Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработки уроков: Решение неравенств второй степени с одной переменной (9класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработки уроков: Решение неравенств второй степени с одной переменной (9класс)

библиотека
материалов

9класс Решение неравенств второй степени с одной переменной урок1

Цели: ввести понятие неравенства второй степени с одной переменной и изучить алгоритм решения таких неравенств.

Задачи: 1. Формировать умение решать неравенства второй степени с одной переменной.

2. развивать умения объяснять, строить логические цепочки решения уравнения, навыки решения целых уравнений, записывать, образное и логическое мышление, письменную и устную математическую речь

3. воспитывать аккуратность, ответственность, умение работать самостоятельно, интерес к изучению предмета.

Оборудование: учебник, доска, цветные мелки.

ХОД УРОКА

  1. Организационный момент.

1. Проверка отсутствующих и готовности класса к уроку.

2.Сообщение темы и цели урока, запись на доске и в тетради

II. Устная работа.

1. Определите количество корней уравнения ах2 + bx + c = 0 и знак коэффициента а, если на рисунке изображен график функции у = ах2 ++ bx + c.

а) hello_html_207ac17d.png б) hello_html_m46e7009c.pngв) hello_html_376098f0.png

2. Назовите промежутки знакопостоянства функции у = ах2 + bx + c, если ее график изображен на рисунке:

а) hello_html_m6705bfb9.png б) hello_html_3ffdf781.pngв) hello_html_m3ee55dca.png

III. Объяснение нового материала.

1. В в е д е н и е п о н я т и я неравенства второй степени с одной переменной.

З а д а н и е. Какие из следующих неравенств являются неравенствами второй степени с одной переменной?

а) 2х2 + 3х – 1 > 0; б) 4х2х ≤ 0; в) 5х – 1 > 3х2;

г) 2х2х + 1 < х4; д) hello_html_6821f4cc.gifх2 ≥ 1; е) х2 – 4x < hello_html_6c17d582.gif.

2. С о с т а в л е н и е а л г о р и т м а решения неравенств второй степени с одной переменной.

Поставить перед учащимися проблему: как может быть решено неравенство подобного вида? Если учащиеся не догадаются, то можно вернуться к заданиям устной работы и наводящими вопросами помочь им сделать в ы в о д: неравенства второй степени с одной переменной решаются графически.

Желательно, чтобы учащиеся самостоятельно вывели алгоритм решения этих неравенств.

3. Р а с с м о т р е н и е п р и м е р о в решения неравенств второй степени с одной переменной.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке необходимо рассмотреть разные ситуации, возникающие при решении неравенств второй степени с одной переменной. Нужно, чтобы учащиеся запомнили алгоритм и применяли его без помощи учителя.

В соответствии с количеством корней трехчлена, получаемых в процессе решения неравенств, все задания можно разбить на три группы. В первую группу войдут неравенства, у которых квадратный трехчлен имеет два корня, во вторую – один корень, и в третьей группе будут неравенства, квадратный трехчлен которых не имеет корней.

304 (а, в, ж) ученик у доски

308 (а, в, д) ученик у доски

304 (д).объясняет учитель

318. Учитель с помощью учащихся

Р е ш е н и е. Пусть одна сторона прямоугольника равна а см, тогда другая сторона равна (а + 7) см. Значит, площадь прямоугольника равна а (а + 7) см2, а по условию она не превосходит 60 см2. Получим неравенство: а (а + 7) ≤ 60; а (а + 7) – 60 ≤ 0.

Решая его, находим, что а hello_html_a35de79.gif [–12; 5], то есть меньшая сторона прямоугольника не должна превосходить 5 см.

О т в е т: не превосходит 5 см.


ФМ для снятия утомления с плечевого пояса и рук

  1. И.п. - о.с. 1 - поднять плечи. 2 - опустить плечи. Повторить 6-8 раз, затем пауза 2-3 с, расслабить мышцы плечевого пояса. Темп медленный.

  2. И.п. - руки согнуты перед грудью. 1 - 2 - два пружинящих рывка назад согнутыми руками. 3 - 4 - то же прямыми руками. Повторить 4-6 раз. Темп средний.

  3. И.п. - стойка ноги врозь. 1 - 4 - четыре последовательных круга руками назад. 5 - 8 - то же вперед. Руки не напрягать, туловище не поворачивать. Повторить 4-6 раз. Закончить расслаблением. Темп средний.

Д о п о л н и т е л ь н ы е з а д а н и я.

1. № 379.

Р е ш е н и е. (а + 2) х2 + 8х + а – 4 = 0.

Чтобы данное уравнение имело 2 решения, необходимо выполнение следующих условий:

уравнение должно быть квадратным, то есть а + 2 ≠ 0;

дискриминант этого квадратного уравнения должен быть положителен.

Согласно этим условиям получим систему:

hello_html_5a68d42.gif

Решением второго неравенства системы является промежуток (–6; 4). С учетом того, что а ≠ –2, получим: а hello_html_a35de79.gif(–6; –2) hello_html_30778895.gif(–2; 4).

О т в е т: (–6; –2) hello_html_30778895.gif(–2; 4).

2. При каких значениях параметра а неравенство ах2 + 2ах + 4 > 0 выполняется на всей числовой оси?

Р е ш е н и е. Чтобы данное неравенство выполнялось на всей числовой оси, необходимо, чтобы ветви параболы были направлены вверх, и квадратный трехчлен не имел корней, то есть D1 = а2 – 4а < 0.

Решая это неравенство, получим, что а hello_html_a35de79.gif(0; 4). Этот промежуток удовлетворяет обоим условиям. Однако нужно рассмотреть еще случай, когда а = 0. Подставляя это значение в исходное неравенство, получим: 4 > 0.

Это неравенство верно, поэтому при а = 0 исходное неравенство будет выполняться на всей числовой оси.

О т в е т: [0; 4).

V. Итоги урока.

Какие неравенства называются неравенствами второй степени с одной переменной?

Опишите алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.

Какие решения может иметь неравенство второй степени с одной переменной, если соответствующий квадратный трехчлен не имеет корней?

Рефлексия:

1) Что вызывало у вас затруднения в начале урока и что стало понятно в течение урока?

2) Какие моменты урока особенно понравились? Когда вам было неуютно? Почему?


  • Общая характеристика знаний учащихся, определение положительных и отрицательных моментов.

  • Сообщение оценок учащимся

Домашнее задание: № 304 (б, з), № 306 (в), № 308 (г).



9класс Решение неравенств второй степени с одной переменной урок2

Цель: продолжить формирование умения решать неравенства второй степени с одной переменной.

Задачи: 1. учить решать неравенства второй степени с одной переменной

2. развивать умения объяснять, строить логические цепочки решения уравнения, навыки решения целых уравнений, записывать, образное и логическое мышление, письменную и устную математическую речь

3. воспитывать аккуратность, ответственность, умение работать самостоятельно, интерес к изучению предмета.

Оборудование: учебник, доска, цветные мелки.

ХОД УРОКА

  1. Организационный момент.

1. Проверка отсутствующих и готовности класса к уроку.

2.Сообщение темы и цели урока, запись на доске и в тетради

II. Устная работа.

Решите неравенства ах2 + bx + c > 0 и ах2 + bx + c ≤ 0, если на рисунке изображен график соответствующей квадратичной функции:

а) hello_html_m35194701.png б) hello_html_m27b7ff02.pngв) hello_html_7a758ff2.png

III. Формирование умений и навыков.

1. № 307, № 309 (а, в, д).

2. № 312 (а, в).

3. № 315 (в).

4. № 316 (4).

320 (а). Р е ш е н и е

а) hello_html_m33f5a34.gif

Найдем корни квадратных трехчленов и изобразим схематически параболы на одной числовой прямой:

х2 – 2х – 8 = 0

х = –2 х = 4

х2 – 9 = 0

х = –3 х = 3

hello_html_m15ca6c1.png

По рисунку видим, что решением данной системы будет промежуток (–2; 3).

О т в е т: (–2; 3).

2. № 321 (а).

Р е ш е н и е

hello_html_m62d450ea.gif

Для нахождения области определения данной функции достаточно решить систему неравенств:

Так же, как в предыдущем задании, наносим на числовую прямую параболы и заштриховываем искомые промежутки:hello_html_7aa7735d.gif

hello_html_m10cc7f60.png

Получаем, что х hello_html_a35de79.gif[2; 5]. О т в е т: 2; 3; 4; 5.

IV. Математический диктант.

«+» – согласен с утверждением; «–» – не согласен с утверждением.

1) Неравенства второй степени с одной переменной решаются с помощью графика квадратичной функции.

2) Для решения неравенств второй степени с одной переменной нужно знать координату вершины соответствующей параболы.

3) Для решения неравенств второй степени с одной переменной достаточно знать направление ветвей соответствующей параболы.

4) Если квадратный трехчлен имеет корни, то соответствующее неравенство обязательно имеет решения.

5) Если квадратный трехчлен не имеет корней, то соответствующее неравенство не имеет решений.

6) Если вершина параболы лежит на оси абсцисс, то соответствующее неравенство не имеет решений.

7) Неравенства второй степени с одной переменной может иметь решение, состоящее из единственного числа.

8) Решением неравенства второй степени с одной переменной может быть множество всех чисел.

9) Если а < 0, х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c, то решением неравенства ах2 + bx + c > 0 будет промежуток (–∞; х1) hello_html_30778895.gif(х2; +∞).

10) Если а > 0 и х0 – единственный корень квадратного трехчлена ах2 + bx + c, то решением неравенства ах2 + bx + c > 0 будет промежуток (–∞; х0)hello_html_30778895.gif(х0; +∞).

К л ю ч: + – – + – – + + – +.

Учащиеся обмениваются тетрадями, учитель вновь зачитывает вопросы математического диктанта. Происходит обсуждение ответов и учащиеся выставляют друг другу оценки по следующей шкале:

«5» – не менее 9 правильных ответов;

«4» – 7, 8 правильных ответов;

«3» – 5, 6 правильных ответов;

«2» – менее 5 правильных ответов.


3. При каких значениях т область определения функции

f (х) = hello_html_m17e3877b.gif состоит из одной точки?

Р е ш е н и е

Чтобы найти область определения данной функции, нужно решить систему неравенств:

hello_html_2d57d956.gif

Эта система будет иметь единственное решение в двух случаях:

если квадратный трехчлен х2 –2тх + 5 будет иметь единственный корень, не превосходящий 1:hello_html_m6d90bcdb.png



hello_html_3e854998.png

если квадратный трехчлен х2 –2тх + 5 будет иметь два корня, меньший из которых равен 1:



Первое условие будет выполнено, если дискриминант квадратного трехчлена х2 – 2тх + 5 равен нулю, а корень

х0 = hello_html_m87e4ad1.gif ≤ 1. Имеем: D1 = т2 – 5; х0 = hello_html_7da0155b.gif = m.

Получим систему: hello_html_m66c0e26b.gif

Ее решением является m = –hello_html_m7b18b2f6.gif.

Второе условие будет выполнено, если f (1) = 0, то есть 1 – 2т + 5 = 0, откуда т = 3. Подставляя это значение т, получим трехчлен х2 – 6х + 5; вторым его корнем будет число 5. Значит, т = 3 удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: –hello_html_m7b18b2f6.gif; 3.


Физкультминутка общего воздействия

  1. И.п. - стойка ноги врозь. 1 - руки назад. 2-3 - руки в стороны и вверх, встать на носки. 4 - расслабляя плечевой пояс, руки вниз с небольшим наклоном вперед. Повторить 4-6 раз. Темп медленный.

  2. И.п. - стойка ноги врозь, руки согнутые вперед, кисти, в кулаках, 1-е поворотом туловища налево удар правой рукой вперед. 2 – и.п. 3-4 - то же в другую сторону. Повторить 6-8 раз. Дыхание не задерживать.

  3. И.п. - о.с. 1 - хлопок в ладоши за спиной, руки поднять назад возможно выше. 2 - движение рук через стороны, хлопок в ладоши вперед на уровне головы. Повторить 4-6 раз. Темп быстрый.

  4. И.п. - сидя на стуле. 1 — голову наклонить вправо. 2 - и.п. 3 - голову наклонить влево. 4 - и.п. Повторить 4-6 раз. Темп средний.


V. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решите неравенство:

а) х2 – 8х + 15 > 0; в) 4х2 + 4х + 1 ≤ 0;

б) 2хх2 ≥ 0; г) х2 + 2х + 3 > 0.

В а р и а н т 2

Решите неравенство:

а) х2 – 10х + 21 ≤ 0; в) х2 – 10х + 25 > 0;

б) 9 – х2 < 0; г) –х2 + х – 4 ≤ 0.


V II. Итоги урока.

Опишите алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.

Когда решение неравенства второй степени с одной переменной будет состоять из единственного числа? из бесконечного множества чисел?

Какие решения может иметь неравенство ах2 + bx + c > 0, если

а) а > 0 и х1, х2 – корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c;

б) а < 0 и квадратный трехчлен имеет единственный корень х0;

в) а > 0 и квадратный трехчлен ах2 + bx + c не имеет корней?


Рефлексия:

1) Что вызывало у вас затруднения в начале урока и что стало понятно в течение урока?

2) Какие моменты урока особенно понравились? Когда вам было неуютно? Почему?


  • Общая характеристика знаний учащихся, определение положительных и отрицательных моментов.

  • Сообщение оценок учащимся



Домашнее задание: № 309 (г, е), № 313, № 317.



Факультативное занятие


Более сложные задачи, требующие применения
алгоритма решения неравенств второй степени
с одной переменной

Цели: продолжить формирование умения применять алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Решите неравенство ах2 + bx + c ≤ 0 и ах2 + bx + c > 0, если на рисунке изображен график соответствующей квадратичной функции:

а) hello_html_m39f3f9a6.png б) hello_html_54962bd1.png

в) hello_html_m386dd943.png

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решите неравенство:

а) х2 – 8х + 15 > 0; в) 4х2 + 4х + 1 ≤ 0;

б) 2хх2 ≥ 0; г) х2 + 2х + 3 > 0.

В а р и а н т 2

Решите неравенство:

а) х2 – 10х + 21 ≤ 0; в) х2 – 10х + 25 > 0;

б) 9 – х2 < 0; г) –х2 + х – 4 ≤ 0.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся должны решать более сложные задания, которые потребуют от них осознанного владения алгоритмом решения неравенств второй степени с одной переменной.

Все задания можно разбить на 2 группы. Если класс невысокого уровня подготовки, то вторую группу заданий решать не нужно. Кроме того, сильным в учебе учащимся можно дать дополнительные задания на решение уравнений и неравенств с параметрами.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 310 (а), № 311 (а).

2. № 314 (а).

3. № 318.

Р е ш е н и е

Пусть одна сторона прямоугольника равна а см, тогда другая сторона равна (а + 7) см. Значит, площадь прямоугольника равна а (а + 7) см2, а по условию она не превосходит 60 см2. Получим неравенство:

а (а + 7) ≤ 60;

а (а + 7) – 60 ≤ 0.

Решая его, находим, что а hello_html_a35de79.gif [–12; 5], то есть меньшая сторона прямоугольника не должна превосходить 5 см.

О т в е т: не превосходит 5 см.

2-я г р у п п а.

1. № 320 (а, в, д).

Р е ш е н и е

а) hello_html_m33f5a34.gif

Найдем корни квадратных трехчленов и изобразим схематически параболы на одной числовой прямой:

х2 – 2х – 8 = 0

х = –2 х = 4

х2 – 9 = 0

х = –3 х = 3

hello_html_m15ca6c1.png

По рисунку видим, что решением данной системы будет промежуток (–2; 3).

О т в е т: (–2; 3).

2. № 321 (а).

Р е ш е н и е

hello_html_m62d450ea.gif

Для нахождения области определения данной функции достаточно решить систему неравенств:

hello_html_7aa7735d.gif

Так же, как в предыдущем задании, наносим на числовую прямую параболы и заштриховываем искомые промежутки:

hello_html_m10cc7f60.png

Получаем, что х hello_html_a35de79.gif[2; 5].

О т в е т: 2; 3; 4; 5.

Д о п о л н и т е л ь н ы е з а д а н и я.

1. № 379.

Р е ш е н и е

(а + 2) х2 + 8х + а – 4 = 0.

Чтобы данное уравнение имело 2 решения, необходимо выполнение следующих условий:

уравнение должно быть квадратным, то есть а + 2 ≠ 0;

дискриминант этого квадратного уравнения должен быть положителен.

Согласно этим условиям получим систему:

hello_html_5a68d42.gif

Решением второго неравенства системы является промежуток (–6; 4). С учетом того, что а ≠ –2, получим: а hello_html_a35de79.gif(–6; –2) hello_html_30778895.gif(–2; 4).

О т в е т: (–6; –2) hello_html_30778895.gif(–2; 4).

2. При каких значениях параметра а неравенство ах2 + 2ах + 4 > 0 выполняется на всей числовой оси?

Р е ш е н и е

Чтобы данное неравенство выполнялось на всей числовой оси, необходимо, чтобы ветви параболы были направлены вверх, и квадратный трехчлен не имел корней, то есть D1 = а2 – 4а < 0.

Решая это неравенство, получим, что а hello_html_a35de79.gif(0; 4). Этот промежуток удовлетворяет обоим условиям. Однако нужно рассмотреть еще случай, когда а = 0. Подставляя это значение в исходное неравенство, получим: 4 > 0.

Это неравенство верно, поэтому при а = 0 исходное неравенство будет выполняться на всей числовой оси.

О т в е т: [0; 4).

3. При каких значениях т область определения функции

f (х) = hello_html_m17e3877b.gif состоит из одной точки?

Р е ш е н и е

Чтобы найти область определения данной функции, нужно решить систему неравенств:

hello_html_2d57d956.gif

Эта система будет иметь единственное решение в двух случаях:

если квадратный трехчлен х2 –2тх + 5 будет иметь единственный корень, не превосходящий 1:

hello_html_m6d90bcdb.png

если квадратный трехчлен х2 –2тх + 5 будет иметь два корня, меньший из которых равен 1:

hello_html_3e854998.png

Первое условие будет выполнено, если дискриминант квадратного трехчлена х2 – 2тх + 5 равен нулю, а корень

х0 = hello_html_m87e4ad1.gif ≤ 1. Имеем:

D1 = т2 – 5;

х0 = hello_html_7da0155b.gif = m.

Получим систему: hello_html_m66c0e26b.gif

Ее решением является m = –hello_html_m7b18b2f6.gif.

Второе условие будет выполнено, если f (1) = 0, то есть 1 – 2т + 5 = 0, откуда т = 3. Подставляя это значение т, получим трехчлен х2 – 6х + 5; вторым его корнем будет число 5. Значит, т = 3 удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: –hello_html_m7b18b2f6.gif; 3.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

Опишите алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.

Когда решение неравенства второй степени с одной переменной будет состоять из единственного числа? из бесконечного множества чисел?

Какие решения может иметь неравенство ах2 + bx + c > 0, если

а) а > 0 и х1, х2 – корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c;

б) а < 0 и квадратный трехчлен имеет единственный корень х0;

в) а > 0 и квадратный трехчлен ах2 + bx + c не имеет корней?

Домашнее задание: № 311 (б), № 314 (б), № 319, № 320 (б, г, е).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 321 (б), № 380.


Краткое описание документа:

9класс Решение неравенств второй степени с одной переменной (2 часа)

учебник Макарычев

Цели: ввести понятие неравенства второй степени с одной переменной и изучить алгоритм решения таких неравенств.

Задачи: 1. Формировать умение решать неравенства второй степени с одной переменной.

2. развивать умения  объяснять, строить логические цепочки решения уравнения, навыки решения целых уравнений, записывать, образное и логическое мышление, письменную и устную математическую речь

3. воспитывать аккуратность, ответственность,  умение работать самостоятельно, интерес к изучению предмета.

Автор
Дата добавления 14.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1077
Номер материала 113712
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Комментарии:

6 месяцев назад
Спасибо за предоставленный материал.
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх