Разработки уроков по теме "Квадратные уравнения"

Пояснительная записка

            Процесс обучения – процесс двухсторонний. Для успеха обучения требуется не только высокое качество работы учителя, но и активная деятельность учащихся, желание овладеть самостоятельно знаниями, их интерес к обучению, сосредоточенная и вдумчивая работа под руководством учителя.   Для этого необходимо строить процесс обучения, организацию и методику урока так, чтобы широко вовлекать учащихся в самостоятельную творческую деятельность по усвоению новых знаний и успешному применению их на практике. Урок есть основное звено процесса обучения. Это значит, что весь процесс обучения складывается из отдельных звеньев-уроков, каждый из которых связан со всеми предыдущими в единую цепь-систему. Очень важно хорошо провести урок. Но даже сам по себе хорошо проведенный урок не решает в должной мере задачи обучения; если он не является органическим звеном общей цепи данной темы, раздела, курса, цикла, всего учебно-воспитательного процесса. Необходимым условием организации обучения по любому предмету является учет возрастных и индивидуальных особенностей учащихся. Подростковый возраст это весьма сложный период в жизни ребенка. Он становится социально активным, восприимчивым к усвоению норм, ценностей и способов поведения, которые существуют среди взрослых. Начинается формирование морально нравственных и социальных установок личности ученика. Подросток стремится к активному общению со сверстниками, и через это общение он познает самого себя. Все это часто болезненно сказывается на отношении учащихся ко взрослым, в том числе и учителю, и к учению. Общая картина работы учащихся на уроках по сравнению с младшими классами ухудшается. Ранее примерные и аккуратные ученики позволяют себе не выполнять задания. Тетради ведутся неряшливо. У многих учеников меняется почерк, он становится неразборчивым и небрежным. При решении математических задач некоторые подростки не проявляют нужной настойчивости и прилежания.
В этом возрасте дети обнаруживают особую расположенность к совместным действиям. Склонность к активному времяпрепровождению ярко обнаруживается в играх. Рост умственных сил проявляется в интересе к играм и умственным упражнениям. Многие любят задачи на сообразительность, осваивают шахматы и т.п.
Таким образом, рост умственных и физических сил изменяет характер активности подростков: в гораздо большей степени чем раньше, их начинают привлекать занятия требующие определенного упорства и самостоятельности.
Одним из важных средств, активизирующих учебный процесс, является побуждение познавательной потребности. Познавательная потребность занимает важное место в общем психологическом развитии личности, и особенно ее мотивационно - потребностной сферы. Познавательная потребность - это мотивационно - личностное образование, которое почти на всем протяжении школьного возраста проявляется в любознательности учащихся, находя отражение в системе его учебных и вне учебных интересов.
Важную роль в успешности обучения играет воля учащегося. Начинать воспитание воли следует с приобретением привычки решать задачи сравнительно незначительной трудности. Систематически преодолевая сначала небольшие трудности, а со временем и значительные, учащиеся тренируют и закаляют свою волю.
Педагог должен проявлять чуткость в своих беседах с учащимися. Всевозможные замечания вроде таких, что " у тебя все равно ничего не получится ", способны в сильнейшей степени деморализовать учащегося, особенно подростка. И наоборот, уверенное убеждение, что "задача должна решиться потому, что ты серьезно занимаешься, а ты не хуже других", во многих случаях сыграет свою положительную роль.
Может быть еще большую роль играет самовнушение. Если учащийся почему-то пришел к выводу, что "он не способен", что "ничего не получится", то, конечно, сколько времени он ни сидел бы над задачей, он все равно задачи не решит. Такое самовнушение подростка парализует его волю, лишает его концентрации мысли, и он не сможет мобилизовать столько энергии на преодоление стоящих перед ним задач, сколько он мог бы проявить в нормальных условиях. В этом случае надо добиться перелома в психике учащегося-подростка, вселить в него уверенность в своих силах, возбудить волю. Учащемуся, потерявшему веру в себя, целесообразно сначала дать для решения самые простые задачи, чтобы дать ему возможность поверить в свои силы.

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому материалу. Возникновение интереса к математике у большинства учеников зависит от методики ее преподавания, от того, насколько умело будет построена учебная работа. Я стараюсь строить уроки так, чтобы на уроках каждый ученик работал активно и увлеченно, и использую это как отправную точку для возникновения и развития любознательности, глубокого познавательного интереса. Актуализация знаний и навыков в процессе формирования новых понятий и алгоритмов посвящена демонстрации полезности подхода к пропедевтике введения новых понятий как к средству предотвращения потери учебных знаний и навыков школьников,  следовательно, и к фактору устранения их умственной перегрузки во время школьных уроков. Немаловажную роль я здесь отвожу проведению нестандартных уроков, которые возможно проводить за счет резерва времени. Изложение теоретического материала начинаю с постановки проблемной задачи и показываю исторически возникшую проблему, которая привела к появлению нового понятия. Ввод в самом начале изучения «проблемы»  позволяет показать необходимость изучаемого материала; доказывать его значимость; определить дальнейшее применение этого материала, как при изучении данной темы, так и всей математики в целом. Особое значение придается разработке алгоритмов. Применение алгоритмов позволяет учащимся на следующих этапах изучения темы решать стандартные задачи самостоятельно. Все эти моменты реализуются на уроках усвоения новых знаний. Огромную роль играют уроки обобщения и систематизации, которые предполагают последовательность действий: от восприятия, осмысления и обобщения отдельных фактов к формированию у учащихся понятий, категорий и систем, от них – к усвоению все более сложной системы знаний, к овладению основными теориями и ведущими идеями той или иной темы. Важная задача – это ликвидация пробелов в знаниях учащихся. Дифференциация имеет особое значение, что объясняется спецификой моего предмета. Разрыв в возможностях восприятия курса учащимися, находящимися на двух "полюсах", весьма велик. Как успех учебного процесса в целом, успех                                                                                                               дифференцированного подхода в обучении существенно зависит от познавательной активности учащихся, от того, насколько они будут заинтересованы в своей деятельности. Ясное знание конкретных целей при условии их посильности, возможность выполнить требования учителя активизирует познавательные способности школьников, причем на разных уровнях. Уровень преподавания данной темы  должен быть в целом существенно выше обязательного уровня, иначе и уровень обязательной подготовки не будет достигнут, а учащиеся, потенциально способные усвоить больше, не будут двигаться дальше. Каждый ученик должен в полном объеме услышать предлагаемый материал со всеми доказательствами и обоснованиями, ознакомиться с образцами рассуждений, на каких-то этапах участвовать в решении более сложных задач.                                                                                                  Дифференциация осуществляется не за счет того, что одним ученикам дают меньше, а другим больше, а в силу того, что предлагая ученикам одинаковый объем материала, устанавливают различные уровни требования к его усвоению. Компьютерное обучение применяется мною по отдельным темам, разделам, для решения отдельных дидактических задач, это: урок с компьютерным сопровождением; урок в компьютерном классе. Важным положительным эффектом применения ИКТ на уроках является повышение мотивации учения. При этом видно влияние на “слабых” учащихся; для многих из них работа с компьютером оказывается той единственной ступенькой к возрождению интереса к учебе, возможностью добиться успеха. Учащиеся охотно создают презентации, используя дополнительный материал, возможности Интернета, собственные знания по информатике и математике, ресурсы «КМ-школы». Использование мною ИКТ это - наглядность материала; ускорение темпа урока; постоянное экспериментирование; последовательный                                                         характер обучения за счет планомерного накапливания наглядных электронных пособий, позволяющих в любой момент вернуться к уже знакомым, эмоционально окрашенным образам пройденного материала, которые могут быть гораздо экспрессивнее всем известных опорных сигналов. Рассматриваю компьютер как дополнение к процессу обучения, а не заменяющее учителя и учебник средство обучения. Учебный курс подготовки учащихся 8 классов посвящён одной из главных тем курса алгебры – квадратным уравнениям. Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретённых знаний, и его цель – развитие логической культуры, т.к. очень серьезные трудности логического характера вызывают обычно уравнения, неравенства и системы, в которых требуется найти такие значения этих параметров, при которых выполняются некоторые дополнительные требования. Курс предполагает рассмотрение квадратных и биквадратных уравнений.

Основные направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры:

уравнение как общематематическое понятие многоаспектно. Можно выделить главные области возникновения и функционирования понятия «уравнение» как:

средства решения текстовых задач; особого рода формулы, служащей в алгебре объектом изучения; формулы, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением. В настоящее время, ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование (Математическое моделирование заключается в конструировании по определенным правилам некоторой формальной системы, которая отображает через совокупность математических операций определенную гипотезу о структуре). Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

Основным  является подготовка учащихся по предложенным ниже темам. Важно, что ученик имеет возможность в большей степени реализоваться и это способствует мотивации учения. У школьников формируются такие качества как самостоятельность и коллективизм.  

С началом изучения систематического курса алгебры основное внимание уделяется способам решения квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений.

Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения других уравнений и их систем (дробных рациональных, иррациональных, высших степеней).

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать:

формулу нахождения дискриминанта; формулу нахождения корней квадратного уравнения; алгоритмы решения уравнений данного вида.

Уметь: решать неполные квадратные уравнения; решать полные квадратные уравнения; решать приведенные квадратные уравнения; находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются неполные, полные и приведенные квадратные уравнения. Для изучения данной темы были проанализированы современные школьные учебники разных авторов. В учебниках есть сходства и различия. Во всех современных школьных учебниках алгебры методическая линия изучения квадратных уравнений одинакова. В учебнике под ред. М.И.Башмакова дается историческая справка, а в других учебниках этого нет. В учебниках алгебры С.М.Никольского и Ю.Н.Макарычева при изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются прямая и обратная теорема Виета.

Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа обусловливает постепенное накопление как их видов, так и «фонда» тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшему. В этом направлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе. Работая над методическими рекомендациями к теме «Квадратные уравнения», я придерживалась основных принципов: обучение на высоком уровне трудности; быстрый темп; ведущая роль теории; осознание учащимся собственного развития.

Организационно-методический раздел

Цель курса:                                                                                                                                  расширить  знания учащихся о решении уравнений.                                                                Задачи курса:                                                                                                                                            1. углубить теоретические знания и сформировать у учащихся навыки решения квадратных уравнений;                                                                                                                                             2.формировать опыт творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении задач;                                                                                                               3. развивать логическую культуру учащихся.

Дидактические цели:

1. Формирование интереса к предмету.

2. Формирование навыков систематизации знаний.

3. Формирование навыков самостоятельной работы.

4. Воспитание средствами математики культуры личности.

5. Воспитание понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

6. Воспитание отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики.

7. Приобретение:

навыков самостоятельной работы с информационными ресурсами Интернет; навыков работы в группах; навыков исследовательской работы; умения увидеть и понять проблему, наметить пути её решения.

8. Развитие интереса к изучению и исследовательской деятельности.

Решение квадратных и уравнений в школьной практике позволяет проверить и углубить:
– знание основных разделов школьной математики;
– уровень математического и логического мышления;
– перспективы возможности конкурентноспособности учащихся;
– возможности успешно овладения курсом математики;
– успешности сдачи ЕГЭ в выпускных классах.

Примерное распределение часов, отведенных на изучение темы:

«Квадратные уравнения» (22 часа).

№ урока	Содержание (разделы, темы)	Количество часов
1	Основные понятия. Какие уравнения называются квадратными.	1
2,3	Неполные квадратные уравнения.	2
4,5	Формулы корней квадратного уравнения.	2
6	Еще одна формула корней квадратного уравнения.	1
7	Обобщение темы «Квадратные уравнения» 1	1
8,9	Рациональные уравнения	2
10	Контрольная работа	1
11,12,13, 14,15	Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций.	5
16,17	Теорема Виета.	2
18,19	Иррациональные уравнения.	2
20	Обобщение темы «Квадратные уравнения» 2	1
21	Контрольная работа	1
22	Зачет	1

 

 

Урок №1.

Тема урока: Основные понятия. Какие уравнения называют квадратными.

Цели урока:

♦расширить знания учащихся об уравнениях;

♦использовать для достижения поставленной задачи уже полученные знания;

♦воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля; развивать самостоятельность и творчество.

Задача урока: организовать коллективный способ изучения нового материала, повторение формул сокращенного умножения, работу с учебником. Проведение закрепления и обучающей самостоятельной работы осуществить в парах и индивидуально с учащимися.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся (подготовка к восприятию нового материала).

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление.

5. Обучающая самостоятельная работа «Решайка».

6. Итог урока.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Сообщение темы, цели урока.

2. Актуализация знаний учащихся.

1) Выбрать  уравнения которые вы бы отнесли к квадратным, определить вид остальных и количество корней:

3х=0        7х-х²=3     х²-1=0           х³+2х-1=0             2х²-5х+6=0           -1=0            

2) Чем отличаются уравнения:

х²-1=0            2х²-5х+6=0             -3х²=0?

3) Ученик, не решая уравнения вида ах²+вх+с=0, сразу говорит, имеет оно корни или нет. А вы сможете это сделать? (постановка проблемы)

4) Решите уравнения:

а) х²=64; б) х²-144=0; в) х²+25=0; г) (х-1)²=9; д) (х+5)²=0.

3. Изучение нового материала. 

1) Задача Диофанта: Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение равно 96.

-Попробуйте составить уравнение к данной задаче:

Выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел,  мы придем к уравнению  y(20-y)=0 или  y2 - 20y+96=0.                                                                                                                                                  

Но такое уравнение мы еще не умеем решать. Итак, начнем с определения:

2) Учитель обращает внимание учащихся на уравнение   y2 - 20y+96=0 и предлагает самостоятельно дать определение квадратного уравнения.

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+bx+c=0,  где a,b и c произвольные числа, причем а≠0 (почему?).

Числа a,b,c – это коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым или старшим коэффициентом, b-вторым коэффициентом, а c-свободным членом.

Первичное закрепление:  №764, №769(а).[24.1; 24.2]

3) Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Например, х²-12х+20=0, х²-х=0, х² -=0.(придумайте свои приведённые квадратные уравнения).

Можно ли «превратить» обычное квадратное уравнение в приведённое?

Оказывается, любое квадратное уравнение можно привести к приведенному, разделив все члены уравнения на старший коэффициент.

Например: 3х²- 5х+7=0 (а=3)

              х²-1+2=0.

Устно: №771, №772(в тетрадях) [24.10; 24.11]

4) Учащимся  предлагается обосновать, какое, по их мнению, квадратное уравнение называется полным, а какое – неполным, с обязательным акцентом на старший коэффициент.

После чего учениками самостоятельно вводится определение неполных квадратных уравнений, и, работая в группах, обосновываются алгоритмы их решения.(с занесением в таблицу)

ах2=0 (в = 0, с = 0)	ах2+вх=0 (с = 0)	ах2+с=0 (в = 0)
х2=0	х(ах+в)=0	ах2=-с
х=0	х=0 или х=	х2=
		1) если <0, то корней нет  2) если >0, то х1,2=
один корень	два корня	два корня

Устно: №773, №775(с записью на доске),  №774(в тетрадях) [24.12; 24.13; 24.16]

5) Обсуждение в мини-группах «что значит решить квадратное уравнение».

Вернемся к задаче Диофанта.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е.. 10 - х. Разность между ними 2х. Отсюда:  (10+x)(10-x) =96,

100 -x2 = 96.

х2 - 4 = 0

х =2. 

Одно из искомых чисел равно 12, другое 8.

 Интересный факт! - решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

6) Обсуждение возможного количества корней квадратного уравнения с помощью графиков (акцент на графическое решение квадратных уравнений) в учебнике (рис.92,а; 92,б; 92,в)

 4.Закрепление.  

 №767 (по цепочке), №770(в парах), №786(а) (у доски, с обязательным объяснением). [24.3; 24.8; - ]

6. Обучающая с/р «Решай сам». №777(а,в), 796(а)-I вариант, №777(б,г), 796(б)-II вариант. [24.15; 24.35]

Дополнительно для более сильных учащихся №802[24.30], или

- Верно ли выделен квадрат двучлена в каждом случае?

а) х²+8х-10=(х+4)²+16-10=(х+4)²+6;

б) х²-7х+3=;

в) х²-2х=(х-2)²+4.

После выполнения работы, проводится проверка (используя ТСО).

7. Итог урока.

1)Какие уравнения называются квадратными? Приведите пример.

2)Как называются коэффициенты квадратного уравнения?

3)Какие квадратные уравнения называются приведены

4)Как привести квадратное уравнения к приведенному?

5) рефлексия с использованием символов («+», «-», «?»)

6) Задание на дом: §19, №765, №768(а,б), №800.  Доп.№798*(а) [24.3; 24.6; 24.24; 24.37*] + подготовить исторические сведения о квадратных уравнениях через 2 урока (по желанию).

Урок №2.

Тема урока:    Неполные   квадратные уравнения.

Цели урока:

·        расширение и углубление представлений учащихся о решении уравнений, организация поисковой деятельности учащихся при решении неполных квадратных уравнений;

·        развитие умения самостоятельно приобретать новые знания;

·        использование для достижения поставленной задачи уже полученных знаний, установление закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний;

·        воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля, развитие самостоятельности и творчества.

Ход урока.

I. Организационный момент.

 Сегодня на уроке вам предстоит найти способы решения неполных квадратных уравнений, показать свои знания и умения в устных упражнениях, в групповой работе и самостоятельной.

II. Актуализация знаний. Накопление фактов.

1) Устная работа

Разложите на множители и выберете правильный ответ.

а) х²-х;

А) х(х-1)                                             Б) х(1-х)

б) 4х²+2х;

А) -х(2х + 2)                                       Б) 2х(2х+1)

в) 4х² - 9;

А (2х - 3)(2х + 3)                                Б 2(х - 3)(х + 3)

г) 2х² + Зх² - 5х

А) 2х(х² + 2х-5)                                  Б) х(2х²+Зх-5)

2) Решите уравнения. Сколько корней имеет каждое уравнение?

а) х² = 9                       б) 5х²=0                   в) х²=-25              г) х²=7

3) Распределите данные уравнения на четыре группы и объясните, по какому признаку вы это сделали.

а) 9х²-6х+ 10 = 0; б) 4х²-х = 0; в) 7х²=0; г) х²+25 = 0; в)-3х²+5х+ 1 =0;

е)-2х²+8 = 0; ж) 5х²-5 = 0; з) -8x² = 0; и) 8х²+3х = 0.

Возможные ответы:

1-я группа: а), д); ах²+вх+с=0,

2-я группа: б), и); оба слагаемых содержат переменную,

3-я группа: е), ж); одно слагаемое с переменной, а другое – нет;

4-я группа: в), з); одночлен с переменной в квадрате).

III. Постановка учебной задачи.

1. Как называются эти уравнения?

2. Все ли уравнения здесь полные?

3. В каких случаях квадратные уравнения можно считать неполными? Дайте характеристику каждой группе.

4. Каких уравнений записано больше?

5. Какая задача встает перед нами?

- Систематизировать знания по решению неполных квадратных уравнений.

IV. Решение поставленной задачи.

Работа в группах по плану:

1. Решить любое уравнение 2, 3 и 4 группы по выбору.

2. Записать его в общем виде.

3. Исследовать корни.

Сделать выводы!

4. Составить неполное квадратное уравнение, любой группы по выбору и найти его корни. (Решение записать в тетрадь).

Представители от группы на доске записывают свои исследования.

V. Обучающая самостоятельная работа.

(за­дания для самоконтроля).

Критерий оценок (на доске): «5» :8 баллов, «4» : 6 - 7 баллов, «3» :3 балла.

Вариант 1                                                                              Вариант 2

1. (1 балл) Решите уравнения:

а) 2x² – 18=0;                                                                         а) 6х²-24=0;

б) 5х²+25х=0;                                                                        б) 3х² +12х=0;

в) х²+5=0.                                                                              в) 7+х²=0.

2. (2 балла) Составьте квадратное неполное уравнение, имеющее корни:

   5 и -5                                                                                   0 и 6

3. (3 балла) Решите уравнение:

(х+1)²+(1+х)5=6                                                                    (х-4)(х+4)=2х-16

Организация проверки: на доске записаны ответы:

1. а) 3 и -3;  б) 0 и -5;  в) нет корней.

2. а) -2 и 2;  б) 0 и -4;  в) нет корней.

2. х²-25=0

2. х²-6х=0

3. 0 и -7

3. 0 и 2

VI. Подведение итогов урока.

Учащиеся подсчитывают количество баллов и ставят себе оценку.

Рефлексия: Оцените свою деятельность на уроке. Полностью, ли вы реализовали себя?

VII. Задание на дом:

а) используя исследования в группах, составить к каждой группе уравнений по три уравнения, решить любое из них;

б) записать оставшиеся два в каждой группе уравнения на лист для работы на следующем уроке соседу по парте;

в) распределить уравнения из №№778, 779, 780, 781, 782[24.18; 24.17; 24.16; 24.20] по видам.

Урок №3.

Тема урока: Решение неполных квадратных уравнений.

Цели урока:

♦ организация поисковой деятельности учащихся при решении уравнений;

♦ установление закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний;

♦ расширение и углубление представлений учащихся  о решении текстовых задач;

♦ воспитание интереса к предмету.

Задача урока: Организовать поисковую деятельность учащихся, в ходе которой рассматриваются математические модели решения текстовых задач.

Структура урока:

1.     Организационный момент.

2.     Проверка домашнего задания.

3.     Индивидуальная работа учащихся.

4.     Устные упражнения.

5.     Выступление учащихся.

6.     Доклад «Из теории квадратных уравнений».

7.     Подведение итогов урока.

8.     Домашнее задание.

Ход урока.

1. Организационный момент:

Учитель объявляет тему и цели урока.

2. Проверка домашнего задания.

На доске заранее записано решение уравнений. Учащиеся сверяют свои решение с решениями на доске. Учащиеся, которые предлагали свои решения на доске, комментируют, дают более подробные пояснения.

3. Индивидуальная работа. (Учащиеся работают по вариантам).Некоторым учащимся можно предложить более лёгкий вариант (из №№ учебника).

Вариант №1.            Вариант №2.                          Вариант №3.

(х+2)²=4(х+4),          4(х-1)²=(х+2)²,                       (3х-1)²=3(1-2х),

2х²+4х³=0.                -10х²+2х³=0.                           2х+18х³=0.

Проверка проводится сразу. С помощью проектора показывают слайды с решениями вариантов. Учащиеся, не допустившие ошибки, получают баллы.

4. Устное упражнение:

 Имеет ли решение неполное квадратное уравнение:

ах²+с=0, если: а) а>0, c<0; б) a>0, c<0; в) а<0, c>0; г) а<0, c<0.

5. Выступление учащихся.

Каждая группа предлагает решения задач, которые они получают на карточках (можно заменить карточки №№ 787, 788. 789, 791). [24.25; 24.26; 24.29]

(Можно одну задачу – на доске, а одну на слайде и с помощью проектора демонстрировать класса с соответствующими пояснениями).

6. «Из истории квадратных уравнений». Выступает ученик.(можно презентацию)

А затем учащимся предлагается более сложное уравнение:

Умножим обе части уравнения на 12. Получим уравнение:

12х²+12-4(х²+3)=6(х²+2)-3(х²+4),

12х²+12-4х²-12=6х²+12-3х²-12,

8х²=3х²,

5х²=0,

х=0.

Ответ: 0.

При достаточном количестве времени можно «поиграть»: предложить математический софизм, который «доказывает», что 2=1.

Пусть	а=b
Умножим обе части на а:	а2=ab
Вычтем b2	а2-b2=ab-b2
Получим	(a-b)(a+b)=b(a-b)
Разделим на (а - в)	a+b=b
Но по условию	a=b
Значит	b+b=b
То есть	2b=b
Разделим на b, получим	2=1

- Кто объяснит невероятное?(в чём ошибка?)

7. Подведение итогов урока.

8. Домашнее задание. №790, 793, 801[24.28; 24.32(а,б); 24.24(а,б)] (начать готовить презентацию по теме в группах).

Урок №4.

Тема урока: Формулы корней квадратного уравнения.

Цели урока:

♦ вместе с учениками вывести формулу корней квадратного уравнения;

♦ учить учащихся применять формулы корней квадратного уравнения.

Задача урока: С целью изучения и закрепления нового материала, использовать различные формы активизации деятельности учащихся: на этапе изучения нового материала использовать активную лекцию с использованием ресурсов «КМ-Школы», для закрепления – фронтальную работу с классом, работу в парах.

Оборудование: Оформленная доска, экран, проектор, ресурсы «КМ-школы».

Структура урока:

1. Актуализация знаний, м/д.

2. Постановка проблемы.

3. Открытие нового знания.

4. Первичное закрепление.

5. Фронтальная работа с классом.

6. Работа в парах.

7. Самостоятельная работа.

8. Подведение итогов урока.

9. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Актуализация знаний:

  х²-16=0; х²+9=6х; 3х-10+х²=0; 3х²-12х=0; 3х²-7х+2=0; 2х²+5х-3=0.

●Докажите, что данные уравнения квадратные.

● Назовите приведенные квадратные уравнения.

● Докажите, что перечисленные Вами уравнения являются приведенными.

● Назовите методы решения неполных квадратных уравнений

Математический диктант.(с проверкой в парах)

    Вариант 1                                                                                             Вариант 2

№1 Является ли уравнение квадратным:

   2х²-3х+4=0                                                                                             5х-х³=2=0

   7-8,2х³=4                                                                                                 8,23х²=5-9х

                                   №2 Может ли квадратное уравнение

 не иметь корней?                                                                 иметь коэффициент а=0?

                              №3Привести квадратное уравнение к стандартному виду

2х-х²+1=0                                                                                                   7х²-2=3х=0

-5=-3х²                                                                                                        3х+4х²=0

№4 Какие из чисел -2, 2, 5 являются корнями уравнений

х²-3х-10=0                                                                                                   х²-6х+8=0

№5 Решите уравнения

5х²-2х=0                                                                                                       3х²-12=0

х²+5=0                                                                                                           3х-4х²=0

- Вспомним, как  в  уравнении  х²+4х-3=0 выделить полный  квадрат.

2. Постановка проблемы:

- Как Вы думаете, можно ли, методом выделением полного квадрата решить квадратное уравнение общего вида?

3. Открытие нового знания.

Давайте вместе решим квадратное уравнение общего вида выделением полного квадрата (с помощью ресурсов «КМ-школы»):

ax²+bx+c=0;

x²+b+=0;

x²+2b+=0;

x²+2b+()²- ()²+=0;

(x+)²-()²+=0;                         

(x+)²=.

Обязательные рассуждения(!) о том, какой может быть левая часть равенства, и, соответственно рассматриваем правую часть.

-Дальнейший ход решения будет строиться по-разному, в зависимости от знака  числителя (b²-4ac). Объясните, почему?

  b²-4ac=D - дискриминант (в переводе означает «различать», «разделять»).

Исследование: рассмотрим три случая (с помощью слайдов  «КМ-Школы» на экране)

1) Пусть D>0, тогда имеем уравнение

(x+)²=. Отсюда, x+= или x+= -.  

Итак, если D>0, то квадратное уравнение, имеет два корня и они определяются по формуле

(а что это значит для графика?)

2) Если D = 0, то  , то  – один корень (дополнить замечанием о двух, но равных корнях). (а что это значит для графика?)

3) Если D<0, тогда<0. В этом случае, уравнение ax²+bx+c=0 корней не имеет.

(что это значит для графика?)

Учащиеся самостоятельно должны прийти к выводу:

«По знаку дискриминанта квадратные уравнения подразделяются на три класса: имеющие два корня, один корень и не имеющие корней»

Общая формула для любого квадратного уравнения:, где D=b²-4aс.

4. Задание группам: составить алгоритм решения квадратного уравнения:

Тендер на лучший алгоритм решения квадратного уравнения:

1) Вычисляем дискриминант и сравниваем его с нулем.

2) Ели D<0, то квадратное уравнение не имеет корней

3) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень: 

4) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня:

 ;.

5. Первичное закрепление.

Устно: №№804(а,г), 806(а), 807(в,г)[25.1, 25.3, 25.4]

6. Работа в парах: №812(а,б), 819(б,г)[25.9, 19] (По очереди объясняют решение уравнений друг другу).

7. Обсуждение и решение №№820(а), 821. [25.20; 25.21]

8.Самостоятельная работа обучающего характера:  №816(а,б), 822, 824, 834(а,б)[25.14, 25.22, 25.24, 25.36]

9.Исторические сведения (лучше в виде презентаций). Приложение 1.

10.Подведение итогов урока.

11. Домашнее задание: §20, № 818(а,б), 830, 838. [25.18,25.30, 25.39]

Доп.*: докажите, что уравнение x²+ bx + c = 0, где b и c – целые нечетные числа, не имеет рациональных корней.

Урок №5.

Тема урока: Решение квадратных уравнений.

Цели урока:

♦ формирование навыка выбора рационального способа решения квадратного уравнения;

♦ формирование умения работать самостоятельно и в паре, умения организовать тематический диалог, задавать вопросы, понимать другое решение;

♦ формирование умения обобщать типы квадратных уравнений и способы их решения.

Задача урока: С целью выработки практических навыков решения квадратных уравнений использовать различные формы работы, а именно работу в парах, коллективную работу класса, самостоятельную индивидуальную работу учащихся.

Оборудование: Оборудованная доска (лучше презентация2(диск) на проекторе):

Часть 1.

Подбери концовку предложения, используя предложенные ответы:	Ответы:
1. Уравнение ax2+bx+c=0 называется квадратным, если... 2. Уравнение называется приведенным, если... 3.Уравнение имеет корни, выраженные противоположными числами, если... 4. Уравнение ax2+bx+c=0 является линейным, если... 5. Уравнение ax2+bx+c=0 имеет два корня, если... 6. Уравнение ax2+bx+c=0 имеет один корень, если... 7. Уравнение ax2+bx+c=0 не имеет корней, если...	a0 b=0 c=0 a=0 b≠0 а=1 D=0 D<0 D>0

Часть 2.

Решите уравнения

1) 3х²=0  2) х²+36=0  3) 2х²-5=0  4) 2х²-8х=0   5) х²+х-12=0   6) –2х²-5х+7=0

7) 7/4х²+7/3х-5/4=0   8) 24х²-10х-8=0   9) 8z²=22z+6   10) 20y²+6=22y

Лист контроля. Квадратные уравнения.
1. ax2+bx+c=0, a≠0, D>0, x1,2=-b±√b2-4ac/2a	2. ax2+bx+c=0, D=b2-4ac, D<0, корней нет
3. ax2+bx+c=0, a≠0, D=b2-4ac, D=0, x=-b/2a	4. ax2+bx=0, x(ax+b)=0, x1=0, x2=-b/a
5. ax2+c=0, x2=-c/a, -c/a>0, x1,2=±√-c/a	6.ax2=0, x=0

Структура урока:

1. Постановка целей урока.

2. Самостоятельная работа.

3. Работа в парах.

4. Коллективная работа класса.

5. Подведение итогов урока.

6. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Постановка целей урока.

Урок – тренинг, на котором  повторяются и систематизируются методы решения разных видов квадратных уравнений. Необходимо выделять виды квадратных уравнений и методы их решения, а также составлять общий план решения произвольного квадратного уравнения.

2. Самостоятельная работа. Принятия собственного решения

(В ходе самостоятельной работы ученики пробуют самостоятельно решить все уравнения, найти разные способы решения и прийти к выводу, какой способ рациональнее).

3. Работа в парах  № 836[25.37] (при обсуждении работы в парах, ученики сверяют свои ответы, просматривают способы решения, выбирают наиболее рациональный способ и обсуждают общий способ решения квадратных уравнений. У учеников появляется возможность проговорить способ решения, объяснить свой способ, что требует активной речевой деятельности, развивает умение слушать и понимать решение товарища, принимать общее решение).

4. Коллективная работа класса.

Обсуждение различных мнений и выработка общего плана действий  № 837[25.38].

Проверяется сначала правильность решения уравнений, то есть ответы. Затем учитель показывает «Лист контроля формул». Ученики называют номера, под которыми записаны данные виды уравнений и обсуждают способы решения. Таким образом, все уравнения классифицируются. Составляется общий план решения произвольных квадратных уравнений.

1) При решении уравнений с дробными  коэф-ми избавляются от знаменателей.

2) При решении уравнений, где а < 0 сначала умножают уравнение на (-1).

3) При решении неполных уравнений следует воспользоваться определением квадратного корня (когда нет слагаемого при х), либо вынесением х за скобки.

4) В других случаях решается по формуле корней.                                                            

Но вот интересный пример(!)уравнения, решаемого нестандартно: не всегда квадратное уравнение рационально решать по формулам. Например, в уравнении  1993х² + х – 1992 = 0 большие коэффициенты делают подобные вычисления слишком громоздкими.                                                                                                                                      а) (1993 х²  +1993 х) - (1992 х  + 1992) = 0 ,                                                                                              (х +1) (1993 х - 1992) = 0,     х = -1 или х =  .   Ответ: -1; .

Обратить внимание, что прежде чем использовать разложение на множители  пришлось использовать  искусственный прием – прибавить и отнять в левой части уравнения одно и то же выражение. Этот прием называют  шутливо «метод Тараса Бульбы»(почему?). К этому уравнению есть и другой подход, в основе которого лежит метод подбора (в литературе его иногда называют «метод пристального взгляда»). Можно заметить, что «–1» является корнем этого уравнения, так как  1993(-1)² + (-1) - 1992 = 0  - верное числовое равенство. Чтобы не слишком зависеть от «пристальности взгляда» заметим, что для того, чтобы «–1» являлось корнем  квадратного уравнения ax²+bx+c=0, необходимо и достаточно выполнение равенства   а – b + с = 0. (А если а + в +с = 0?)

                                                                        

 5. Подведение итогов урока.                                                                                                                     

 6. Домашнее задание: §20.1) №№ 818(в,г), 829, 835.Доп.: № 848.

2) подготовить презентацию (к окончанию изучения темы)-групповая внеклассная работа.

Урок №6.

Тема урока: Еще одна формула корней квадратного уравнения.

Цели урока:

♦ вывести формулу коней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом;

♦ учить учащихся применять  вторую формулу корней квадратного уравнения.

Задача урока: Изучение нового материала провести в форме мини-лекции, закрепление – работа по цепочке, в парах, индивидуальная самостоятельная работа.

Оборудование: На доске записаны формула корней квадратного уравнения; несколько уравнений, которые предложены для устного счета, экран, проектор, ресурсы «КМ-школы».

Структура урока:

1. Актуализация знаний.

2. Постановка проблемы урока.

3. Открытие новых знаний (мини-лекции).

4. Первичное закрепление.

5. Самостоятельная работа.

6. Подведение итогов урока.

7. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Актуализация знаний.

1) Определите число корней уравнения:

2х²-5х+7=0,       25х²-10х+1=0,            3х²-х+1=0

2) Не находя корни, установите количество точек пересечения графика функции у=2х²-9х+4 с осью О_х.

В то время пока мы будем работать устно, несколько учеников  запишут решения уравнений, которые они составили сами.

2. Постановка проблемы урока.

Обратим внимание на уравнения, у которых второй коэффициент является четным числом. Предлагаем учащимся более рациональный способ решения, а именно, рассматриваем вторую формулу корней квадратного уравнения.

3. Открытие новых знаний:

На доске записывают вторую формулу (или с использованием «КМ-школы»)

D₁=k²-ac, D₁>0, x_1,2=, где k=

Если D₁<0, то уравнение корней не имеет.

Пример:

5х²-8х+3=0, к=-4

D₁= (-4)-5·3=16-15=1, D₁>0, 2 корня

x=, x₁==1,х₂₌.

Ответ: 1;  

● Определение биквадратного уравнения: Уравнение вида ax⁴+bx²+c=0, где а≠0 называют биквадратным. (почему?)

Решение таких уравнений проводится с помощью введения новой переменной.

Пусть х²=y, причем y>0.

ay²+by+c=0

D=b²-4ac

y_1,2=, если y>0, тогда возвращаемся к подстановке х²=y и решаем еще уравнение;

если у<0, то уравнение ax⁴+bx²+c=0 корней не имеет.(почему?)

● Рассмотрим конкретный пример биквадратного уравнения: х⁴-13х²+36=0.

Решение:

Введем замену х²=y, получим квадратное уравнение:

y²-13y+36=0

D=169-4·1·36=169-144=25

y₁=9, y₂=4

x²=9      ;      x²=4

x_1,2=±3   ;    x_3,4=±2

Ответ: ±3; ±2.

4. Первичное закрепление: № 951(а,б,в).

К доске вызываются 3 ученика (по одному из каждого ряда), которые решают уравнения из предложенного номера, а учащиеся класса выполняют соответственно это же задание за учеником своего ряда. Затем проводится оперативная проверка решенных уравнений.

Следующий номер №868(а,б) учащиеся выполняют в парах, по очереди объясняя, друг другу ход решения.

5. Самостоятельная работа: № 869(а,б), 939-Івар., 941-ІІвар. (по вариантам)

6. Подведение итогов урока.

1)    Сколько корней может иметь квадратное уравнение; биквадратное уравнение?

2)    Запишите вторую формулу корней квадратного уравнения.

7. Домашнее задание: §23, №№ 868(в,г), 876(а,б), 949 +

 + Кроссворд (Приложение 2)

Урок №7.

Методические рекомендации к уроку-обобщению знаний по теме: «Квадратные уравнения» с использованием интерактивной доски

Применение интерактивной доски на уроках математики вообще, и на данном уроке в частности, на мой взгляд, педагогически оправдано, так как дает целый ряд преимуществ, как учителю, так и учащимся.

Во-первых, использование ИКТ позволяет сделать процесс обучения ярким, наглядным, динамичным, варьировать частные решения с опорой на имеющиеся готовые «шаблоны», а также более эффективно осуществлять «обратную связь».

Во-вторых, благодаря ИКТ, значительно экономится время урока, а значит, за 40 минут можно успеть решить большее количество задач, лучше отработать изучаемый материал, что в свою очередь повышает успеваемость учащихся.

В-третьих, благодаря использованию сканера облегчается проверка и разбор домашнего задания, самостоятельной работы учащихся, контрольной работы.

Использование оборудования SMART и программы SMART Notebook значительно облегчает подготовку к уроку и делает обучение еще более эффективным.

Так как в процессе урока нет необходимости стирать с доски, вся информация сохраняется и в конце урока можно быстро просмотреть решенные примеры, повторить основные моменты, сделать выводы, ответить на возможные вопросы учащихся.

Кроме того, ученик, пропустивший по какой-либо причине данный урок, получает материалы урока в печатном или электронном виде и может отработать данный материал самостоятельно, а затем при необходимости получить консультацию учителя, который при объяснении также использует материалы урока.

Цели уроков:

1) Образовательные - систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

2) Развивающие - развивать коммуникативные качества личности через работу в парах; формировать умение самостоятельно работать с новым материалом.

Оборудование: интерактивная доска с проектором, сканер, карточки с заданиями на 8 вариантов для работы в парах, карточки с домашним заданием.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

3.Повторение и закрепление материала.

4.Углубление и обобщение знаний, умений, навыков (работа в парах).

5.Знакомство с приёмом устного решения некоторых квадратных уравнений.

6.Подведение итогов.

7.Домашнее задание.

 

Ход урока:

1.Организационный момент.

2.Устная работа.

Учитель: «Каждому уравнению поставьте в соответствие его решение.

Учащиеся перетаскивают ответ к соответствующему уравнению

Учитель: « Какой ответ оказался лишним?»

Ученики: х=-16, х=-2.

После ответа учащихся слайд№1 выглядит следующим образом:

Учитель: «Уравнения какого вида здесь представлены и с помощью каких теоретических сведений вы смогли решить эти уравнения устно?

С какими видами квадратных уравнений вы ещё познакомились на предыдущих уроках?»

Учащиеся перечисляют. Затем учитель показывает следующий слайд.

 

Учитель: «Установите связь (покажите стрелками) между каждым квадратным уравнением и способами его решения, указанными на таблице, которые на ваш взгляд, являются наиболее рациональными. Свой выбор нужно обосновать».

3.Повторение и закрепление материала.

Учитель: «Выберите неполные квадратные уравнения и решите их».

2) 3х² – 48 = 0;                  5) 4х² = 7;                         7) 5х² + 10х = 0.

Учащиеся самостоятельно решают. После решения называются корни уравнений и учащиеся комментируют выбранный способ решения.

Учитель: «Выпишите приведённые квадратные уравнения и решите их».

(Решенные в тетрадях уравнения сканируются, выводятся на доску и комментируются учащимися)

1)  х² + 4х – 12 = 0;  2) х²–3,2х + 1,12 = 0.

Выбранный способ решения аргументируется.

Учитель: «Как называются оставшиеся в данном списке уравнения?»

Уравнения №4 и №6 анализируются и решаются у доски.

4. Углубление и обобщение знаний, умений и навыков. Работа в парах.

