Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработки уроков "Свойства функций" 10 класс алгебра

Разработки уроков "Свойства функций" 10 класс алгебра



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Название предмета Алгебра и начала математического анализа

Класс 10

УМК Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы. В 2 . Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений(базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-еизд., стер.- М.: Мнемозина,2012. Ч.2. Задачник для общеобразовательных учреждений(базовый уровень) /[А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-еизд., стер.- М.: Мнемозина,2012.

Уровень обучения. Базовый

Тема урока Свойства функций (3 часа)

Урок №1

Цель: актуализировать и сформулировать определения монотонности и ограниченности функции на множестве

Задачи: формировать умение определять данные свойства по графику и аналитической записи функции

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению.

Планируемые результаты:

Знать/ понимать: - числовые функции, способы задания функций; - свойства числовых функций; - периодическая функция.

Уметь: - определять значения функции по значению аргумента при различных способах задания функции; - строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков; - описывать по графику поведение и свойства функций; - решать уравнения используя их графические представления.

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

Ход урока

  1. Организационный момент.

  1. Психологический настрой учащихся.

2. Проверка домашнего задания вызвавшие затруднения у учащихся

II. Устная работа.

1. Сопоставьте графики функций и задающих их формул.

hello_html_6e5596cb.png

hello_html_m4ed08fd1.png

2. Найдите область определения функции, заданной формулой.

hello_html_67176273.png

III. Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводим согласно пункту учебника. Напоминаем известные из курса алгебры основной школы такие свойства функции, как монотонность (возрастание либо убывание на множестве), ограниченность (снизу или сверху на множестве).

2. При рассмотрении понятия монотонности функции особое внимание следует уделить словесной формулировке, так как она является «рабочей». Прежде чем вводить сами определения, можно предложить учащимся выполнить следующие задания:

1) Укажите промежутки возрастания и убывания функций.

hello_html_62ef5075.png

2) Нарисуйте схематично график функции, возрастающей на промежутках (–; –2) и (5; +) и убывающей на промежутке (–2; 5).

3. Разбираем на примере 1 со с. 11 учебника исследование функции на монотонность с использованием неравенств.

4. Напоминая определение ограниченной функции, просим учащихся схематично изобразить графики элементарных функций и выбрать среди них ограниченные.

5. Разбираем пример 2 со с. 12 учебника исследования функции на ограниченность с помощью неравенств.

IV. Формирование умений и навыков.

Работа в группах

Задания, выполняемые на этом уроке, можно разбить на 2 группы.

1-я группа. Исследование функции на монотонность с использованием свойств числовых неравенств.

2-я группа. Исследование функции на ограниченность с использованием свойств числовых неравенств.

1-я группа.

2.1 (а; б), № 2.2 (а; б), № 2.3 (а; б), № 2.4 (а; б), № 2.5 (а; б).

Решение:

2.2 (б).

Обозначим hello_html_42ca636d.png Если hello_html_40fe3181.png то, по свойствам числовых неравенств, hello_html_m758cc39c.png и, далее, hello_html_3f1a32c9.png hello_html_m2e28e24f.png то есть hello_html_m344be829.png значит, данная функция убывает на всей числовой прямой.

2.3 (б).

Обозначим hello_html_2b80832b.png

Если х1 > х2, то х1 + 2 > х2 + 2, но hello_html_eeb2508.png так как при х < –2 х + 2 < 0, значит, данная функция убывает при х < –2.

Ответ: убывает.

2.4 (б).

hello_html_5112d62e.png

Обозначим hello_html_m1b75aabc.png

Если х1 > х2, тоhello_html_m7170f9b0.png

hello_html_6489e547.pngзначит, данная функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: убывает.

2.5 (б).

hello_html_m32e1356a.png

Обозначим hello_html_m4a08f709.png

Если х1 > х2, то hello_html_m4dd4c42f.png и, далее, hello_html_490f8fef.png

hello_html_795b8abd.png

hello_html_2822211f.pngзначит, данная функция убывает на D(f).

Ответ: убывает.

2-я группа.

2.6 (а; б), № 2.7 (а; б).

Решение:

2.6 (б).

hello_html_m1b19b933.png

Если х > 0, то график функции hello_html_m2adf6d23.png представляет собой ветвь гиперболы и ограничен снизу, а функция hello_html_1917a8b3.png – ограничена сверху прямой у = 0.

График данной функции hello_html_m4383dab6.png получен сдвигом графика функции hello_html_1917a8b3.png на две единицы вверх, значит, функция ограничена сверху прямой у = 2.

Ответ: ограничена сверху.

2.7 (б).

hello_html_6d671f22.png

С одной стороны, очевидно, что hello_html_m2e3f767c.png значит, функция ограничена снизу.

Рассмотрим функцию hello_html_49732e9d.png Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина в точке с координатами (х0; у0), где hello_html_3bfe3526.png Значит, функция сверху не ограничена.

Ответ: ограничена снизу.

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

Дайте определение функции убывающей (возрастающей) на множестве.

Какая функция называется монотонной?

Какая функция называется ограниченной снизу (сверху) на множестве?

Какие способы исследования функции на монотонность и ограниченность?

Домашнее задание: §2 стр11.№ 2.1 (в; г) – № 2.7 (в; г).



















Урок №2

Цель: актуализировать и сформулировать определения наибольшего и наименьшего значения функции на множестве; четной и нечетной функции; формировать умения исследовать наличие данных свойств

Задачи: формировать умение определять данные свойства по графику и аналитической записи функции

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению.

Планируемые результаты:

Знать/ понимать: - числовые функции, способы задания функций; - свойства числовых функций; - периодическая функция.

Уметь: - определять значения функции по значению аргумента при различных способах задания функции; - строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков; - описывать по графику поведение и свойства функций; - решать уравнения используя их графические представления.

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

Ход урока

  1. Организационный момент.

  1. Психологический настрой учащихся.

2. Проверка домашнего задания № 2.1 (в; г) – № 2.7 (в; г).

II. Математический диктант.

Вариант 1

1. Функция у = f(х) возрастающая. Сравните f(3) и f(5).

2. Начертите график какой-нибудь функции, убывающей на [–3; 1] и [3; 5] и возрастающей на [1; 3].

3. Какие из функций hello_html_56978aa9.png у = –3х2, у = 2х – 9 являются возрастающими на (–; 0)? Ограниченными сверху?

Вариант 2

1. Функция у = f(х) убывающая. Сравните f(2) и f(–3).

2. Начертите график какой-нибудь функции, возрастающей на [–1; 2] и [5; 7] и убывающей на [2; 5].

3. Какие из функций hello_html_m2e077147.png у = –х2,
у = 11 – 3х являются убывающими на (0; +)? Ограниченными снизу?

III. Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводить согласно пункту учебника. Авторы отмечают, что метод отыскания наибольшего и наименьшего значения функции с помощью элементарных приемов или с помощью графика функции внедрен в учебники 7–9 классов. Кроме того, используются на наглядно-интуитивном уровне понятия выпуклости и непрерывности. Само понятие выпуклости на формальном уровне в дальнейшем рассматриваться не будет, а точное определение непрерывности будет получено в § 26.

2. Давая определение четности и нечетности функции, авторы учебника, вопреки сложившейся традиции, не включают в него требование симметричности области определения. Это необходимое условие четности или нечетности функции, оно оформлено в виде отдельного утверждения.

В связи с исследованием функций на четность обратите внимание на неявное приобщение учащихся к законам формальной логики, согласно которым отрицание утверждения, содержащего квантор общности, приводит к утверждению, содержащему квантор существования, и обратно. Определяя четность либо нечетность функции у = f(х), нужно проверить, что равенство hello_html_m5d371dea.png hello_html_76a5a85b.png выполняется для всех значений х из D(f). Для установления отсутствия четности или нечетности функции достаточно показать, что существует хотя бы одно значение х, для которого равенство не выполняется.

3. Геометрический смысл четности и нечетности функции следует установить с широким применением наглядности.

Работа на готовых чертежах.

Задание. Какая из функций, заданных графиком, является четной? Нечетной? Ни четной, ни нечетной?

hello_html_3b3a58f1.png

hello_html_m295a7880.png

hello_html_m266690b6.png

После выполнения задания и рассмотрения примеров из учебника учащиеся сами формулируют алгоритм исследования функции у = f(х), х Х на четность.

4. Вводится понятие «прочитать график функции» как перечисление свойств функции в определенном порядке:

1) D(f);

2) монотонность;

3) ограниченность;

4) наибольшее и наименьшее значение функции;

5) непрерывность;

6) четность / нечетность;

7) Е(f).

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения, выполняемые на этом уроке, направлены на отработку следующих умений:

а) нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на множестве;

б) исследование функции на четность;

в) построение и чтение графика функции.

2.8 (а; б), № 2.9 (а; б), № 2.10 (а; б), № 2.11 (а; б), № 2.12, № 2.14.

Решение:

2.8 (б).

hello_html_175133cd.png

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз и вершина находится в точке с координатами (х0; у0), где

hello_html_1c5e3a41.png

hello_html_m797d01d5.png

Значит, унаиб. = 0,5.

На [–3; 0,5] функция монотонно возрастает, а на [0,5; 2] – убывает, значит, наименьшее значение она примет на одном из концов отрезка [–3; 2].

hello_html_m3e358354.png

Значит, унаим. = –24.

Ответ: унаиб. = 0,5; унаим. = –24.

2.9 (б).

hello_html_14b1587d.png

Функция убывает на всей области определения, значит, наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка [1; 9]. 1 < 9, значит, hello_html_m70881896.png. Следовательно,

hello_html_mf96b0ba.png

Ответ: унаиб. = –1; унаим. = –3.

2.10 (б).

hello_html_m59b5db8a.png

Построим график данной функции:

hello_html_m3c431dfc.png

унаиб. = 3; наименьшего значения на данном отрезке не существует.


Ответ: унаиб. = 3.

2.11 (б).

hello_html_m1d10135f.pngсимметричное множество.

Обозначим hello_html_m56410855.png

hello_html_68af0af0.pngзначит, функция нечетная.

Ответ: нечетная.

2.12.

hello_html_2c532a56.png

1) hello_html_3e52ae53.png

2) Функция убывает на (–; 0) и возрастает на [0; +].

3) Функция не ограничена.

4) Наибольшего и наименьшего значений не существует.

5) Разрыв функции в точке х = 0.

6) Функция ни четная, ни нечетная.

7) hello_html_527e4d41.png

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

Какое число называют наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве?

Какая функция называется выпуклой на промежутке? Непрерывной на промежутке?

Дайте определение четной / нечетной функции. В каком случае можно утверждать, что функция ни четная, ни нечетная?

В чем геометрический смысл четности / нечетности функции?

Что значит «прочитать график»?

Домашнее задание: §2 стр.11. № 2.8 (в; г) – 2.11 (в; г), № 2.13, № 2.15.

































Урок № 3

Цель: закрепление понятия «функция» и её свойств: возрастания, убывания, промежутков знакопостоянства, экстремумов, определения наибольшего и наименьшего значения функции на множестве; четной и нечетной функции.

Задачи: способствовать формированию умений анализировать графики функций, строить эскизы графиков по заданным параметрам функции, анализировать количество корней уравнения у(х) = а.

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению, воспитание умений работать в группе, чувства ответственности, взаимопомощи.

Планируемые результаты:

Знать/ понимать: - числовые функции, способы задания функций; - свойства числовых функций; - периодическая функция.

Уметь: - определять значения функции по значению аргумента при различных способах задания функции; - строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков; - описывать по графику поведение и свойства функций; - решать уравнения используя их графические представления.

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

1) карточки – задания на 6 вариантов разной степени сложности для работы в группах;

2) эскиз графика функции (слайд), цветные мелки или фломастеры.

Ход урока.

  1. Организационный момент

  1. Психологический настрой учащихся.

2. Проверка домашнего задания № 2.1 (в; г) – № 2.7 (в; г).

  1. Повторение.

  1. Фронтальный опрос.

  1. Дайте определение функции, аргумента, области определения, множества значений.

  2. Перечислите способы задания функции.

  3. Дайте определение чётной функции. Каким свойством обладает её график?

  4. Дайте определение нечётной функции . Каким свойством обладает её график ?

  5. Дайте определение возрастающей функции, убывающей функции.

  6. Какие точки называются точками экстремума ? Экстремумами функции?

Учащимся задаются вопросы по схеме исследования функции : назвать область определения, множество значений функции, выяснить, является она чётной или нечётной; назвать нули функции, промежутки монотонности, знакопостоянства. Все они выделяются цветным мелом или фломастерами. Учащиеся называют точки максимума и минимума и экстремумы функции.

  1. Построить эскиз графика по заданным условиям (слайд).

  1. Д (у) = ( - ∞ ; +∞ )

  2. Е ( у) = ( - ∞; + ∞)

  3. График пересекает ось Ох в точках : (-5; 0), (1; 0), (4; 0), (6; 0), (8; 0).



График пересекает ось Оу в точке (0; -2).

  1. Функция возрастает на (-4; -3) ( -1; 4) (5; 7).

Функция убывает на ( - ∞ ; -4) ( -3; -1) (4 ; 5) (7 ; +∞ ).

  1. У(х) 0 на ( - ∞ ; -5) (1 ; 4) ( 6; 8).

У(х) 0 на (- 5; 1) (4; 6) (8; + ∞).

  1. = -4 ; -1; 7.

= -3; 4.

Min y(x) = y(-4) = -5

Min y(x) = y(7) = -3.

Max y(x) = y(-3) = -1

Max y(x) = y(4) = 5.

  1. Объяснение нового материала.

Чтобы графически решить уравнение вида у(х) = а, необходимо построить два графика : 1) у(х) и 2) у = а – прямая, проходящая через точку (0; а) параллельно оси Ох. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут решениями уравнения.

Учащимся задаются вопросы:

  1. Сколько решений имеет уравнение у(х) = 4 ? у(х) = -5 ? у(х) = 0?

  2. В каком промежутке находится корень уравнения у(х) = 7 ?


  1. Формирование умений и навыков.

Самостоятельная работа на исследование функций по графику и построения эскиза графика функции по заданным параметрам.

hello_html_612402f1.png

hello_html_m13363502.png

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

Какое число называют наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве?

Какая функция называется выпуклой на промежутке? Непрерывной на промежутке?

Дайте определение четной / нечетной функции. В каком случае можно утверждать, что функция ни четная, ни нечетная?

В чем геометрический смысл четности / нечетности функции?

Что значит «прочитать график»?

Домашнее задание: §2 стр.11. № 2.8 (в; г) – 2.11 (в; г), № 2.13, № 2.15.



















57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 01.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров21
Номер материала ДБ-308277
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх