Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Реферат "Аналитическая геометрия Ферма и Декарта"

Реферат "Аналитическая геометрия Ферма и Декарта"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Название документа Аналитическаягеометрия ферма и декарта.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Содержание





































Введение



Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами науки и техники запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что приведенное определение необходимо понимать в самом общем смысле.

Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.

Современную математику часто сравнивают с большим городом. Это - прекрасное сравнение, поскольку в математике, как и в большом городе, происходит непрерывный процесс роста и совершенствования. В математике возникают новые области, строятся изящные и глубокие новые теории подобно строительству новых кварталов и зданий. Но прогресс математики не сводится только к изменению лица города из-за строительства нового. Приходится изменять и старое. Старые теории включаются в новые, более общие; возникает необходимость укрепления фундаментов старых построек. Приходится прокладывать новые улицы, чтобы устанавливать связи между далекими кварталами математического города. Но этого мало - архитектурное оформление требует значительных усилий, поскольку разностильность различных областей математики не только портит общее впечатление от науки, но и мешает пониманию науки в целом, установлению связей между различными ее частями.

Математика в наше время превратилась в научную дисциплину со множеством направлений исследований, огромным количеством результатов и методов. Математика теперь настолько велика, что нет возможности одному человеку охватить ее во всех ее частях, нет возможности быть в ней специалистом-универсалом.







  1. Создание аналитической геометрии Ферма и Декартом


Первым краеугольным камнем аналитической геометрии явился трактат Ферма «Введение в изучение плоских и телесных мест» (Ad locos pianos et solidos isagoge). Хотя это сочинение стало известным в кругу парижских математиков еще до 1637, но впервые было опубликовано лишь после смерти автора в 1679 в Varia Opera. Чтобы правильно понять, в какой мере продвинулся здесь вперед Ферма, и чтобы суметь сравнить достижения его и Декарта, мы должны будем возможно точнее передать содержание этого небольшого сочинения. При этом мы только отчасти воспользуемся современными обозначениями, в остальном же будем непосредственно следовать за Ферми. Ферма прямо заявляет, что всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, то налицо имеется геометрическое место, которое описывает конечная точка одной из неизвестных. Обе неизвестные величины целесообразно брать под определенным углом и для одной из них следует взять на какой-либо определенной прямой определенную начальную точку (N). Эту первую неизвестную Ферми всегда обозначал NZ и называл ее А, другую же, соответственно, ZI и Е. Мы заменим А и Е на х и у. Далее, с помощью подобных треугольников Ферми показывает, что в случае уравнения Dx=By точка I должна лежать на прямой, проходящей через N. При этом он начертил лишь верхнюю часть прямой. Коэффициенты здесь являлись отрезками, а если они должны были означать площади, то к ним добавлялось pl. (anum). Затем Ферми доказывает, что каждое уравнение вида

Zpl — Dx = By

также представляет прямую, для чего полагает Zpl = DR и вновь пользуется подобием треугольников. Так обстоит дело со всяким уравнением, содержащим только х и у. Здесь же Ферми приводит теорему, которую, обобщая одно предложение книги Аполлония «О плоских местах», формулирует так: «Допустим, что имеется какое-либо число данных по положению прямых и что к ним из некоторой точки проведены под заданными углами прямые (отрезки); если сумма произведений этих проведенных прямых на данные равна данной площади, точка находится на данной по положению прямой».

«Второй порядок» таких уравнений получается, когда xy = Zpl. Это уравнение представляет собой не что иное, как перевод на язык алгебры одного свойства гиперболы, встречавшегося уже в «Конических сечениях» Аполлония. Ферми вычерчивает прямой угол первого квадранта (как говорим мы) и расположенную в нем ветвь равносторонней гиперболы. Каждое уравнение, содержащее только х,у и ху, например, Dpl + xy = Rx + Sy можно привести к этому случаю. Ферми преобразует это уравнение в

(х — S) (R —у) = Dpl. — RS

и теперь может снова применить теорему Аполлония. Вычерчивается лишь кусок одной ветви гиперболы.

«

hello_html_m5eff2300.gif

Следующий порядок» заключает все уравнения, члены которых содержат лишь хhello_html_m5c273eeb.gif, уhello_html_m5c273eeb.gif и ху. Ферма соединяет произвольно взятую точку I с начальной точкой N и, пользуясь пропорциональностью отрезков, показывает на одном примере, что такому уравнению удовлетворяют все точки прямой NI. Следовательно, точка I лежит на прямой. Недостаточность приема и неполнота результата здесь очевидны.

Иначе обстоит дело далее, когда Ферми

полагает xhello_html_m5c273eeb.gif = Dy, либо, опираясьна Аполлония, он

может здесь сразу сказать, что речь идет о параболе

(черт. 1). Он сейчас же замечает, что уравнению

yhello_html_m5c273eeb.gif = Dx соответствует парабола, проведенная на

фигуре штрихом. Вслед затем, полагая Bhello_html_m5c273eeb.gif = DR,

он преобразует уравнение Вhello_html_m5c273eeb.gif - хhello_html_m5c273eeb.gif = Dу к форме

D

черт. 1

(R-у) =хhello_html_m5c273eeb.gif, которая оказывается тождественной с

только что указанной, если только принять R-у за у.

Подобным же образом можно рассмотреть все уравнения, содержащие х хhello_html_m5c273eeb.gifи у.

Однако может быть, что хhello_html_m5c273eeb.gif входит в уравнение вместе с yhello_html_m5c273eeb.gifи постоянными. Конечно, для Ферма легко было показать, что Вhello_html_m5c273eeb.gif- хhello_html_m5c273eeb.gif= yhello_html_m5c273eeb.gif представляет окружность; на чертеже была изображена лишь часть ее, немного большая первого квадранта. Но Ферма указывает также совершенно правильно общие условия, при которых уравнение выражает окружность, и рассматривает пример

Bhello_html_m5c273eeb.gif- 2Dx - xhello_html_m5c273eeb.gif = yhello_html_m5c273eeb.gif+2Ry

Он приводит это уравнение к форме, записываемой нами здесь несколько короче:

phello_html_m5c273eeb.gif - (x + D) hello_html_m5c273eeb.gif=(y +R)hello_html_m5c273eeb.gif.

Беря затем снова х вместо х + D и у вместо y + R, он получает исходную форму. Пример одного геометрического места, приведенный в конце трактата, показывает, что Ферма хорошо знал, как построить центр и радиус такой произвольно расположенной окружности.

Но если Вhello_html_m5c273eeb.gif- хhello_html_m5c273eeb.gif находится в данном отношении к уhello_html_m5c273eeb.gif, то точка лежит на эллипсе (чертеж отсутствует). Увидеть это было опять-таки легко, ибо, согласно Аполлонию, у эллипса отношение квадрата ординаты к прямоугольнику, построенному на отрезках диаметра В + х и В - х, должно быть постоянным. Ферми также определенно подчеркивает, что если привести пропорцию к виду уравнения, то при хhello_html_m5c273eeb.gif и уhello_html_m5c273eeb.gif должны стоять различные знаки и различные коэффициенты; последнее необязательно только тогда, когда выбранный угол отличен от прямого, — теорема Аполлония ведь относилась к любым сопряженным диаметрам. Уравнения, содержащие еще х и у, могут быть приведены к простейшей форме с помощью уже примененного выше преобразования.

Если в данном отношении к уhello_html_m5c273eeb.gif находится xhello_html_m5c273eeb.gif+ Вhello_html_m5c273eeb.gif, то точка I лежит на гиперболе. Приведение этого случая к соответствующей теореме Аполлония было для Ферми несколько труднее. Но если мы станем понимать слово «отрезок» в современном значении, то теорема о гиперболе будет формулироваться точно так же, как теорема об эллипсе. Поэтому, если только принять х за ординату в нашем смысле, как здесь и поступает Ферми, то в современном обозначении

хhello_html_m5c273eeb.gif = λ(y + a)(y - a),

а это будет тождественно с начальным требованием, коль скоро мы положим λahello_html_m5c273eeb.gif=Bhello_html_m5c273eeb.gif. Здесь вычерчивались обе ветви гиперболы. Относительно уравнений, содержащих еще члены с х и у, следует иметь в виду вышеуказанное обстоятельство.

Наиболее трудным является, конечно, случай, когда наряду с xhello_html_m5c273eeb.gifи уhello_html_m5c273eeb.gif встречаются еще члены с ху. Ферма его так и квалифицирует. В качестве примера он берет уравнение Вhello_html_m5c273eeb.gif - 2xhello_html_m5c273eeb.gif = 2ху + yhello_html_m5c273eeb.gif и приводит его к виду

hello_html_m64efa4cd.png

Bhello_html_m5c273eeb.gif-xhello_html_m5c273eeb.gif=(x+y)hello_html_m5c273eeb.gif;

поскольку теперь он берет NZ за х и ZI за х+у

(черт. 2) , точка I описывает окружность. Здесь

возникает вопрос, какое геометрическое место

описывает точка V , если взять IV = NZ. Ферми

строит равнобедренный прямоугольный треу-

г

черт. 2

ольник NMR и доказывает в обстоятельном

античном сгиле, что oтношение VOhello_html_m5c273eeb.gif к NRhello_html_m5c273eeb.gif-NOhello_html_m5c273eeb.gif является тогда постоянным. Но согласно приведенной выше теореме точка V лежит в таком случае на эллипсе с полуосью NR , для которой сопряженным служит направление OV . Мы немедленно замечаем, что NRhello_html_m5c273eeb.gif - NOhello_html_m5c273eeb.gif= 2 (Bhello_html_m5c273eeb.gif- xhello_html_m5c273eeb.gif) и так как VO =x+y, то указанное постоянное отношение равно 1/2. Аналогичным путем, говорит Ферми, можно исследовать также все прочие случаи. Это, разумеется, справедливо, но можно было бы пожелать,чтобы Ферми показал это на менее удобоприспособленном примере. В заключение Ферми говорит, что теперь изложено все, что оставили невыясненным относительно геометрических мест древние, а все прочее, что относится к этому предмету, можно будет отныне найти без труда. Высшие («линейные») места, как он уже сказал в начале своей работы, с помощью приведений можно легко свести к «плоским» (т. е. прямой и окружности) и «телесным» (т. е. эллипсу, параболе, гипереболе).

Мы не знаем, ознакомился ли Декарт с этим сочинением, или по крайней мере с содержащимися в нем результатами и методом Ферми, до публикации своей «Геометрии». Bо всяком случае, то, что Декарт сообщил в своем труде, было сделано настолько по-иному, что не может быть речи о том, чтобы Ферма послужил для него какой-либо опорой. В одном отношении Декарт дал в «Геометрии» меньше, чем Ферма, ибо у Декарта не было столь систематического изложения простейших уравнений и их геометрических образов, но зато в другом — много, много больше, поскольку Декарт, одновременно усовершенствовал и по форме, и по существу алгебру, а также обратил отношение между ней и геометрией, поставив на первое место алгебру с тем, впрочем, чтобы в заключение применить найденные с ее помощью геометрические места к графическому решению. Отсутствие систематического изложения простейших форм уравнений вообще не следует расценивать как подлинный научный недостаток Декарта в сравнении с Ферма. Во-первых, в ряде мест «Геометрии» и своей переписки Декарт указывал, что желал наметить лишь общие контуры своего нового метода, которые нередко оставлял туманными даже. Во-вторых, даже для неслишком творчески одаренного математика было нетрудно, если только он был в состоянии понять «Геометрию», дать изложение и интерпретацию простейших форм уравнений. Действительно, вскоре после выхода «Геометрии» это осуществил друг Декарта Ф. Дебон.

Наше общее суждение мы желаем построить на точной передаче содержания этого величественного для своего времени труда. Декарт начинает с утверждения, что всякая геометрическая задача приводится в конце концов к определению длин или соответственно к построению некоторых отрезков. При этом он имеет в виду не что иное, как алгебраическое вычисление неизвестных отрезков (z, у, х) по данным (а, Ь, с,...) и построение отрезка z по уравнению с одним неизвестным z, возникающему после удаления всех других неизвестных. Такое алгебраически-геометрическое решение геометрических задач ввел еще Виет в «Каноническом разборе геометрических действий», если не говорить о более ранних попытках Бенедетти «Книга о различных математических и физических размышлениях». П. Катальди пошел по стопам Виета в третьей части своей «Дискурсивной алгебры» . Но все эти авторы достигли лишь геометрического построения решений уравнений. Подробнее произвел алгебраический анализ некоторых настоящих задач М. Гетальди в своих книгах «Собрание различных задач» и «О математическом анализе и синтезе». В терминологии и символике Гетальди присоединился к своему учителю Виету. Только что названный второй большой труд в 343 страницы заключал довольно беспорядочный и неравномерный набор задач на деление отрезков, построение треугольников и вставки. За Гегальди последовал У. Оутред, примкнувший в подборе задач к первому приведенному сочинению Гетальди, но сделавший существенный шаг вперед в их алгебраической трактовке.

Декарт не рассматривал подобные элементарные задачи, хотя его комментаторы неоднократно приводили примеры этого рода. Его внимание, напротив, привлекли задачи, в которых получается меньше уравнений, чем должно быть введено неизвестных. Это свидетельствует, говорит он, что задача — не вполне определенная, и в этом случае для всех неизвестных, которым не соответствует никаких уравнений, можно взять произвольные известные отрезки. Затем он обращается к задаче Паппа, проходящей красной нитью через все сочинение. В названной задаче речь идет о «геометрическом месте к трем, четырем (или более) прямым», некоторые случаи которого рассмотрел еще Аполлоний. Дается некоторое число, три, четыре или более прямых; требуется найти геометрическое место точек, обладающих тем свойством, что от них можно провести к каждой из прямых по отрезку, образующему с ней данный угол, так, чтобы в случае трех прямых прямоугольник, построенный на двух этих отрезках, находился в данном отношении к квадрату третьего, чтобы в случае четырех прямых прямоугольник на двух отрезках находился в данном отношении к прямоугольнику на двух других, и т. д. Уже древние знали, что в случае трех или четырех прямых геометрическим местом является коническое

сечение, хотя они и не дали более точных указаний относительно его рода и расположения. Однако в случае более шести прямых возникает то затруднение, что, как говорим мы и как это тотчас отметил Декарт, произведение четырех и больше отрезков не имеет уже никакого геометрического смысла. В связи с этим Папп указывал на необходимость пользоваться в подобных случаях «сложными отношениями», не сообщив, однако, каких-либо результатов.

Д

hello_html_m2a06d8c2.png

екарт подходит к этой задаче следующим образом. Он берет четыре прямые АВ, AD, EF, GН и допускает, что для некоторой точки С задача решена и что СВ, CD, CF, СН представляют собой четыре отрезка, удовлетворяющих указанному условию, а углы

при В, D, F, Н даны (черт. 3). Среди этого мно-

жества линий Декарт выбирает одну из данных

и одну из искомых, именно АВ и СВ, и отно-

сит к ним остальные . АВ он называет х, а ВС

через у, продолжает все остальные данные пря-

мые до пересечения с прямыми отсчета и пола-

гает AE=k, AG = l . Все углы треугольников на

ч

черт. 3

ертеже известны, так что все отрезки можно вы-

разить через х, у, k, l. Но так как Декарт не упот-

ребляет теоремы синусов, то он принимает, выражая, впрочем, это словами:

AB:BR = z:b, CR:CD = z:c,

BE:BS = z:d, CS:CF = z:e,

BG:BT=z:f, CT:CH=z:g,

так что все эти данные отношения имеют один и тот же предыдущий член z. Мы можем теперь предоставить читателю самому произвести последовательно выкладки и получить, что

hello_html_657f149a.pngСовременный читатель заметит, что выражения для CD, CF, СН пропорциональны расстояниям точки С от прямых AD, EF, ОН и, значит, левым частям уравнений этих прямых в системе координат, в которой осью абсцисс является АВ, началом координат служит А, а ось у направлена параллельно ВС.

Теперь Декарг может указать, что его способ вычисления расстояний CD и т. д. всегда и при любом числе данных прямых приводит к линейному, как коротко говорим мы, выражению относительно х, у. Поэтому в случае трех, четырех, а также и пяти прямых задача оказывается плоской, т. е. при любом значении у соответствующее х можно построить с помощью циркуля и линейки, ибо для х получается квадратное уравнение. Если, пишет Декарт, придавать отрезку у последовательно бесконечное множество различных значений, то найдется бесконечное множество значений и для отрезков х, и таким образом получится бесконечное множество точек С, с помощью которых можно описать искомую кривую. Декарт не упускает из виду, что в случае пяти параллельных прямых задача более не является плоской, и сообщает, каковы будут измерения уравнений при большем числе данных прямых. Этим заканчивается первая книга «Геометрии».

Здесь Декарт прерывает исследование задачи Паппа. Вторую книгу он открывает общими соображениями о типах и классификации кривых. Oтметим пока лишь его слова, что все точки каждой кривой находятся в каком-либо отношении ко всем точкам некоторой прямой и что это отношение

может быть выражено уравнением, одним и тем же для всех точек кривой. Чтобы все это стало более понятным, он рассматривает одно геометрическое место, являющееся гиперболой, выбирает для установления искомого уравнения прямую АВ, дабы «отнести к ее различным точкам точки искомой кривой», и начинает вычисления на прямой АВ с точки А. Хотя прямая АВ и точка А вибираются возможно более целесообразно, но Декарт дает понять, что он умеет доказать, что измерение кривой не изменилось бы при любом другом их выборе. Уравнение которое он в конце концов получает, таково:

hello_html_5fe39a2b.png

Ми привели его как первое уравнение конического сечения, записанное в обычном для нас виде .

Лишь сделав еще ряд замечаний общего характера, Декарт возвращается к задаче Паппа. Допустив, что произведение СВ и CF должно быть равно произведению CD и СН, он находит уравнение

hello_html_7e29e783.png

Эго уравнение он немедленно приводит в более простой форме

hello_html_7e29e783.png

и решает его относительно у:

hello_html_7e29e783.png

затем, введя некоторые сокращенные обозначения, получает

hello_html_7e29e783.png


Это выражение, говорит он, представляет длину линии ВС, когда АВ или х берется неопределенной.

Декарт весьма подробно исследует затем это уравнение, учитывая также знаки отрезков m, n, о, р. Впрочем, уже при выводе выражений для длин проводимых им наклонных отрезков он указал на различные возможные их расположения и обусловливаемые этим изменения знаков. Метод Декарта, а также его последователей в XVII столетии и позднее заключается попросту

в том, что отрезки, выражаемые величинами

hello_html_7e29e783.png

принимаются за построенные и соединяются друг с другом соответственно их знакам. При этом Декарт замечает, что когда радикал есть нуль, точка С находится на прямой, соответствующей уравнению, в правой части которого имеются лишь два первых члена. В случае, если бы корень извлекался, точка находилась бы на некоторой другой прямой, найти которую было бы столь же

легко. Поэтому неверно говорить, будто уравнение прямой совершенно отсутствовало в «Геометрии», хотя оно и не встречалось в ней самостоятельно как таковое.

Когда подкоренное выражение не является ни нулем, ни полным квадратом, Декарт, опираясь на Аполлония, показывает, что геометрическое место точек С является коническим сечением. Один из диаметров его лежи г на прямой, представленной уравнением у =m-(n/z)* х, а квадратный радикал выражает собой ординату , параллельную другому сопряженному диаметру. Декарт точно указывает, при каких знаках коэффициентов получаются парабола, эллипс и окружность или гипербола. Он находит положение центра, длины обоих сопряженных диаметров, т. е., коротко говоря, точное положение и размеры конического сечения. По существу, уравнение его выглядит так же, как то, которое записали бы в несколько более современном виде мы. Может лишь удивить, что Декарт так заботится о сохранении однородности, между тем как уже в начале первой книги он разъяснил, что под аhello_html_m5c273eeb.gif, bhello_html_m5c273eeb.gif и подобными выражениями он понимает просто отрезки. Но сохранение однородности здесь объясняется тем, что он все время видит содержание своей задачи в алгебраически-геометрическом построении отрезка у, хотя, разумеется, воздерживается от конкретного проведения этого построения. Насколько мало интересует его в действительности однородность, которой до него придавалось величайшее значение, Декарт показывает сейчас же по окончании исследования, приводя числовой пример. Для Ферма, и вообще во всем круге идей Виета, такая мысль была абсолютно чуждой, ибо в алгебраических уравнениях они видели только символы геометрических операций. Декарт принимает

hello_html_m6cfec228.png

так что получается уравнение

hello_html_m6cfec228.png

или, по разрешении,

hello_html_m6cfec228.png

Таким образом, отдельные определяющие элементы конического сечения выражаются теперь числами и притом, вообще говоря, иррациональными числами.

Далее Декарт устанавливает еще уравнение кривой, представляющей собой геометрическое место точек С в случае пяти данных прямых, из которых четыре—параллельные эквидистанты, а пятая к ним перпендикулярна, и когда произведение расстояний от трех параллельных прямых должно быть равно произведению двух других расстояний и еще некоторого данного отрезка. В последнем случае употребляется биполярная система координат. Третья книга содержит описанные нами в первой части методы алгебраического и графического решения уравнений.

Как видно из подробно разобранного нами примера и некоторых других мест второй книги «Геометрии», Декарт рассматривает уравнение, содержащее х, у как выражение отношения точек кривой (которая мыслится в качестве простой ветви) к точкам некоторой прямой. Отношение это устанавливается с помощью параллельных между собой отрезков, которые в нашем примере назывались у и которые, вообще говоря, наклонны к прямой

отсчета. На последней Декарт берет некоторую исходную точку для отсчета х, обозначаемую им обыкновенно через А. Но Декарт не проводит последовательного различия в употреблении х и у, у него нет какого-либо предпочтительного направления для прямой отсчета. В третьей книге, в которой, казалось бы, намерения Декарта должны были проявиться особенно отчетливо, он вообще не сообщает уравнений двух используемых там кривых и дает лишь их построение. Неизвестную величину алгебраического уравнения он при этом обыкновенно называет z и решения проводятся так, что z оказывается всегда, по нашей терминологии, ординатой. Точки пересечения получаются, естественно, с обеих сторон от прямой отсчета, и Декарт совершенно правильно принимает ординаты, расположенные с одной стороны, за истинные, а с другой — за ложные корни уравнения.

Сравнивая координаты Декарта с координатами Ферма, мы хотя и найдем некоторое различие и их концепциях, но в основном встретим и здесь и там одинаковый результат, а именно, выражаясь по-современному, ось абсцисс с

нhello_html_6cddec9c.pngачальной точкой и систему параллельных, вообще, наклонных, ординат. Правда, у Декарта встречается черт. 4, и он говорит,

что полагает СВ или МА=у, СМ или АВ = х. Дебон,

его первый комментатор, уже дошел, пользуясь

сходным чертежом, до перемены местами х и у в

уравнении хhello_html_m5c273eeb.gif = bу. Но это применение второй оси

являлось лишь случайным, поскольку вытекало не-

п

черт. 4

осредственно из чертежа. На самом деле отсутствие

ее еще долгое время спустя затрудняло развитие ана-

литической геометрии.

Располагая некоторыми данными относительно времени возникновения в уме Декарта всех этих нововведений, чреватых важнейшими последствиями. Уже в октябре 1628 он рассказывал своему другу И. Бекману, что в течение последних девяти лег сделал в арифметике и геометрии такие успехи, что ему уже нечего более желать, и сообщил ему правило построения всех уравнений третьей и четвертой степени с помощью параболы. В самом деле, примерно в это время Декарт открыл также закон преломления света и попытался установить с помощью математики наиболее целесообразную форму оптических линз. Рассмотрение этого вопроса привело его к овалам, носящим теперь его имя. Сохранился один отрывок, посвященный этим овалам и составленный тогда же впервые опубликован в «Посмертных сочинениях» , 1701. В этом отрывке Декарт уже вводит абсциссу х, употребляемая же им здесь ордината еще не имеет специального обозначения, а у служит символом некоторого параметра, который позднее в «Геометрии» был обозначен через z. Известно далее, что приблизительно в 1631 ориенталист Як. Гооль обратил внимание Декарга на задачу Паппа. В письме к Гоолю от января 1632 Декарт указывает ее решение, сообщая, что нашел его с помощью вычисления. Таким образом, становится понятным, как вся система алгебраически-аналитических идей сложилась у Декарта к 1637 столь полно, что он в неосновательном самомнении с пренебрежением смотрел на древних и, подобно Ферма, думал, будто все главное в этой области им уже выполнено.



  1. Современники и последователи Декарта


Для современников Декарта понимание «Геометрии» было весьма трудным. Поэтому уже в ближайшем году после ее выхода сам автор позаботился о распространении рукописи, которую он своих письмах называл «Введением» (Introduction); нам известен лишь неполный экземпляр ее под названием «Исчисление г. Декарта». Это «Исчисление» было составлено одним другом Декарта, личность которого точно установить не удалось. В рукописи содержалось краткое введение в алгебраический алгоритм Декарта, приводились три алгебраически-геометрические задачи на треугольники и аналитико-геометрическое определение одного места, восходящего к Аполлонию. Из переписки явствует, что сочинение должно было содержать еще алгебраическое решение задачи об определении шара, касающегося четырех данных шаров. Более подробное алгебраическое введение в «Геометрию» составил по указаниям Скаутена Э. Бартолин, выпустивший его в Лейдене в 1651 под названием «Начало универсальной математики».

Вследствие трудности декартовой «Геометрии» особо заслуживают серьезного внимания работы, специально комментировавшие ее. Одними из таких комментариев были «Краткие замечания» Дебона, которые мы нередко упоминали еще в первой части. Скаутен придложил их, тоже в латинском переводе, к первому латинскому изданию «Геометрии» 1649; в остальных латинских изданиях они перепечатывались без изменений. Автор собственно не предназначал их к публикации, но Скаутен нашел, что они способны несколько осветить труд Декарта, и это назначение они в свое время, видимо, выполнили. Свои замечания Дебон уже в 1639 переслал Декарту, и мы знаем, что последний оценил их благожелательно. Прежде всего Дебон развил далее исходные идеи и построения Декарта, затем сразу перешел к общему уравнению второй степени и рассмотрел случаи, когда отдельные коэффициенты в нем равны нулю. В качестве новых примеров он привел геометрическое место точек D, расстояния которых концов отрезка АВ относится как данные отрезки окружность Аполлония, и еще один вид уравнения гиперболы , лежащий в стороне от хода рассуждений Декарта. В зависимости от исчезновения коэффициентов b, с, d и изменения знаков при них Дебон установил здесь 17 случаев.

У Дебона х и у не имели характерных направлений. В двух местах он даже рассматривал как зависимую переменную и писал вообще, что при случае переменные можно менять местами. В остальном Дебон тесно примыкал своему образцу — Декарту. Наибольшие заслуги в распространении «аналитического искусства» Декарта приобрел все же Скаутен, во-первых, самим латинским переводом «Геометрии», вышедшим в XVII столетии в четырех изданиях а, во-вторых, вероятно, еще в большей мере, тем, что он устно и письменно пропагандировал метод Декарта.

Скаутен вычислил и построил точки перегиба конхоиды, примыкая к изложению Гюйгенса в добавлении к его сочинению «Открытия о величине круга».

В 1649 уравнение прямой у Скаутена еще не встречалось, хотя он и рассмотрел тогда задачу о «геометрическом месте к двум прямым» с алгебраически-конструктивной точки зрения. Но в издании 659 в качестве уравнения геометрического места появилось. Во втором издании он вывел также основные уравнения видов конических сечений непосредственно из рассмотрения конуса, хотя в этом его опередил Валлис. Скаутен показал также, как найти конус, на котором лежит данная парабола, эллипс или гипербола. Преобразование координат у Декарта было лишь намечено. Скаутен привел для прямоугольных координат формулы поворота с некоторым смещением начала вдоль оси абсциссам. Простое смещение начала вдоль оси ему также, конечно, было известно. Он применил и перенос начала, и поворот осей для преобразования уравнения гиперболы вначале к виду а затем к сопряженным диаметрам. Он излагает еще, опять-таки данное Гюйгенсом, построение с помощью циркуля и линейки трех нормалей к параболе из данной точки. Кроме того, «Комментарии» содержали кое-какие сведения относительно обыкновенной и обобщенной циклоид, а затем много чисто алгебраического материала. Своих «Математических этюдах» Скаутен также применял алгебраическое исчисление к арифметическим и геометрическим задачам. Например, в реставрации «Плоских мест» Аполлония, составившей содержание третьей книги «Этюдов» и в целом выдержанной в античном духе, наиболее трудные случаи он исследовал как раз с помощью метода Декарта. Особо отметим, что для одного геометрического места у него здесь попутно встретилось линейное уравнение, которое он определенно характеризовал как уравнение прямой. Четвертая книга представляла собой перепечатку упомянутого выше сочинения об описании конических сечений посредством механизмов. Этот способ образования кривых получил большое развитие благодаря Декарту, к которому, между ныне употребительный термин «построение эллипса у садовников». Хотя сочинение Скаутена об образовании конических сечений по характеру своему не было аналитическим, но кое-что в нем все же заслуживает внимания. Такова, например, общая теорема, что при движении концов отрезка по двум прямым всякая жестко связанная с отрезком точка описывает коническое сечение. Последняя пятая книга, в которую вошли разнородные исследования, тоже содержала аналитико-геометрический материал. Примыкая к сообщениям Гудде, Скаутен ,привел ряд коноидов, сечения которых дают кривые все более высоких порядков, и установил уравнения этих кривых. Однако, так как эти коноиды рассматривались как ограниченные тела, Скаутен, естественно, получил лишь части положенных в основу поверхностей и кривых, представляемых его уравнениями. Он вывел также здесь по методу наибольших и наименьших значений Гудде максимальную ширину декартова листа , причем определенно заявил, что не видит, как можно было бы находить подобные вещи без алгебры. Еще в последнем сочинении Ф. Скаутена «Трактат о проведении геометрических доказательств с помощью алгебраического исчисления», изданном его братом Петером и приложенном ко второму тому 2-го латинского издания «Геометрии», он стремился убедить тех лиц, которые еще не постигли алгебраической трактовки геометрии, в превосходстве ее над древним методом.

Некоторый вклад в аналитическую геометрию сделал еще в XVII столетии также Лагир, именно, во второй части книжки, название которой начинается словами «Новые начала конических сечений» (Nouveaux Elemens des Sections coniques, Париж, 1679). Первая часть явным образом представляла собой улучшенное изложение первой книги работы Витта. Лагир исходил из определений эллипса и гиперболы через сумму и разность радиусов-векторов и заметил, что оба они, если один из фокусов взять в бесконечности, переходят в определение параболы, согласно которому все точки последней равноудалены от фокуса и от некоторой неподвижной прямой. На этой основе, обладавшей тем преимуществом, что оси были уже даны, он затем доказал много употребительных теорем и прежде всего справедливость античных симптомов как для самих осей, так и для любых сопряженных диаметров.

Первая часть книги носила чисто геометрический характер. Во второй части, озаглавленной «Геометрические места», Лагир, после некоторых общих соображений, дал примеры исследования определенных и неопределенных задач с помощью «алгебраического анализа». Затем он определил геометрическое место как прямую или кривую линию или же поверхность, все точки которой имеют одно и то же отношение к точкам одной и той же прямой, относительно некоторой точки. Это — первый случай, когда для абсцисс и ординат, понимаемых в общем смысле слова, были предложены

особые наименования, впрочем, не удержавшиеся. Третья часть книжки была озаглавлена «Построение аналитических уравнений» и в соответствии с этим трактовала о применении геометрических мест к графическому решению уравнений. Валлис назвал это сочинение Лагира также подражанием его теории конических сечений; это было обосновано еще менее, чем аналогичное заявление его по адресу Витта.

В 1687 Озанам выпустил в Париже книгу, построенную совершенно сходно с «Новыми началами» Лагира, только несколько более объемистую, составленную из трех томов, изданных по отдельности. Первый том назывался «Трактат о линиях первого рода» (Traite des Lignes du premier genre). Озанам исходил из античных симптомов и установил с их помощью уравнения конических сечений относительно вершины, парабола получается, когда диаметр бесконечно велик. Однако при выводе обыкновенных свойств конических сечений, изложение которых являлось целью сочинения, он употреблял это уравнение («equation constitutive» — определяющее уравнение) и вообще алгебраическое исчисление только совершенно случайным образом.

Второй том «Трактат о геометрических местах» (Traite des lieux geometriques) не содержал ничего нового по сравнению с Лагиром и Виттом в части, касающейся геометрических мест и их «построения». Любопытно лишь, что неопределенные арифметические задачи (из Диофанта) Озанам выражал графически. Мало оригинальное сочинение Озанама заканчивалось томом «Трактат о построении уравнений» (Traite de la construction des

equations).

1705г. Гинэ выпустил хороший учебник по общей алгебраической геометрии «Приложение алгебры к геометрии и т. д. Он отчетливо указал на важность «ложных» (отрицательных) корней уравнения и исследовал все возможные комбинации знаков координат в уравнении окружности чего ввел две перпендикулярные оси, на которые опустил из точки окружности М перпендикуляры МР и MQ. Эти перпендикуляры, а также отсекаемые ими на осях отрезки он определил как «координаты». Но уже у прямых он рассматривал только положительные части; также поступает Гинэ и при изучении конических сечений. Тем не менее, кроме обилия материала, его книга выделялась еще тем, что содержала совершенно самостоятельное учение о конических сечениях. Правда, оно не являлось чисто аналитическим, но там, где это удавалось, автор наряду с подобными треугольниками и пропорциями применял также буквенное исчисление, которое предварительно излагалось на 66 страницах введения к его труду.


ІІІ. Развитие аналитической геометрии, начиная


Величайшее влияние на развитие аналитической геометрии оказало небольшое сочинение Ньютона, изданное им в 1704 в качестве приложения к его книге «Оптика» (Opticks). Мы имеем в виду «Перечисление кривых третьего порядка». Свои рукописи Ньютон давал для ознакомления много ранее , благодаря чему некоторые его результаты приобрели известность. Выпуская «Перечисление кривых», Ньютон хотел, таким образом, лишь сохранить свой приоритет; этим объясняются опубликование этого сочинения в столь неподходящем соседстве и отсутствие в нем доказательств. Последнее

было, впрочем, в большой части восполнено в книге «Ньютоновы кривые третьего порядка» (Оксфорд, 1717) Дж. Стирлинга, самый заголовок которой определенно характеризовал ее как «пояснение» к трактату Ньютона. В данной связи нас интересует не собственное содержание обоих сочинений , а то обстоятельство, что координатный метод, применение которого за пределами, установленными концепцией Декарта, было мало значительным, почти внезапно с большой уверенностью завоевал ранее почти незнакомую область. Нельзя сказать, что понятие координат было при этом у Ньютона и

Стерлинга иным, чем у Декарта. По-прежнему речь шла у них только о «начальной точке абсцисс», и то, что мы называем осью ординат, лишь иногда именовалось «первой» или «главной» ординатой. Но на ньютоновых таблицах чертежей рисовались обе оси, исследование вопроса о знаках координат всегда проводилось до конца и все квадранты были равноправны. Каждая кривая нарисована у Ньютона точно так, как вычерчиваем ее теперь мы. Перед современниками «Перечисление кривых» раскрывало неожиданное богатство совершенно новых форм, типы уравнений которых приводились при этом в тексте.

О конических сечениях книга Ньютона говорила лишь в той мере, в какой это было необходимо для обобщения некоторых понятий и свойств на кривые третьего порядка. Тем не менее в ней заключались ростки более свободной трактовки конических сечений с помощью координат. Начало этому положил уже Стирлинг. Прежде всего он показал, как всякое уравнение линии второго порядка может быть приведено, согласно некоторому общему

Предложению. Затем, и это весьма замечательно, он принялся за определение

положения и длины осей, исходя только из этих уравнений, т. е. совершенно не прибегая к теоремам Аполлония и лишь учитывая форму гиперболы или же эллипса. Со времен Валлиса это была, по-видимому, первая попытка вывести свойства кривой из ее уравнения. Метод Стирлинга был вполне применим, хотя он и не дошел до каких-либо окончательных формул, ибо всегда лишь указывал на отдельные необходимые этапы приведений. В рассматриваемое время координатный метод употребляли преимущественно в дифференциально-геометрических исследованиях, или же, если подчеркивали значение метода Декарта, применяли его к высшим алгебраическим кривым.

Первым немецким учебником аналитической геометрии была, по-видимому, книжка. М. Губе «Опыт аналитического трактата о конических сечениях» (Versuch einer analytischen Abhandlung von den Kegelschnitten, Геттинген, 1759), которую Кестнер снабдил длинным предисловием на тему о преимуществе аналитического метода по сравнению с синтетическим. Губе определенно поставил целью своего сочинения познакомить более широкий круг читателей с теорией конических сечений Эйлера, изложенной у последнего среди многих других вещей в большой и дорогой книге. В научном отношении Губе по сравнению с «Введением в анализ» не продвинулся, хотя кое в чем проявил самостоятельность. Губе хотя и вводил две оси, но имел дело лишь с началом абсцисс, и все относил лишь к оси абсцисс. Заметим еще, что Губе построил уравнение прямой вида при положительных А и В. Ему, как и Эйлеру, было также вполне ясно, что коническое сечение может состоять из пары прямых. Он даже приводил общее уравнение второй степени в форме так что всегда имел коническое сечение в собственном смысле слова.

В основном популяризация аналитической геометрии и реформы в алгебре, произведенной Декартом, была осуществлена в энциклопедических курсах, содержавших обзоры всех отделов математики. Вовсе не следует думать, что обозначения Декарта вошли в общее употребление, начиная с 1637.

Шаг вперед был сделан только в работах Монжа и Лагранжа, имевших, однако, своим предметом в первую очередь геометрию пространства. Вслед затем С. Лакруа незадолго до конца столетия перенес новое расположение материала и новые обозначения в плоскую геометрию. Он осуществил это в

своем «Элементарном курсе прямолинейной и сферической тригонометрии и приложений алгебры к геометрии. Преобладающая часть этой книги была посвящена аналитической геометрии, хотя она все еще содержала, следуя преемникам Декарта, введение, в котором решались алгебраически-геометрические задачи.

Декартово понятие координат также не претерпело здесь еще изменения, хотя знаки в четырех квадрантах были введены совершенно правильно. Говоря о новом расположении материала, мы имеем в виду, что автор здесь систематично начал с задач на прямую. Здесь впервые разбиралась задача о проведении прямой через две данные точки. Лишь после этого Лакруа переходит к общему уравнению второй степени и выводит из него три канонические формы уравнений кривых второго порядка. Затем изучаются их специальные свойства. Лакруа устанавливает общее полярное уравнение всех

конических сечений.

Употребительное тогда приложение кривых к решению высших уравнений посредством отыскания их точек пересечений было здесь также налицо. Изложение Лакруа носило столь современный характер, что уже первое издание книги могло бы и теперь без изменений служить основой преподавания в высшем реальном училище. Действительно, 25-е издание учебника Лакруа вышло еще в 1897. За Лакруа последовал ряд авторов, например, Лефрансе с его «Опытами о прямой линии и о кривых второго порядка» и Био с широко распространенным тогда «Аналитическим трактатом о кривых и поверхностях второго порядка». «Сборник различных геометрических предложений» Л. Пюиссана носил характер составленного в том же духе сборника упражнений. На пороге XIX столетия появилась статья Г. Монжа и Ашетта «Приложение алгебры к геометрии», позднее не раз выходившая в виде отдельной книги и в значительно расширенном виде. Ее можно рассматривать как введение к «Приложению анализа к геометрии» Монжа, посвященное разбору более элементарных предметов.


IV. Предыстория аналитической геометрии. Терминология

Несомненно, что и Ферма, и Декарт пришли к их аналитико-геометрическому методу, отправляясь от изучения древних, особенно Аполлония. Однако аналитическая геометрия смогла возникнуть из учения о конических сечениях греков лишь после того, как алгебра уже получила достаточное развитие. Так как алгебра Ферма покоилась на несколько более старой концепции, чем алгебра Декарта, и, кроме того, Ферма явно привел также и простые виды уравнений конических сечений, то и связь его сантичностью заметна особенно отчетливо. У Ферма можно даже в некоторой мере проследить, как он пришел к своему координатному методу, главным образом по его попытке восстановить утраченные «Плоские места» Аполлония. Но отсчет или измерение абсцисс от некоторого фиксированного пункта на некоторой фиксированной прямой впервые ввели Ферма и Декарт, причем, вероятно, независимо друг от друга. В «симптомах» греков, которые при переводе на язык алгебры переходят в наши уравнения конических сечений, как правило, участвовали, так сказать, две абсциссы (два отрезка одного диаметра) и одна ордината (сопряженная полухорда). Распространение такого приема на исследование высших кривых — дело не простое и в античную эпоху даже не намечалось. Определение точек прямой посредством их расстояний от некоторой фиксированной точки представляется нам теперь

весьма естественным. Аполлоний не имел для частей диаметра какого-либо специального термина. Он говорил, например: «отрезки, отсеченные на диаметре до вершины». Декарт, Ферма и их ближайшие последователи называли эти отрезки диаметра почти сплошь с помощью различных описательных оборотов.

В качестве настоящего технического термина слово абсцисса было применено в современном смысле Лейбницем. До этого отрезок от начальной точки, если она не была вершиной конического сечения, до основания ординаты вообще не имел специального названия; х, у именовали просто «неопределенными величинами». Лишь случайно «абсцисса» появляется в качестве технического термина у Риччи в «Геометрическом этюде о макси-

максимумах и минимумах» .

Слово «ордината» тоже возникло в результате перевода с греческого. Выражение, применявшееся Аполлонием, передано было в средние века через «linea secundum ordinem» («линия, соответствующая порядку») или через «linea ordinis» («линия порядка»).

Коммандино успешно ввел оборот «ordinatim applicata» («по порядку приложенная»), а позднее наряду с этим составным выражением стали употреблять его элементы в виде «ordinata» и «applicata» (или же, по-французски, «ordonnee» и «appliquee»).

Первое из этих слов одержало верх не ранее второй половины XVIII столетия. Первоначально под ординатой понимали то всю хорду конического сечения, то ее половину; подобные колебания восходили к самому Аполлонию. Еще Эйлер во «Введении в анализ» понимал под этим словом целую хорду, а наши ординаты называл «applicatae». Термин «координаты» придумал Лейбниц , определенно подчеркнувший при этом равноправие «абсциссы» и «ординаты». Мы выше подробно показали, сколь незначителен был сначала практический эффект этой мысли Лейбница.

Многие прежние исследователи утверждали, что в средневековом математике и философе Н. Ореме следует видеть предшественника Декарта в открытии аналитической геометрии. Однако новейшие изыскания показали, что эти утверждения содержали в себе, с одной стороны, слишком много, а с

другой — слишком мало. Именно, выяснилось, что вся схоластическая философия представляла себе переменными, скажем во времени, ряд теологических понятий, вроде христианской любви, а наряду с этим — теплоту, холод и т. д. и даже скорость какого-либо движения. Схоластики занимались метафизическими спекуляциями о характере изменения этих понятий и снабжали их числовыми (но не эмпирическими!) примерами. Орем первый, по-видимому, предложил воспользоваться в этой связи графическим изображением, весьма близким с нашим современным. Он это сделал в большом трактате, сохранившемся лишь в рукописном виде и названном им самим «О дифформности качеств» (De difformitate qualitatum, написано ранее 1371). Приписываемый обыкновенно ему «Трактат о широтах форм» представлял собой сжатое изложение этого учения, но не принадлежал самому Орему. Существенное отличие графического приема Орема от современных

воззрений заключается в том, что у него отсутствовали понятия начальной точки и абсциссы. Орем, как и все его последователи, постоянно исходил лишь из некоторого «основного отрезка», который мог представлять собой, например, час. «Свойство» рассматривалось лишь в границах между перпендикулярами, восстановленными в концах этого отрезка; «latitudines» — «широты» являлись ординатами. «Фигуру» представляли себе ограниченной сверху линией, которая могла быть прямой, кривой или же составленной из каких угодно кусков. О кривых какого-либо определенного рода не было и речи. Схоластики все же сумели очень хорошо исследовать таким образом, например, равномерно-ускоренное движение. Они понимали, что во всех таких случаях площадь «фигуры» служит мерой пути. Метод определения пути падающего тела, примененный Галилеем, как и его результат, действительно встречались уже у Орема. Недавно было установлено, что этот способ графического изображения дошел до времен Декарта и что Декарт знал его и иногда употреблял. Однако и самое тщательное изучение высказываний Декарта не позволяет установить какую-либо видимую связь между указанным графическим приемом и аналитической геометрией Декарта. Весьма вероятно, что общие элементы обоих приемов кажутся очевидными лишь нам, получившим уже твердо укрепившееся и гораздо более широкое представление о координатах. Нередко высказывалась также мысль о влиянии на Декарта или Ферми издавна применявшихся небесных координат, но это

не может быть доказано и невероятно. Естественна лишь их связь с античной геометрией конических сечений.















Литература

  1. Юшкевич. Ю.А. «Леонард Эйлер». М. : Знание, 1982.

  2. Юшкевич А.П. «История математики в России». М.: Наука,1968 г.

  3. Вилейтнер Г.В. «История математики от Декарта до середины XIX столетия». М.: государственное издание, 1960

  4. Г.И. Глейзер « История математики в школе».М. «Просвищениу», 1982



23




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 12.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров29
Номер материала ДБ-344875
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх