Развитие конструктивных способностей учащихся

Развитие конструктивных навыков

 учащихся на уроках математики

Учитель математики МБОУ СОШ №5 с углубленным изучением отдельных предметов Минхаерова Э.С.

                                          «Перед учителем математики стоит нелегкая задача–

                                   преодолеть в сознании учеников со стихийной

                                    неизбежностью возникающее представление  о

                                                       «сухости», формальном характере, оторванности

           от жизни и практики его науки».

Хинчин А.Д.

         Действительно, математику принято считать «сухой» наукой, даже «царицей всех наук». Чему учат в школе на уроках математики? Составлять и решать уравнения, обращаться со степенями, исследовать функции и т.п. А чему учат, например, на курсах кройки и шитья? Кроить и шить платья, обращаться со швейными машинами и т.п. Тут учат ремеслу, но и на уроках математики учат ремеслу, умению проводить математические выкладки, что составляет технически образованного человека.

        Организация конструкторско-практической  учебной деятельности создает условия не только для формирования элементов технического мышления и конструктивных навыков, но и для развития пространственного воображения, логического мышления, способствует актуализации и углублению математических знаний при их использовании в новых условиях. Конструирование предполагает моделирование различного вещественного материала, используя всевозможную вещественную наглядность, либо пользуясь графикой. Действие моделирования является общим способом действий, который отражает специфику математического описания действительности. Если человек умеет построить какую-либо модель изучаемого предмета, явления, отношения и описать ее на математическом языке, значит, он обладает тем, что мы называем математическим мышлением.

       Основным средством развития умений и навыков, необходимых для конструирования являются задачи. В зависимости от результата их решения различают следующие их виды:

-        на воссоздание объекта по образцу,

-        на доконструирование объекта,

-        на переконструирование,

-        на конструирование.

           При изучении геометрии объектами конструирования могут быть геометрические фигуры.

           К задачам первого типа можно отнести моделирование геометрических тел. В этом случае учащимся предлагают образец, по которому требуется изготовить модель, или условие задачи, данное в текстовой, графической, текстово-графической форме. Моделируемая фигура может быть определена своей формой; формой и всеми размерами; формой и всеми величинами, связанными с размерами формы косвенно.

Пример 1. Изготовить конус по его фронтальной проекции (рис.1)

                                                                

                                                  80                       

 рис.1.

         Условие задачи дано в текстово - графической форме. Моделируемая фигура задана и формой и размерами. Ученики должны установить, что для изготовления конуса нужно построить развертку, имеющую форму кругового сектора и круга. Для построения сектора нужно знать радиус и центральный угол. Решение задачи состоит из следующих этапов: построение чертежа развертки конуса с помощью чертежных инструментов; изготовление конуса по выполненной развертке.

        Задачи на моделирование, условие которых дано в графической или текстово-графической форме, - средство установления связи геометрии с черчением. При решении этих задач ученикампридется не только строить, но и читать и анализировать чертежи

Пример 2. Из плотной бумаги изготовить пирамиду, в основании которой лежит правильный треугольник, а боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

        Условие задачи дано в текстовой форме, моделируемая фигура задана только своей формой, поэтому необходимые для ее изготовления размеры выбираются произвольно. Задача может быть предложена с целью закрепления и уяснения признака перпендикулярности прямой и плоскости. Проанализировав условие, ученики придут к выводу, что для построения развертки пирамиды необходимо определить форму ее боковых граней.

        Рассмотренные задачи на моделирование геометрических тел отличаются от задач на конструирование тем, что объект конструирования уже известен из условия задачи, однако в их решении присутствуют этапы, характерные для процесса конструирования. Так, ученикам было необходимо представить продукт своей деятельности, учесть особенности его конструкции, выполнить необходимые расчеты, построить чертеж, изготовить модель. Многие из этих этапов носят творческий характер и ставят учеников перед необходимостью применять полученные знания в новых, необычных условиях.

  Благоприятные возможности для развития конструктивных умений и навыков учеников имеются при решении задач на переконструирование, в которых требуется внести изменения в конструкцию заданного объекта в соответствии с условием задачи. По своей психологической структуре они наиболее близки задачам, решаемым рационализаторами. Основная трудность их решения состоит в том, что у известных фигур необходимо увидеть новые свойства, а для этого рассмотреть их с другой, непривычной точки зрения.

 

         Задачи на конструирование требуют от учащихся творческого подхода: следует рассмотреть уже известные геометрические фигуры с новой точки зрения и установить, можно ли их разбить на многоугольники так, чтобы получить развертку пирамиды. Если ребята затрудняются решить эти задачи, то правильный ответ они смогут найти путем «свертываний» моделей данных многоугольников. 

Пример 3. Может ли правильный треугольник быть разверткой пирамиды? Найти ее объем, если сторона треугольника равна a.

         Ученики, проанализировав задачу, должны сделать вывод, что правильный треугольник может быть разверткой пирамиды, для конструирования пирамиды достаточно перегнуть треугольник по его средним линиям.

Пример 4.  Может ли быть разверткой пирамиды квадрат со стороной а? Если может, то найти ее объем.

         Ученики могут предложить решение, аналогичное решению примера 3. Однако, перегнув квадрат по линиям, соединяющим середины сторон, легко убедить их, что это решение ошибочно. Верное решение представлено на рисунке 2.

    рис.2.

Пример 5. Отсечь от куба плоскостью его часть так, чтобы оставшийся многогранник имел равное число вершин и граней.

           Для отыскания решения ребята могут рассмотреть различные случаи положения секущей плоскости относительно куба и выбрать те, которые удовлетворяют условию задачи. Но, поскольку, у оставшегося многогранника вершин будет меньше восьми, а граней больше шести, то секущая плоскость должна «отсечь» одну вершину куба.

 Рассмотрим пример задачи на доконструирование.

Пример 6. Постройте развертку четырехугольной пирамиды, если три ее последовательные стороны основания соответственно равны 4,5,6 см., высота пирамиды 6 см., а все боковые ребра составляют с плоскостью основания углы в 45⁰.

             В процессе решения важно установить, что, поскольку, боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, вершина пирамиды проецируется в центр описанной около него окружности. Тогда основанием пирамиды будет вписанный в окружность четырехугольник с тремя известными сторонами и его можно построить, если известен радиус окружности.

Пример 7.  Токарю был дан конус и поручено выточить из него цилиндр так, чтобы сточено было возможно меньше материала. Токарь стал размышлять о форме искомого цилиндра: сделать ли его высоким, хотя и узким (рис.3), или, наоборот, широким, зато низким (рис.4). Он долго не мог решить при какой форме цилиндр получиться наибольшего объема, то есть будет сточено меньше материала. Как он должен поступить?

                          рис.3.                                             

                                                                                                 рис.4.

               Задача требует внимательного геометрического рассмотрения. При ее решении необходимо рассматривать осевое сечение цилиндра, вписанного в конус. Проведя необходимые расчеты, ученик должен прийти к выводу, что для того чтобы было сточено как можно меньше материала, необходимо, чтобы верхнее основание цилиндра отстояло от вершины конуса на 2/3 его высоты.

           Задачи, развивающие  конструктивные навыки  есть не только в геометрии, но и в алгебре. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 8.  Жестянщику заказали изготовить из квадратного куска жести в   60 см. ширины коробку без крышки с квадратным дном и поставили условие, чтобы коробка имела наибольшую вместимость. Жестянщик долго примерял, какой ширины нужно для  этого отогнуть края, но не мог прийти к определенному решению. Не удастся ли вам выручить его из затруднения?

            Обозначив ширину отгибаемых полос через х, тогда ширина квадратного дна коробки будет равна 60-2х (рис.5)

       х                                    Объем коробки выразится произведением 

                60-2х                                    V=(60-2x)²x

                                             Задача свелась к исследованию функции

                                             V(x)=(60-2x)²x , где х € [0, 30] на наибольшее

                                             значение.

          х

                   рис.5.

Выполнив необходимые расчеты, получим х=10см., наибольшее значение объема коробки равно 16000см³.

Пример 9. Найти наименьшую длину стрелы крана, необходимую для монтажа плит перекрытия здания высотою 12,5м , шириною 10м , при условии, что кран может двигаться вдоль фасада здания, параллельно ему (рис.6).

                                                                         h₁                              Н

                                               α

                                                                         h₂

                                                                                           а

рис.6.

 Задача сводится к исследованию функции на наименьшее значение.

Студенты должны получить, что для выполнения указанной работы наименьшая длина стрелы крана при наибольшем ее вылете равна 23,3 м ; стрела должна составлять с горизонтальной плоскостью угол 53⁰16', кран должен отстоять от здания на расстоянии 9 м.

          Достоинство  задач на конструирование в том, что в процессе их решения недостаточное развитие одного вида мышления, например образного, может компенсироваться другим, например практически-действенным, и способствовать развитию образного, а значит, и пространственного мышления. Задачи такого вида показывают применение математики на практике, что влечет за собою повышение интереса к изучению предмета в целом.

Литература.

1.      Гуткин Л.И. Сборник задач по математике с практическим содержанием. М., «Высшая школа», 1968

2.      Математика в школе / журнал: № 2,4,5 1994.