y = log 0,1(10 – 2x), y = log 7 (2x + 3)



III. По теме:

аf(x) = a g(x) log a f(x) = log a g(x)

Сравниваем показатели

f(x) = g(x) f(x) = g(x)


1) (1/5)х + 2х – 5 = 25 1) log 0,3(5+2x) = 1

Проверка обязательна!


В показательных уравнениях используем свойства функции: если в левой и правой частях стоят степени с одинаковым основанием, то сравниваем показатели. В логарифмических уравнениях если основания логарифмов равны, то сравниваем выражения, стоящие под знаком логарифма.


IV.Обучающая самостоятельная работа (без оценок)


  1. 27 – 3х = (1/2)х – 4

  2. log 0,5 (2x – 3) – 1|2 log 0,5 (2x + 3) = 0

  3. log √3(x2 – 5x – 3) = 2

  4. 3x +x – 0,5 = 9√3


Проверить каждое уравнение подробно.

Какие свойства показательной и логарифмической функций использовали, решая эти уравнения?


Домашнее задание: № 522- №530, №573, № 567, № 568 – по вариантам.



Урок № 4.


Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.


I. Проверка домашнего задания.

Самостоятельная работа на листочках (10 минут) для учета знаний.


1) 3х -17х+63,5 = 27√ 3 1)2х-8х+19 = 16


2) log x-1(x2 - 7x + 41) = 2 2) log 2-x(x2 – 5x + 2) = log 2-x (2 – x)2


3) 7x – 5x + 6 < 1 3) 3x – 3x + 5< 27


II.Фронтальная работа.

  1. Разложить на множители: 3х-2; 9х.

  2. Представьте в виде произведения трёх множителей: 52х-2; 6х+2; 10х-1.

  3. Какие уравнение или неравенство не имеют решений:

0,2х – 5х <0; 0,2х + 5х = 0; 0,2х – 5х =0; 0,2х + 5х >0.


III. Работа по теме.


a2f(x) + af(x) + c = 0 log a2 f(x) +log a f(x) + c = 0


аf(x) = y log a f(x) = y


32x+1 - 10∙3x +3 = 0 log24 x + log 4 √x – 1,5 = 0

3x = y log 4 √x = y

3y2 -10y + 3 = 0 2y2 +y – 1,5 = 0

y = 3, y = 1|3 y = 1, y = -3|2

x = 1, x = -1 x = 4, x = 1|8 – не удовл. усл.

Проверка. Проверка.


IV. Обучающая самостоятельная работа с обязательной проверкой на доске.


  1. 25х - 8∙5х +15 = 0

  2. lg2 х2lg x2 = 6

  3. 52(log 52 + x) -2 = 5x + log 52

  4. log3 x9 – 4 log3√3x = 1

V.Домашнее задание.

Урок № 5.


Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.


  1. Проверка домашнего задания.

  2. Письменный опрос на листочках(10 минут)

1 вариант: 1)построить схематически график показательной функции при а

>1 и описать свойства;

2)построить схематически график логарифмической функции при 0< а< 1 и описать свойства.

2 вариант: 1)построить схематически график показательной функции при 0<а<1 и описать свойства; 2) построить схематически график логарифмической функции при а>1 и описать свойства.


  1. Фронтальная работа.

  1. Укажите приёмы решения следующего уравнения

Log 3 xlog 9 xlog 27 xlog 81 x = 2/3


  1. Укажите неверное равенство log 3 27 = 3; log 5 0,125 = -3; log 0,5 0,5 = 1;

Log10 10000 = 5.

  1. Решите неравенство 2х < ½; (3/7)х< 1; 3х<5.

  2. Решить уравнение log 3 x = 2; log 0,4 x = -1; 10x = π.

  3. Разложить на множители 3х-3 ; 4х ; 25х+3

  1. Решение уравнений. Указать способ решения.

  1. 32х+1 – 3+ 32х+3 = 237

3(1/3 – 1 + 27) = 237

3 = 9

х = 1

2) 5∙2√х - 3∙2√х -1 = 56

2√х(5 – 1,5) = 56

3)4х + 2∙2х – 80 = 0

2х = у

у2 +2у – 80 = 0

4)log 3 x – log 9 x + log 81 x = ¾

5) lg(x2 – 17) – lg (2x – 2) = 0

6) 3x + 4∙3x+1 = 13

7) 2x+1 + 0,5x-1 = 5

8) log 1/3 (x+2)2 > 0

(x+2)2<1;

x+2 =0

9) 23-x : 16 < 1/8∙40,5+2x

10) log 4(√59 – 10x -1 ) = 0,5 + log4(x-4)

11) 5x+1 = 8x+1

Каждому ряду решить по 3 уравнения, остальные доделать дома.


V.Домашнее задание – решить все уравнения и неравенства.



Урок № 6.


Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.


I.Проверка домашнего задания – вывесить решения всех примеров с прошлого урока.


II. Фронтальная работа.

    1. Построить схематически графики следующих функций:

у = 3х + 2, у = (1/2)х – 1, у = 3∙(1/2)х

2) Известно, что lg 2 = a, log 2 7 = b.Найти lg 56.

3) Укажите верное неравенство

log 2 1/5>log 2 1/3

log 0,1 5 < log 0,1 6

log 0,20,3< 1

log 3 2 > log 33


III.По теме.

Работа в группах(из группы по одному человеку на доске)

  1. 5х+1 – 5х-1 = 24

  2. 1+ log2(x – 1) = log x – 1 4

  3. log 2(9 – 2x) = 10lg(3-x)

  4. 6x + 6x +1 = 2x + 2x+1 + 2x+2

  5. log 0,5 (x + 3) < log 0,25 (x + 15)

Можно рядом написать ответы. Через 10 минут начинаем проверять. Тетради – выборочно.

  1. Домашнее задание:

    1. Определить знак числа log0,3 4; lg (3 – 1/3)

    2. Найти область определения функции

у = 1/log12(x – 3 ) + √7 – x

3) Изобразить схематически график функции у = lgx


Урок № 7.


Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.



I.Фронтальная работа.

1) Определите знак числа : log3 5; log 1/3 0,9; log √2 3 – 3.

2) Найдите значение числового выражения: log √2 54 – log 4 96.

3) Какое неравенство не имеет решения:

(2/3)х > (3/2)х; (3/2)х > 0; (2/3)х < (3/2)х ; (2/3)х < 0.

4)Вычислить без таблиц и инструментов:log 3 2 + log 3 4,5; lg 13 – lg 130.

5) Прологарифмировать по основанию 3: 9а4 √ в; в2/27а4.


II.Проверочная работа (в тетради под копирку) из учебника.

Дополнительное задание – на листочках.

1 – вариант.

1/(lg x – 6 ) + 5/(lg x + 2 ) = 1

2 – вариант

1/( lg x + 1 ) + 6/( lg x + 5 ) = 1


Домашнее задание – учебник.



Урок № 8.


Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений.



I.Фронтальная работа.


  1. Что больше log 0,3 2 или log 5 3; log 310 или log 8 57.

  2. Известно, что log5 2 = a , log 5 3 = b. Выразите через а и в :

log 5 12 , log 5 72 , log 5 30.

  1. Найдите значение выражения (log 3 16)/(log 3 4); (lg 8 + lg 18 )/( 2lg 2 + lg 3)

II.По теме

Решить систему (сильный ученик на доске с объяснениями )

log 2(x + y) = 3,

log 15 x = 1 – log 15 y.


Проверка обязательна.


III.Из четырёх систем выбрать две и решить(можно разделить по рядам).

  1. х + у = 8,

log 12 x + log 12 y = 1.

  1. 2x + 3y = 7,

22x + 32y = 25.

  1. 2x + (1/3)y = 5,

22x + (1/3)2y = 13.

  1. log 3 (y – x ) = 1

3x+1∙2y = 24.

Критерии оценок:

на «5» - все

на «4» - 3

на «3» - 2

Собрать тетради.

IV. Домашнее задание – дорешать что не решили, из учебника решать системы.



Урок № 9.


Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.


I. Фронтальная работа.

1) Задайте формулой обратную функцию: у = 2 – 3х, у = 1/(х + 3), у = х3 + 1.

2) Решите неравенство: log 0,6 x > 2, log 7x < 1, log 0,5 (2 – 3x)< 1.

3) Вычислить без таблиц и калькулятора : 2lg 5 + ½ lg 16; (lg 81 + lg 64)/(2lg3 + 3lg 2).


II.По теме

Вспомним свойства логарифмов и формулу перехода к новому основанию.


Решение уравнений и неравенств(на листочках).Выбирать любые задания.

Критерии оценок:

«5» - 8

«4» - 6

«3» - 4

  1. log 2 (x – 5)/(x + 5) + log2(x2 – 25) = 0

  2. log2 x + log 4 x + log 8 x = 11

  3. 2x – 1 – 3x = 3x – 1 – 2x + 2

  4. 7∙4x - 9∙14x + 2∙49x = 0

  5. 32x + 3x∙2x - 2∙22x = 0

  6. x(lg 5 – 1 ) = lg ( 2x + 1 ) – lg 6

  7. log 2 x + log 4 y = 4,

log 4 x + log2 y = 5.

  1. Найдите область определения функции log 0,7(5 – 7x ).

  2. Вычислить √ 251/log 5 + 491|log 7

  3. log 5√x – 9 - log 5 10 + log 5√2x – 1 = 0

На следующем уроке на этих же листочках работа над ошибками.

III. Домашнее задание - дорешать все примеры.



Урок № 10.


Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.


I. Листы раздать, обговорить способ решения каждого задания. Дома на этих же листах выполнить работу над ошибками.

II. Математический диктант.


Постройте в одной системе координат схематически графики функций

у = 4х и у = (1/4)х у = 6х и у = (1/6)х

Сравните:


log 3 5 и log 3 6 lg 7 и 3 lg 2


0,3π и 0,3-3 (1/2)√5 и (1/2)√3

Найдите область определения функции


у = log 0,2 (3x – 2) y = log 2 (2 – 0,2x)


Листок соседу, сосед исправляет ошибки, потом сдают работы.


III. Проверочная работа под копирку (2 варианта)

  1. Постройте график функции

у = 3х у = (1/3)х


  1. Как изменится у при изменении х

от -2 до 4 от -3 до 2


  1. Решите уравнение

2∙3х+1 - 5∙3х-1 = 117 3∙4х+1 - 5∙4х-1 = 172


log 0,2 (x2 – 4x) = -1 log 0,25 (x2 + 3x) = -1


4) Найдите область определения функции

у = log 0,3 (2 – 5x) y = log 0,7 (7,5 – 3x)


5) Решите неравенство

log 3 (2x – 1) < 2 log 4 (3 – 2x) < 2


IV. Домашнее задание – учебник.


Урок № 11.


Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.


Карточки по вариантам; решают все в тетради, сдают листок с ответами. Тетради собирать выборочно.


I вариант (сильный)


1) 51+log (xy) = 25

log 5 (x2y2) – log 5 (x + y) = 0


2) log 2 (4x + 4) = x + log 2 (2x+1 -3)


3) log 5 x + log 7 x = log 5 35


4) 5(log x + log y) = 26

xy = 64


II вариант «4»


  1. 9х – 1 + 3х + 2 = 90

  2. 4х – 2х + 1 – 8 < 0

  3. log 1/3 (x + 2)2 > 0

  4. 3x∙2y = 576

log √2 (y – x) = 4


III вариант «4»


1) lg (2x + 1) = 0,5lg(1 – 3x)

2) 2x+1 + 0,5x -1 = 5

3) 3x∙2y = 972

log √3 (x – y) = 2

4) 24/x < 81/x+1/9

5) log 2x 64 – log 2x 8 = 3


IV вариант «3»


  1. lg2 x2 – lg x2 = 6

  2. lg (x – 1) = 0,5lg(1 + 1,5x)

  3. 251/2x + 1 < 125-2/3

  4. 3∙2x+1 - 6∙2x – 1 = 12

  5. log x 2 + log 2 x = 3 .1/3

V вариант «3»


1) 3х + 4∙3х+1 = 13

2) 3х –х – 3 ≥ 27

3) log x – 2 (x2 – 6x + 10) = 1

4) log 3 x + log √3 x + log 1/3 x = 6

5) 34√x - 3∙32√x = 32√x – 3


VI вариант (для слабых или для фронтальной работы)


  1. log x 2 = lg 2

  2. log x 2 = log x 3

  3. log x 2 = log x 2

  4. log x 1 = lg 1

  5. log 2 x = log 3 x

  6. log x 2 = log x 2

  7. lg2(x + 1) + lg x2 + 1 = 0

  8. lg2x/2 + lg (x/2)2 + 1 = 0



Домашнее задание: подготовить вопросы по домашним работам, следующий урок – подготовка к контрольной работе.



Урок № 12.


Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.



Урок подготовки к контрольной работе. Решаем и разбираем примеры из домашней работы по данной теме, из самостоятельных и проверочных работ, вызвавших наибольшее затруднение.


Урок № 13.


Контрольная работа


Урок № 14.


Урок защиты рефератов.


Тема: свойства показательной и логарифмической функции


а) история введения показательной и логарифмической функций;

б) прикладные задачи;

в) интересные уравнения и неравенства, которые не решались раньше.


Задание даётся заранее, за неделю или две, кто о чём будет докладывать.


Задача Циолковского.


По закону, выведенному основателем космонавтики Циолковским, количество топлива, необходимое для того, чтобы ракета массой m без топлива получила скорость v1 , выражено формулой

M = m(100,43v/v – 1), где


v1 - cкорость истечения продуктов горения из ракетного двигателя;

v –скорость ракеты;

m –масса ракеты.

Какой скорости истечения продуктов горения надо достигнуть, чтобы ракете с массой 2,5 тонны с помощью 250 тонн топлива придать скорость 8 км/с?


250 = 2,5∙(100,43 8/v – 1 )

100 = 100,43 8/v – 1

101 = 100,43 8/v

lg 101 = 0,43 ∙8/v1lg 10

v1lg 101 = 0,43∙8

v1 = (0,43∙8)/lg 101

v1≈3,44/2≈1,7 м/сек



2) В ходе испытаний бывают аварии, и окружающей среде наносится ущерб.

Долгосрочные экологические последствия космических программ ещё не ясны. Учёные подсчитали, что две ракеты – носителя на твердом топливе , которые выводят космический корабль на орбиту, выбрасывают в верхние слои атмосферы около 300 тонн окиси алюминия.

В результате усиливается отражение солнечных лучей, что содействует общему подъёму температуры на планете, т. к. окись алюминия – белый порошок – вдвое увеличивает количество кристаллов льда в перистых облаках. Разовые полёты не так страшны, но если их будет в год 52 запуска, то в атмосфере Земли может накопиться около 1000 тысяч тонн окиси, что приведёт к аномалиям в климате.





Остров Бикини.


Американцы выселили всех людей с этого острова и создали там ядерный полигон. 37 лет – люди без Родины. С 1946 по1958 годы там было взорвано 23 ядерных бомбы. В 1968 году людям разрешили вернуться. Остров восстанавливали, но в 1978 году опять учёные обнаружили высокое содержание вредных веществ. Опять эвакуация всех жителей острова. Необходимо 60 – 90 лет, чтобы уровень радиации снизился до безопасного.




Краткое описание документа:

Разработка темы:

Показательная и логарифмическая функция(методом укрупнения дидактических единиц)

 

Должны знать:

- обозначение и основные свойства показательной и логарифмической функции;

- определение логарифма числа;

- формулировку теоремы об обратной функции;

- свойства логарифмов;

- вид простейших показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

 

Уметь:

- строить графики показательной и логарифмической функций;

- выполнять преобразования выражений;

 

- решать простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства и сводимые к ним.

Общая информация

Номер материала: 122537

Похожие материалы