Каждый учащийся получает карточку с заданием, выполняет его. Если учащийся нуждается в помощи, то учитель может её оказать. Так как учитель освобождается от значительной доли фронтальной работы с классом, то это позволяет ему увеличить время для индивидуальной помощи учащимся. Затем ребята обмениваются карточками и начинают работать в диалогических парах. Выполняя задание, каждый учащийся может теперь получить помощь от своего напарника (если в ней нуждается). После того, как большинство учащихся справится с заданием, решение карточек каждой пары выводится на доску (с помощью сканера) и комментируется учащимися. Если одно и то же задание решено разными способами, эти способы помещаются на одну страницу (на один слайд) и анализируется, какой из способов здесь наиболее рационален.

7. Домашнее задание: §19, 20,23, №№ 947, 952(а), 842.

Урок №8.

Тема урока: ""Рациональные уравнения"

Цели урока:

·        с помощью презентации ввести понятие рационального уравнения;

·        дать алгоритм решения рационального уравнения.

Ход урока

Введение понятия рационального уравнения:

1) Если r(х)-рациональное выражение, то r(х)=0-рациональное уравнение.

2) Презентация «Рациональные уравнения».ppt Приложение 3

                       Алгоритм решения рационального уравнения

1.     Перенести все члены уравнения в одну часть.

2.     Преобразовать эту часть уравнения к виду .

3.     Решить уравнение р(х)=0.

4.     Для каждого найденного корня сделать проверку: удовлетворяет ли он условию g(х)≠0 или нет. Если да, то это-корень заданного уравнения; если нет, то это-посторонний корень.

2)    Закрепление:

1.     Решите уравнения:

1)           3)

2)      4)

2.     Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель – на 21, то дробь уменьшится на . Найдите эту дробь.

3)    Подведение итогов урока :

1.        Рефлексия;

2.        Алгоритм  решения  дробных  рациональных  уравнений.doc (Приложение 4)

3.        Вопросы;

4.        Домашнее задание: §21, №№ 857(в), 871(в), 867, доп.: 878(б).

5.        предлагается учащимся в течении нескольких уроков дома прорешать на выбор вариантов карточек по данной теме. «рациональные уравнения».doc»

Урок №9.

Тема урока: ""Рациональные уравнения"

Цели урока:

·        учить распознавать дробно-рациональные уравнения;

·        учить учащихся применять  формулы корней квадратного уравнения при решении рациональных уравнений;

·        создать условия для закрепления учащимися основных этапов решения дробно-рациональных уравнений;

·        развивать внимание (концентрацию);

·        развивать личностные качества (целеустремленность, через потребности ставить перед собой цели и достигать их; настойчивость, через формирование способности к преодолению трудностей; чувства собственного достоинства, через формирование адекватной самооценки у учащихся);

·        формировать мотивы учения через формирование мотивов самосовершенствования и формирование мотивов деятельности (создание ситуации успеха).

Оборудование: На доске записаны формула корней квадратного уравнения; несколько уравнений, которые предложены для устного счета, компьютеры, экран, проектор.

Структура урока:

·        Подготовительный этап;

·        Основной этап;

·        Самостоятельная работа;

·        Домашнее задание.

Ход урока.

I. Подготовительный этап                                                               

Класс разбивается на 2 группы по 12 человек (1 группа – базовый уровень усвоения, 2 группа – повышенный уровень усвоения). Каждой группе дается по 2 комплекта карточек одного варианта (с различными цветовыми сигналами: красный, синий, желтый, зеленый). Каждая карточка имеет 2 задания.                                                                                                                                                            Перед проведением урока учитель выбирает 6 сильных учеников, которые будут консультировать на уроке. Им предлагается решить каждому по 2 карточки (базового и повышенного уровня одного цвета). Затем им так же выдаются карточки повышенного уровня усвоения.

II. Основной этап                                                                                                                 1. Организационный момент.                                                                                                                    2. Учитель сообщает, чему будет посвящен урок, его цель и объясняет алгоритм работы.

Алгоритм работы

1.Получив карточку, запишите в тетради ее цветовой сигнал и приступайте к выполнению задания 1.                                                                                                                                                 Если возникает вопрос, то подойдите к учителю или консультанту.                                                      Выполнив задание 1, подойдите к консультанту (первичный контроль).

2. Приступайте к заданию 2.                                                                                                            3.По окончании работы с карточкой отчитайтесь    перед консультантом, кото-рый делает соответствующие пометки в листе учета.                                                                                                                                                 4.По маршруту ищите партнера для дальнейшей работы.                                                                          5.Поменяйтесь сразу карточками, приступайте к выполнению задания по алго-ритму, начиная с п.2. Обратите внимание: тот ученик, у которого берется карточка, является консультантом и проверяющим.         

6. Работа выполняется, пока каждый не выполнит все 4 карточки с различными цветовыми сигналами. Если перед обменом карточками партнер еще не готов меняться, то вы можете выполнить дополнительные задания.                                                                                                                                                7.Выходной контроль:                                                                                                                                      а) Самостоятельная работа на 10 минут с аналогичными заданиями (на 2 варианта).
б) Сдаются тетради на проверку.                                                                                 ІІІ. Подведение итогов.                                                                                                                         4.Оценка складывается из: работы по карточкам (лист учета); самостоятельной работы; проверки тетрадей.

5.Задание на дом.

Листок учета

Кто проверил
Отметка о выполнении	1.	1.	1.	1.
	2.	2.	2.	2.

Маршрут движения

СОДЕРЖАНИЕ

1 вариант	2 вариант
Базовый уровень усвоения	повышенный уровень

Красная карточка

Найдите корни уравнения:

Цель: проконтролировать умения учащихся решать дробно-рациональные уравнения с одинаковыми знаменателями; с одинаковыми знаменателями, но с разными знаками; с разными знаменателями.

Зеленая карточка

Решите уравнения:

Цель: проконтролировать умение учащихся решать дробно-рациональные уравнения с разными знаменателями, не требующими разложения на множители.

Синяя карточка

Найдите корни уравнения:

Цель: проконтролировать умение учащихся решать дробно-рациональные уравнения с разными знаменателями, требующими разложения на множители.

Желтая карточка

Цель: учить составлять уравнение согласно условию задания; проконтролировать умения учащихся решать дробно-рациональные уравнения с разными знаменателями.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Решите уравнения:

 

Цель: проконтролировать умения учащихся решать дробно-рациональные уравнения с разными знаменателями, требующими разложения на множители.

2. Найдите значения переменной у при которых сумма дробей   равна их частному.

3. Найдите координаты точек пересечения с осью Ох графика функции, заданной формулой   .

Цель: проконтролировать умения учащихся составлять дробно-рациональные уравнения согласно тексту задания и умение его решать.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Цель: проверить умения учащихся решать дробно-рациональные уравнения

1 вариант	2 вариант
Решите уравнения:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: № 867, 870(а,б), 878(а,г)

Приложение: решения карточек и самостоятельной работы.

Урок № 10.

Тема урока: дифференцированная контрольная работа по теме "Квадратные уравнения".

Уровень А:

Вариант 1	Вариант 2
1. .	1. .
2. .	2. .
3. .	3. .
4. .	4. .

Уровень АВ

Желающие получить «4», помимо заданий из уровня А должны решить №2 или №3 из уровня В.

Уровень В:

Вариант 1

1. Решите уравнение:

2. Катер прошел 30 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 1 час 30 минут. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

 3. Решите графически уравнение:

Вариант 2                        

 1. Решите уравнение:

2. Туристы проплыли на лодке против течения реки 6 км и вернулись обратно. На все путешествие они затратили 4 часа 30 минут. Какова собственная скорость лодки, если скорость течения реки 1 км/ч. .

3. Решите графически уравнение:

Урок № 11.

Тема урока: Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций.

Цели урока:

Ø Провести анализ контрольной работы;

Ø практическое закрепление знаний и умений учащихся решать квадратные уравнения;

Ø показать учащимся применение квадратных уравнений в ходе решения задач;

Ø повышение интереса учащихся к предмету через межпредметные связи с другими учебными предметами.

Оборудование: компьютеры, индивидуальные карточки.

Структура урока

1. Проверка решений контрольной работы при помощи компьютеров.

2. Изучение нового материала.

3. Подведение итогов урока.

4. Домашнее задание.

Ход урока:

1)Проверка решений контрольной работы при помощи компьютеров.

Группа уровня А проводит проверку и работу над ошибками с учителем на доске.

Группы уровней АВ и В проводят проверку и работу над ошибками на компьютерах:

Решения варианта 1.                                                        Решения варианта 2.

2) Изучение нового материала.

Если хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

                                  Дж. Пойа

1)Данный материал рассматривает вместе с учебником: примеры 3, 4, 5 из §21. Если класс достаточно хорошо подготовленный, то можно вызвать к доске ученика, вместе проводить рассуждения.

2)Составление математических моделей к задачам №№ 883, 885, 887, 889.

3) Подведение итогов урока.

Повторяем принцип решения текстовых задач.

4)Домашнее задание: §22, №№ 884, 888, решить уравнения, составленные к задачам урока.

Доп. №869(в).

Урок №12.

Тема урока: Решение задач.

Цели урока:                                                                                                                                                                                        1.самостоятельное обучение составлению дробно-рациональных уравнений по условию задачи

2.развитие алгоритмического мышления, способности к содержательному обобщению

3.привитие интереса к математике; умение оценивать не только свои успехи, но и товарищей;

4.воспитывать чувство ответственности не только за себя, но и за одноклассников.

Форма проведения: технология коллективного взаимообучения.

Задача урока: Организовать работу консультантов в группах.

Оборудование: Карточки с заданиями для каждой группы.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Практикум по решению задач (работа в группах и консультантов).

3. Подведение итогов урока.

4. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Объявляется тема, цели урока.

Мы научились решать дробно-рациональные уравнения. А для чего они нужны? Какие задачи приводят к их появлению? Это задачи, в которых одна величина выражается при помощи дробного выражения, содержащего переменную в знаменателе дроби.

       Например:

;          

;

;         ;

;             и др.

I.              Даются инструкции группам по организации и ходу урока. Выдаются карточки с заданиями, например, можно выдать в конверте каждой группе. Они разной степени сложности на "4", "6", "8" баллов.

II.          В карточке учета предлагается ученикам дополнительно отметить итог своей работы одним или двумя символами:

         – все усвоил

         – ничего не понял

         – понял, но не все

         +      – материал легкий

          !      – было интересно

 В каждой группе назначается консультант из наиболее «сильных» учащихся.

2. Практическое закрепление знаний учащихся.

Эффективным методом при дифференцированном обучении является работа в группе. В течение ряда лет проводила семинарские занятия, используя групповой метод. За несколько дней до семинара учащимся сообщаются теоретические вопросы, по которым будет вестись опрос, и домашнее задание. Иногда можно задавать задание для всех 4 групп, на которые разбит класс.

 Класс разбит на четыре группы, равные по силе. Это нужно для того, чтобы ученики при решении задач помогали друг другу и для того, чтобы на уроке присутствовал дух соревнования.

Примеры карточек:

1. Штурман теплохода

Туристы отправились в путешествие вниз по Волге на теплоходе. Определите, с какой скоростью должен идти теплоход, чтобы на обратный путь (против течения реки) было затрачено на 1 час больше времени, чем на путь по течению, если скорость течения реки – 2 км/ч и маршрут (в одну сторону) равен 80 км.

2.Машинист тепловоза

Поезд был задержан у семафора на 12 минут. Чтобы ликвидировать опоздание на перегоне в 60 км, машинисту пришлось увеличить скорость на 10 км/ч. Какая скорость была запланирована по расписанию?

3. Швея ателье.

В одном ателье должны сшить 180 костюмов, а в другом – 161 костюм. Первое ателье затратило на всю работу на 3 дня меньше, чем второе, так как изготавливало в день на 2 костюма больше. Сколько костюмов в день изготавливало каждое ателье?

4. Токарь завода.

Нужно обработать 80 деталей к определенному сроку. Однако токарь стал обрабатывать в час на 2 детали больше, чем планировал. Поэтому уже за 1 час до срока было обработано на 4 детали больше. Сколько деталей в час обрабатывал токарь?

Группа №1                Группа №2              Группа №3.                     Группа №4 

№882,920,888          №891,939,890           №916,918,895               №917,919,903

При необходимости учитель оказывает помощь группе. После выполнения заданий каждая группа предлагает свое решение на доске и дает при этом необходимые пояснения. Наиболее трудные задачи написаны заранее на доске и потом знакомят с их решением учащихся.

3. Подведение итогов урока.

Повторяем принцип решения рассмотренных в классе задач.

4. Домашнее задание: Домашнее задание лучше подобрать творческого характера, так, чтобы учащиеся или сами сочинили какую-либо задачу или заглянули в дополнительную литературу по математике, или №940, 892, 910. (предварительный просмотр «черновых» презентаций)

Урок №13.

Тема урока: Решение текстовых задач.

Цели урока:

♦ поговорить об особенностях математических моделей, описывающих реальные ситуации;

♦ закрепление навыка составления математической моделей задачи, решения квадратных уравнений;

♦ содействовать побуждению интереса к математике.

Задача урока: Организовать индивидуальную работу учащихся таким образом, чтобы каждый мог выполнить практические задания, а затем сверить свое решение с образцом. При этом активизировать работу консультантов.

Оборудование: Проектор, экран.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Самопроверка домашнего задания (сверка с решениями на слайдах). Проверочная самостоятельная работа.

3. Отработка практических навыков учащихся.

4. Подведение итогов урока(тест).

5. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Учитель объявляет тему и цели урока.

2. Проверка домашнего задания.

С помощью проектора и слайдов осуществляется проверка д/з. Учащиеся сверяют свое решение с тем, что изображено на слайдах.

Затем проводится проверочная с/р.

Вариант №1.

1. Длина прямоугольника на 5см больше ширины, и его площадь равна 36 см2. Найдите стороны прямоугольника.

2.Найдите длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 32см, а площадь равна 55 см2.

3*.Составить уравнение к задаче №922.

Вариант №2.

1. Ширина прямоугольника на 6 см меньше длины, а его площадь равна 40 см2. Найдите стороны прямоугольника.

2. Найдите длины сторон прямоугольника, площадь которого равна 51 см2, а периметр равен 40см.

3*. Составить уравнение к задаче №925.

3. Обработка практических навыков учащихся.

Перед началом работы еще раз повторяют математическую модель задач №2,3 из пункта учебника.

На доске записаны номера задач из д/м авторов А.П.Ершовой и Звавич.

Каждую задачу учащиеся выполняют на отдельных листах. Решив задачу, ученик сдает ее на проверку учителю и двум консультантам, которые помогают при проверке. После проверки листы возвращаются учащимся. После чего учащиеся дома выполняют работу над ошибками.

4. Подведение итогов урока.

Тест на компьютерах из ресурсов «КМ-школы».

5. Дача домашнего задания.

Оставшиеся задачи распределяются между группами, на которые разбит класс. Решения оформляют на отдельных листах, так, чтоб можно было провести обмен на следующем уроке.

Урок – семинар №14.

Тема урока: Решение текстовых задач.

Цели урока:

♦ закрепление навыков решения текстовых задач составлением квадратных уравнений;

♦ воспитывать активность, интерес к математике.

Задача урока: Подготовить учащихся к выступлению в классе. Проверить качество усвоение материала с помощью самостоятельной работы.

Оборудование: Проектор, (презентация).

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Фронтальный опрос по вопросам теории с помощью презентации.

3. Разбор решения ключевых задач (выступление заранее подготовленных учащихся).

4. Проверочная самостоятельная работа.

5. Подведение итогов урока.

6. Дача домашнего задания.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Учитель объявляет тему и цели урока.

2. Фронтальный опрос по вопросам теории.Гиперссылки\Повторение.ppt

1)    Квадратные уравнения. Формулы корней квадратных уравнений.

2)    Математические модели ключевых задач.

3. Разбор решения задач, которые подготовили учащиеся. (Решение с помощью проектора показываются на доске всем учащимся).

4. Проверочная самостоятельная работа.

Для самостоятельной работы нужно предлагать такие  задания,  выполнение которых не допускает действия по готовым рецептам и шаблонам. В этом   случае самостоятельная   работа   способствует   формированию   инициативы  и познавательных способностей учащихся.

 (Дифференцированная самостоятельная работа. Учащиеся по выбору выполняют одну из задач. Оценивание задач: №1-«3», №2-«4», №3-«5»).

Вариант №1.

1. Одна из сторон прямоугольника в три раза больше, а другая на 8см меньше стороны квадрата. Найдите площадь квадрата, если они больше площади прямоугольника на 54 см².

2. Стороны двух квадратов пропорциональны числам 3 и 4. Если сторону квадрата увеличить на 2см, а сторону первого квадрата увеличить на 2см, то разность площадей полученных квадратов будет равна 35 см². Найдите стороны данных квадратов.

3. В соревнованиях по скалолазанию на скорость по трассе длиной 15см бегут два скалолаза, скорость одного из них на 0,2 м/с больше скорости другого. Найдите скорость движения скалолазов, если один из них финишировал на 3,5 с быстрее другого.

Вариант №2.

1. Прямоугольный участок земли обнесен забором, длина которого 80м. Площадь участка 175м². Найдите длины сторон участка.

2. Из прямоугольного листа картона, одна из сторон которого в 2 раза больше другой, склеили коробку. Для этого по углам вырезали квадраты со стороной 10см. Найдите размеры картонного листа, если объем коробки равен 12 000 см³.

3. Автогонщик из-за поломки автомобиля потерял 4 мин., а затем на оставшихся 120км пути наверстал потерянное время, увеличив скорость на 20км/ч. Найдите первоначальную скорость гонщика.

5.Подведение итогов урока.

6. Дом задание:§22, №№ 892, 906, 955.

Продолжить подготовку презентации по теме «Квадратные уравнения» (групповая внеклассная работа в виде проекта).

Урок№15.

Тема урока: Решение задач с помощью рациональных уравнений.                                              Цели урока: Закрепить:                                                                                                                               1) умения составлять дробно – рациональные уравнения по условию задачи;                              2) умения определять соответствуют ли найденные корни уравнения условию задачи;                                                                                                                                  3) умения решать задачи с помощью дробно – рациональных уравнений;                                     4) умения выбора способа решения текстовой задачи. Познакомить учащихся с методом подобия при решении текстовых задач.

Ход урока

1. Фронтальная работа.                                                                                                                                           Ответить на вопросы:                                                                                                                                                         Какие уравнения называют рациональными уравнениями?                                                                                                                  Что называют корнем уравнения с неизвестным х?                                                                                                                               Что значит решить уравнение?                                                                                                Какие уравнения называют равносильными?                                                                                                                                         По какому алгоритму решают рациональные уравнения?

2. Решение уравнений.

Взаимопроверка – 4 варианта. Работа выполняется на листочках. Ответы записаны на обратной стороне доски. В ходе выполнения работы учащиеся определяют для себя алгоритм решения дробных рациональных уравнений. На каждой парте – таблица – напоминание “Алгоритм решения дробных рациональных уравнений”. Приложение 1.

В а р и а н т 1.

В а р и а н т 2.

В а р и а н т 3.

В а р и а н т 4.

3. Устная работа. Составить уравнение для решения задачи:                                                                                                            1.Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60км/ч. Каково расстояние между городами?                                                                                        2.Ученику и мастеру дано задание изготовить одинаковое количество деталей. Мастер, изготовляя 18 деталей в час, затратил на выполнение задания на 3 ч меньше, чем ученик, который изготавливал лишь 12 деталей в час. Сколько деталей было заказано?                                                                                          3.Знаменатель дроби на 2 больше числителя. Если числитель увеличить на 15, а знаменатель – на 3, то получится число. Найдите дробь.                                     Решение задач.                                                                                                                              К доске вызываются четыре ученика, чтобы записать условие задачи и составить уравнение четырьмя способами:                                                                                                 I – ученик за х принимает скорость мотоциклиста,                                                                   II – ученик принимает за х скорость велосипедиста,                                                           III – ученик за х принимает время велосипедиста,                                                                   IV – ученик принимает за х время мотоциклиста.                                                               Учащиеся записывают в тетрадь условия четырьмя способами, а решают одним, в соответствии со своим вариантом.

I с п о с о б.

	S,км	V,км/ч	t,ч
Велосипедист	45	х
Мотоциклист	45

II с п о с о б.

	S,км	V,км/ч	t,ч
Велосипедист	45
Мотоциклист	45	х

III c п о с о б.

	S,км	V,км/ч	t,ч
Велосипедист	45		х
Мотоциклист	45

 IV с п о с о б.

	S,км	V,км/ч	t,ч
Велосипедист	45
Мотоциклист	45		х

Задача № 125 из учебного пособия по математике А.В. Шевкина “Текстовые задачи. 7 – 9 классы”.                                                                                                          Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они встретились в полдень и достигли чужого города: первая в 4 ч по полудни, а вторая – в 9 ч. Нужно узнать, когда они вышли из своих городов.

Пояснение. Данную задачу заранее предлагаю учащимся решить дома. До урока, прошу учащегося, правильно решившего задачу, написать решение на обратной стороне доски.                                                                                                                                                  1) Заслушиваем комментарии по решению задачи учащимся. Задача решена составлением дробного рационального уравнения.                                            2) Объясняю решение данной задачи методом подобия, построив графики движения старушек.                                                                                                                                                          Р е ш е н и е: Изобразим график движения старушек и применим метод подобия.                        Пусть старушки до встречи шли х ч.                                                                                                          АD – промежуток времени движения первой старушки. СВ – промежуток времени движения второй старушки. КL – отсекает промежутки времени движения старушек до встречи. На рисунке АL – промежуток времени движения до встречи.

1) Рассмотрим и : подобен по двум углам.                                                 2) Рассмотрим и , они подобны по двум углам.                                                                     3) Из подобия двух пар треугольников следует, что                                                                                , т.е.

4) Составим и решим уравнение:

 ()

                                                                                                                                                          Это уравнение имеет единственный положительный корень, удовлетворяющий условию задачи х=6 - это время движения старушек до встречи.                                                                        5) Выясним, в какое время старушки вышли из своих городов:                                                .                                                                                                                                                Ответ: старушки из своих городов вышли в 6 ч утра.                                                                           Как  видим, метод подобия приводит к более простому решению.                                                        5. Итоги урока.

Домашнее  задание: 

1.Решить  задачу  двумя  способами: 

1) стандартным   школьным  способом  и  2)  методом  подобия.

З а д а ч а:   Первый  пешеход  может  пройти  расстояние  между  двумя  пунктами  на  5 ч  быстрее,  чем  второй.  Если  пешеходы  выйдут  из  этих  пунктов  навстречу  друг  другу  одновременно,  то  встретятся  через  6ч.  За  сколько  часов  каждый  из  них  может  пройти  это  расстояние?

2.Заполнить таблицу

Уравнение	Корни	Произведением корней	Сумма корней
x2-2х-15=0
x2+3х-28=0
y2-14y+48=0
x2+15x+36=0
x2+px+g=0

Урок №16.

Тема урока: Теорема Виета.

Цели урока:

♦ «открыть зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения»;

♦ учить применять теорему Виета и обратную ей теорему для приведенных квадратных уравнений в различных ситуациях;

♦ провести классификацию квадратных уравнений по количеству корней;

♦ развивать интерес к математике, показав на примере жизни Виета, что математика может быть увлечением.

Задача урока:

Познакомить учащихся с доказательством теоремы Виета и обратной, показать практическое применение данных теорем при решении уравнений.

Данный урок усвоения новых знаний построен в технологии междисциплинарного обучения с применением группового способа обучения. Все этапы урока соответствуют структуре продуктивного мыслительного акта: постановка проблемы – поиск путей ее решения – формулировка вывода – проверка вывода. На этапе мотивации использован прием “погружение в проблему”, основанный на личностной реакции ребенка на стимульный материал. На этапе исследования все учащиеся класса включаются в поиск ответа на поставленный вопрос: “Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения?” Это позволяет развивать исследовательские умения, и умения систематизировать и самостоятельно добывать новые знания. На уроке продолжается работа по формированию приемов мышления: творческого (самостоятельно формулируется проблема, прогнозируется свойство, находится решение), критического (доказывается гипотеза, классифицируются уравнения, проверяется справедливость теоремы для общего случая), логического (выявляются причинно-следственные связи при формулировке теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета, делается обобщение о практическом применении нового знания). На этапе применения полученных знаний учащиеся выполняют задания как коллективные (использование принципа позитивной взаимозависимости по результату), так и самостоятельные (принцип индивидуальной оценки работы каждого участника группы).

Оборудование:

1.     Рабочий лист.

2.     План исследования (для каждой группы).

3.     Закодированное задание на применение теоремы.

4.     Карточки “Теорема”, “Условие”, “Заключение”, “Прямая теорема”, “Обратная теорема”.

5.     Вопрос урока.

6.     Маркеры.

7.     Листы бумаги формата А₄, А₃.                                                                                                       

Уравнение	Корни	Произведением корней	Сумма корней

На одной боковой части доски:

а) х²+3х-40=0,х₁=-8,х₂=5; б)х²-2х-3=0, х₁=-1, х₂=3; в) х²-2=0, х₁=-, х₂=;      г) х²-2х-9=0, х₁=1-, х₂=1+.

1)    а) х₁=-3, х₂=1; б) х₁=-3, х₂=-4; в) х₁=5, х₂=6.

2)    х²+2х-5=0.

На другой боковой части доски:

1)    Найти: х₂, р_, зная, что х²+рх-35=0, х₁=7; 2)х²-2х-9=0.

Структура урока:

1. Проверка домашнего задания и постановка проблемы.

2. Открытия нового знания.

3. Закрепление изученного материала.

4. Подведение итогов урока.

5. Домашнее задание.

Ход урока.

1этап. Проверка домашнего задания и постановка проблемы.

Дома Вы должны были заполнить таблицу. Давайте проверим, как Вы справились с этим заданием. (Один из учеников на доске под диктовку других учащихся заполняет таблицу).

Таблица.

Уравнение	Корни	Произведением корней	Сумма корней
x2-2х-15=0	5 и –3	-15	2
x2+3х-28=0	4 и –7	-28	-3
y2-14y+48=0	6 и 8	48	14
x2+15x+36=0	-12 и –3	36	-15
x2+px+g=0	х1 и х2	-?	?

- Проверим, правильно ли вы решили эти уравнения. Проверку осуществим следующим образом: вы называете мне любое уравнение, я записываю его на доске и мгновенно называю его корни.                                                                                                                                            Проверяя домашнюю работу, ученики приходят в недоумение: каким образом учителю удается угадывать корни всех уравнений?   Учащиеся высказывают предположение о существовании особых свойств либо новой формулы корней приведенного квадратного уравнения.                                                                                                                                                                                        1.Открытие нового знания.                                                                                  Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?                                         II этап. Исследование – поиск путей решения проблемы.                                                                                  Класс делится на группы по четыре человека. Каждая группа получает задание и проводит исследование.                                                                                              План исследования.                                                                                        1.Решите каждое квадратное уравнение известным вам способом.                                                                                         2.Заполните рабочий лист.                                                                                        3.Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.                                                                              3.Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.                                                                            4.Ответьте на вопрос урока.                                                                             5.Подготовьте отчет.                                                                                         Одна из групп, составленная из более сильных учащихся, проводит исследование и на листах формата А3 выполняет дополнительное задание, связанное с нахождением суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения в общем виде.                                                                              III этап. Обмен информацией.                                                                         На доске вычерчена заготовка таблицы “Рабочий лист”. Первая группа при отчете записывает в эту таблицу только первое уравнение из своего списка, вторая группа - только второе уравнение из своего списка, третья – третье уравнение и т.д. После отчета всех групп на доске появляется заполненная таблица:                                                                                                                        Рабочий лист

Приведенное кв. ур.                     х2 + px + q = 0	Второй коэффициент p	Свободный член                     q	Корни х1, х2	Сумма корней х1+ х2	Произведение корней                 х1· х2
х2 + 7х + 12 =0	7	12	-3 и -4	-7	12
х2 - 9х + 20 = 0	-9	20	4 и 5	9	20
х2 -х - 6 = 0	-1	-6	-2 и 3	1	-6
х2 + х - 12 = 0	1	-12	-4 и 3	-1	-12
х2 + х + 30 = 0	1	30	нет	-	-

IV этап. Связывание информации.                                                                     Проведенное исследование позволяет учащимся высказать гипотезу о связи между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения. Ученики предполагают, что если истинность гипотезы удастся доказать путем рассуждений, то они получат новую теорему.

Гипотеза. Если x₁ и x₂ – корни уравнения x² + px + q = 0,                                                                     то x₁ + x₂ = -р, x₁· x₂ = q.                                                                                                                              Для подтверждения данной гипотезы к отчету приглашается группа, получившая индивидуальное задание. Ребята на доске с помощью табличек “Теорема”, “Условие”, “Заключение” составляют схему данной теоремы и предлагают свое доказательство этой теоремы.                                                                                                                                                                  - Вспомните, какая теорема называется обратной данной теореме?

- Составьте схему теоремы, обратной записанной.                                                                                        Один из возможных вариантов ответов:                                                                                            “Условие”: х₁ + х₂ = -р, х₁· х₂ =q.                                                                                              “Заключение”: х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения х² + рх + q = 0.                                   Формулируется теорема, обратная данной.                                                                                                Если числа р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁ + х₂ = -р, х₁· х₂ = q, то х₁ и х₂ - корни приведенного квадратного уравнения х² + рх + q = 0.                                                                                                Данная теорема справедлива, хотя из курса геометрии нам известно, что не всегда из истинности прямой теоремы следует истинность обратной. Доказать эту теорему вы должны будете дома.

V этап. Применение.                                                                                             Попытаемся определить, какие задачи можно будет решать с помощью прямой и обратной теоремы.

- Как вы думаете, какой из этих теорем я пользовалась, когда готовилась к уроку и придумывала более полусотни приведенных квадратных уравнений?  Верно, с помощью обратной теоремы по заданным корням можно составлять квадратные уравнения.                                                                                                                                                Задание №1 (работа в группах)                                                                                                             1.Выпишите на чистом листе пять пар чисел, являющихся корнями квадратных уравнений, которые вы решали на этапе исследования.                                                                                 2.Обменяйтесь этими листами с соседними группами.                                                                            3.По заданным корням составьте соответствующие им квадратные уравнения.                                   4.Дайте эти уравнения на проверку группе, которая готовила вам задание.                      Осуществляется проверка правильности выполнения задания каждой группой по пятибалльной шкале (за каждое верно составленное уравнение – 1 балл).                                                                                                                   Задание №2                                                                                                                                                                                (работа в группах) Учащимся заранее выдаются вопросы для самоконтроля. Затем 6 учеников, получивших лучшие оценки за самостоятельные работы, отвечают у доски. Это будущие консультанты. За ответы учитель сам ставит оценку. Но остальные учащиеся, которые в дальнейшем будут отвечать консультантам, следят за его ответом и имеют право обсуждать и оценивать.                1. Не решая уравнение, определите знаки его корней:                                         1) х² + 45х – 364 = 0 – для первой группы;                                                                       2) х² + 36х + 315 = 0 – для второй группы;                                                                         3) х² – 40х + 364 = 0 – для третьей группы;                                                                         4) х² – 30х + 250 = 0 – для четвертой группы.                                                            2. Не применяя формулу корней, найдите второй корень уравнения, если известен первый:                                                                                                                                1) х² + 45х – 364 = 0, х₁ = 7 – для пятой группы;                                                                       2) х² – 40х + 364 = 0, х₁ =14 – для шестой группы.                                    Проверяется правильность выполнения задания  (верное-2 балла).                                                                                                                                            Математиков всегда интересовал вопрос, как решить задачу более рациональным способом.                                                                                                       - Нельзя ли находить корни приведенного квадратного уравнения методом подбора?                                                                                                                                    -  Какую теорему в этом случае будем использовать?                                           Образец. Решить уравнение х² – х – 6 = 0.                                                                                            Решение:х₁+ х₂= 1, х₁ · х₂ = -6;                                                                                                                     по теореме, обратной данной, х₁ = -2, х₂= 3.                                                                                            Ответ: -2; 3                                                                                                                      Задание №3 (индивидуальная работа)                                                                                               Учащиеся самостоятельно находят методом подбора корни приведенного квадратного уравнения, причем, ученик решает уравнение, соответствующее его порядковому номеру (Приложение). Ученик, справившийся с заданием, на доске под своим порядковым номером записывает букву. Если уравнения решены верно, то получится словосочетание:

1 2 3 4 5 6 7	8 9 10 11	12 13 14 15	16 17 18 19 20 21 22
Ф р а н с у а	В и е т	о т е ц	а л г е б р ы

Учитель дает небольшую историческую справку о жизни и деятельности Ф.Виета, вкладе ученого в развитие алгебры, сообщает, что теорема о связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения носит имя великого французского математика. Учитель просит дать ответ на вопрос, поставленный в начале урока, обобщить, где применяется теорема Виета, а где – теорема, обратная теореме Виета.                                                                                                             - Можно ли применять т. Виета к неприведенному квадратному уравнению?                                                                                                                                              Домашнее задание.                                                                                                                                                                                Приготовить доказательство теоремы, обратной т. Виета, для приведенного квадратного уравнения.                                                                                                                                              Доказать теорему Виета для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0.                                                                                                 №№ 966(а,б), 968(а,б), 979(а,б)-группа А                                                                                                                                               №№ 972, 986, 988, 992(а,б), 997*.                                                                                           VI этап. Рефлексия.                                                                                                                                                               - Чем был интересен этот урок?                                                                                               - Какие формы работы вам понравились?                                                                                                              - На каком этапе урока вы испытывали затруднения?                                                                                      - Где вы видите практическое применение изученной теоремы?                                                                       - Как вы думаете, над какими вопросами данной темы нам предстоит еще работать?                                                                                                                           Приложение 6 (Задания для исследования каждой группе)                                                         Приложение 7 (Решите уравнение, соответствующее своему порядковому номеру, и выберите больший корень уравнения)                                                                                                                           Код: большему корню уравнения соответствует буква

-11	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3 -3	-2	-1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Я	к	м	ч	с	ц	Г	и	н	ф	т	а	о	в	л	р	б	е	ы	п	у	д

Урок-практикум №17.

Тема урока: Применение теоремы Виеты при решении уравнений и задач.

Цели урока:

♦ развитие математического и общего кругозора, мышления, речи, внимания и памяти;

♦ учить применять теорему Виета и обратную ей при решении задач разной степени трудности.

Задача урока: Систематизация, обобщение знаний учащихся, проверка уровня усвоения темы провести при широком применении различных форм работы с учащимися.

Оборудование: Оформленная доска, компьютеры, ресурсы «КМ-школы».

На боковой доске:

 

Не решая квадратного уравнения, зная, что D>0, соедините стрелками.

На центральной части доски записано домашнее задание.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Устные упражнения.

4. Проверка теории.

5. Закрепление знаний учащихся.                                                                                              6. Исследование  "особых квадратных уравнений и их корней"

7. Самостоятельная работа(тестирование в «КМ-школе»).

8. Подведение итогов урока.

9. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Учитель объявляет тему и цели урока.

2. Проверка домашнего задания.

Учащиеся объясняют решения уравнений. В это время 2 ученика на боковых досках записывают доказательства из д/з.

3. Устные упражнения.   

1) Расставьте числа квадрата, изображенного на рисунке, так чтобы произведения чисел, стоящих в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали были равны.

21	22	23
24	25	26
27	28	29

2) Перед тем, как выполнить задание, предложенное на доске, учащиеся отвечают на вопросы.

● Пары чисел являются решением кв. уравнения. Определите знаки b и с.

1)    4;5 [b<0, c>0],     3) –4;5 [b<0, c<0],

2)    4;-5 [b>0, c<0],    4) –5,-4 [b>0, c>0].

● В каком случае c>0?

● В каком случае c<0?

● В каком случае b>0?

● В каком случае b<0?

● Почему в случае, когда корни разных знаков, b может быть больше нуля и может быть меньше нуля?

4; 5. Закрепление знаний учащихся.

№№ 973(в), 971, 978(в,г)-для групп А и АВ-учащиеся обсуждают решение в парах, ответы выписывают на листах. Проверка осуществляется так: учитель называет ответ и просит показать учащихся свой ответ. В ходе беседы выясняют ошибку и исправляют.

№№ 991(в,г), 982(б), 992(в),995(б), 999*-группа В.

№978(в,г)-у доски работают два ученика. Ученики самостоятельно решают уравнения. Затем проводят проверку. Учащиеся объясняют ход решения.     6."Особые квадратные уравнения и их корни"                                                                                   Цель:                                                                                                                                    1.исследовать зависимость значения корней квадратных уравнений, где a+b+c=0 или a-b+c=0 от значений коэффициентов a и c;                                                     2.развивать навыки устного счета, умение делать вывод из полученного результата.                                                                                                                          Необходимые материалы:                                                                                                    1) Карточки с заданиями на несколько вариантов.                                                                                                                      2) Лист для оформления результатов самостоятельной работы.                                            Задание: дописать формулу.

Вид уравнения	ах2+bx+c=0	х2+px+q=0
Формула корней	D=b2-…..; x1,2=(-b±….)/2….	х1,2=-p/…±……-q
Теорема Виета	х1..…=; ……x2=	х1+x2=….; x1•x2=….

2) Самостоятельная работа.                                                                                                                                   а) Выполнение заданий, предложенных на карточках.

1 вариант	2 вариант
1 блок: x2+3x-4=0; 2x2-x-1=0; 3x2-2x-1=0 2 блок: x2-2x-3=0; x2-x-2=0; x2+3x+2=0	1 блок: x2+x-2=0; 2x2+3x-5=0; x2-3x+2=0 2 блок: x2-3x-4=0; 2x2+x-1=0; 3x2+2x-1=0

б) Заполнение таблицы результатов вычисления в Листе результатов -1 блок.               1 блок

Уравнение		коэффициенты			Результаты вычислений
		а	b	c	a+b+c		х1	х2
1
2
3
1	2	3	4	5	6	7	8	9

в) Заполнение графы Вывод1 в Листе результатов.                                                                Вывод1: (Указание: Рассмотреть результаты в столбцах 6-9 и вставить недостающие слова).
Если a+b+c=……, то один из корней квадратного уравнения aх²+bx+c=0 равен 1, а второй корень вычисляется по формуле……                                                                                                              г) Заполнение таблицы результатов вычисления в Листе результатов - 2 блок.                                    2 блок

Уравнение		коэффициенты			Результаты вычислений
		а	b	c	a-b+c	-	х1	х2
1
2
3
1	2	3	4	5	6	7	8	9

в) Заполнение графы Вывод 2 в Листе результатов.                                                     Вывод 2: (Указание: вывод сделать аналогично выводу 1).                                            3) Подведение итогов исследования.                                                                      4) Перевод формулировок на язык символов.                                                                   Заполнение графы Итог в листе результатов.                                                                                       1. Если для aх²+bx+c=0, a+b+c=0, то x₁=1, x₂=
2. Если для aх²+bx+c=0, a +c= b, то x₁=-1, x₂= -

7. Самостоятельная работа. В виде теста из ресурсов «КМ-школы». (сопоставьте)

6.Тестовое задание на нахождение способа решения квадратных уравнений.

9х2-4=32.	решается по теореме Виета;
4х2+16х+12=0.	неполное квадратное уравнение, где в=0
2х2+5х-3=0.	решение квадратного уравнения по формуле в2-4ас;
2х2+6х=0.	решается разложением левой части на множители
х2-2х-3=0	решение квадратного уравнения по формуле к2-ас.

-3; 0,5.

0; -3.

–1; 3.

–2; 2.

–3;-1.                                                                                                                       При решении уравнений 1.1-1.5 выберите из примеров 2.1-2.5 соответствующий способ решения и укажите ответ 3.1-3.5.

1.1	2.2	3.4
1.2	2.5	3.5
1.3	2.3	3.1
1.4	2.4	3.2
1.5	2.1	3.3

8.Перед учащимися ставится проблема:                                                           "Какие, конкретно, задачи можно решать с помощью квадратных уравнений". При этом они могут использовать знания, полученные на уроках физики, математики и химии. В ходе могут появиться следующие идеи (задачи):                                  Из курса алгебры:                                                                                            Сумма цифр двузначного числа равна 8. Если это число умножить на цифру, соответствующую количеству десятков, и прибавить 10, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.                                              Из курса геометрии:                                                                                                     1) Одна сторона четырехугольника в 5 раз больше другой, а площадь равна                 1,25м². Найти его периметр.                                                                                                  2)  В теме “Теорема Пифагора” можно использовать следующий материал: Задача: На охоте с 2 отвесных скал 2 охотника заметили козла и разом в него выстрелили, причем стрелы достигли цели одновременно. Охотники одновременно начали спуск к добыче с одинаковой скоростью. Кому достанется козел, если известно, что высота одной скалы 40м., второй 20м, а расстояние между скалами 100м.?

3)  Существуют ли числа, квадраты которых: 9; – 9; 1/4; 0; 1/25; 25; 4; 2.
4) Начертите квадрат, площадь которого равна 2.

Из курса физики:                                                                                                            Дана цепь:

Определить сопротивление первого проводника, если сопротивление второго на 2 Ом больше первого, а общее сопротивление равно 5 Ом.

Из курса химии:                                                                                                    Смешав 8г одной жидкости с 6г второй жидкости, получили смесь с удельным весом 0,7 г/см³. Найдите удельный вес каждой жидкости, если удельный вес первой на 0,2 г/см³ больше удельного веса второй.

Подведение итогов урока.

1. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Приведите подтверждающий пример.

2. Известно, что 1 является корнем уравнения 2х²+bx+5=0. Чему равен коэффициент b?

3. Известно, что –1 является корнем уравнения 2х²+bx+5=0. Чему равен коэффициент b?

9. Домашнее задание: 1)§24, №№ 966(в,г), 973(а,б), 978(а,б)-группа А.

№№ 983(а), 993(в,г), 995(б), 1008(а)-группа В.                                                                                           2) 3x2+5x=2;
7x2-10x+3=0;
2x2+3x-5=0;
x2-2x+1=2;
11x2-8x-3=0;
2x2+3x+5=0;
5x2+16x+11=0;                                                                                                                                      Выбрать уравнения, которые:                                                                                           а) имеют корень равный 1,
б) имеют корень равный -1,
в) не имеют корней.

Урок №18.

Тема урока: Иррациональные уравнения.                                                                                            Тип урока: урок ознакомления с новым материалом и первичное его закрепление.                                                                                                                           Цель урока: ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения с использованием презентации.                                                                                                              Задачи:                                                                                                                                       Образовательные: сформировать у учащихся умение решать иррациональные уравнения различными способами, отработать навыки решения иррациональных уравнений.                                                                                                  Развивающие: развитие алгоритмического мышления, памяти, внимательности; развитие операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений; развитие у учащихся умения излагать мысли, делать выводы, обобщения; развитие познавательного интереса, логического мышления.                                                                                                                               Воспитательные: воспитывать умение преодолевать трудности при решении задач; усиление познавательной мотивации осознанием ученика свей значимости в образовательном процессе; воспитание у учащихся самостоятельности, умение достойно вести спор, находчивость.

Ход урока

1. На этом уроке мы встретимся еще с одним видом уравнений – иррациональными уравнениями. Рассмотрим различные методы их решения. Тема эта актуальна, так как иррациональные уравнения часто встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, с их помощью легко диагностируются знания абитуриентов по многим понятиям, такими как  равносильность уравнений и  понятием ОДЗ.                                                                                                                      Перед вами стоит задача – посмотрев презентацию, поработав с учебником, решив уравнения, показать знания и умения по решению иррациональных уравнений. За каждый этап урока будете получать баллы от 1 до 5.

2.Повторение:                                                                                                                                                                                                1). Разбор вопросов по домашнему заданию.                                                                                                                                          2). Повторить определение арифметического корня.                    Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотри-цательное число b, квадрат которого равен a.
, где, если.

3. Объяснение нового материала.

-Уравнение называется иррациональным, если в нем некоторые выражения, зависящие от неизвестного, находятся под знаком корня.

Иррациональные уравнения.ppt(презентация)

- Что значит решить иррациональные уравнения? (объяснить)                                  1) Из определения квадратного корня следует:
а)
б)

Рассмотрим для начала самое простое уравнение, содержащее арифметический квадратный корень.
Например: .

Под знаком корня – некоторое неизвестное число. Воспользуемся определением квадратного корня. Тогда х=2², то есть х=4.

Ответ : х=4.

2). Частный случай решения уравнения вида .

В предыдущем примере мы рассматривали уравнение с одним корнем. Сейчас мы рассмотрим пример уравнения, которое не имеет корней.

Пример:     .

По определению квадратный корень – величина неотрицательная. В данном уравнении сумма двух корней равна 0. То есть сумма двух неотрицательных чисел равна 0. Когда это возможно? Когда оба слагаемых равны 0. То есть, равны 0 выражения, стоящие под знаком корня. Но х+2=0 при х=-2, а х-4=0 при х=4. Нетрудно догадаться, что не существует такого значения неизвестного x, при котором оба слагаемых будут равны 0.

Ответ: решений нет.

3). Решение уравнений вида

При решении уравнений такого типа нужно отметить, что справа и слева от знака равенства находятся неотрицательные выражения (значения квадратного корня не могут быть отрицательными) при допустимых значениях x (по определению квадратного корня и. Таким образом, чтобы найти решения уравнения, нужно найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия: ;  и .

Пример:  Решите уравнение.

Решение (1 способ)                                                                                           Приравняем выражения, стоящие под корнями: х-5=2х-3.

Откуда получим:  х=-2.

И здесь обязательно нужно сделать проверку. При  х=-2 оба выражения, стоящие под знаками корней будут отрицательными, что не соответствует определению арифметического корня.

Решение (2 способ):  (пропедевтика решений неравенств):

;

Ответ: нет решений.

1 способ решения удобнее применять, когда выражения, стоящие под корнем сложнее, чем в данном примере.

4. Закрепление материала

Решить уравнения

1) Решение уравнений вида =а

а)=2.

Под знаком корня – некоторое неизвестное число, определяемое выражением х+1. По определению квадратного корня х+1=2²; х+1=4;

Ответ: х=3.

б) =2 .

Под знаком корня  выражение (-х), то есть противоположное по знаку неизвестному x. По определению квадратного корня -х=2²; -х=4; х=-4.

Ответ: х=-4.
Проверим, подставив найденное значение в уравнение: =2; или=2, что верно.

в)  =-2.

По определению квадратного корня, он не может равняться отрицательному числу. Таким образом, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.                                                                                                                         5. Примеры: 1) ; 2) = х – 2.                                                          Предлагается решить эти  уравнения на доске:                                                         Обратите внимание на правые части уравнений. Во втором уравнении должно налагаться дополнительное условие, которое вытекает из определения арифметического корня n-ой степени.                                                                              Имеем  = х – 2.                                                                                                         х = (х-2)² , но обязательно х-2≥0,                                                                                    х = х²-4х+4, но при этом х≥2,                                                                                                 х²-5х+4 = 0, х≥2                                                                                                           х₁=4, х₂=1, но х≥2, значит, 1-посторонний корень.                                                    Ответ: х=4.                                                                                                                             Решить уравнение: .(самостоятельно)                                                             х₁ = 11,                                                                                                                         х₂ = 6 – пост. корень, т.к. 6 -8<0.                                                                                                   6. Выделение в материале нового:                                                                                          - Конечно, вы заметили, что в результате некоторых преобразований появляются посторонние корни. Что это значит?                                                                                           - Два уравнения f(х)=g(х) и r(х)=s(х) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или оба не имеют корней).                                                                 При решении уравнения мы заменяем его более простыми, но равносильными ему.                                                                                                                                 Такие преобразования называют равносильными преобразованиями уравнений.          - А какие преобразования неравносильны? (обсудить в парах и сделать вывод).  7. Итог урока:                                                                                                                        1. Рефлексия.                                                                                                       2.Основные моменты урока.                                                                                              3.Дом. задание: §25, №№ 1013(а), 1014(а), 1015(а), 1017(а), 1021(а)-группа А     Группа В:1) выполнить презентацию по данной теме;                                              2) №№ 1023(а),1027(а), 1029(а), 1033*(а).

Урок №19.

Тема урока: Иррациональные уравнения.                                                                                            Тип урока: урок – закрепление

 Цели  урока:

Дидактическая:

- повторить, обобщить знания по теме «Иррациональные уравнения»;

- разобрать правила и основные ошибки при решении простейших иррациональных уравнений.

Развивающая:

- продолжить развитие логического математического мышления и мировоззрения учащихся.

Воспитательная:

- продолжить воспитание у школьников устойчивого интереса к математике.

Метод урока: репродуктивный, объяснительно-иллюстративный.

Оборудование: компьютер, доска, мультимедийный проектор.

Ход урока

I. Организационный момент

Объявление цели урока. Знакомство с правилами работы. 

II. Актуализация опорных знаний – просмотр лучшей презентации (выбирается заранее) irrazio.pps

ІІІ. Закрепление.

а)  .

В данном уравнении сумма двух неотрицательных корней равна положительному числу. Казалось бы, решения должны быть. Но посмотрим на выражения, стоящие под знаком корня. Оба выражения должны быть неотрицательными. Мы видим, что оба эти условия не могут выполняться одновременно.

Ответ: решений нет.

б)

     

Сделаем проверку

 При  <0,

 т. е. число -3 не является корнем исходного уравнения.  При х=8,  - верно, т. е. число 8 является корнем исходного уравнения.

Ответ: х=8.

 в) .

В данном примере сумма двух неотрицательных корней равна положительному числу. Далее проверяем, существуют ли значения x, при которых оба выражения, стоящие под корнем неотрицательны.

Видим, что такие значения есть. Можно получить решения? Если внимательно посмотреть на слагаемые в левой части уравнения, то можно заметить, что первое слагаемое  при допустимых значениях будет больше 4, да еще плюс второе слагаемое. Таким образом, сумма двух этих слагаемых при допустимых значениях будет больше 4. То есть, решений нет.

Ответ: решений нет.

ІV. Самостоятельная работа (или тест из «КМ-школы»)

Вариант 1.

1.  Решите уравнение

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2.  Докажите, что следующие уравнения не имеют корней:

1) ; 2) .

3. Решите уравнение:

1) ; 2) .

Вариант 2.

1. Решите уравнение:                                                                                     1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. Докажите, что следующие уравнения не имеют корней:

1) ; 2) .

3. Решите уравнение:

1) ; 2) .

V. Подведение итогов.

         VI.  Домашнее задание. 1) представить  проектную работу в виде презентации по

   теме «Квадратные уравнения»;

   2) повторить §19-§25, №№ 835, 846, 993(а,б), 1019.

Урок-практикум №20.

Тема урока: Решение уравнений и задач.

Цели урока:

♦ развитие математического и общего кругозора, мышления, речи, внимания и памяти;

♦ учить решать задачи разной степени трудности.

Задача урока:

·         закрепить основные навыки решения квадратных уравнений по формуле; формировать умение применять эти навыки при решении квадратных уравнений с буквенными коэффициентами (параметрами);

·         развитие логического мышления и способности решать учебные задачи;

·         воспитывать стремление к достижению поставленной цели; воспитывать чувство сопереживания успехам и неудачам своих одноклассников.

Систематизация, обобщение знаний учащихся, проверка уровня усвоения темы провести при широком применении различных форм работы с учащимися.

Оборудование: Оформленная доска, компьютеры, ресурсы «КМ-школы».

                                                       Ход урока                                                                                                                                      I. Организационный момент.                                                                                                      II. Расширение темы                                                                                                                                        1) Повторение (просмотр презентации-победителя)презентация-победитель.ppt

2) "Квадратные уравнения с буквенными коэффициентами"

1.     Математическая эстафета.

2.     Фронтальная работа с классом.

3.     Решение уравнений.

4.     Работа в группах.

5.     Тест.

6.     Итог урока.

7.     Занимательная задача.

8.     Домашнее задание.                                                                                Математическая эстафета (по кругу в группах, ответы на карточках письменно) Карточка1.                                                                                                                                           

Задания

Найти сумму ответов

Карточка 1.

Задания

Найти сумму ответов

Карточка 2.

Цель: повторить навыки решения неполных квадратных уравнений.

Задания

Найти произведение корней всех уравнений

Карточка 2.

Задания

Найти произведение корней всех уравнений

3. Фронтальная работа с классом

1.     Дать определение квадратного уравнения.

2.     Записать неполные квадратные уравнения в общем виде.

3.     Исследовать по D.

4.     Формулы D и D_1.

5.     Формулы корней квадратного уравнения.

6.     «Особые» формулы.

4. Решение упражнения (коллективная работа с учащимися)

При каких a уравнение имеет один корень.                                        Решение:                                                                                                                                        При уравнение не является квадратным, но является линейным.

                                                                                                           При уравнение является квадратным , четное , .                                                                                  Если D1 = 0, то уравнение имеет 1 корень .

Ответ: при при (Решение оставить на доске.)           Дополнительный вопрос: При каких  a уравнение имеет 2 корня? При каких a уравнение не имеет корней?                                                                                             Таким образом, ставим проблему перед учащимися: как решать квадратное уравнение, содержащее параметры, по формуле?                                                                 5. Работа в группах (их 5, но задания по 3 уровням сложности).                                          I уровень.                                                                                                                          Цель: отработать навыки применения формул корней квадратного уравнения при числовых коэффициентах.                                                                                    II, III уровни.                                                                                                          Цель: отработать навыки применения формул корней квадратного уравнения при наличии буквенных коэффициентов (параметров).                                             Карточка для группы I уровня (обязательный минимум или стандарт).

Задания

В уравнении один из его корней равен –4. Найдите другой корень этого уравнения и коэффициент p.

Карточка для группы II уровня (повышенный уровень).                                               Решите уравнение: .                                                                                                  При каком значении a уравнение имеет один корень?                               При каком m один из корней уравнения  = 0 имеет значение  –3?                   Карточка для группы III уровня (высокий уровень).                                                          Для каких b уравнение имеет один корень?                                       При каких a один из корней уравнения равен 2? Для найденного значения a найдите остальные корни уравнения.                                                       Для всякого значения a решите уравнение                                        (Для данной группы необходима помощь учителя в виде памятки-алгоритма).            6. Тест

Начало формы Конец формы 1. 1. Квадратным уравнением называется уравнение вида … a) ax2+bx+c=0 b) bx+c=0 c) ax2+c=0 d) ax2=0, где х- переменная и а<>0.

2. 2. В каком из квадратных уравнений правильно указаны его коэффициенты? a) 5х2-9х+4=0, a=5, b=9, c=4; a) 5х2-9х+4=0, a=5, b=9, c=4; c) -х2-8х+1=0, a=1, b=-8, c=1; d) 6х2-30=0, a=3, b=-30, c=0.

3. 3. Решите уравнение 2х2=0. a) 2; b) -1;  c) 1; d) 0

4. 4. Какое из выражений называют дискриминантом? a) d=b2-4ac; b) d=-(-b)2-4ac; c) d=b2+4ac;   d) d=b-4ac.

5. 5. Чему равен дискриминант квадратного уравнения 2х2+3х+1=0? a) 0; b) 2; c) -1; d) 1.

6. 6. При каком условии дискриминанта уравнение не имеет корней? a) d>0; b) d>1; c) d<0 d) d=0.

7. 7. Какой теоремой можно пользоваться при решении приведенного квадратного уравнения? a) Пифагора; b) Виета; c) о сумме углов; d) нет такой теоремы.

8. 8. Найдите значение корня † 2809. a) 35; b) 33; c) 53; d) 43 .

9. 9. Решите уравнение х2-7х+10=0. a) 5 и 2; b) –5 и 2; c) –5 и -2; d) 5 и -2 .

7. Итог урока.                                                                                                                  Как решить квадратное уравнение с параметрами?                                                      8. Домашнее задание (учащиеся сами определяют себе карточки по уровню сложности).                                                                                                           Карточка 1.                                                                                                                         Решите уравнение:

Найдите корни уравнения:                                             Карточка 2.                                                                                                                             Решите уравнение:                                                                            Для всякого значения a решите уравнение:                                         Карточка 3.                                                                                                                                Для всякого значения m решите уравнение                                     При каких b уравнение имеет один корень? Для каждого такого b найдите этот корень

Урок № 21.

Тема урока: Контрольная работа по теме: «Квадратные уравнения»                               Цели урока: контроль знаний учащихся по теме.

Задачи урока: Проверить уровень подготовки учащихся, используя дифференцированные задания.

Оборудование: Индивидуальные карточки с вариантами контрольной работы с различными уровнями сложности (Уровень А – обязательный уровень, Б – средний уровень сложности,  В – повышенный уровень для учащихся, которые проявляют повышенный интерес к математике).

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Выполнение контрольной работы. Работа по вариантам.

Ход урока.

1. Организационный момент: Учитель предлагает учащимся индивидуальные карточки.

2. Выполнение контрольной работы. Работа по вариантам. Учащиеся выбирают вариант любого уровня.

Вариант А 1.                                                       Вариант А 2.

                               1) Решите уравнения:

а) х²-4х+3=0;                                                      а) х²-6х+5=0;

б) х²+9х=0;                                                         б) х²-5х=0;

в) 7х²-х-8=0;                                                       в) 6х²+х-7=0;

г) 2х²-50=0.                                                         г) 3х²-48=0.

                               2) Решите задачу:

Длина прямоугольника на 5см больше              Ширина прямоугольника на 6см  ширины, а его площадь равна 36см²                   меньше длины, а его площадь Найдите стороны прямоугольника.                     равна 40см² .Найдите стороны                         

                                                                               прямоугольника.

                    3) Определите значения y, при которых верно равенство:

.                                                       .

4) Один из  корней данного уравнения равен 4. Найдите второй корень и число а:

х²+х-а=0.                                                             х²-ах-8=0.

            5) Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:

-5 и 8.                                                                  9 и –4.

Вариант Б1.                                                        Вариант Б2.

                              1) Решите уравнения:

а) х²+2х-63=0;                                                     а) х²+18х+65=0;

б) 0,9х-3х²=0;                                                     б) 0,6х+2х²=0;

в) 2х²-5х+2=0;                                                     в) 2х²-3х-2=0;

г) х²-2х-6=0.                                                       г)х²+2х-4=0.

                               2) Решите задачу:

                        Найдите длины сторон прямоугольника,      

периметр которого равен 32см, а                            площадь которого 51см², а                   площадь 55 см².                                                          периметр равен 40см.

                     3) Определите значения y, при которых верно равенство:

 .                                                   .             

                            4) Один из корней уравнения

2х²+10х+g=0                                                         3х²-21х+g=0

на 3 больше другого.                                           меньше другого на 1.

                               Найдите свободный член g.

              5) Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:

-3 и –1/3.                                                                 -2 и –1/2.

Вариант В1.                                                        Вариант В2.

                                1) Решите уравнения:

а) х²+х=90;                                                а) х²-х=110;

б) –4х=7х²;                                                б) –3х²=11х;

в) 1/5х²+х-10=0;                                        в) 1/4х²-х-3=0;

г) х²+4х+5=0.                                            г) х²-2х+3=0.

                                 2) Решите задачу:

Когда от квадратного листа фанеры                  От прямоугольного листа        отрезали прямоугольную полосу                         картона длиной 16см

шириной 2м, площадь листа                               отрезали квадрат, сторона      составила         24м².                                                   которого равна ширине листа.

Найдите первоначальную площадь                    Площадь оставшегося  прямоу-     листа.                                                                      гольника равна 60 см².   Найдите                                                                                                                                    

ширину листа картона.

         3) Определите значения х, при которых верно равенство:

                                            

                   4) Разность корней уравнения       

2х²-5х+с=0                                                           2х²-3х+с=0

равна 1,5. Найдите с.                                         равна 2,5. Найдите с.

                  5) Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:

2+и 2-.                                                       1-и 1+.

Урок – зачет №22.

Тема урока: Квадратные уравнения.

Цели урока:

·        ликвидация пробелов;

·        систематизация знаний.

Оборудование: Индивидуальные карточки, тесты.

Структура урока:

I этап. Анализ контрольной работы по теме «Квадратные уравнения».

II этап. Работа по индивидуальным карточкам.

III этап. Тестирование.

IV этап. Подведение итогов зачета.

V. Домашнее задание.

Ход урока.

I этап. Анализ контрольной работы по теме «Квадратные уравнения».

 Проверка теоретических знаний учащихся. Опрос проводится вместе с учащимися-консультантами.

Вопросы:

1. Какое уравнение называется квадратным? Приведите примеры. Назовите коэффициенты а,b и с этого уравнения.

2. Запишите формулу корней квадратного уравнения ax²+bx+c=0.

3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Как это зависит от дискриминанта?

4. Запишите формулу корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.

5. Какое квадратное уравнение называется неполным?

6. Приведите пример неполного квадратного уравнения вида ax²+bx=0. Алгоритм решения уравнения такого вида.

7. Приведите пример неполного квадратного уравнения вида ax²+c=0. Алгоритм решения уравнения такого вида.

8.  Сформулируйте теорему Виета.

9. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

10. Дайте определение квадратного трехчлена.

11. Сформулируйте утверждение о разложении квадратного трехчлена на множители.

12. Всегда ли можно разложить квадратный трехчлен на множители.

Затем класс делится на две группы:

1 группа проходит тестирование на  компьютерах.

2 группа выполняет задание по индивидуальным карточкам.

Затем меняются местами.

На каждом этапе учащиеся получают баллы за каждое верное выполненное задание. Потом суммируются все баллы, полученные в течение всего зачета и согласно критериев баллы переводятся в качественную оценку.

II этап – – выполнение заданий по индивидуальным карточкам.

Задания для индивидуальных карточек.

Обязательная часть.

1) (1б.) Определите, имеет ли корни уравнения и, если имеет, то сколько 3х²-11х+7=0

Решите уравнение (2-5).

2) (1б.) 4х²-20=0; 3) (1б.) 2х-8х²=0; 4)(1б.) 2х²-7х+6=0; 5) х²-х=2х-5.

6.(1б.) Разложите, если возможно, на множители: х²-2х-15.

7. Площадь  прямоугольника 96 см². Найдите его стороны, если одна из них на 4см меньше другой.

Дополнительная часть.

8. (2б.) Решите уравнение: х⁴-3х²-4=0.

9. (2б.) При каком значении р в разложении на множители многочлена х²+рх-10 содержится множитель х-2?

10. (2б.) Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 91 больше их произведения.

Найдите эти числа.

III этап- тестирование.

Пример теста.

1.  (1б.) Какой из написанных многочленов является квадратным трехчленом?

а) 8х²+4-х²;                    б) 2х⁴-5х²+1;                 в) 4х-9+2х²;         г) х²+1/2-2.

2.  (1б.) Какое из чисел –2, -1, 3, 5 является корнем уравнения 4х²-11х-3=0?

а) –1;                             б) –2;                   в) 3;                      г) 5.

3. (1б.) Чему равна сумма корней уравнения 7х²-19х+4=0?

а)  4/7;                           б) –4/7;                в) –19/7;              г) 19/7.

4. (2б.) Какое из написанных квадратных уравнений не имеет корней?

А. 4х²-3х-4=0;               В. х²+4х+3=0;

Б. 9х²+6х+1=0;             Г. 5х²-х+1=0.

5. (2б.) Чему равна сумма квадратов корней уравнения х²(х-4)-(х-4)=0?

а) 4,                      б) 18,                             в)16,                     г) 6.

6. (2б.) При каких значениях параметра р квадратное уравнение 2х²-7х+3р=0 имеет один корень?

а) нет таких значений; б) 49/12;                в)49/24;                г)-49/24.

Время тестирования: 20 мин.

Или предложить тест из ЦОР:

ІV. Подведение итогов. Выставление оценок.

Карточки проверяет комиссия, состоящая из учеников, получивших за к/р «5».

Максимальное количество баллов за 3 этапа зачета: I этап –12 баллов; II этап – 9 баллов; III этап  – 13  баллов. Итого: 34 балла.

Шкала перевода баллов в качественную оценку:

32-34 балла – «5»;29-31 балла – «4»;

25-30 балла – «3».

V. Домашнее задание.

"Рейтинг ученика"

. Фамилия ученика
Баллы за промежуточный контроль и контроль на выходе	Общее количество баллов	Оценка
Урок-консультация
Баллы за задания на уроке	Общее количество баллов	Оценка
Контрольная работа
Баллы за задания	Общее количество баллов	Оценка
Зачет

Последняя графа отведена для тех, кто желает повысить свою оценку.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1.(см. презентацию)

Приложение 2.(составить кроссворд)

Вопросы :

1. Название выражения b²-4ac.

2. Квадратное уравнение, где b или с равны нулю.

3. Число вида z=a+bi.

4. Название единицы, квадрат которой равен –1.

5. Число корней квадратного уравнения при D=0.

6. Число, делящееся на 2 нацело.

7. Существуют ли действительные корни в квадратном уравнении, если D<0?

8. Название части комплексного числа a+bi.

9. Геометрическая фигура, все точки которой равноудалены от некоторой точки плоскости.

10. Число, которое можно представить в виде дроби.

11. Математик, доказавший, что х₁+х₂=-р, х₁х₂=g.

12. График функции y=kx+b.

13. Большая из сторон прямоугольного треугольника.

14. Уравнение вида ax²+bx+c=0, a≠0.

15. Что можно найти, разделив пройденный путь на скорость?

16. Меньшая сторона прямоугольника?

17. Квадратное уравнение, в котором a=1.

18. Что можно найти, перемножив время и скорость?

19. Степень уравнения ax²+bx+c=0, a≠0.

20. Число корней квадратного уравнения при D>0?.

21. Математик, доказавший, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

22. Не самая большая из сторон прямоугольного треугольника.

Приложение 3.

Презентация «Рациональные уравнения».ppt

Приложение 4

Алгоритм  решения  дробных  рациональных  уравнений.doc

Приложение 6

1 группа 1.     х2 + 7х + 12 = 0 2.     х2 - 10х + 21 = 0 3.     х2 – 3х – 10 = 0 4.     х2 +3х – 10 = 0 5.     х2 + 3х + 10 = 0	2 группа 1.     х2 + 5х + 6 = 0 2.     х2 - 9х + 20 = 0 3.     х2 – 2х – 15 = 0 4.     х2 + 2х – 15 = 0 5.     х2 + 2х + 15 = 0	З группа 1.     х2 + 7х + 10 = 0 2.     х2 - 8х + 15 = 0 3.     х2 – х – 6 = 0 4.     х2 + х – 6 = 0 5.     х2 + х + 6 = 0
4 группа 1.     х2 + 8х + 15 = 0 2.     х2 - 7х + 10 = 0 3.     х2 – х – 12 = 0 4.     х2 + х – 12 = 0 5.     х2 + х + 12 = 0	5 группа 1.     х2 + 10х + 21 = 0 2.     х2 - 7х + 12 = 0 3.     х2 – х – 30 = 0 4.     х2 + х – 30 = 0 5.     х2 + х + 30 = 0	6 группа 1.     х2 + 9х + 20 = 0 2.     х2 - 11х + 30 = 0 3.     х2 – 5х – 14 = 0 4.     х2 + 5x – 14 = 0 5.     х2 + 5х + 14 = 0

. Приложение 7

1.     х2 + 7х + 10 = 0 2.     х2 – х – 20 = 0 3.     х2 + 6х – 7 = 0 4.     х2 + 11х + 24 = 0 5.     х2 + 17х + 70 = 0 6.     х2 – 7х – 30 = 0 7.     х2 + 10х – 11 = 0 8.     х2 + х – 12 = 0 9.     х2 + 11х + 28 = 0 10. х2 – 4х – 21 = 0 11. х2 + 4х + 3 = 0

12. х2 + 7х - 18 = 0 13. х2 + 6х + 5 = 0 14. х2 -9х +14 = 0 15. х2 + 13х + 42 = 0 16. х2 + 2х - 3 = 0 17. х2 – х – 12 = 0 18. х2 + 12х + 35 = 0 19. х2 -10х + 21 = 0 20. х2 -х - 30 = 0 21. х2 – 9х + 20 = 0 22. х2 -11х + 24 = 0

Краткое описание документа:

Надеюсь, уроки понравятся учителям и будут в помощь, особенно молодым специалистам. Данные разработка уроков направлена на облегчение подготовки к урокам. Для учителей малокомплектных школ, если есть затруднения в приобретении дидактического материала или доступа в интернет. Широко применяю дидактический материал автора Ершовой А.П. и всем рекомендую.