Реферат "Математическая константа число е"

МОУ «Центр образования № 23 «Созвучие»

учебно-консультационный пункт при ФКУ ИК-1 г. Вологды

Реферат

«Математическая

константа – число е»

                        Выполнила работу

                                                           ученица 12 класса Кураченко Яна

                                            Руководитель: учитель математики

                                                   высшей квалификационной категории

                                                                                      Мочалыгина И.А.

Вологда

 2018 г

Реферат на тему:  «Математическая константа - число e»

Цель работы:   Знакомство с числом е .

Задачи работы:

·        познакомиться с историей появления и главным смыслом математической константы - числа е;

·        повысить математическую культуру;

·        учиться обрабатывать имеющуюся информацию;

·        развить умения анализировать и делать выводы;

·        учиться кратко излагать свои мысли.

Содержание работы:

1.     Научные определения числа е.

2.     Число е – это не просто число.

3.     Понятие экспотенциального роста.

4.     Главный смысл числа е.

5.     История появления числа е.

6.     Значение числа е.

7.     Свойства числа е.

8.     Приближения числа е.

9.     Интересные факты, связанные с числом е.

1. Научные определения числа е.

·        В Википедии — свободной энциклопедии,  даны  следующее определение числа е:

число e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число (не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами). Оно приблизительно равно 2,71828. Иногда число e {\displaystyle e} называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e»;

·        число e -  математическая константа, являющаяся  основанием натурального логарифма;

·        натуральный логарифм, ранее известный как гиперболический логарифм, является логарифмом с основанием е, где е – иррациональная константа, приблизительно равная 2,718281828459.

Определения, конечно, правильные. Но понять их крайне сложно. Конечно, Википедия в этом не виновата: обычно математические пояснения сухи и формальны, составляются по всей строгости науки. Из-за этого новичкам сложно осваивать предмет.

Попробуем разобраться что представляет собой число е

2. Число е – это не просто число.

Описывать число е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» — это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи — это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей. Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а, следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Число пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число «е» является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

3.Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

• Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
• Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
• Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2¹ раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2⁴=16 частей. Общая формула выглядит так:

                                                                  рост = 2^x

Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:                          рост = (1+100%)^x

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение - 1 плюс 100%.

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:  

                                               рост = (1+прирост)^x

Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение? Нет. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

4. Главный смысл  числа е.

Главный смысл числа e раскрывается в поведении другой, куда более интересной функции, y = k^x. Эта функция обладает уникальным свойством при k = e, которое можно показать графически так:

В точке х=0 функция принимает значение равное 1, т.к.  e⁰ = 1. Если провести касательную в точке x = 0, то она пройдёт к оси абсцисс под углом с тангенсом равным 1 (в жёлтом треугольнике отношение противолежащего катета 1 к прилежащему 1 равно 1). В точке х=1 функция принимает значение равное e, т.к.  e¹ = e. Если провести касательную в точке x = 1, то она пройдёт под углом с тангенсом e (в зелёном треугольнике отношение противолежащего катета e к прилежащему 1 равно e). В точке х=2 значение функции e² функции снова совпадает с тангенсом угла наклона касательной к ней. Из-за этого, заодно, сами касательные пересекают ось абсцисс ровно в точках −1, 0, 1, 2 и т. д.

Среди всех функций y = k^x (например, 2^x, 10^x, π^x и т. д.), функция e^x — единственная обладает такой красотой, что тангенс угла наклона её касательной в каждой её точке совпадает со значением самой функции. То есть по определению значение этой функции в каждой точке совпадает со значением её производной в этой точке: (e^x)´ = e^x. Почему-то именно число e = 2,7182818284590... нужно возводить в разные степени, чтобы получилась такая картинка.

Именно в этом, на мой взгляд, состоит его смысл.

5. История появления числа е.

Число е впервые появилось в математике как нечто незначительное. Это случилось в 1614 г. В приложении к работе Непера по логарифмам была дана таблица натуральных логарифмов различных чисел. Однако никто не понял, что это логарифмы по основанию е, так как в понятие логарифма того времени такая вещь как основание не входила. Это сейчас мы называем логарифмом степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить требуемое число.

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Бернулли показал, что процентный доход в случае сложного процента имеет предел:      и этот предел равен 2,71828…

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» в 1736 году. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще,  и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential, («экспоненциальный», «показательный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой.

6. Значение  числа е.

Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики, на практике часто берут е = 2,7.

Поскольку функция  экспоненты e x {\displaystyle e^{x}} е интегрируется и дифференцируется «в саму себя», логарифмы именно по основанию е  e {\displaystyle e} принимаются как натуральные.

7. Свойства числа е.

 

§  (производная функции у = е^х равна  е^х ).  Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения является функция ,  где c — произвольная константа.

§  Число e иррационально и даже трансцендентно. Его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.

8. Приближения числа е.

• Число можно запомнить как 2, 7 и повторяющиеся числа 18, 28, 18, 28.
• Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов).

Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила:

«Экспоненту помнить способ есть простой: два и семь десятых, дважды Лев Толстой».

Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он».

• Мнемоническое стихотворение, позволяющее запомнить первые 12 знаков после запятой (длины слов кодируют цифры числа e):

Мы порхали и блистали, / Но застряли в перевале: / Не признали наши крали / Авторалли.

• С точностью до трёх знаков после запятой через «число дьявола»: нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6−4, 6−2, 6−1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки): .
• Число 2 23/32 превосходит число е менее чем на 0,0005.

9. Интересные факты.

§  В IPO компании Google в 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленное число представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.

§  В языках программирования символу e в экспоненциальной записи чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка FORTRAN для математических вычислений.

Вывод:  Мы познакомились с историей возникновения, смыслом, значением

               и применением числа «e»

Список использованной литературы:

1.     Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса, М., 1990.

2.     Перельман Я.И. Живая математика, Екатеринбург, 1994.

3.     Перельман Я.И. Занимательная алгебра, Екатеринбург, 1994.

4.     Интернет ресурсы

Краткое описание документа:

Реферат о возникновении, развитии и применении числа "е". Знакомство с числом "е" происходит при изучении темы "Свойства логарифмов" в частности при изучении вопроса "Десятичные и натуральные логарифмы". Материал реферата поможет учащимся осознанно использовать число "е" и работать с натуральными логарифмами. Приведённые в реферате мнемонические правила позволят быстрее запомнить значение числа "е".