Разработка урока по алгебре на тему "Логарифмы и их свойства"

План урока

по предмету «Алгебра и начала анализа»

Тема урока: «Логарифмы и их свойства»

Тип урока: урок сообщения новых знаний на основе имеющихся

Методы обучения: информационный, репродуктивный, элементы проблемного (диалогическое и проблемное изложение), самостоятельная работа.

Цели урока:

Обучающая: ввести понятие логарифма, изучить основные свойства  логарифмов (без вывода), научить находить логарифмы данных чисел по данному основанию, упрощать выражение, используя основное логарифмическое тождество и свойства логарифмов.

Развивающая: способствовать развитию логического, аналитического мышления, памяти, умения работать в заданном темпе.

Воспитательная:  формировать интерес к предмету, содействовать формированию личностных качеств (усидчивости, аккуратности, осознанного отношения к своей деятельности).

Методическая: отработка реализации принципов дифференцированного подхода к учащимся и проблемности в обучении, применения различных форм деятельности учащихся (коллективная,  групповая)

Внутрипредметные связи: проявляются в опоре на ранее изученный материал − темы «Решение показательных уравнений», «Решение квадратных уравнений»,

 «Свойства степеней с целым  показателем»,

Межпредметные связи: «Литература» − тема «Зарубежная литература ΧІΧ века»

Средства обучения: опорный материал, мультимедийный проектор.

ХОД УРОКА

І. Организационный момент

ІІ. Сообщение темы, целей и задач урока, мотивация и стимулирование познавательной деятельности студентов.

ІІІ. Актуализация опорных знаний.

1. Устная работа.

Вопросы: 1) Назовите вид простейшего показательного уравнения.

                  2) При каких значениях b оно имеет решение?

                  3) Каким при этом должно быть основание степени и почему?

                  4) Назовите способ решения простейшего показательного уравнения.

2. Самостоятельная работа учащихся  с последующей проверкой (слайд №3).

    Решить уравнение

ІV. Сообщение новых знаний.

1. Понятие логарифма (слайд №4).

а) Логарифмом положительного числа по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить.

б) Символическая запись определения:  .

в) Примеры.

    Найти значения логарифмов, если это возможно:

    ;  ; ; ; ;  

2. Основное логарифмическое тождество (слайд №5).

а)

б) Примеры. Упростить ; 

в) Десятичный логарифм: .

Например, ,    .

г) Рассмотреть примеры на применение основного логарифмического тождества (слайд №6).

Упростите выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством:

а) ;  б) ;  в) .

3. Свойства логарифмов (слайд №7)

а) Рассмотреть пять основных свойств логарифмов.

1.

2.

3.

4.

5.

б) Рассмотреть примеры на применение свойств логарифмов.

    Вычислите: а); б); в); г).

V. Закрепление изученного.

1. Текущее повторение в форме опроса.

    Вопросы: 1) Что нужно найти, чтобы вычислить логарифм b по основанию а?

                      2) Назовите основное логарифмическое тождество?

                      3) Чему равна сумма логарифмов по основанию а?

                      4) Чему равна разность логарифмов по основанию а?

      5) Какое действие можно выполнить с показателем логарифмируемого  

                                  выражения?

2. Самостоятельная работа по вариантам. (слайд № 8)

(Задания смотри в приложении.)

VΙ. Проверка и анализ результатов работы, выводы. (слайд № 9)

VΙΙ. Подведение итогов урока (степень реализации целей, оценивание работы класса в целом и отдельных учащихся, комментирование оценок, эмоциональное восприятие урока).

VΙΙΙ. Домашнее задание. (Указано в конце конспекта. Смотри приложение.)

Учитель: С.А. Фурцева

Ход урока.

Ι. Организационный момент (приветствие, попрошу дежурного подать список отсутствующих)

ΙΙ. Сообщение темы, цели и задач урока, мотивация и стимулирование познавательной деятельности учащихся.

Мотивация и стимулирование познавательной деятельности учащихся.

В мире нет ни одной профессии, специальности, где не нужны были бы знания математики. Как сказал Ломоносов: «Математику уже только затем учить надо, что она ум в порядок приводит». В вашей будущей профессиональной деятельности (да и не только профессиональной) понадобится умение составлять логическую последовательность действий для выполнения какого-либо задания, т. е. алгоритм. Это умение формируется на уроках математики. А, кроме того, одна из основных ваших профессиональных задач заключается в том, чтобы воспринимать материал на слух, запоминать, а потом фиксировать.

Тема урока. Логарифмы и их свойства.

Цели урока: познакомиться с понятием логарифма, основным логарифмическим тождеством, свойствами логарифмов, отработать и закрепить умения находить значение логарифма по данному основанию, упрощать выражения, используя основное логарифмическое тождество и свойства логарифмов.

Как всякие математические умения, эти умения способствуют развитию логического и аналитического мышления, памяти, внимания и других качеств личности.

ΙΙΙ. Актуализация опорных знаний.

1)Устная работа.

Вопросы. а) Назовите вид простейшего показательного уравнения.

                  б) При каких значениях b оно имеет решение?

                  в) Каким при этом должно быть основание степени и почему?

                  г) Как найти корень простейшего показательного уравнения?

2)  Самостоятельная работа класса.

      Решите уравнение .

Частичное решение этого уравнения приведено в опорных материалах. Оно же высвечивается на экран. Цель учащихся – заполнить пропуски. В решении при переходе к простейшему показательному уравнению у учащихся возникает проблема в выравнивании оснований. Уравнение имеет решение, но выровнять основания стандартным способом не удается. Здесь учитель вводит понятие логарифма.

ΙV. Объяснение нового материала проводится в форме диалога с учащимися. По мере изложения нового материала ребята составляют конспект урока (работают с листом №1). Все формулы и примеры поочередно появляются на экране.

1 .Понятие логарифма.

1) Корень простейшего показательного уравнения, в котором не удается выровнять основания стандартным способом, записывают как логарифма числа b по основанию . Символически обозначают так: , где - основание логарифма, b – логарифмируемое выражение.

На экране высвечивается следующая запись: ,

                                                                              .

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию  называется показатель   степени, в которую нужно возвести , чтобы получить b.

2)  Попросить учащихся назвать и записать корень уравнения , а затем зачитать корни показательного уравнения, заявленного для самостоятельной работы. Полное решение этого уравнения высвечивается на экране.

3)  Определение логарифма символически можно записать так:

4) Рассмотреть примеры (высвечиваются на экране).

Найти значения логарифмов, если это возможно:

а), т. к. ……………………

б), т. к. …………………..

в)…………………………..

г)……………………………...

д), т. к. ………………….

е)……….., т. к. …………………..

После рассмотрения этих примеров попросить учащихся привести свои примеры на вычисление логарифмов.

2. Основное логарифмическое тождество.

1) Вернуться к определению логарифма. (Попросить одного из учащихся его проговорить.) После проговаривания на экране появляется запись, которая объявляется основным логарифмическим тождеством: .

2) Рассмотреть примеры.

      Упростить   ; 

3) Для обозначения логарифмов по основанию 10 принята специальная запись: . Такой логарифм называют десятичным логарифмом, и читают десятичный логарифм b.

Например,  ,    .

4) Рассмотреть примеры.

Упростите выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством:

а) ;  б) ;  в) .

3. Свойства логарифмов.

1) Обратить внимание учащихся на примеры на вычисление логарифмов. Среди них есть примеры, которые можно выделить как особые свойства логарифмов. (Учащиеся называют примеры а) и б) и объясняют, почему они выделили именно их. Если это задание вызовет затруднение, то учитель может предложить найти значения логарифмов такого же типа.) Эти свойства высвечиваются в углу экрана.

1.

2.

2) Как мы уже сказали, логарифм – это показатель степени. Какое действие выполняется с показателями степеней при умножении степеней с одинаковыми основаниями? (сложение) при делении степеней с одинаковыми основаниями? (вычитание) Аналогично свойствам степеней логарифмы можно складывать и вычитать. Запишем следующие свойства (высвечиваются в углу экрана):

3.

4.

Обратить внимание студентов, что свойства логарифмов выполняются как в прямую, так и в обратную сторону. В учебниках они написаны наоборот. Их удобно применять при преобразовании выражений, содержащих логарифмы, значение которых не удается найти стандартным способом (по определению).

3)      Рассмотреть примеры.

Вычислите: а) ;  б) .

4)      Что делать, если перед логарифмом стоит число?

Обратиться еще раз к примеру д) пункта 2.3) конспекта:

Отсюда следует следующее свойство логарифмов: показатель логарифмируемого выражения можно выносить перед логарифмом. (Свойство высвечивается в углу экрана.)

5.

5) Рассмотреть примеры.

г) ;   д) .

V. Закрепление изученного.

1) Текущее повторение в форме устного опроса.

Вопросы: а) Что нужно найти, чтобы вычислить ?

                  б) Назовите основное логарифмическое тождество?

                  в) Чему равна сумма логарифмов логарифмируемых выражений по

         основанию  ?

                  г) Чему равна разность логарифмов логарифмируемых выражений по

         основанию ?

                  д) Какое действие можно выполнять с показателем логарифмируемого  

         выражения?

2) Самостоятельная работа по вариантам. (Смотри лист №2)

В каждом варианте шесть примеров на вычисление, отражающие весь материал, изученный на уроке. Результаты вычислений занесены в таблицу. Каждому результату поставлен в соответствие слог части зашифрованного таким образом высказывания. Результат вычисления учащиеся отыскивают в этой таблице и заносят соответствующий ему слог в соответствии с номером задания в таблицу своего варианта, расположенную ниже. При условии выполнения задания обоими вариантами должно получиться следующее: «Человек должен верить, что непонятное …». Оставшуюся часть высказывания дополняет учитель.

Заранее класс разделен на микрогруппы (по 5 человек). Один из членов микрогруппы объявляется ассистентом учителя. Сидящие слева от него члены микрогруппы выполняют задания первого варианта, а справа – второго варианта. Задача ассистента контролировать работу всей микрогруппы.

 VΙ. Проверка и анализ результатов работы, выводы.

Проговорить высказывание В.Гете полностью «Человек должен верить, что непонятное можно понять; иначе он не стал бы размышлять о нем». (Высказывание высвечивается на экране.) Оценивание объема выполненной работы

VΙΙ. Подведение итогов урока (степень реализации целей, оценивание работы класса в целом и отдельных учащихся, комментирование оценок, эмоциональное восприятие урока).

Оценить результаты работы самых активных учащихся.

Вопросы: 1. Что нового узнали на уроке?

                  2. Понравился ли вам урок?

VΙΙΙ. Домашнее задание. (Указано в конце конспекта. Смотри лист №2.)

Лист №1

Конспект

Тема урока. Логарифмы и их свойства.

1.      Решите уравнение .

Решение.      ,                                                               Памятка №1

                   Пусть … = y;  y > …, тогда                                     1)

                    …² – 6… + 5 = 0,                                                        

                                                                                                      2)

                   1) … = … ,   … = … ,  x₁ = …;                                3) 

                   2) … = … ,  x₂ = ……. .

                   Ответ: ………………

2.      Понятие логарифма.

1)      Простейшее показательное уравнение:

    (  - …………………………………………………………….,

                          - ……………………………………………………………. )

2)      Определение логарифма

        с = ……………………………………….

3)      Найти значения логарифмов, если это возможно:

а) 

б)

в)…………………………..

г)……………………………...

д)

е)

3.      Основное логарифмическое тождество: ………………………………………………………..

Например,  ;       .

4.      Десятичный логарифм.

 – десятичный логарифм

Например,  ,

5.      Упростите выражение, пользуясь основным логарифмическим тождеством:

а) = ………………………………………………………………;              

б)  = ………………………………………………………………;               Памятка №2

в)  = ………………………………………………………………;                                                                                                                                                         

6.      Свойства логарифмов.

7.      Вычислите:

а) .....................................................................;

б) ...................................................................................................................

в)                         =                =               =                 =                = …

г) ……………………………………………………………………….

Домашнее задание. А.Н.Колмогоров «Алгебра и начала анализа, 10-11», гл.ΙV п.37

Вычислите: а) ;   б) ;    в) ;   г) ; 

                     д) ;  е) ;   ж) ;   з) ;

                     и) .

Таблица степеней 2 и 3 и кубов чисел от 1 до 10

Лист №2

Вариант 1

Вычислите:

1)=........................................………………………………………………………………2)=………………………………………………………………………………………….

3)=………………………………………………………………………………………

4)=………………………………………………………………………………………………….

5) =………………………………………………………………………………….

6) =

Вариант 2

Вычислите:

1)=…………………………………………………………………………………………

2)=………………………………………………………………………………………….

3)=…………………………………………………………………………………………

4) =………………………………………………………………………………………………..

5) =…………………………………………………………………………………

6) =

Вариант 1

Вариант 2