Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по алгебре на тему "Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена" (9 класс)

Разработка урока по алгебре на тему "Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена" (9 класс)


  • Математика

Название документа Арифметическая прогрессия.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Государственное бюджетное образовательное учреждение

города Москвы

средняя общеобразовательная школа №979











«Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена»

(разработка учебного занятия по алгебре для 9-х классов)





Андреев Дмитрий Сергеевич,

учитель математики

первой квалификационной категории ГБОУ СОШ №979












г. Москва

2015

УРОК АЛГЕБРЫ В 9 КЛАССЕ

ПО ТЕМЕ: «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена»

Тип урока: урок изучения нового материала

Образовательные цели:

  • Расширить знания учащихся о числовых последовательностях, рассмотрев числовую последовательность особого вида – арифметическую прогрессию.

  • Вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии.

  • Вырабатывать навыки, умения применения формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Развивающие цели:

  • Развитие памяти, внимания, интуиции, аналогии, логического мышления.

  • Развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач

  • Развитие познавательного интереса учащихся

Воспитательные цели:

  • Способствовать совершенствованию навыков индивидуальной, фронтальной работы


Ход урока

1.Организационный момент.

Тема урока: «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена»

Слайд 1.


2.Актуализация знаний учащихся.


Проверка домашнего задания обсуждается с учащимися по заранее заготовленным записям.

Открываем тетради и проверяем решение № 15.37(а, в) из домашнего задания.


15.37(а, в)

а) hello_html_4f61edb5.gif, hello_html_730839e6.gif, (n=2, 3, 4,…)

hello_html_4f61edb5.gif,

hello_html_52c719ba.gif,

hello_html_m7fb94437.gif,

hello_html_m885a12e.gif,

hello_html_m2da68b8c.gif.

в) hello_html_m37cda7be.gif, hello_html_m16f69411.gif, (n=2, 3, 4,…)

hello_html_m37cda7be.gif,

hello_html_74940a0.gif,

hello_html_38cedb06.gif,

hello_html_m4448dbac.gif,

hello_html_3322b633.gif.

3. Изучение нового материала.

Сравните члены числовых последовательностей в № 15.37(а, в)

Что вы заметили?

  • Под а) возрастающая; а под в) убывающая;

  • Под а) каждый член последовательности отличается от предыдущего на одно и то же число 5, а под в) каждый член последовательности отличается от предыдущего на одно и то же число – 4.

Последовательности, обладающие свойством: каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного того же числа, называют арифметическими прогрессиями.

- Что же такое арифметическая прогрессия? Каковы способы её задания? Какова формула n-го члена арифметической прогрессии?

- Какая учебная задача встаёт пред нами? (слайд 2)



  • Изучить определение арифметической прогрессии.

  • Научиться определять является ли числовая последовательность арифметической прогрессией или нет.

  • Изучить формулу n-го члена арифметической прогрессии.

  • Научиться применять формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении задач.

- Что же такое арифметическая прогрессия?

Сначала пытаются сформулировать определение учащиеся, а затем учитель.

Слайд 3 определение арифметической прогрессии


Определение.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного того же числа d, называют арифметической прогрессией. При этом число d называют разностью прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность(hello_html_md87900a.gif), заданная рекуррентно соотношениями:



hello_html_m4a2fef56.gif, hello_html_m6e1d5395.gif,

( n = 2, 3, 4, …), где a и d – заданные числа.



Очевидно, что арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d >0( № 15.37(а)) и убывающей, если d <0( № 15.37(в)).


Возникает вопрос, а можно ли, глядя на последовательность, определить, является ли она арифметической прогрессией? Можно. Если мы убедимся в том, что разность между любым членом последовательности и предшествующим ему членом постоянна и , что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности , но и для всей последовательности в целом (т. е. hello_html_mf83bfb0.gif), то перед вами - арифметическая прогрессия.


Слайд 4 Определите является ли числовая последовательность арифметической прогрессией?

Назовите первый член арифметической прогрессии и разность.

Пример 1.

1, 3, 5, 7, 9, 11, … .

Это арифметическая прогрессия, у которой hello_html_53d800bb.gif, d=2.

11-9=9-7=7-5=5-3=3-1=…=2

Пример 2.

20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, - 1, - 4, … .

17-20=14-17=11-14=8-11=5-8=2-5= -1-2= -4 - (-1)=…= -3

Это арифметическая прогрессия, у которой hello_html_5fdcb980.gif, d= - 3.

Пример 3

8, 8, 8, 8, 8, 8, … .

Это арифметическая прогрессия, у которой hello_html_m6d11e907.gif, d=0.

- Как найти разность арифметической прогрессии?

- Чтобы найти разность арифметической прогрессии нужно из последующего члена вычесть предыдущий.


hello_html_m5f6e606e.gif


-Каковы способы обозначения арифметической прогрессии?


Слайд 5

Обозначения арифметической прогрессии.



Для обозначения арифметической прогрессии словосочетание «арифметическая прогрессия» заменяют значкомhello_html_2236dc94.gif и пишут:

hello_html_2236dc94.gifhello_html_m3ec670ce.gif.

Значок hello_html_2236dc94.gif заменяет словосочетание «арифметическая прогрессия».

Если в арифметической прогрессии отбросить все члены, следующие за каким-то конкретным членом последовательности, например за hello_html_md87900a.gif, то получится конечная арифметическая прогрессия

hello_html_2236dc94.gifhello_html_m402eeb7.gif


Иногда в конечной арифметической прогрессии удобно записывать не только несколько членов в начале, но и несколько членов в конце, например так:

hello_html_2236dc94.gifhello_html_27c65452.gif


-Какие способы задания числовых последовательностей, а значит, и арифметической прогрессии вы знаете?


Итак, арифметическую прогрессию можно задать следующими способами:

Слайд 6

Вернемся к № 15.37(а, в).

- Каким способом была задана последовательность по условию?

(Рекуррентным.)

- Каким способом вы задали арифметическую прогрессию?

(Аналитическим.)


-Какой способ «лучше», предпочтительней другого? ( Зависит от поставленной задачи. Например, нужно найти hello_html_m41c53100.gif,в первом случае надо найти предыдущие 99 членов последовательности. Эту работу можно существенно упростить, если удастся найти формулу n-го члена, т. е. перейти к аналитическому заданию арифметической прогрессии. Поэтому второй аналитический способ будет лучше.)

Выведем формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Рассмотрим арифметическую прогрессию hello_html_2236dc94.gifhello_html_m3ec670ce.gif с разностью d.

Имеем:

hello_html_4e3a7d59.gif,

hello_html_65332046.gif,

hello_html_m186dd2fb.gif,

hello_html_m576375da.gif,

hello_html_m1cbaaa27.gif, и т.д.

Нетрудно догадаться, что для любого номера n справедливо равенство

hello_html_42f24b10.gif

Это формула n-го члена арифметической прогрессии.


Важное замечание! «Догадками » математики пользуются, но в основном для открытия каких-то новых фактов, а не для их обоснования. Доказательство этого факта приведем на следующем уроке.

Слайд 7 Ключевые задачи на формулу: an = a1 + d (n-1).

Как найти из этой формулы hello_html_md87900a.gif, hello_html_4dc0aace.gif, d , n?


hello_html_42d4ee68.gif,


hello_html_74f81d60.gif,


hello_html_m34a4729a.gif, hello_html_m10f7121a.gif.

4. Закрепление изученного материала.

Сейчас выполним задания из задачника

Решить № 16.3 устно

Письменно 16.4(г)

16.7(б)

16.17(а)

16.18(а)


Решение.

16.4(г) Кто желает?

Дано:

hello_html_2236dc94.gifhello_html_m3ec670ce.gifРешение.

hello_html_4dc0aace.gif= -17,5 hello_html_m6e1d5395.gif,


d= - 0,5 hello_html_65332046.gif, hello_html_m7bcb81c5.gif= - 17,5 + ( - 0,5) = - 18,

Найти: hello_html_4dc0aace.gif,…, hello_html_c52c676.gif.

hello_html_m33d098ba.gif, hello_html_1f2f84e1.gif= - 18 – 0,5 = - 19,5,

hello_html_74582adc.gif, hello_html_m1d0e9d26.gif= - 19,5 – 0,5= - 19,

hello_html_24c8e420.gif, hello_html_79ea9800.gif= - 19 – 0,5 = - 19, 5,

hello_html_3c79140d.gif, hello_html_53fc0a2a.gif = - 19,5 – 0,5 = - 20.


Ответ: -17,5; - 18; - 18,5; - 19; - 19,5; - 20.



16.7(б)


Дано:

hello_html_2236dc94.gifhello_html_m3ec670ce.gif

5; 6 + √5; 12 + √5; 18 + √5, ….

Найти:hello_html_791abe74.gif, d

Решение.

hello_html_4dc0aace.gif=√5, hello_html_m7bcb81c5.gif= 6 + √5

d= hello_html_m7bcb81c5.gif- hello_html_4dc0aace.gif, d =6 + √5-√5 =6


hello_html_42f24b10.gif

hello_html_3096777a.gif

Ответ: d =6, hello_html_4d38a6e8.gif.



16.17(а)

Дано:

hello_html_2236dc94.gifhello_html_m3ec670ce.gif

hello_html_4dc0aace.gif=12,

hello_html_m774e782.gif.

Найти: d

Решение.

hello_html_42f24b10.gif

hello_html_1b562957.gif

40 = 12 + 4d,

4d =40 -12,

4d = 28,

d =7.

Ответ: d =7.

16.18(а)

Дано:

hello_html_2236dc94.gifhello_html_m3ec670ce.gif

hello_html_m641e2d3e.gif,

d=2

Найти:hello_html_4dc0aace.gif

Решение.

hello_html_42f24b10.gif,

hello_html_73b66e5a.gif,

9= hello_html_4dc0aace.gif+6∙2,

hello_html_4dc0aace.gif=9 – 12,

hello_html_4dc0aace.gif= -3.

Ответ: hello_html_4dc0aace.gif= -3.

5. Итог урока

Итак, наш урок подходит к концу. Достигли ли мы поставленных целей?

  • Изучить определение арифметической прогрессии.

  • Научиться определять является ли числовая последовательность арифметической прогрессией или нет.

  • Изучить формулу n-го члена арифметической прогрессии.

  • Научиться применять формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении задач.

Да достигли, но научились находить не все компоненты, входящие в формулу n-го члена арифметической прогрессии. Какую задачу поставим на последующие уроки?

- Научиться находить номер члена арифметической прогрессии, доказывать, что последовательность, заданная формулу n-го члена является арифметической прогрессии, выяснять является ли число членом арифметической прогрессии.


Дайте определение арифметической прогрессии.


Как найти из этой формулы hello_html_md87900a.gif, hello_html_4dc0aace.gif, d , n?



Изучение математики тесно связано с изучением других предметов, в частности литературы.

В романе «Евгений Онегин» А.С. Пушкина – есть строки ,адресованную герою романа «… не мог он ямба от хорея. как мы ни бились, отличить».Так в чем же это отличие?

Слайд Связь математики и литературы:

Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб - стихотворный размер с ударением на чётных слогах.

Хорей – стихотворный размер с ударением на нечётных слога

Домашнее задание

§ 16 пункт 1, 2, № 16.4(а), 16.5(а), 16. 7(г), 16. 17(в), 16. 18 (в)

Итак, наш урок подошел к концу. Посмотрим, как вы усвоили новый материал?

Решите тест (приложение 1)

За верно решенные 6 заданий теста –«5», за 5 – «4», за 4-3 – «3», менее 3 – «2


Список литературы:

  1. А. Г. Мордкович. Алгебра - 9.Учебник, М.: Мнемозина, 2010.

  2. А. Г. Мордкович. Алгебра - 9.Задачник, М.: Мнемозина, 2010.

  3. Александрова Л. А. Алгебра. 9 класс. Самостоятельные работы для общеобразоват. учреждений. Учеб. Пособие под ред. А. Г. Мордковича.- М.: Мнемозина, 2013.

  4. А. Г. Мордкович. Алгебра 7-9.: Методическое пособие для учителя.- М.: Мнемозина, 2013

  5. Занина О. В.,Данкова И. Н. поурочные разработки по алгебре к учебному комплекту А. Г. Мордковича: 9 класс. – М.:ВАКО, 2014.





Название документа Приложение 1.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Приложение 1

ТЕСТ

Вариант 1

1.Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый член начиная со второго равен предыдущему

А) сложенному с одним и тем же числом;

Б) умноженному на одно и то же число;

В) разделенному на одно и то же число;

Г) возведенному в квадрат.

2. Чтобы найти разность арифметической прогрессии надо

А) из первого члена вычесть второй;

Б) второй член разделить на первый;

В) первый член умножить на второй;

Г) из последующего члена вычесть предыдущий.

3. Укажите формулу n-го члена арифметической прогрессии

А) hello_html_60cb3e6d.gif

Б) hello_html_42f24b10.gif

В) hello_html_m4e5abb35.gif

Г) hello_html_44fcecc3.gif


4. Первый член арифметической прогрессии hello_html_4dc0aace.gif, hello_html_m7bcb81c5.gif, 4, 8,… равен

А) 1; Б) 12; В) - 4; Г) - 1.

5.Найдите разность арифметической прогрессии, если hello_html_1f2f84e1.gif= 4; hello_html_m1d0e9d26.gif= 8.

А) – 4; Б) 0,5; В) 6; Г) 4.


6. Найдите четвертый член арифметической прогрессии, если hello_html_5f75c737.gif= 10; d = - 0,1.


А) 97; Б) 9,7; В) – 97; Г) – 9,7.







Вариант 2

1.Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый член начиная со второго равен предыдущему

А) возведенному в квадрат ;

Б) разделенному на одно и то же число;

В) умноженному на одно и то же число;

Г) сложенному с одним и тем же числом;

2. Чтобы найти разность арифметической прогрессии надо

А) из последующего члена вычесть предыдущий

Б) первый член умножить на второй;

В) второй член разделить на первый

Г) из первого члена вычесть второй;

3. Укажите формулу n-го члена арифметической прогрессии

А) hello_html_44fcecc3.gif

Б) hello_html_m4e5abb35.gif

В) hello_html_60cb3e6d.gif

Г) hello_html_42f24b10.gif

4. Первый член арифметической прогрессии hello_html_4dc0aace.gif, hello_html_m7bcb81c5.gif, 3, 6,… равен

А) 1; Б) 9; В) - 3; Г) - 1.

5.Найдите разность арифметической прогрессии, если hello_html_1f2f84e1.gif= 3; hello_html_m1d0e9d26.gif= 6.

А) 3; Б) 0,5; В) 4,5; Г) -3.


6. Найдите пятый член арифметической прогрессии, если hello_html_5f75c737.gif= 10; d = - 0,1.


А) 96; Б) - 9,6; В) – 96; Г) 9,6.

Название документа презентация арифмет прогрессия.ppt

Поделитесь материалом с коллегами:

Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена
Учебная задача Изучить определение арифметической прогрессии. Научиться опре...
Определение an+1=an + d, d – разность Лат. “differentia” - разность Числовую...
? (an): 1; 3; 5; 7; 5; 9; 11… (кn): 20; 17; 14; 11; 8; 5; 2; - 1; -4; … (хn):...
Обозначение арифме-тической прогрессии Для обозначения того, что последовател...
Способы задания Формулой n-го члена: an=3n Перечислением: 5; 9; 13; 17… Табли...
an=a1 + d(n-1) an=a1 + d(n-1) an a1 d n (an)
Учебная задача Изучить определение арифметической прогрессии. Научиться опре...
an=a1 + d(n-1) an=a1 + d(n-1) an a1 d n (an)
Это интересно Ямб «Мой дядя самых честных правил» 2, 4, 6, 8, … Хорей «Буря м...
Проверь себя Вариант 1 1 - А 2 - Г 3 - Б 4 - В 5 - Г 6 – Б Вариант 2 1 – Г 2...
1 из 11

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена
Описание слайда:

Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена

№ слайда 2 Учебная задача Изучить определение арифметической прогрессии. Научиться опре
Описание слайда:

Учебная задача Изучить определение арифметической прогрессии. Научиться определять является ли числовая последовательность арифметической прогрессией или нет. Изучить формулу n-го члена арифметической прогрессии. Научиться применять формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении задач.

№ слайда 3 Определение an+1=an + d, d – разность Лат. “differentia” - разность Числовую
Описание слайда:

Определение an+1=an + d, d – разность Лат. “differentia” - разность Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией.

№ слайда 4 ? (an): 1; 3; 5; 7; 5; 9; 11… (кn): 20; 17; 14; 11; 8; 5; 2; - 1; -4; … (хn):
Описание слайда:

? (an): 1; 3; 5; 7; 5; 9; 11… (кn): 20; 17; 14; 11; 8; 5; 2; - 1; -4; … (хn): 8; 8; 8; 8; 8; 8; … (bn): 2004; 2008; 2012; 2016… (cn): 4; 9; 16; 25… (dn): 16; 13; 10; 7… (en): 32; 16; 8; 4…

№ слайда 5 Обозначение арифме-тической прогрессии Для обозначения того, что последовател
Описание слайда:

Обозначение арифме-тической прогрессии Для обозначения того, что последовательность (an) является арифметической прогрессией, иногда удобна следующая запись: ÷a1,a2,a3,…,an,… . ÷a1,a2,a3,…,an. ÷a1,a2,a3,…,an-2,an-1,an.

№ слайда 6 Способы задания Формулой n-го члена: an=3n Перечислением: 5; 9; 13; 17… Табли
Описание слайда:

Способы задания Формулой n-го члена: an=3n Перечислением: 5; 9; 13; 17… Таблицей Словесно Рекуррентной формулой: an+1=an-3 Графически

№ слайда 7 an=a1 + d(n-1) an=a1 + d(n-1) an a1 d n (an)
Описание слайда:

an=a1 + d(n-1) an=a1 + d(n-1) an a1 d n (an)

№ слайда 8 Учебная задача Изучить определение арифметической прогрессии. Научиться опре
Описание слайда:

Учебная задача Изучить определение арифметической прогрессии. Научиться определять является ли числовая последовательность арифметической прогрессией или нет. Изучить формулу n-го члена арифметической прогрессии. Научиться применять формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении задач.

№ слайда 9 an=a1 + d(n-1) an=a1 + d(n-1) an a1 d n (an)
Описание слайда:

an=a1 + d(n-1) an=a1 + d(n-1) an a1 d n (an)

№ слайда 10 Это интересно Ямб «Мой дядя самых честных правил» 2, 4, 6, 8, … Хорей «Буря м
Описание слайда:

Это интересно Ямб «Мой дядя самых честных правил» 2, 4, 6, 8, … Хорей «Буря мглою небо кроет» 1, 3, 5, 7, …

№ слайда 11 Проверь себя Вариант 1 1 - А 2 - Г 3 - Б 4 - В 5 - Г 6 – Б Вариант 2 1 – Г 2
Описание слайда:

Проверь себя Вариант 1 1 - А 2 - Г 3 - Б 4 - В 5 - Г 6 – Б Вариант 2 1 – Г 2 – А 3 – Г 4 – В 5 – А 6 – Г


Краткое описание документа:

Разработка урока по алгебре на тему "Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена"  для 9-х классов общеобразовательных учреждений. Разработка выполнена опираясь на УМК по алгебре под редакцией А.Г. Мордковича, но так-же будет полезна и при использовании с другим УМК. Основными целями и задачами данного урока являются:

Изучить определение арифметической прогрессии.

·        Научиться определять является ли числовая последовательность арифметической прогрессией или нет.

·        Изучить формулу n-го члена  арифметической прогрессии.

·        Научиться применять формулу n-го члена  арифметической прогрессии при решении задач.

Автор
Дата добавления 20.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров719
Номер материала 539668
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх