УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ МЕСТНОГО САМОУПРАВЛЕНИЯ «ГОРОД ЛЮДИНОВО И ЛЮДИНОВСКИЙ РАЙОН» КАЛУЖСКОЙ ОБЛАСТИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание.

 

Введение. 3

I. Становление психо-физиологических функций учащихся через решение геометрических задач. 6

1.1. Развитие психики. 6

1.2. Учение как основной вид деятельности учащихся. 7

1.3. Анализ и исследование задач. 8

1.4. Изучение теорем – деятельность по «открытию» закономерности, отраженных в изучаемой теореме. 17

1.5. Психологический анализ типичных ошибок учащихся. 21

II. Практические задания. 24

2.1. Задачи на логическое мышление. 24

2.2. Развитие пространственного мышления. 28

2.3. Пропедевтический курс «Наглядно-практическая геометрия». 34

2.4. Математические сочинения при обучении школьников. 39

Заключение. 42

Список литературы. 44

Приложения. 46

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.                                                        

Если ты в жизни хоть на мгновенье

Истину в сердце своем ощутил,

Если луч правды сквозь мрак и сомненье

Ярким сияньем твой путь озарил:

Чтобы в решеньи своем неизменном

Рок не назначил тебе впереди –

Память об этом мгновеньи священном

Вечно храни, как святыню, в груди.

Тучи сберутся громадой нестройной,

С ясной решимостью, с верой спокойной

Бурю ты встреть и померься с грозой.

С. Ковалевская

 

Родной язык и литература, физкультура, математика – вот три стержня среднего образования. Среди всех предметов математика охватывает самый широкий спектр учебных, образовательных, развивающих и других целей. 

Академик В.И. Арнольд, начиная свою лекцию «Зачем нужна математика?», процитировал слова Роджера Бекона, сказанные более семи сот лет тому назад: «Человек, не знающий математики, не способен ни к каким другим наукам. Более того, он даже не способен оценить уровень своего невежества, а потому не ищет от него лекарства»[1]. Среди различных разделов математики, изучаемых в школе, особое место занимает и играет особую роль – геометрия. Возрастание значимости геометрии на всех ступенях образовательной лестницы, в самых разных областях науки, техники, искусстве – заметная тенденция сегодняшнего времени. Среди всех предметов математического цикла (и не только математического) именно геометрия обладает самым большим развивающим потенциалом. Это в равной мере относится как к одаренным детям, так и к детям с задержкой в интеллектуальном развитии. Занятия геометрией могут помочь способному ребенку максимально ускорить темпы своего интеллектуального развития, они же могут сыграть компенсирующую и реабилитирующую роль при обучении отстающих детей. Идеи гуманизации и гуманитаризации образования  наиболее естественным образом реализуются через геометрию.

Определение основных целей математического образования – очень важная социально-политическая задача. От того, насколько правильно общественность может сформулировать эти цели, во- многом зависит будущее нашего математического образования: будет ли оно развиваться и процветать или же наоборот болеть и деградировать.

Прежде всего, целью математического образования является развитие учащихся, причем развитие самых разных видов.

 

 

Культурное развитие.

Геометрия – это феномен общечеловеческой культуры; человек, не знающий геометрии, не может считаться культурным. Многие теоремы геометрии представляют собой одни из самых древних памятников мировой культуры. Здесь очень важно понимать, что история геометрии по сути является  отражением истории развития человеческой мысли, что она является одной из первонаук, и ее возраст совпадает с возрастом вида homo sapiens. Знание истории развития человеческого общества, необходимое для любого культурного человека, включает в себя и определенные знания по геометрии.

 

Духовное развитие.

Геометрия возникла не только из практических способностей человека, но, и это очень важно, и из духовных потребностей. И здесь ее можно поставить в один ряд с поэзией, музыкой и живописью. Геометрия занимает важное место в ряду культовых наук. Многие религии и религиозные культы мира полагают, что математическое знание имеет высшее, божественное происхождение. Духовно развитый человек должен иметь достаточное математическое образование.

 

 Эстетическое развитие.

Математическое знание теории, методы и факты образуют удивительно цельный, гармоничный и непротиворечивый мир, заполненный удивительными творениями человеческого гения, способствуют эстетическому развитию (воспитанию) человека.

 

Нравственное развитие (воспитание).

В основе математического знания лежит принцип доказательности - один из самых нравственных принципов, созданных мыслящим человечеством.

 

Интеллектуальное развитие.

Математика является одним из основных средств интеллектуального развития человека, которыми располагает человечество. Математика является также важнейшим средством оценивания уровня интеллектуального развития человека. При этом геометрические критерии особо значимы для высоких уровней.

Надо помнить, что не только исторически (для всего человечества), но и генетически (для отдельного человека) геометрическая деятельность является первичным видом интеллектуальной деятельности и заниматься этой деятельностью человеку приходится буквально с момента рождения. Выявленная и доказанная психологами и физиологами функциональная асимметрия головного мозга заставляет нас также несколько иначе взглянуть на значение геометрии в развитии человека. Левое полушарие нашего мозга ведает логическим, алгоритмическим мышлением. Работает левое полушарие лишь во время бодрствования. Когда человек спит, оно выключается. Правое полушарие «отвечает» за чувственную, образную сферы нашего сознания, и оно функционирует постоянно. Наши сновидения – продукт деятельности правого полушария.

Чрезмерные перегрузки левого полушария мозга очень опасны. Особенно в отношении детей с доминирующим правополушарным типом мышления, а таких детей довольно много, возможно, даже подавляющее большинство. В результате – учебные перегрузки, стрессы и как следствие – отставание в своем интеллектуальном развитии.

Отсюда можно сделать вывод (и этот вывод уже подтвержден практикой), что при широкой геометризации школьной математики значительно сокращается число отстающих, лучше усваиваются и негеометрические разделы. Уже сам процесс занятий геометрией имеет большое развивающее значение.

 

Творческое развитие.

Процесс занятий математикой способствует развитию интуиции и воображения (здесь особо следует выделить геометрию), следовательно, способствует творческому развитию, поскольку в основе любого творчества лежит воображение и интуиция.

 

При написании работы использованы результаты исследования ученых П.Я. Гальперина, Д. Пойа, Л.С. Выготского, Д.Б. Эльконина, которые показывают: творческое происхождение присуще фактически всем психическим функциям ребенка. Освоить созданное человечеством он может только усилием собственной мысли и воображения, а это и есть творческий процесс саморазвития, самовоспитания и самосознания.

Исходя из этого, целью данной работы вижу следующее:

-  изучение и систематизация теоретического материала,  раскрывающего сущность развития психических функций учащихся;

-  внедрение в процесс обучения способов осознания учащимися принципа анализа и синтеза при решении геометрических задач;

- показать возможность формирования положительной мотивации учебной деятельности и повышения результативности образовательного процесса путем использования развивающих заданий.

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Становление психо-физиологических функций учащихся через решение геометрических задач.

 

1.1. Развитие психики.                              

Ум человеческий имеет три ключа, все открывающих: знания,  мысль, воображение – все в этом.

В. Гюго

 

Развитие психики – закономерное изменение психических процессов во времени, выраженное в их количественных, качественных и структурных преобразованиях[2].

Отечественная психология придерживается двух факторов развития психики. Один из них – это анатомо-физиологические особенности мозга и второй – социальное окружение: психика развивается как процесс последовательного включения человека в социальную деятельность, т.е. во взаимодействии с другими людьми. Л.С. Выготский обосновал положение о ведущей роли обучения в развитии психики: обучение должно «не плестись в хвосте развития», а идти впереди и вести его за собой в зону ближайшего развития. Развитие психики человека (мышление, воображение, речи, воли, эмоциональной сферы и т.д.) выступает в единстве с развитием его личности. Это значит, что в процессе формирования психики под влиянием обучения идет и процесс воспитания (формирования) личности. В жизни новые потребности опережают овладение средствами их удовлетворения, а овладение ими (обучение) происходит в деятельности, которая и развивает психические возможности, создает новые способности.

«Обучение есть процесс, который происходит между тем, кто учится, и тем, кто учит, а развитие касается только каждого из них в отдельности; учение – деятельность, направленная на приобретение знаний и умений, а развитие означает существенное изменение самого учащегося; это изменение происходит в процессе учения и само влияет на него, но такое «взаимодействие» возможно именно потому, что учение не составляет развития и не совпадает с ним. Обучение и учение, с одной стороны, и психическое развитие, с другой, - вещи разные. Но именно учение в меру научения ведет к развитию. Развитие возможно лишь в том случае, если происходит учение и научение, … оно составляет тот процесс, внутри которого, как в некой форме, осуществляется развитие. И лишь пока человек хоть чему-нибудь учится, он развивается. Вне учения нет развития, учение  (а, следовательно, и обучение) есть форма развития».[3]

1.2. Учение как основной вид деятельности учащихся.

 

Учение из всех видов деятельности - самый распространенный в мире. В отечественной психологии наибольшие достижения в этой области оформились в виде концепции, получившей название деятельностной теории учения (ее разработка началась трудами выдающегося отечественного психолога П. Я. Гальперина).

Важно, чтобы обучение сопровождалось и развитием ребенка: повышением его интеллектуального потенциала, развитием познавательной мотивации и других способностей учащихся.

Крупнейший отечественный психолог А. Н. Леонтьев (1903-1979гг) предложил схему, отражающую основные структурные компоненты, выражающую специфику человеческой активности.

 

Деятельность	-	Мотив
Действие	-	Цель
Операции	-	Условия

Основополагающим понятием в ней является категория деятельности. Деятельность связана с удовлетворением какой-либо потребности человека.

«Действие является минимальной единицей деятельности. От качества выполняемых действий зависит возможность получения ожидаемого результата.

 

Функциональные характеристики действия.

 

Начало освоения действия	Ориентировочная	Исполнительная	Контрольно-коррекционная
Процесс освоения  действия по заданной программе
Утилитарные действия	Понимание	Исполнение	Внимание

 

Функциональная характеристика указывает, какую функцию данное действие выполняет в составе общей деятельности.

Создание условий для успешной деятельности ребенка предполагает применение системы приемов, повышающих мотивацию учащихся, их заинтересованность, что в свою очередь является основой для повышения результативности учебной деятельности.

Определение оптимальной системы приемов невозможно без учета психофизиологических особенностей детей, что зависит от знания не только параметров психической деятельности, таких как память, внимание и мышление, но и от знания доминирующего полушария мозга – ведущего канала приема и переработки информации»[4].

Проследим за своим действием при решении задачи. Термин «задача» понимается в широком смысле: любое задание, вопрос, теорема, уравнение, неравенство… любой учебный текст, подлежащий усвоению, т.е. любое задание, требующее осуществления какого-либо познавательного акта, как предмет исследования с точки зрения процесса вовлечения учащихся в творческую деятельность.

 

1.3. Анализ и исследование задач.

 

В науке нет широкой столбовой дороги, и только тот может достигнуть ее сияющих вершин, кто, не страшась усталости, карабкается по ее каменистым тропам.

К. Маркс.

 

Известно, что в математическом образовании геометрические задачи занимают особое положение. С одной стороны, это «особый вид спорта», занятие, интересное для очень узкого круга любителей, но, с другой стороны, это довольно мощный аппарат для развития качеств ума, необходимых людям, занимающимся умственной деятельностью и, в первую очередь, математикой: при решении геометрических задач приходится осуществлять поиск решения, формулировать гипотезу, проводить доказательные рассуждения, анализировать и исследовать условие задачи.

Всем знакома ситуация, когда на уроках геометрии ученики готовы привести определения каких-либо понятий или формулировки теорем; рады записать формулы для вычисления геометрических величин, но, как правило, вызывает неудовольствие предложение учителя решить конкретную задачу. Большая часть учащихся не любит решать задачи, т.к. ознакомившись с исходными данными, школьники не знают, какими формулами или свойствами и в какой последовательности воспользоваться, чтобы ответить на поставленный вопрос.

Очевидно, что чем позднее мы, учителя, знакомим с «технологией» решения задач, тем меньше остается надежды на успех учеников.

Давайте проведем аналогию с легкой атлетикой. Способный, даровитый от природы молодой человек неплохо бегает. Если он занимается только физкультурой, то для пробежек в парке этого достаточно, и со временем  он будет бегать быстрее и дальше, чем в начале. И так хоть всю жизнь. Но если он покажет действительно хорошие результаты на любительском уровне и решит помериться силами с лучшими спортсменами, то его неминуемо ждут изнурительные специализированные тренировки, подробное изучение организма специалистами по спортивной медицине, планомерное подведение спортивной формы к крупнейшим соревнованиям, масса ограничений в личной жизни и так далее. То есть он будет вынужден гораздо лучше изучить себя, свое тело и психику, чтобы выжать из них все возможное и невозможное. В творческих задачах – то же самое. Пока человек «щелкает» кроссворды и головоломки, выполняет несложные рутинные упражнения и задачи по математике, ему не обязательно знать, как именно  он решает. Он повторяет за учителем, овладевает некоторыми приемами и алгоритмами, учится иногда довольно сложным комбинациям этих приемов. Он развивается. Но наступает время сложных творческих задач, для решения которых понадобятся огромная концентрация усилий и самоотдача, и необходимо будет выжать из своего мозга все возможное – а для этого нужно научиться управлять собственными мыслительными процессами, особенно когда кажется, что задача неразрешима и мы в тупике.

Именно в момент, когда опускаются руки и хочется бросить, можно с помощью таблицы (таблица «Как решать задачу» по Дьердю Пойа) зацепиться за тот крохотный плацдарм, где с боями продвинуться еще немного вперед, и возможно, именно за этой победой наступит озарение или совершится еще один шаг к победе, и оно подскажет идею решения задач.

Настоящая творческая задача – это наличие цели и незнание, как ее достичь. При этом имеется некоторый набор первичных инструментов – хотя он может оказаться недостаточным, и его нужно будет пополнять.

При изучении методов решения именно таких задач, по словам Дердю Пойа, «перед нами вырисовывается второе лицо математики».  Да, у математики два лица: это и строгая наука доказательств Евклида, и одновременно нечто другое. Математика, излагаемая в стиле Евклида, представляется нам систематической, дедуктивной наукой. Но математика в процессе создания является экспериментальной, индуктивной наукой.

Оба аспекта математики столь же стары, как сама математическая наука. Однако второй аспект в одном отношении является новым. Математика «in statu nascendi» - в процессе рождения… Все вопросы таблицы направлены на одно и то же: вызывать определенные мыслительные процессы. Творческий процесс (практически в любой области человеческой деятельности) может быть условно разделен на четыре стадии. Деление это условно, так как в реальной жизни эти стадии перемешиваются и пересекаются; человек может перескочить через некоторые из них или пренебречь чем-нибудь.

 

 

Как решать задачу (по Дьердю Пойа)[5]

IV. Нужно изучить найденное решение.

Взгляд назад (изучение полученного решения).

-          Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения?

-          Нельзя ли получить тот же результат иначе? Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда?

-          Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения?

 

 

III. Нужно осуществить план решения.

Осуществление плана.

-          Осуществляя план решения, контролируйте каждый свой шаг. Ясно ли вам, что предпринятый вами шаг правилен?

-          Сумеете ли доказать, что он правилен?

 

 

 

II. Нужно найти связь между данными и неизвестным. Если не удается сразу обнаружить эту связь, возможно, полезно  будет рассмотреть вспомогательные задачи. В конечном счете необходимо прийти к плану решения.

Поиск идеи и план решения.

-          Не встречалась ли вам раньше эта задача? Хотя бы в несколько другой форме?

-          Известно ли вам какая-нибудь родственная задача? Не знаете ли теоремы, которая могла бы оказаться полезной?

-          Вот задача, родственная с данной и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею? Нельзя ли применить ее результат? Нельзя ли использовать метод ее решения? Не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей?

-          Нельзя ли иначе сформулировать задачу? Еще иначе? Вернитесь к определениям.

-          Если не удается решить данную задачу, попытайтесь сначала решить сходную. Нельзя ли придумать более доступную сходную задачу? Более общую? Более частную? Аналогичную задачу? Нельзя ли решить часть задачи? Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть; на сколько определенным окажется тогда известное. Как оно сможет меняться?

-          Нельзя ли извлечь что либо полезное из данных? Нельзя ли придумать другие данные, из которых можно было бы определить неизвестное? Нельзя ли изменить неизвестное или данные, или, если необходимо, и  то и другое так, чтобы новое неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу?

-          Все ли данные вами использованы? Все ли условия? Приняты ли вами во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?

 

 

 

I. Нужно ясно понять задачу.

Понимание постановки задачи.

-          Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условия?

-          Возможно ли удовлетворить условию?

-          Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво?

-          Сделайте чертеж. Введите подходящие обозначения.

-          Разделите условие на части. Постарайтесь записать их.

Первая стадия: Понимание постановки задачи.

Вопросы, которые нужно задавать себе, кажутся крайне простыми и соответствующими здравому смыслу:

Что неизвестно?

Что дано?

В чем состоит условие задачи?

Возможно ли удовлетворить условию?

Достаточно ли условие для определения неизвестного?

Или недостаточно?

Или чрезмерно?

Или противоречиво?

Вопросы-то простые, но на этой стадии совершается огромное количество ошибок. И в жизни также: журналист убегает на задание писать статью, так и не поняв, чего же от него хочет редактор; художник – рекламщик начинает рисовать плакат, до конца не уяснив, что требуется заказчику… Как бы все эти люди ни старались, шансов отыскать правильное решение у них не много. Глупо отвечать на вопрос, который вы не поняли. Невесело работать для цели, к которой вы не стремитесь.

 

Рассмотрим это на примере решения следующей задачи.

Задача.

В основании пирамиды лежит правильный треугольник, стороны которого равны а. Два боковых ребра пирамиды составляют с плоскостью основания углы, равные α, а грань, заключенная между ними, наклонена к основанию под углом β. Найти объем пирамиды.

1. Данная задача является геометрической задачей на вычисление с параметрами (буквенными данными). Поэтому в первую очередь надо установить возможные области изменения параметров. Очевидно, что а – длина стороны основания пирамиды – может быть любым положительным числом, т.е.                     

а>0.

 

2. Углы α, как углы наклона боковых ребер к основанию, т.е. углы между этими ребрами и их проекциями на основание, могут быть лишь острыми:

 

0º<α<90º.

 

3. Что касается угла β – двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания,  то этот угол может меняться в пределах от 0º до 180º: 

 

0º<β<180º.

 

 

 

4. Построим заданную в задаче пирамиду. Но очевидно, что чертеж этой пирамиды существенно зависит от того, как наклонена указанная боковая грань к плоскости основания, т.е. каково значение параметра β. Возможно три случая:

а) 0º<β<90º;

б) β=90º;

в) 90º<β<180º.

 

 

 

 

Для того, чтобы построить углы наклона ребер АМ и ВМ к плоскости основания, опускаем из вершины М перпендикуляр МО на плоскость основания. Тогда, очевидно, АО и ВО будут проекциями ребер АМ и ВМ и, следовательно, углы МАО и МВО будут указанными углами. Для того, чтобы построить линейный угол двугранного угла, образованного гранью АМВ с плоскостью основания, проводим ОD перпендикулярно АВ. Тогда по известной теореме о трех перпендикулярах DМ перпендикулярно АВ. Так как треугольники ОАМ и ОВМ равны, то АМ равно ВМ. Отсюда следует, что высота МD проходит через середину АВ. Учитывая, что треугольник АВС правильный, получаем, что продолжение ОD должно проходить через вершину С. Тогда угол СDМ и есть линейный угол указанного двугранного угла. Исходя из всего этого, условие задачи можно записать так:

Дана: АВ =ВС = СА = а;

           МО   АВС;

           ОD    АВ;

    ОАМ =    ОВМ = α;

    СDМ = β.

Найти:  V_{пирамиды}

 

Вторая стадия.  Поиск идеи и составление плана решения.

Это самая сложная стадия; именно по ней и можно судить о творческих, созидательных способностях. В начале человек должен активизировать свои знания в этой области.

Не встречалась ли вам раньше эта задача?

Известно ли вам какая-нибудь родственная задача?

Не знаете ли теоремы, которая могла бы оказаться полезной?

Если не удается вспомнить совсем близкую ранее решенную задачу, то может быть, стоит попробовать видоизменить задачу, ввести дополнительные элементы чтобы она стала похожа на известные.

Все остальные вопросы также направлены на то, чтобы выйти из тупика и с разных сторон пытаться двигаться к цели, меняя неизвестное, данные, проверяя, все ли, что известно, было использовано для поиска идеи решения задачи.

Все глубже проникая в суть задачи, осознавая все больше связей, задавая раз за разом себе одни и те же вопросы, мы все ближе продвигаемся к озарению, т.е. мыслительному скачку, догадке, последней переправе через препятствие. Никто не знает, в какой именно момент возникает озарение, как никто не сможет точно предсказать, куда ударит молния. Мы даже приблизительно не знаем, как в подобных случаях работает человеческий мозг, но, всячески изучая и видоизменяя задачу, решая более простые задачи, задачи аналогичные, мы как бы создаем грозовое облако, из которого в случае везения и грянет молния.

Все наши действия на второй стадии сродни нагнетанию зарядов в грозу. Это помощь именно мыслительным процессам: мы методично загружаем подкорку, даем ей пищу, чтобы нашему подсознанию было что перерабатывать днем и ночью. Как говорил Самуил Маршак: «Нужно честно раскладывать свой очаг, а огонь все равно упадет с неба». Небесный огонь часто падает на очаг тех, кто настойчиво, самоотверженно, изобретательно пытается решить поставленную задачу.

 

Задача.

В произвольном выпуклом пятиугольнике вершины и стороны пронумерованы в порядке обхода по часовой стрелке. Середины первой и третьей сторон, а также второй и четвертой соединены отрезками. Затем середины этих двух отрезков соединены так же отрезком. Найти длину последнего отрезка, если длина пятой стороны равна а.

Дано: А₁В₁ = В₁ А₂;

А₂В₂ = В₂ А₃;

А₂В₃ = В₃А₄;

А₄В₄ = В₄ А₅;

В₁М = МВ₃;

В₂N = NВ₄;

А₁А₅ = а.

 

Прочтя задачу, построив ее схематическую запись, видим, что задача явно незнакомого вида. К каким знакомым задачам можно ее свести?

Читая еще раз условие, обращаем внимание на то, что в ней речь идет о серединах сторон. Где мы раньше встречались с серединами сторон? В задачах на среднюю линию треугольника, среднюю линию трапеции. Возможно, что решали и задачу, где речь идет о фигуре, полученной путем последовательного соединения середин сторон произвольного четырехугольника. А нам дан произвольный пятиугольник. Как быть?

Естественно, возникает идея отсечь от пятиугольника четырехугольник. Только надо удачно это сделать, удобнее для этого соединить вершина А и А₄. В полученном четырехугольнике  А₁А₂ А₃ А₄ Середины первых трех сторон отмечены точками В₁В₂В₃. Отметим середину и четвертой стороны А₁А₄ – точку С. Если последовательно соединить эти середины сторон четырехугольника А₁А₂ А₃ А₄  (точки  В_1,В_2,В_3,С), то получитья параллелограмм В₁В₂В₃С.

Если раньше задачу (о последовательном соединение середин сторон произвольного четырехугольника) не решали, то легко сейчас доказать, что полученная фигура есть параллелограмм.  Для этого проведем (мысленно) диагональ А₂ А₄ , она разбивает четырехугольник на два треугольника.  В₂В₃ есть средняя линия треугольника А₂ А₃ А_{4 ,} и поэтому она параллельна диагонали А₂ А₄   и равна ее половине. Аналогично, В₁С – средняя линия треугольника А₁А₂ А_{4  ,}  и поэтому В₁С параллельна той же диагонали  и равна ее половине. Следовательно, противоположные стороны В₂В₃ и В₁С рассматриваемого четырехугольника параллельны и равны. Поэтому четырехугольник В₁В₂В₃С есть параллелограмм.

В этом параллелограмме  В₁В₃  и В₂С являются диагоналями, а они в точке пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что точка М (середина диагоналей В₁В₃) должна совпадать с точкой пересечения диагоналей параллелограмма, а поэтому М есть и середина диагонали В₂С. А точка N есть середина В₂В₄. Тогда если мы соединим точку С с В₄, то МN будет средней линией в треугольнике СВ₂В₄.

 

Третья стадия.  Осуществление плана.

Именно третья стадия отражает строгое лицо «точных наук». Здесь гипотеза, догадка подвергается самой суровой проверке (которой часто не выдерживает). На этой стадии необходимо контролировать каждый свой шаг, понимать, что предпринятый шаг верный, уметь доказать, что он правильный. Именно на этой стадии «математическая строгость санкционирует и узаконивает завоевания интуиции», как утверждал Жак Адамор. Без доказательства не может быть математики, не может быть науки, но в общем творческом процессе доказательство играет подчиненную роль контролера, выполняет функцию шнура, на котором держится воздушный змей.

                      

 

Задача.

В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из общей вершины а, b, с, ребра а и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол  α. Определите объем параллелепипеда.

 

Дано: АВСDА₁В₁С₁D₁  - параллелепипед;

АВ = а;

АD = b;

АА₁ = с;

АВ     АD;

    А₁ АВ = А₁ АD = α.

 

 

Найти: V.

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение: V = Sh (1), где S – площадь основания параллелепипеда, h – его высота.

1) АВСD – основание, АВ   АD (по условию), S_АВСD  = АВ х АD= аb.

2) Удобнее провести высоту к АВСD из вершины А₁ .  А₁ О   АВСD. Тогда А₁ О = h.

Как же найти h? Что мы имеем? Искомый отрезок А₁ О и известные отрезки АВ, АD и А А₁ . Они как-то связаны, но как?

В первую очередь нужно установить положение точки О – основания высоты. Где она может находиться? Может ли она находиться на ребре АВ или ребре АD? Очевидно, нет, ибо ребро АА₁  одинаково наклонено к этим ребрам. Если считать этот угол острым, то т.О должна находиться где-то внутри прямоугольника АВСD.

Чтобы связать искомую высоту с данными отрезками и определить положение т.О, опустим из нее перпендикуляры на ребра АВ и АD. Пусть ОМ   АВ и ОN   АD. Тогда получается четырехугольник АМОN, в котором три угла при вершинах А, М, N прямые, следовательно, он является прямоугольником.

Оглядываясь на задачу, замечаем, что до сих пор не использовали данные о величине углов А₁ АВ и А₁ АD. Чтобы связать их с искомой высотой, соединим точки М и N с вершиной А_1, тем самым получаем треугольники АМ А₁  и АN А₁  в которые входят эти углы. Что это за треугольники? ОМ и ОN можно рассматривать как проекции соответственно А₁ М и А₁ N на плоскость основания. Эти проекции по построению перпендикулярны соответственно  прямым АВ и АD. Тогда по теореме о трех перпендикулярах сами наклонные также перпендикулярны к этим прямым, т.е. А₁ М    АВ и А₁ N     АD. Значит, треугольники АМ А₁  и АN А₁  прямоугольные, в которых нам известны общая гипотенуза А А₁  = с и острые углы А₁ АМ и А₁ АN, равные α.

Во-первых, ясно, что эти треугольники равные и поэтому              АМ = АN (2).

Во-вторых,  можно найти АМ = А А₁  cos α = c cos α (3)

АМОN -  прямоугольник (по доказанному), сопоставляя это с (2), устанавливаем, что он является квадратом. Найдем диагональ квадрата АО: АО = АМх  2 = с х  2 cos α (4).

Рассмотрим прямоугольный треугольник АО А₁ : гипотенуза А А₁ = с, АО = с 2 cos α. Поэтому можно найти и второй катет – искомую высоту: А₁ О² = А А₁² - АО² = с² - 2 с² cos²α = c² (1- 2 cos²α) (5).

А₁ О² = -с² cos 2α

А₁ О = с    - cos 2α, или h = c   - cos 2α.

Подставим h  в формулу (1):  V = аbс    - cos 2α

В данном случае нужно произвести исследование задачи.

1.    Мы предполагали, что заданный угол α острый. Если бы он был тупой, то это означало бы, что заданные три ребра параллелепипеда выходили бы не из вершины А, а из вершины С. Тогда основание О высоты параллелепипеда находилось бы вне основания АВСD. Тогда, вместо  (3) получили бы: СМ = СС₁  cos (180° - α) = - c  cos α. (3׳). Формула (4) приняла бы вид: СО = -с  2cosα (4׳). Но уже формула (5) имела бы тот же самый вид, что и при α< 90°, и окончательный ответ был точно таким же, какой мы получили.

2.    Наличие в ответе знака «-» под квадратным корнем заставляет подумать о том, в каких пределах может изменяться угол α. Чтобы это установить, вспомним свойства плоских углов трехгранного угла. Величина каждого плоского угла трехгранного угла меньше суммы величин двух других его плоских углов. Рассматривая трехгранный угол при вершине А и зная, что два его плоских угла имеют величину α, а третий прямой, получаем, что 90°<2α, отсюда α>45°. Сумма всех плоских углов трехгранного угла меньше 360°. Значит, 2α + 90° < 360°, отсюда α<135°. Итак,  45°<α<135°.

3.    Легко проверить, что при изменении α в этих пределах cos 2α всегда отрицательный, а поэтому  - cos 2α > 0. Следовательно, полученный ответ всегда имеет смысл.

 

Четвертая стадия.  Взгляд назад (изучение полученного решения)

Решение новой задачи, во многом опирается на решения предыдущих задач: они служат ступеньками друг для друга. Но память не очень прочна. Чтобы ей помочь, необходимо бросить взгляд назад и внимательно, шаг за шагом, проследить, как решалась задача, где и почему возникли основные трудности, можно ли было их обойти, какие приемы решения подобных задач наиболее эффективны, почему все-таки удалось ее решить. Даже если не решили задачу, но упорно пытались это сделать, она все равно станет ступенькой, мостиком для решения других задач: «пропустить» ее через себя.  А главное – попробовать обобщить и распространить решение на другие задачи. (Приложение 1).

Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения? Все это кажется неубедительным, но можно вспомнить сколько великих людей вели дневники и записные книжки. Это и есть ежедневный обзор и придирчивая оценка решаемых жизненных задач! Может быть, эти люди и стали великими именно потому, что тщательно исследовали и анализировали свои действия. Не зря Рене  Декарт писал: «Каждая решенная мною задача становилась образцом, который служил впоследствии для решения других задач».

 

1.4. Изучение теорем – деятельность по «открытию» закономерности, отраженных в изучаемой теореме.

 

Ключевыми в процессе усвоения основных дидактических единиц на соответствующих этапах обучения являются «восприятие, осознание, осмысление», согласно этому необходимо организовать учебно-познавательную деятельность школьника адекватно тому, как шел процесс познания в математике. Развитие личности обучаемого должно быть не сопутствующим придатком обучения, а его приоритетной целью. При изучении теорем школьники должны включаться в деятельность по «открытию», закономерности, отраженных в изучаемой теореме, выдвижению гипотез, в поиск доказательства их истинности или опровержения; осознавать способы, методы и приемы с помощью которых реализуется эта деятельность.  К числу эвристических методов науки, прежде всего, относятся наблюдение и сравнение, эксперимент и обобщение, неполная индукция, аналогия и интуиция. Все эти методы позволяют выдвигать гипотезы, которые требуют установления их истинности или ложности[6].

Проиллюстрируем сказанное на примере темы «Теоремы о свойстве отрезков пересекающихся хорд окружности» (Геометрия. Учебник  для 7-9 классов средней школы.  /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990). 

 

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

 

Пусть АВ и СD – хорды данной окружности, которые пересекаются в т. Е: АВ ∩ СD = Е.

 

                                                                   С               Рисунок 1.

 

                                 А                   Е             В

 

 

                                                 D       

Доказать, что АЕ х ВЕ = СЕ х DЕ (1)

Требования теоремы в таком виде не раскрывают подходов к ее доказательству,   хотя    это    требование   можно  понимать  и  так:             АЕ/DЕ = СЕ/ВЕ (2)

Чтобы обнаружить,  «увидеть» стратегию поиска доказательства, нужно переформулировать условие. Равенство (1) есть следствие     пропорции (2). Элементами пропорции являются отрезки АЕ, СЕ, DЕ и ВЕ, причем левая часть (2) – это элементы треугольника АDЕ, правая – треугольника СЕВ (рисунок 2), а чтобы получить эти треугольники, необходимо ввести дополнительные отрезки в стратегию поиска решения задачи: соединить А и D, В и С, т.е. провести отрезки.

Рисунок 2.

 

 

 

                                                                  С

                                                                                 

 

                                 А                   Е             В

 

 

                                                 D        

 

В полученных треугольниках АDЕ и СЕВ данные отрезки хорд окружности будут сторонами треугольников, однако для получения соотношения (2) необходимо  «увидеть» подобие треугольников. Таким образом, возможно следующее формулирование требования указанной теоремы:  доказать подобие  треугольников АDЕ и СЕВ.

 

 

Такое формулирование требования определяет подход к доказательству теоремы. В частности, выявляется необходимость умений:

1)                     выполнять дополнительные построения;

2)                     подводить получившиеся объекты (треугольники) под понятие «подобные треугольники»;

3)                     делать выводы из факта принадлежности объектов (треугольников) объему понятия «подобные треугольники»;

4)                     записывать основное свойство пропорции.

При рассмотрении этого доказательства у учащихся возникают следующие вопросы. Как догадаться, что нужно соединить точки  А и D, а также В и С отрезками? Почему надо рассматривать треугольники АDЕ и СЕВ? Соединяя попарно данные точки окружности, можно получить и другие треугольник: ВЕD и АЕС. Полученные пары треугольников будут подобными, если установить равенство двух углов в этих треугольниках: два треугольника подобны, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника. В данном случае равенство углов следует из условий:

-  углы АЕD и СЕВ равны как вертикальные;

-  углы DАВ и DСВ равны как вписанные в одну и ту же окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу DВ.

Заметим, что при подведении объекта под понятие «подобные треугольники», мы пользуемся подведением не объектов под определенные понятия, а некоторого условия, которое еще надо получить, под условие одного из признаков подобия треугольников. Для обоснования стратегии доказательства данной теоремы мы выполнили дополнительные построения (ДП), соединив точки А и D, С и В, которые позволили установить взаимосвязи между данными и искомыми элементами задачи. Рассмотрение объектов, полученных в результате ДП, способствует отысканию пути доказательства утверждения, для чего следует проанализировать текст утверждения, выделить условие и заключение.  Итак, в процессе обучения математическим доказательствам необходимо решить с учащимися следующие учебные задачи:

1)    научить анализировать математический текст;

2)    научить подводить данные и полученные в процессе доказательства утверждения (производные условия) под определения понятий или под уже доказанные предложения и только после этого выводить следствия (т.е. делать соответствующие выводы);

3)    осуществить «видение» через ДП с целью получения вспомогательных объектов, обоснования  стратегии поиска (решения задачи) доказательства теоремы.

Далее рассмотрим, как учащиеся могут рассуждать, чтобы придти к самостоятельному получению новых фактов, как можно предложить учащимся сформулировать другие возможные требования, исходя из условий этой же теоремы, с учетом различных поисков стратегии доказательств этой теоремы.

Возможен рисунок (рисунок 3) согласно данному условию: одна из искомых хорд АВ или СD – диаметр искомой окружности.

                                                                  Рисунок 3.

                                                 С

 

 

                     А                О    Е        В

 

                                         D

                                             

Если при выявлении стратегии поиска доказательства искомой теоремы проведем диаметр МN окружности через Е – точку пересечения хорд (рисунок 4), то еще получим и отрезки МN, МЕ, ЕО, ЕN, ОN и О М, дополнительные к отрезкам в соотношении (1): АЕ, ЕВ, DЕ и ЕС.

                                                                               Рисунок 4.

                                        М                        С

 

                                                       О

                                  А                      Е         В

 

                                                                   N

                                                     

                                                    D

Исходя из такого условия, выявляется необходимость в решении с учащимися следующих учебных задач:

1)    сформулировать задачи согласно рисунку 4;

2)    соединить А и D, С и В и доказать равенство углов: угол ВАD равен углу ВСD, угол АDС равен углу АВС, угол АЕС равен углу ВЕD;

3)    доказать подобие полученных треугольников АЕD, ВСЕ;

4)    ответить на вопрос, какие следствия можно вывести из соотношения  АЕ/СЕ = DЕ/ВЕ;

5)    применить свойство пропорций: АЕ*ВЕ=СЕ*DЕ;

6)    сформулировать полученное требование (формулируется теорема так, как она приведена в учебнике): если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

На этом изучение рассматриваемой ситуации не заканчивается.

К «открытию» новых фактов в математике можно прийти дедуктивно, логическим путем, прогнозируя результат на основе аналогии, рассматривая частные или все возможные случаи какого-либо явления. Приведенный фрагмент стратегии поиска доказательства теоремы способствовал развитию учащихся во всех его аспектах: получать новые теоремы, раскрывать методологию математики (законы и приемы познания математических закономерностей), развивая интеллектуальные качества ума (гибкость, критичность мышления, речевого суждения и другие). Учащиеся при организации такой учебной деятельности работают с интересом, так как каждый имеет право на свое видение решения проблемы.

Главное – избавить ученика от страха перед необходимостью выдвигать свои утверждения, формулировать и обосновывать решения.

 

1.5. Психологический анализ типичных ошибок учащихся.

 

При анализе ошибок из-за непонимания теории надо учитывать, что речь идет не о банальном незнании фактов (чему равняется синус угла в 30°), а о незнании теории, неумении объяснить  что-то с точки зрения изученных теоретических положений, неготовность правильно ответить на вопросы: «почему?», «чем это обусловлено?», «как доказать?», «что из этого следует?», «от чего это зависит?»  и т.п., не  на вопросы: «что?», «кто?», «где?», «сколько?» и т.д., требующие воспроизведения по памяти ранее заученных фактов, количественной характеристики объектов (расстояний, площадей, объемов, высот, глубин и т.п.)[7]. Можно спросить ученика, сколько километров от Земли до Луны или от Варшавы до Москвы, и получить ответы: «Не знаю» или «Не помню». И это будет нормально, как сказал один остряк: «ответ правильный, вопрос неправильный». Чтобы быть правильным, вопрос должен навести ученика на размышление – анализ сути вопроса или условия задачи.

Когда говорим об ошибках из-за непонимания, то имеем в виду наличие или отсутствие теоретических знаний, а при наличии таковых речь пойдет о глубине таких знаний, об их гибкости и степени готовности учащегося к творческому воплощению этих знаний в практику, об умении и готовности его к практическому использованию их в реальной деятельности.

Как это выглядит в обстановке школьного обучения? Несколько примеров.

Пример 1.

Покажем чертеж прямоугольного треугольника, прямой угол которого изображен при вершине, а не у основания, как учащиеся привыкли видеть в учебниках.

Оказалось, что отдельные ученики (7-го класса) не узнают в чертеже прямоугольный треугольник, хотя на чертеже указано, что угол при вершине равен 90°, а остальные два угла равны соответственно 60° и 30°. Они заходят в тупик: вроде бы не похож треугольник на прямоугольный, а в то же время есть у него угол в 90°. Причина затруднения – расхождение в их сознании понятийной и образной характеристик объекта, т.е. хотя и наличествует прямой угол, но на чертеже дано «не то». Недоумение и ошибочный ответ вызваны тем, что определение понятия и наглядный образ объекта (по чертежу в учебнике) запомнились, т.е. все заучено, но осталось неусвоенным научное содержание геометрического понятия «прямоугольный треугольник», у которого один существенный (необходимый и достаточный) признак – наличие прямого угла, а где он может находиться на чертеже, значение не имеет.

Такие же затруднения вызывают непривычные изображения любых других геометрических  фигур. Как устранить такое распространенное явление, как плохое усвоение, приводящее к ошибкам при выполнении учебных действий?

Надо приучить учащихся к самым различным  наглядным изображениям объекта изучения, при которых не искажалось бы сущность научного понятия. Когда ученики прорешают достаточно много нешаблонных задач, они привыкнут анализировать их с точки зрения теории и не окажутся  в тупиковой для себя ситуации. Тогда они, встретив непривычное изображение или незнакомое название предмета, не будут в растерянности, а сразу начнут сравнивать его признаки с признаками изучаемого в данный момент научного понятия.

 

Пример 2.

Правильно ответив на вопрос, под каким углом пересекаются диагонали ромба, ученик не может уверенно ответить на простой вопрос, связанный с первым: «Диагонали четырехугольника пересекаются взаимно перпендикулярно. Может ли данная фигура быть ромбом?» Он или отказывается отвечать, или отвечает неверно. Некоторые вообще не видят разницы в содержании вопросов, считают, что это один и тот же вопрос. Причина затруднения и ошибок – в недостаточном развитии мышления, в частности, в неумении логически мыслить и выводить новое знание из ранее известного, а также формально заученное знание данного конкретного вопроса – о пересекающихся диагоналях ромба. Как преодолеть подобные ошибки? Можно продолжать постановку нестандартных вопросов, требующих мышления. Так, например, этот же вопрос можно повернуть и по-другому: если на него ученик ответил утвердительно, т.е. правильно, то следует вопрос: «А может быть, это квадрат, а не ромб, так как у него ведь тоже диагонали пересекаются под прямым углом?» Усвоивший теорию ученик отвечает уверенно, что «квадрат – это тоже ромб, но не только с равными сторонами, но и с прямыми углами».

Попытка возразить ему, сравнивая определения понятий «ромб» и «квадрат», не произвела на него впечатления: он продолжал настаивать, утверждая: «Определение квадрата не противоречит определению ромба».

«Ведь у ромба нет такого признака, как прямые углы?», на что у ученика немедленно находится ответ: «Ну и что? В определении квадрата зато есть все признаки ромба: равные стороны и взаимно перпендикулярные диагонали». Разгоревшаяся дискуссия вызывает  интерес у всех учеников в классе, но прозвенит звонок. Дискуссионная проблема не разрешена. «В следующий раз вернемся к этому вопросу»- обещает учитель. Можно быть уверенным, что ученики будут обязательно думать и спорить и непременно придут к каким-то своим выводам, правильным или не совсем. На очередном уроке можно поставить все точки над i, рассудить, кто прав или не прав, и объяснит, почему. И объяснение «ляжет» на уже подготовленную психологическую почву – созревшую психологическую готовность учеников узнать истину – ответ на спорный вопрос.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Практические задания.

2.1. Задачи на логическое мышление.

 

Данные задачи предназначены для проверки у учащихся умения логически мыслить, используя теоретические и эмпирические знания, а также для формирования такого умения в процессе приобретения ими новых знаний. Они выполняют более широкую функцию – изменяют самого субъекта учебной деятельности, учащегося, формируя у него новые способы действий, развивая самостоятельность мышления, творческое отношение к нестандартным, неординарным, неожиданным задачам, которые могут встретиться в практической жизни[8].

А. Задачи на логическое мышление в эмпирических понятиях.

Б. Логические задачи в абстрактных понятиях (некоторые задачи могут оказаться нерешаемыми, что и должны обнаружить сами учащиеся и доказать, что они не могут быть решены, так как нелогичны.

В. Задачи на логическое мышление в теоретических понятиях учебных предметов.

1)   Даны два угла с общей вершиной. Один из них равен 100°, другой – 80°. Будут ли эти углы смежные?

2)   Даны две пересекающиеся прямые. Будут ли они неперпендикулярными?

3)   Может ли быть угол, равный 359°? А 360°?

4)   Известно, что линия является отрезком. Можно ли сказать: «Всякий отрезок является линией» или «Всякая линия является отрезком»? Если нельзя, то почему?

5)   Будет ли фигура АОВ углом?

                                         А    

 

 

 

      О                                  В

 

2.     Задание на сообразительность:

-         Как построить из шести спичек четыре разносторонних треугольника?

3.     Задание с избыточными данными.

-         Дан равнобедренный треугольник, одна сторона которого равна 2 см, вторая 10 см, а третья равно одной из двух данных. Найти третью сторону.

 

I. Задачи, позволяющие установить сформированность логического мышления.

(Установить, какие отсутствуют данные, вследствие чего точный ответ на вопрос задачи невозможен)

-                    Вычислить сторону квадрата площадью 64м² и сторону прямоугольника площадью 36см² (Нет данных хотя бы об одной из сторон прямоугольника).

-                    Через вершину угла вне его проведена прямая, образующая с одной из его сторон угол, равный d/3. Определить величину угла, образованного прямой с другой стороной данного угла (Неизвестна величина основного угла).

II. Задачи, позволяющие выявить умение учеников воспринимать формальную структуру, комплекс взаимосвязанных величин, составляющих ее сущность, т.е. сформированность теоретического мышления. (В задачах отсутствует вопрос. Сформируйте его).

-                    На протяжении 155 км уложено 25 труб длиной по 5м и 8м.

 

Метод конструирования логических задач.

 

Педагогическая практика показывает, что у основной массы учащихся здравый смысл опережает математическую подготовку. Это обусловливает высокий интерес школьников к решению логических задач. От обычных задач они отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача – это особая информация, которую не только нужно обрабатывать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Установлено, что дети,  часто решающие логические задачи заметно улучшают свои способности к мышлению: они легче сверстников справляются с учебными задачами, увереннее действуют в нестандартных ситуациях, глубже понимают программный материал.  Эти задачи можно использовать для тренировки логического мышления детей, оценки их умственного развития и организации разнообразных развлечений, в частности, соревнований по решению и придумыванию задач.

Необходимо отметить, что решение и составление логических задач способствуют развитию мышления гораздо в большей степени, чем решение тривиальных задач, которые в основном развивают память учащихся. В результате различных попыток составления и решения логических задач можно остановиться на следующем алгоритме:

1.                      Определение содержания текста (выбор объектов или субъектов).

2.                      Составление полной информации о происшедшем событии.

3.                      Формирование задачи с помощью исключения части информации или ее искажения.

4.                      Произвольное формулирование задачи. В случае необходимости (недостаток информации, искажение ее и т.д.) вводится дополнительное логическое условие.

5.                      Проверка возможности решения с помощью рассуждений. Получение единственного непротиворечивого ответа означает, что условие составлено верно. Если нет, то необходимо обратиться к дополнительному п.6.

6.                      В составленном условии не хватает информации, либо имеющаяся информация противоречиво искажена. Изменяем или дополняем условие задачи, после чего необходимо обратиться к п.5.

Воспользуемся этим алгоритмом для составления задачи.

1.                      Субъекты: Андрей, Ольга, Денис.

2.                      Исходная информация: на математической олимпиаде лучшим стал Андрей, второй – Ольга, третьим – Денис.

3.                      Ничего не говорим об Андрее.

4.                      Записываем условие задачи: «В математической олимпиаде от нашего 7б класса участвовали Андрей, Ольга и Денис. Каждый из них занял одно из первых трех мест. Денис не был ни первым, ни вторым. Ольга не стала победительницей. Какое место занял каждый учащийся?»

5.                      Система последовательных рассуждений.

Опыт использования алгоритма подобного рода показывает, что составление логических задач расширяет воспитательные возможности учителя, т.к. существенно сближает математику с гуманитарными предметами.  Ребенок включается в составление задач, опираясь на свое воображение и личный жизненный опыт. Дети часто наполняют задачи психологическим подтекстом и пережитыми жизненными ситуациями. Некоторые задачи могут стать поводом для бесед. Применять приведенный алгоритм можно начиная со 2-3  классов. Однако особенно продуктивно его использование с учениками 6-8 классов, т.к. в этом возрасте у них пробуждается интерес к познавательной деятельности.

 

Тестовые задания.

 

Главные достоинства тестовой проверки в скорости, а традиционной проверки посредством дидактических материалов – в ее основательности. 

Типовые тесты по геометрии, предназначенные для оценки уровня знаний и умений школьника, в конечном счете диагностируют те или иные его качества. Остановимся на таком интегральном качестве ученика, как «готовность к продолжению геометрического образования».

Проверка «готовности» - не только и  даже не столько проверка фактического владения знаниями. Можно выделить некоторые довольно бесспорные ее проявления:

а) умение аргументировать или опровергнуть имеющееся высказывание;

б) умение проанализировать условия задачи на полноту и на непротиворечие;

в) умение установить наличие или отсутствие связей между данными высказываниями;

г) владение понятиями в общей форме;

д) грамотная геометрическая интерпретация аналитических зависимостей.

В конечном счете, не так важно, помнит ли школьник ту или иную формулу, как его готовность к продолжению геометрического образования.

Каждое задание тестов является одним из следующих математических предложений: теоремы, аксиомы, определение, свойство или же элементарной задачей. В заголовках тестов они обозначены  одним словом «высказывание». Под высказыванием понимается предложение, относительно которого можно определенно сказать, истинна или ложна мысль, выраженная в нем.

Один из видов тестов представляет собой заполнение пропусков (многоточий) таким образом, чтобы получилось истинное высказывание. Учащиеся ограничиваются тем, что вместо многоточий они указывают одно-два слова, которые считают необходимо недостающими.

При другом виде тестов учащиеся должны установить, истинно или ложно каждое из предложенных высказываний. Учащиеся должны не просто дать ответ «да» или «нет», а проявить умение рассуждать, делать соответствующие выводы, распознавать верно сформулированное математическое предложение от неверного.

Следующий вид тестов предлагает на выбор несколько ответов, среди которых есть верный и неверный ответ, предполагающий отказ от выполнения задания. Количество ответов ограничено тремя наиболее значимыми (из всей совокупности возможных случаев), т.к. набор ответов должен быть легко обозримым для учащихся. Нужно внимательно прочитать текст задания, предложенные на него ответы и обдуманно выбрать верный ответ.

Например:

Тест 1. Установите, истинны или ложны следующие высказывания:

1.     Если координаты векторов соответственно равны, то равны и сами векторы.

2.     Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

3.     Пусть А (4;5), В(-5;3) – координаты концов отрезка АВ. Середина этого отрезка имеет координаты С(-1;4).

И т.п.

Тест 2. В каждом задании установите верный ответ из числа предложенных: а), б), в).

1. Концы отрезка СD имеют координаты С(-4;3), D (4;-3). Найдите координаты М – середины этого отрезка.

а) М (0;0);

б)М (4;3);

в) не знаю.

 2. Точка М(3;-4) лежит на окружности с центром в начале координат. Найдите  длину радиуса этой окружности.

а)1;

б) 5;

в) не знаю.

3. Найдите расстояние от В(-3;4) до начала координат.

а)ОВ=1;

б)ОВ=5;

в) не знаю.

И т.п.

Тест 3. Заполните пропуски (многоточия), чтобы получилось верное высказывание.

1.                                         Если стороны многоугольника являются хордами окружности, то окружность называется…

2.                                         Диаметр окружности равен 10см. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность, в … раз больше ее диаметра.

3.                                         Если диаметр круга уменьшить в четыре раза, то площадь этого круга уменьшится в … раз.

И т.п.

(Приложение 2.)

 

2.2. Развитие пространственного мышления.

 

… воображение и интуиция, используемые в различных пределах, остаются необходимым вспомогательным средством ученого в его движении вперед…

Бройль.

 

В педагогической практике обучения математике очень часто приходится слышать и констатировать факт наличия бедных пространственных представлений и слабо развитого пространственного мышления учащихся. Пытаясь ликвидировать этот «пробел» у своих учеников, нужно широко использовать модели, стереоскопические чертежи и другие наглядные пособия. Иногда учащимся предлагаются для выполнения специально подобранные системы упражнений, которые должны способствовать развитию их пространственного мышления.

«Последние психологические и психофизиологические исследования многих дидактов показали, что решать задачи, требующие пространственного мышления, может каждый ученик. Просто одну и ту же задачу разные учащиеся решают различными способами. Один – путем конкретных четких измерений фигуры, другой – посредством сравнений ее элементов друг с другом, третий – последовательным конструированием и реализацией определенных действий и т.д. Этим и обусловлены индивидуальные различия учащихся в данном виде деятельности»[9].

Представим себе такую ситуацию. На уроке геометрии предлагается решить следующую задачу.

Задача.

Может ли сечением куба являться правильный шестиугольник?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для построения правильного шестиугольника достаточно, например, соединить середины ребер, скажем, АD, CD, СС₁    и затем через две пересекающиеся прямые КТ и ТМ провести плоскость. Далее не трудно доказать, что полученная в сечении фигура есть правильный шестиугольник.

Некоторые учащиеся не справляются с этой задачей по разным причинам. Большинство «спотыкаются» на построении сечения. Однако сказать, что ученик не может построить требуемого сечения – значит, сказать очень мало. Дело в том, что построение сечения представляет собой не единый акт мышления, а достаточно сложную совокупность мыслительных операций, обеспечивающих создание и оперирование пространственными образами на основе имеющихся знаний и путем построения силлогизмов. Поэтому необходимо разобраться в том, что именно «не сработало» в голове ученика: какого именно элемента указанной совокупности нет или какая связка и между какими элементами отсутствует, какую операцию преобразования над графическими условиями задачи он не может осуществить.

Может быть, ученику трудно представить себе куб, или при мысленном построении сечения образ куба у него начинает тускнеть, исчезает совсем. Возможно, ученик «не видит», как должна проходить плоскость сечения и т.д. В то же время, для определения требуемого положения сечения необходимо не только иметь образ плоскости, но оперировать им: мысленно поворачивать эту плоскость вокруг различных осей куба, осуществлять ее параллельный перенос. 

Задачи на построение являются важным средством формирования у учащихся геометрических представлений в целом.

Данные задачи предназначены для формирования умений и навыков построений с чертежными инструментами. Именно эти умения являются решающими для развития пространственного мышления ребенка.

Для решения задачи развития пространственного мышления необходимо методически реализовать и поддержать содержательно (через посредство учебных задач) транзитивную связь:

-  задания на построение;

-  развитие пространственного мышления;

-  математическое развитие учащихся.

Задача.

АВСDА1В1С1D1 – куб, ребро которого 4 см. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки А,D1  и М, где М – середина ребра ВС. Вычислите периметр сечения.

План решения.

4.                     Построим сечение куба по заданным параметрам.

5.                     Определим вид геометрической фигуры, полученной в сечении.

6.                     Вычислим периметр полученного сечения.

 

 

Моделирование объемных фигур.

 

Моделирование включает в себя практически все приемы конструктивно-геометрической деятельности. Поэтому умение изготовить модель объемной фигуры (наряду с умением читать проекционные чертежи фигур) служит одним из главных критериев способности ученика к конструированию в представлении, к оперированию пространственными образами и к использованию их в качестве опоры для мыслительной деятельности. На этом уровне ученик в состоянии охарактеризовать фигуру (ее геометрическую форму, свойства, связь с другими фигурами) по представлению, т.е. без опоры на какие бы то ни было средства наглядности.

 

 

Задача.

На каркасную модель многогранника напаяли толстую проволоку (как показано на рисунке). Начертите, как проходит проволока по каждой гране.                                                      

 

 

                                             F

 

 

                         Е

 

                                                  D                      C

 

 

             А                       В

 

 

 

А                                                     D  Е                                                  F

 

 

 

 

В                                                      С  А                                                  D

                                          

Е                                                      F                 Е                            F

 

 

 

 

 В                                                     С   А                        В  С                       D

 

(Приложение 3.)

 

Устное решение задач.

 

Устное решение задач значительно улучшает пространственное мышление учащихся. Рассмотрим задачи «на геометрические тела», которые играют важную роль в стереометрии.

Задачи для устного решения можно разбить на типы:  задачи на доказательство,  на исследование, на построение, на вычисление.

Большое количество задач на геометрические тела можно предлагать для устного решения вместе с готовым рисунком, когда один рисунок будет сопровождать несколько задач, в которых речь идет об одном и том же геометрическом теле.  На этих примерах широко просматривается развитие таких психических функций, как память, внимание, построение правильных суждений, пространственное воображение и других.

Рассмотрим примеры по теме: «Призма. Ее сечения. Площади полной и боковой поверхности».

I.           Задачи на вычисление.

(Перед решением задач 1 и 2 следует повторить формулы для вычисления элементов куба со стороной а: d = а  2; D=а  3; s = а²  = d² /2; Q=dа, где

d – длина диагонали основания,

D – длина наибольшей диагонали призмы,

s – площадь основания,

Q – площадь диагонального сечения).

 

1.     Задача.

Ребро куба равно а. Найдите: диагональ грани; диагональ куба; периметр основания; площадь грани; площадь диагонального сечения; площадь поверхности куба; периметр и площадь сечения, проходящего через концы трех ребер, выходящих из одной и той же вершины.

 

2.     Задача.

 

Рисунок 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По рисунку 1 и по данным элементам в таблице найдите остальные элементы куба.

 

а	d	D	s	Q
5
	14
		11  3
			196
				36  2

 

 

II.       Задачи на исследование.

1.                      Задача.

Поставьте куб так, чтобы ни одна грань не была вертикальной. Будут ли тогда у него горизонтальные грани?

Ответ: нет.

2.                      Задача.

Исследуйте, существует ли призма, имеющая 50 ребер? 54 ребра?

Решение: Число ребер n-угольной призма 3n, поэтому призмы, имеющей 50 ребер, не существует, а 54 ребра имеет 18-угольная призма.

 

III.             Задачи на доказательство.

1.                      Задача.

Докажите, что число ребер призмы кратно 3.

Доказательство: В n-угольной призме боковых ребер n, а ребер нижнего и верхнего оснований 2n, всего 3n ребер.

 

2.                      Задача.

Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть правильным пятиугольником.

Доказательство: Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью найдутся параллельные, а у правильного пятиугольника никакие две стороны не параллельны.

 

 

IV.            Задачи на построение.

(Сечение следует рисовать на заранее подготовленном изображении призмы).

 

1.                      Задача.

Постройте сечение куба в виде:

а) треугольника;

б) четырехугольника;

в) пятиугольника;

г) шестиугольника.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.                      Задача.

В правильной треугольной призме отрезок ВС1  образует с гранью АА1В1В угол α. Постройте этот угол.

Построение: Проведем отрезок С1D1   грани АА1В1В; отрезок ВD1 – проекция наклонной ВС1  к грани АА1В1В; угол С1 В D1 равен α.

(Приложение 4.)

 

 

2.3. Пропедевтический курс «Наглядно-практическая геометрия».

 

… наглядность, говоря обыденным языком, в один день научает нас с большей легкостью и прочностью тому, чему не могут научить правила, повторяемые хотя бы тысячу раз, так как собственное наблюдение … идет здесь рука об руку с теоретическим определением.

Галилей.

 

Глубокое изучение геометрии начинается только с 7 класса. Практика показывает, что изучение геометрии в этом возрасте идет трудно. Чтобы обеспечить безболезненный переход к восприятию систематического курса геометрии в 7 классе, следует начать изучение геометрического материала в 1-6 классах. В 5-6 классе при изучении математики, в том числе и геометрического материала, требуется реализовать идею постепенного «перевода» мышления учащихся от наглядно-опытного обоснования фактов к формально-логическому, от индуктивных обобщений к дедуктивным умозаключениям. При этом следует учесть, что у большинства учащихся этого возраста имеется потребность в логических обоснованиях более высокого уровня трудности.

Считаю необходимым введение в 5-6 классах пропедевтического курса «Наглядно-практическая геометрия»[10]. Начиная курс геометрии в 5 классе, мы тем самым снижаем напряженность при прохождении материла в 7 классе. Это положительно сказывается на качестве знаний учащихся по геометрии.

Основная  задача факультативного курса - развитие мыслительной деятельности учащихся. Важное значение в решении этой задачи играет субъективный фактор, так как носителем мышления является реальный человек, в данном случае ученик, с особенностями своего интеллектуального развития, мотивирующей сферой сознания, лабильности, интересов, потребностей и т.д.

Чтобы справиться с решением той или иной задачи (не только математической, но в широком смысле), ребенок должен овладеть проведением анализа и выполнением мыслительных операций.

Важнейшими мыслительными операциями на занятиях являются анализ и синтез.

Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков или свойств.

Синтез – соединение различных элементов, сторон объекта в единое целое.

В мыслительной деятельности анализ и синтез дополняют друг друга. Формированию и развитию данных мыслительных операций способствует решение задач, в которых от учащихся требуется проводить правильные рассуждения, рассматривать объекты с разных сторон, указывать их различные свойства, а также  постановка различных вопросов относительно данного объекта.

В качестве примера можно предложить такие.

1.                      Сосчитайте: а) сколько квадратов на рисунке1;                б) сколько в данной фигуре на рисунке 2 треугольников.

 

Рис. 1                               Рис.2

 

 

 

 

2.                      Как разрезать фигуру на четыре равные части?

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение таких задач знакомит учащихся с различными способами рассуждений при решении  проблем, способствует постепенному переходу к более развитым формам анализа и синтеза, когда аналитически мыслящий ученик осознает содержание своих мыслей и может передать их письменно или устно другому человеку. Огромную роль в развитии этих мыслительных операций играют направляющие слова учителя, организующие, регулирующие и контролирующие анализ и синтез, проводимые учениками.

Полезными при развитии умения проводить анализ и синтез являются упражнения на  формулирование мысли другими словами, когда берется фраза (задача полностью, вопрос к задаче, указания к выполнению упражнения, определение объекта и т.п.) и предлагается пересказать ее другими словами, не искажая первоначального смысла высказывания.

Другой мыслительной операцией, которой должны овладеть ученики, является сравнение.

Формированию данного приема способствуют задания, в которых требуется сравнить объект, указать их признаки и свойства, найти сходства и различия.

Вот некоторые из таких задач.

3.                      Что  общего у этих фигур? Чем они отличаются друг от друга?

 

 

 

 

 

4.                      Укажите лишнюю фигуру. Обоснуйте свой ответ.

 

                    М                                В

                                                                             Z

            О       

    Х                              Y    К

                                                                                   С

                                                 R          D                        N    L

 

 

Нередко при овладении математикой и при решении жизненных ситуаций человеку помогает аналогия. Это такая мыслительная операция, с помощью которой находятся сходство между объектами в некотором отношении. Использование аналогии в математике является одним из основных  при поиске доказательства теоремы, решения задач.

Для формирования умения проводить аналогию можно использовать задачи на нахождение словесных аналогий,  между различными объектами.

5.                      Найдите связь между фигурами 1и 2.

 

 

                        

                                                  

                                

                              1                      2

 

 

По аналогии из фигур а, б и в подберите пару для фигуры 3.

 

 

 

 

 

 

         3                                                                   а)                     б)              в)

 

6.                      Называется какой-либо объект или явление и предлагается назвать как можно больше его аналогов, то есть сходных с ним объектов или явлений по различным существенным признакам.

Например, для прямоугольника были названы аналогии: квадрат, отрезок, куб (и другие геометрические фигуры); дом, коробка, зрение ( эти объекты, как и прямоугольник имеют углы); гора, шпиль, башня (имеют вершины); чемодан, кирпич, дверь, стол (в определенном положении отбрасывают прямоугольную тень); страница учебника, классная доска, крышка стола (имеют такую же, как и прямоугольник, форму) и т.д.

Кстати, такие упражнения развивают воображение учащихся, что, безусловно, играет немалую роль в мыслительной деятельности. Кроме того, систематические упражнения такого рода дают возможность усвоить алгоритм нахождения аналогов – по функциям, по признакам, по подсистемам.

Выделение существенных признаков объектов и явлений и использование их необходимо также при выполнении классификации. Классификация – общепознавательный прием мышления. Суть его состоит в разбиении множества рассматриваемых явлений или объектов на попарно непересекающиеся подмножества.

7.                      Из данных объектов исключите тот, который обладает признаками, отсутствующими у других.

 

 

 

 

 

 

 

          а)                  б)                    в)                   г)                              д)

 

 

Из понятий: длина, площадь, радиус и периметр выберите то, которым можно дополнить ряд объектов:

прямоугольник, круг, квадрат.

Решение подобных задач способствует  развитию умения «узнавать» знакомые объекты, переносить знания в непривычную ситуацию, видеть структуру объекта, находить альтернативные решения.

Умение обобщать различные понятия говорит о степени развития мыслительной деятельности, осознанности, прочности усвоения и объеме знаний учащихся. Поэтому необходимо предлагать ученикам и такие задания.

 

8.     Дайте общее названия объектам, входящим в одну группу:

точка, параллелепипед – это …

Большое внимание на занятиях факультатива важно уделять задачам на отыскание закономерностей. Они развивают математическую зоркость, умение мыслить последовательно, обобщать изображенные объекты по признакам или находить отличия.

 

9.     Нарисуй недостающую фигуру.

 

 

Решая задачи на нахождение закономерностей, учащиеся учатся анализировать, сопоставлять, обобщать. Вообще говоря, в мыслительном процессе невозможно выделить в чистом виде мыслительные операции, они тесно переплетаются, проявляются в совокупности. Поэтому задания классифицированы для формирования и развития той или иной мыслительной операции довольно условно.

Выполнению мыслительных операций и их развитию способствует решение занимательных задач, задач-головоломок, задач на смекалку. При выполнении таких заданий учащимся чаще всего приходится пользоваться методом проб и ошибок. Это развивает интуицию, творчество, способность отказаться от ложного пути и искать другой способ решения, который приведет к положительному результату. Кроме того, воспитывает усидчивость, внимание, развивает различные виды памяти, пространственное и образное мышление.

 

10.                        а) Уберите две спички так, чтобы осталось два неравных квадрата.

б) Уберите одну спичку, а другую переложите так, чтобы образовалось три квадрата.

в) Переложите четыре спички так, чтобы образовалось три квадрата.

 

 

11.                  Дом составлен из 11 спичек. Требуется повернуть его к нам другой стороной, переложив одну спичку.

 

 

 

 

 

 

 

12.                  Начертите фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не прочерчивая линий вторично по уже проведенным.

 

 

 

 

 

 

      

 

2.4. Математические сочинения при обучении школьников.

 

Одной из возможных форм творческого развития учащихся при обучении математике являются математические сочинения.

При написании математических сочинений ученики выполняют разные виды деятельности:

-         самостоятельное изучение литературы;

-         отбор материала по выбранной теме;

-         связное изложение материала;

-         проведение небольших самостоятельных исследований;

-         подбор и (или) самостоятельное составление задач и их решение.

При написании сочинений по предложенным темам ученики выполняют построения с помощью различного набора инструментов, проводят измерения, вырезают фигуры, разрезают их на части и составляют новые, производят перегибание чертежа и т.д. Всякий раз проводится анализ полученной ситуации, что предполагает умение видеть часть – целое, выделять элементы, части фигур, выяснять  инвариантные свойства фигур; сравнение объектов, установление аналогий с другими фигурами. На основании приведенного анализа и сравнения формулируются гипотезы о наличии каких-либо свойств фигуры, ее частей, элементов. Сформулированную гипотезу ученики проверяют на истинность:

а) проводят доказательства с помощью логических рассуждений – в этом случае получают верное утверждение;

 

б) пытаются опровергнуть утверждение, найдя соответствующий контрпример.

 

Составляют или подбирают задачи на применение верных утверждений. В сочинении ученики выполняют необходимые чертежи, рисунки, схемы, могут приложены модели, выкройки.

Одним из важных умений, необходимых для успешного изучения геометрии, является умение читать чертеж. Можно предложить провести сочинение по готовому чертежу. Тема для всех одна, например: «Опиши чертеж».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если в классе много слабых учеников, и они не научены читать чертежи, то предварительно можно дать серию более простых чертежей с тем же заданием:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Организованная работа по написанию сочинений, математических сказок, биографических очерков о великих математиках, составлению кроссвордов, ребусов вызывает интерес у учеников, развивает их самостоятельность, инициативу, позволяет в целом повысить интерес  к изучению математики у всех детей не зависимо от их склонностей и задатков. (Приложение 5).  Ведь учить - это не только вводить в сознание обучаемых информацию, а главное учить ее добывать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

 

В статье доктора философских наук  Ильенкова Э.В. «Школа должна учить мыслить» сказано: «Неверно, что ум – это «естественный дар»… Это такое же умение, как и все остальные человеческие способности…»[11]

А как же все-таки учить мыслить?… Надо организовать процесс усвоения знаний так, как организует его жизнь – лучший учитель, а именно: так, чтобы в ходе этого процесса ребенок постоянно был вынужден тренировать не только и не столько память, сколько мышления требующего самостоятельного суждения.

 Мыслительную деятельность нельзя отождествлять с решением задач, хотя они тесно связаны друг с другом. Однако в заключение считаю нужным подчеркнуть, что необходимым условием развития мышления учащихся является упражнение в их решении. Но подбирая задания, надо учитывать, что:

 

1)                     необходимо точно знать их цель, каких результатов нужно добиться;

 

2)                     необходимо следить за точностью выполнения, чтобы своевременно проводить коррекцию, если в том возникла нужда, не закрепляя ошибок, следить за результатами упражнений, анализировать, какие достигнуты успехи и на каких недостатках следует фиксировать свое внимание, чтобы устранить их;

 

3)                     количество задач и упражнений зависит от индивидуально-психологических особенностей школьников, должно быть достаточным для овладения умением применять тот или иной прием рассуждений, действий, позволяющих решить проблему;

 

4)                     упражнения не должны быть случайным набором однотипных задач, они должны способствовать развитию самостоятельности и творчества, для чего в их основу надо положить определенную систему, четко спланированную последовательность, постепенное усложнение, представление известных объектов в нестандартной обстановке;

 

 

 

5)                     упражнения не должны прерываться на длительное время, развитие мышления требует постоянной нагрузки на интеллект, возникновения трудностей на пути мыслительной деятельности ученика.

 

Помощь и руководство со стороны учителя должны состоять в том, чтобы готовить ученика к преодолению этих трудностей.

Итак, не угадывание и воспоминания, а мысленный анализ условий задачи и принятия решения – вот в чем процесс и результат развития мышления школьника в учебной деятельности.

И не только мышления, но связанных с ним процессов внимания, представления, воображения, памяти, речи, эмоции, воли.

Без внимания невозможно анализировать условия задачи, без обращения к памяти и представлениям трудно понять, что именно и с чем конкретно требуется произвести учебные действия. Не применяя речевые средства, невозможно членораздельно рассуждать. Без воли невозможно довести до конца выполнение трудного задания и принять самостоятельное решение. Эмоции являются  непременными участниками процесса размышления над решением сложных мыслительных задач и вообще серьезной умственной работы. Вот в чем суть развивающей роли обучения, стремящегося не только дать ученикам некую сумму знаний, но и способствовать их  интеллектуальному развитию, делая их не просто знающими, но и умными, творчески мыслящими и активно действующими личностями. Таким образом, при формировании знаний и теоретического мышления учащихся происходит развитие всех психических процессов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы.

 

1.     Бадмаев Б.Ц. Психология в работе учителя: В 2-х кн. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2000. – Кн. 2: Психологический практикум для учителя: развитие, обучение, воспитание.

2.     Гальперин П.Я., Эльконин Д.Б. К анализу теории Ж. Пиаже о развитии детского мышления. Послесловие к кн.: Флейвелл Дж. Х. Генетическая психология Жана Пиаже.- М., 1967.

3.     Герасимова. А. Творчество обучаемого – в составлении задач.// Математика. № 42, 2003.

4.     Костинский А. Как решать задачу// Школьная компьютерра. № 11, 2003.

5.     Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. – М.: Просвещение, 1992.

6.     Краткий психологический словарь./Под ред. А.В. Петровского, М.Г. Ярошевского – М., 1998г.

7.     Обучающие технологии в естественно- научном образовании школьников. Методическое пособие. Жильцова О.А., Самоненко Ю.А. – М.: Полиграф сервис, 2002.

8.     Пойа. Д. Математика и правдоподобные рассуждения. - М.: Наука, 1975.

9.     Петрова Е.А. Составляем логическую задачу.//Математика в школе. № 3, 1998.

10. Сучкова. Т. Развитие мыслительной деятельности учащихся.// Математика. № 45, 2003.

11. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов средн. шк. – 3-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1989.

12. Шарыгин И.Ф. Математика. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 1999.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложения.

 

1.    Карточки  с задачами (карточка-подсказка, карточка-план, карточка-рассуждение).

2.    Тестовые задания.

3.    Задания на моделирование, развитие воображения.

4.    Математический тренажер (задания для устной работы).

5.    Творческие работы учащихся.

6.    Разработки уроков и внеклассных мероприятий:

5 класс:

·       урок по математике в классе ЗПР «Точка. Линия»;

·       занятие факультатива «Наглядно-практическая геометрия» по теме «Окружность и круг»;

6 класс:

·       внеклассное мероприятие:  Поле – чудес «Элементы геометрии»;

7 класс:

·       урок по геометрии «Решение задач по теме «Признаки и свойства параллельных прямых»;

·       урок по геометрии «Сумма углов треугольника»;

·       внеклассное мероприятие: Сказка о геометрических фигурах «На балу у принцессы»;

8 класс:

·       урок по геометрии «Виды четырехугольников. Их              классификация»;

·       внеклассное мероприятие «Математика – это гимнастика ума»;

·       математический КВН;

10 класс:

·       урок по геометрии «Параллельность прямой и плоскости».