Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока геометрии в 10 классе «Основные методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка урока геометрии в 10 классе «Основные методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми»

библиотека
материалов

Разработка урока, вошедшая в сборник

«100 лучших уроков математики Республики Кахахстан


Жук Владимир Васильевич

к.ф.-м.н., учитель математики

специализированной школы-лицея №165 г. Алматы


Хобби: программирование, видеомонтаж

Педагогическое кредо: воспитать привычку мыслить…

Почему нравится работать учителем математики в школе: математика – красивая наука, в ней много интересных и красивых фактов, методов, задач, и это ощущение красоты и гармонии хочется передать подрастающему поколению.


Урок геометрии в 10 классе

«Основные методы нахождения расстояния

между скрещивающимися прямыми»

Цели урока:

учебная: повторить и обобщить умения и навыки нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми;

развивающая: способствовать развитию мышления, пространственного воображения, логики, умению анализировать и обобщать, применять знания на практике;

воспитывающая: побуждать учащихся к самоконтролю и взаимоконтролю, воспитывать самостоятельность, интерес к предменту, отвественность к учебному труду, умение работать в группах.


Тип урока: повторительно-обобщающий.


Форма проведения: работа в группах, самостоятельная работа.


Формы организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная.


Оборудование: компьютер, интерактивная доска, раздаточный материал.


Программное обеспечение: УМК «Живая геометрия» (компьютерное приложение' The Geometers SCETCHPAD, версия 4.04).


План урока:

  1. Организационный момент (2 минуты)

  2. Актуализация опорных знаний (10 минут)

  3. Работа в малых группах (15 минут)

  4. Самостоятельная работа (15 минут)

  5. Подведение итогов, задание на дом (3 минуты)


Ход урока

  1. Организационный момент (3 минуты)

Содержание учебного материала: постановка цели и задач урока.

Деятельность учителя: сообщает цели и задачи урока (план урока отображается на доске).

Деятельность учащихся: готовятся к уроку, настраиваются на работу.

Заранее (примерно за неделю до занятия) учащиеся разбиваются на три рабочие группы. Каждой группе дается задание: разобрать один из трех методов нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми (конструктивный, векторный, координатный), подготовить презентацию в программе «Живая геометрия», иллюстрирующую этот метод, решить три задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми предложенным методом. Задачи должны быть оформлены каждым учащимся в тетради. Каждая группа также оформляет эти задачи на листах формата А4, каждая задача на отдельном листе. Обратная связь с рабочими группами осуществляется через назначенных в каждой группе консультантов. Разным группам достаются разные методы.

  1. Актуализация опорных знаний (10 минут)

Содержание учебного материала: способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми, презентации.

Деятельность учителя: просит учащихся сформулировать определение скрещивающихся прямых, определение расстояния между скрещивающимися прямыми, основные теоремы о скрещивающиеся прямых (признаки, свойства); вся необходимая информация отображается на интерактивной доске; после презентаций каждый учащийся получает памятку с необходимым теоретическим материалом.

Деятельность учащихся: Три учащихся (по одному от каждой группы) представляют на интерактивной доске подготовленную группой презентацию. Остальные внимательно слушают, задают уточняющие вопросы (под руководством учителя).

  1. Работа в малых группах (15 минут)

Содержание учебного материала: разбор домашних задач, отработка методов нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.

Деятельность учителя: организует работу учащихся в малых группах (по три человека) с целью разбора домашних задач и отработки методов нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми, осуществляет проверку наличия домашнего задания в тетрадях учащихся, проверяет решения этих задач, подготовленных каждой группой на отдельных листах формата А4, по окончании работы в малых группах учитель делает несколько замечаний к поверенных работах и о допущенных ошибках, если таковые имеются.

Деятельность учащихся: разбившись на малые группы по три человека (по одному из каждой группы), ученики сверяют ответы в задачах из домашней работы; затем, каждый из участников малой группы рассказывает решение одной из задач другим участникам группы, тем самым объясняет им, как работает на практике разобранный им совместно со своей группой метод нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми; разбирая, задачи, учащиеся делают друг другу замечания и задают уточняющие вопросы, в случае необходимости они могут обратиться к учителю.

  1. Самостоятельная работа (15 минут)

Содержание учебного материала: самостоятельная работа на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми всеми разобранными методами.

Деятельность учителя: на интерактивной доске отображает задачу, предлагаемую для учащимся для самостоятельной работу, эту задачу необходимо решить всеми тремя методами; учитель контролирует ход выполнения самостоятельной работу, по окончании собирает тетради для проверки.

Деятельность учащихся: выполняют в рабочих тетрадях самостоятельную работу.


  1. Подведение итогов, задание на дом (2 минуты)

Содержание учебного материала: домашняя работа (две задачи по теме урока).

Деятельность учителя: фронтальный обзор основных этапов урока, основных разобранных методов, заостряет внимание на трудностях, которые возникали у у чащихся в ходе работы, сообщает оценки за презентации и домашние задачи в группах, задает домашнее задание, отвечает на вопросы учащихся.

Деятельность учащихся: записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы.


Приложение А Памятка с необходимым теоретическим материалом


МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ РАССТОЯНИЙ

МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ


Определение. Прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.


Признаки скрещивающихся прямых

Признак 1. Если одна прямая лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то такие прямые скрещиваются.


Признак 2. Если две прямые проходят через четыре точки, не лежащие на одной прямой, то такие прямые скрещиваются.


Свойства скрещивающихся прямых

Теорема 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом только одну.

Теорема 2. Через две скрещивающиеся прямые можно провести пару параллельных плоскостей, и притом только одну.


Расстояние между скрещивающимися прямыми

Определение. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок прямой, перпендикулярной обеим этим прямым, концы которого лежат на данных скрещивающихся прямых.


Теорема 3. Для любых двух скрещивающихся прямых существует общий перпендикуляр, и притом только один. Длина общего перпендикуляра не превосходит длины любого отрезка, концы которого принадлежат этим прямым.


Определение. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми принимается равным длине их общего перпендикуляра.


Теорема 4. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, проходящей через другую из них параллельно первой.


Теорема 5. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.


Теорема 6. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между ортогональными проекциями этих прямых на плоскость перпендикулярную одной из этих прямых.


Способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые hello_html_m8f522f9.gif и hello_html_58847f7b.gif скрещиваются. Требуется найти расстояние hello_html_m5705a543.gif между этими прямыми.


Способ 1 (векторный). Пусть hello_html_7b0cec97.gif и hello_html_79499b8.gif – направляющие векторы прямых hello_html_m8f522f9.gif и hello_html_58847f7b.gif. Пусть hello_html_m7fc69da.gif – общий перпендикуляр этих скрещивающихся прямых, причем hello_html_2735968d.gif, hello_html_140a3192.gif. Выберем точки hello_html_3ec6a565.gif, hello_html_4c76958.gif. Тогда

hello_html_m63d5143.gif,

где hello_html_m7d71a204.gif и hello_html_287869a5.gif – коэффициенты, которые определяются из условий hello_html_m19ae4841.gif и hello_html_m5a330b95.gif. Тогда hello_html_16471c9c.gif.


Способ 2 (координатный). Пусть hello_html_m3b151d01.gif и hello_html_mc131d5d.gif – параллельные плоскости, проходящие через прямые hello_html_m8f522f9.gif и hello_html_58847f7b.gif. Тогда эти плоскости будут иметь уравнения

hello_html_m682320ee.gif

hello_html_m2d278986.gif

Следовательно, hello_html_m51863aca.gif.

Способ 3 (конструктивный). На прямой hello_html_58847f7b.gif выберем точку hello_html_m702bf415.gif и опустим из нее перпендикуляр hello_html_m115f6fb2.gif на прямую hello_html_m8f522f9.gif. Через прямую hello_html_m8f522f9.gif и точку hello_html_m702bf415.gif проведем плоскость hello_html_m3b151d01.gif. Из точки hello_html_m1fd67f5d.gif прямой hello_html_58847f7b.gif (hello_html_mdc5ba9.gif) опустим перпендикуляр hello_html_2356ff75.gif на плоскость hello_html_m3b151d01.gif. Найдем точку hello_html_6c2ab573.gif пересечения прямой hello_html_m30cf88cb.gif c прямой hello_html_m8f522f9.gif. Затем через точку hello_html_6c2ab573.gif параллельно прямой hello_html_2356ff75.gif проведем прямую, которая пересечет прямую hello_html_58847f7b.gif в точке hello_html_m89f7f8d.gif. Построим параллелограмм hello_html_m1b888ab3.gif. Плоскость hello_html_15c4f8a8.gif будет перпендикулярна прямой hello_html_m8f522f9.gif. Ортогональной проекцией прямой hello_html_m8f522f9.gif на плоскость hello_html_15c4f8a8.gif будет точка hello_html_m38caab32.gif, а прямой hello_html_58847f7b.gif – прямая hello_html_m7abfa2e9.gif. Значит,

hello_html_m65e5e18.gif,

здесь hello_html_66bd18ec.gif – основание высоты прямоугольного треугольника hello_html_15c4f8a8.gif (hello_html_mef4bc96.gif).



Приложени Б Домашнее задание к этому уроку

Задача 1. Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней куба с ребром hello_html_m8f522f9.gif.

ие граней правильного тетраэдра с ребром hello_html_m8f522f9.gif.

Задача 3. В правильной треугольной призме все ребра равны hello_html_m8f522f9.gif. Найти расстояние между стороной основания и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани призмы.


Приложение В Самостоятельная работа

В правильной четырехугольной пирамиде hello_html_4c10fa17.gif все ребра равны hello_html_m8f522f9.gif. Найти расстояние между прямыми hello_html_3984f324.gif и hello_html_m1fd67f5d.gif, где hello_html_m1fd67f5d.gif – середина hello_html_m7abfa2e9.gif.


Приложение Г Домашнее задание на следующий урок

Задача 1 Квадрат hello_html_m57563b23.gif со стороной hello_html_3cb362c.gif перегнули по прямой hello_html_5ab43197.gif (hello_html_m1fd67f5d.gif – середина hello_html_m7abfa2e9.gif, hello_html_2460219.gif – середина hello_html_2f7cd09d.gif) так, что образовавшийся двугранный угол hello_html_m6e684f5e.gif равен hello_html_54db37fc.gif. Найти расстояние между прямыми hello_html_2d29f9f2.gif и hello_html_22318efc.gif.

Задача 2 hello_html_11d1730d.gif – перпендикуляр, опущенный на плоскость hello_html_m6e11a348.gif. Проекция наклонной hello_html_m771df7b9.gif перпендикулярна прямой hello_html_1c13edf6.gif. Найти расстояние между прямыми hello_html_m771df7b9.gif и hello_html_1c13edf6.gif, если hello_html_259579b7.gif и hello_html_4f8e996a.gif.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Задача нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми является одной из самых сложных, изучаемых в школьном курсе стереометрии. На фоне снижающегося интереса к изучению геометрии и неразвитого пространственного воображения у учащихся 10 классов эта задача вызывает трудности у большинства из них, что  для учителя, преподающего математику в старших классах, является  методической проблемой.

Сложности при нахождении расстояний между скрещивающимися прямыми, скорее всего, обусловлены тем, что такие прямые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.   Поэтому,  сталкиваясь с подобного сорта задачами, порой, не за что «зацепиться». В подавляющем большинстве случаев искать расстояние между скрещивающимися прямыми по определению, то есть, вычисляя длину их общего перпендикуляра, является не самой блестящей идеей.

Таким образом, если общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых явно не прослеживается, то расстояние между ними следует искать опосредованно. Разработано несколько методов, позволяющих сделать это.

Предлагается разработка урока геометрии в 10 классе на тему "Основные методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми". Данная разработка вошла в сборник "100 лучших уроков Республики Казахстан".

 

Автор
Дата добавления 24.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1292
Номер материала 334308
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх