Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по алгебре на тему "Решение уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка урока по алгебре на тему "Решение уравнений"

библиотека
материалов

9 класс. Решение уравнений

Цели: 1) систематизировать сведения о рациональных уравнениях

2) познакомить учащихся с некоторыми приемами решения уравнений высших

степеней

3) обучить решению дробных уравнений

Ход урока

I Организационный момент

II Сообщение ученика об Аль-Хорезми

Выдающийся арабский ученый Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (что означает – из Хорезма) жил и работал в IХ веке н.э. в Багдаде. Тогдашний багдадский правитель халиф аль-Мамун почитал ученость и покровительствовал наукам. По его велению в Багдаде был построен «Дом мудрости» с библиотекой и обсерваторией, и в эту, по нашим нынешним понятиям, академию собрались почти все крупные ученые арабского халифата.

Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми был среди тех ученых, которым халиф поручил переводы греческих математических трудов, измерение дуги меридиана и ряд других научных работ. Его перу принадлежит много книг по математике и астрономии. Его арифметический труд был одним из источников, по которым впоследствии Западная Европа познакомилась с десятичной позиционной системой счисления: аль-Хорезми разъяснил в ней индийскую систему записи чисел и изложил правила письменного счета в этой системе. Арабский оригинал этой книги утерян, но сохранился латинский перевод ХII века. Имя автора, в латинской транскрипции «Алгоризми», привело к появлению в языке математики слова «алгоритм», первоначально означавшему нумерацию по десятичной позиционной системе; впоследствии так стали называть труды, способствовавшие распространению в Европе индийского способа счёта, а затем, наконец, и сам этот счёт. В конечном итоге слово «алгоритм» стало обозначать совсем другое.

Другой знаменитый труд великого ученого по праву считается первой книгой по алгебре (само слово «алгебра» восходит к арабскому «аль-джебр», одному из терминов книги Аль-Хорезми). Это исследование, посвященное решению уравнений. Аль-Хорезми изучил линейные и квадратные уравнения, называл переменную «корнем» уравнения, квадрат переменной – просто «квадратом». Родоначальник алгебраической науки не знал, разумеется, никакой алгебраической символики, - до её создания оставалось ещё несколько столетий, - и всё свои выкладки описывал словами.

Приведем пример.

Задача. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Решение уравнений, чисто алгебраическое, подкреплялось для убедительности и геометрическим, - так, как решали свои арифметические задачи древние греки. Способ решения задачи излагался в виде рецепта. Так что человек, давший имя алгоритму, приводил в своих трудах только алгоритмы решения уравнений!..

ІІІ Сообщение ученика по теме «Уравнения»

Записывать и решать уравнения начали арабы в первом тысячелетии нашей эры. До тех пор решение задач было исключительно арифметическим – из многих действий. В тот момент, когда появилась блестящая идея находить неизвестное, записав соотношения, которыми оно связано с известными величинами, и затем, выразив это неизвестное из этих соотношений, родилась алгебра.

В те времена не было еще общепринятых теперь обозначений переменных буквами, а действий – знаками. Уравнения записывались словами. Но и в такой «словесной форме» уравнения существенно облегчали жизнь.

Применение уравнений упрощает решение задач, но самое замечательное то, что одним и тем же уравнением могут описываться совершенно разные ситуации. Научившись решать некоторый тип уравнений, можно справиться с целыми классами задач, описывающихся уравнениями этого типа.

Равенство вида А(х) = В(х), где А(х) , В(х) - выражения, зависящие от х, называют уравнением с неизвестным х. Если выражения А(х), В(х) рациональны (т.е. получаются из х и чисел с помощью операций сложения, умножения и деления), то уравнение А(х) = В(х) называют рациональным.

Число а называют корнем уравнения А(х) = В(х), если при замене буквы х этим числом получается верное числовое равенство, А(а) = В(а). Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что оно не имеет корней.

Прежде чем решать уравнение А(х) = В(х), полезно установить, какие значения может принимать неизвестное х. Для этого надо найти, при каких значениях х имеют числовое значение выражения А(х) и В(х). Совокупность таких значений называют областью допустимых значений х для данного уравнения. Пишут ОДЗ.

На последних уроках алгебры мы рассматривали решение целых и дробных уравнений. Для решения уравнений нами применялись следующие методы: разложение на множители, введение нового неизвестного.

Пример. Найдите действительные решения уравнения (х-1)(х-3)(х+5)(х+7) = 297.

Решение. (х-1)(х-3)(х+5)(х+7) = 297 hello_html_796978f8.gif2 + 4х – 5)(х2 + 4х – 21) – 297 = 0. Введем обозначение: х2 + 4х – 13 = у. Преобразуем уравнение к виду: (у – 8)(у + 8) – 297 = 0; у2 – 64 – 297 = 0; у2 = 361; у1,2 = hello_html_m5861e036.gif19. Вернемся к исходной переменной, имеем:

  1. х2 + 4х- 13 = -19 hello_html_796978f8.gif х2 + 4х +6=0 , D=-8, Dhello_html_25434063.gif0, нет действительных корней.

  2. х2 + 4х -13 = 19 hello_html_796978f8.gif х2 + 4х – 32 = 0. Решим уравнение по теореме, обратной теореме Виета х1 + х2 = - 4 и х1 hello_html_47278024.gif х2 = - 32. Откуда х1 = - 8 , х2 = 4.

Ответ: - 8; 4.

IV Сообщение ученика о способе решения целых уравнений, опирающийся на теорему Безу

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида, называют, целым алгебраическим уравнением.

Теорема №1

Для того чтобы многочлен делился без остатка на двучлен (х – а), необходимо и достаточно, чтобы число а было корнем многочлена. (Эту теорему называют теоремой Безу).

Теорема №2

Если уравнение а0хn+a1xn-1+…+an-1x + an =0 имеет целые коэффициенты, причем свободный член отличен от нуля, то целыми корнями такого уравнения могут быть только делители свободного члена.

Пример. Решите уравнение 3х4 – 2х3 -8х2 – х + 2 = 0.

Решение. 3х4 – 2х3 -8х2 – х + 2 = 0 (1)

Делителями свободного члена являются числа - 1, 1, -2, 2. Подставляя число -1 в уравнение, находим, что левая часть уравнения обращается в нуль. Значит, х = - 1 корень уравнения.

4 – 2х3 - 8х2 – х + 2 │ х + 1

4 + 3х3 3 – 5х2 – 3х + 2

3 - 8х2

3 - 5х2

- 3х2 - х

- 3х2 - 3х

2х + 2

2х + 2

0

Итак, 3х4 – 2х3 - 8х2 – х + 2 = (х + 1)(3х3 – 5х2 – 3х + 2).

Решим уравнение 3х3 – 5х2 – 3х + 2 = 0. (2)

Делителями свободного члена являются числа hello_html_m5b6caa29.gif1; hello_html_m5861e036.gif2. Подставляя число 2 в уравнение (2), находим, что левая часть обращается в нуль. Значит, х = 2 корень уравнения.

3 – 5х2 – 3х + 2 │ х – 2

3 - 6х2 2 + х - 1

х2 - 3х

х2 - 2х

- х + 2

- х + 2

0

Итак, уравнение (1) примет вид:

4 – 2х3 - 8х2 – х + 2 = (х + 1)(х - 2)(3х2 + х – 1) = 0.

х + 1 = 0 или х – 2 = 0 или 3х2 + х – 1=0

х = - 1 х = 2 D = 13, х = hello_html_m55982aad.gif

Ответ: - 1; 2; hello_html_m7ab6dcca.gif; hello_html_54b6a0a1.gif.

V Сообщение ученика о решении возвратных уравнений

Уравнение вида anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. если an-k = a k при k = 0; 1; 2; 3; … ; n.

Рассмотрим возвратное уравнении четвертой степени вида ах4 + вх3 + сх2 + вх + а = 0, где а, в, с – некоторые числа, причем аhello_html_60b48d30.gif0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

  • разделить левую и правую части уравнения на х2 (при этом не происходит потери решения, т.к. х = 0 не является корнем исходного уравнения при аhello_html_60b48d30.gif0);

  • группировкой привести полученное уравнение к виду аhello_html_6596c9c2.gif + с = 0;

  • ввести новую переменную t = hello_html_m79a731ab.gif, тогда выполнено t2 = hello_html_70d37e32.gif , т.е. hello_html_55edad9a.gif = t2 – 2. В новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: аt2 + bt + c – 2а = 0;

  • решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Пример №1. Решите уравнение х4 - 5х3 + 6х2 – 5х + 1 = 0.

Решение. Разделим обе части уравнения на х2. После группировки получаем hello_html_22b3b6d8.gif + 6 = 0. Замена t = hello_html_m79a731ab.gif позволяет свести это уравнение к квадратному уравнению t2 – 5t + 4 = 0. Сумма коэффициентов уравнения равна нулю (1-5+4=0), то t1 = 1, t2 = hello_html_m37d8f152.gif = 4.

В результате имеем совокупность двух уравнений hello_html_m79a731ab.gif = 1 или hello_html_m79a731ab.gif = 4.

Приведем их к целому виду.

  1. х2 – х + 1 = 0 2) х2 – 4х + 1 = 0

D = - 3, - 3 hello_html_25434063.gif 0 D1 = 3, 3 hello_html_m42ce3b3b.gif 0

нет действительных корней х = 2 hello_html_m5861e036.gif hello_html_m47793b45.gif

Ответ: 2 - hello_html_m47793b45.gif; 2 + hello_html_m47793b45.gif.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения:

  • hello_html_m1f4225c8.gif вдвое меньшей степени подстановкой hello_html_m79a731ab.gif = t;

  • возвратное уравнение нечетной степени обязательно имеет корень х = - 1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен х + 1, приводится к возвратному уравнению четной степени.

Пример № 2. Решите уравнение 6х4 + 35х3 + 62х2 + 35х + 6 = 0.

Решение. Разделим обе части уравнения на х2. После группировки получаем

6hello_html_m61be5907.gif + 62 = 0. Полагая hello_html_m5d54d22f.gif = у, получаем 6у2 + 35у + 50 = 0, D=25, у1 = - hello_html_m71cf4091.gif и у2 = -hello_html_1edadce6.gif.

  1. hello_html_m79a731ab.gif = - hello_html_m71cf4091.gif 2) hello_html_m12bd6396.gif = - hello_html_m48c79249.gif

2 + 5х + 2 = 0 3х2 + 10х + 3 = 0

D = 9, х1 = - 2 и х2 = - hello_html_m1722f874.gif D = 64, х3 = - 3 и х4 = - hello_html_m4ccea8f3.gif

Ответ: -3; -hello_html_m4ccea8f3.gif; -2; -hello_html_m1722f874.gif.

VI Сообщение ученика о решении дробных рациональных уравнений

Дробным рациональным уравнением называют уравнение, если левая или правая часть является дробным выражением.

hello_html_349830aa.gif hello_html_796978f8.gif hello_html_347fdb51.gif

Пример №1. Решите уравнение х2 + hello_html_m2f625c48.gif.

Решение. Слева имеем сумму двух квадратов. Дополним эти два слагаемых до квадрата разности: х2 – 2хhello_html_m2125c287.gif + hello_html_m458b0be3.gif= 7. Свернем полный квадрат и в скобках приведем к общему знаменателю:

hello_html_m4b26c65.gif + hello_html_4ba21723.gif = 7,

hello_html_44580967.gif+ 6hello_html_50720044.gif = 7.

Введем замену: hello_html_m5741b6da.gif = t.

Уравнение примет вид: t2 + 6t – 7 = 0, t1 = - 7, t2 = 1.

  1. hello_html_3219b7cd.gif = - 7 2) hello_html_3219b7cd.gif = 1

hello_html_53722e28.gif = 0 hello_html_2950658e.gif

hello_html_564eeced.gif hello_html_2ae4c64b.gif

hello_html_709aedc5.gif hello_html_77500872.gif

D= - 35, нет действительных корней D = 13, х = hello_html_2ea45010.gif

х hello_html_1275eaa4.gif х hello_html_1275eaa4.gif

Ответ: hello_html_71bfd50d.gif, hello_html_76640a41.gif.

Пример №2. Решите уравнение hello_html_m1bb0a889.gif + hello_html_37e23f32.gif.

Решение. Если положить u = hello_html_6a522ae9.gif, v = hello_html_m11513495.gif , то получим уравнение u2 + v2 = hello_html_m71cf4091.gif u hello_html_f743096.gifv. Перепишем это уравнение в виде 2u2 – 5uv + 2v2 = 0 (1). х = 1 не является корнем исходного уравнения, значит v hello_html_m1e8767f.gif 0. Поэтому мы можем обе части уравнения (1) разделить на v2 (v hello_html_m1e8767f.gif 0). Выполнив деление, получим уравнение 2hello_html_44c95516.gif, замена hello_html_2cff06b1.gif= у.

2 – 5у + 2 = 0, D= 9, у1 = 2 и у2 = hello_html_m1722f874.gif.

Итак, hello_html_m42610011.gif = 2 или hello_html_m42610011.gif = hello_html_m1722f874.gif.

Так как hello_html_66eadee4.gif hello_html_4a655c0e.gif hello_html_82210eb.gif = hello_html_227e5a36.gif, то имеем совокупность двух уравнений:


hello_html_m1620a691.gif = 2 или hello_html_m1620a691.gif = hello_html_m1722f874.gif .


Решим их.

  1. х2 – х – 2 = 2х2 +2х – 4 2) 2х2 – 2х – 4 = х2 + х – 2

х2 + 3х – 2 = 0 х2 – 3х – 2 = 0

D = 17 D = 17

х1= hello_html_m5eb3d564.gif, х2 = hello_html_m444ea9d7.gif. х3= hello_html_m3c6f14e2.gif, х4 = hello_html_m3bb4cbae.gif.

Ответ: hello_html_m5eb3d564.gif, hello_html_m444ea9d7.gif, hello_html_m3c6f14e2.gif, hello_html_m3bb4cbae.gif.

VII Подведение итогов урока



Краткое описание документа:

Записывать и решать уравнения начали арабы в первом тысячелетии нашей эры. До тех пор решение  задач было исключительно арифметическим – из многих действий. В тот момент, когда появилась блестящая идея находить неизвестное, записав соотношения, которыми оно связано с известными величинами, и затем,  выразив это неизвестное из этих соотношений, родилась алгебра.

В те времена не было еще общепринятых теперь обозначений переменных буквами, а действий – знаками. Уравнения записывались словами. Но и в такой «словесной форме» уравнения существенно облегчали жизнь.

Применение уравнений упрощает решение задач, но самое замечательное то, что одним и тем же уравнением могут описываться совершенно разные ситуации. Научившись решать некоторый тип уравнений, можно справиться с целыми классами задач, описывающихся уравнениями этого типа.

Цели:   1) систематизировать сведения о рациональных уравнениях

             2) познакомить  учащихся с некоторыми приемами решения уравнений высших                  степеней                                              

             3) обучить решению дробных уравнений

Автор
Дата добавления 28.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров218
Номер материала 346578
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх