Реферат по истории математики "Зарождение тригонометрии"

 

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ.. 2

Развитие тригонометрии до Эйлера.. 3

Заслуги Эйлера в преобразовании и дальнейших успехах тригонометрии.. 15

последователи Эйлера а развитии тригонометрии.. 21

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 23

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 26

Развитие тригонометрии до Эйлера

Оказавшийся столь важным для развития учения о геометрических  местах 1637 год не имел такого же значения для элементарной геометрии. В частности, сам Декарт ничего не сделал для тригонометрии как таковой. Как в его «Геометрии», так и в комментариях к ней тригонометрические функции углов фигуры выражались через отношения сторон связанных с ней прямоугольных треугольников.

Тем не менее тридцатые годы XVII столетия завершили в известной мере построение тригонометрии: мы имеем в виду создание логарифмических методов вычислений. Отметим, что в 1633 вышла «Британская тригонометрия» (Trigonometria Britannica) Бригса—Геллибранда, содержавшая во второй части наиболее употребительные приемы решения плоских и сферических треугольников, с учетом в первую очередь формул логарифмического характера. Наряду с аналогиями1) Непера Геллибранд применял формулы, определяющие половину угла по трем сторонам как для плоского (Ретик, ранее 1576, опубликовано в 1596), так и для сферического треугольника (Непер в Constructs, 1619). Случай трех данных углов в сферическом треугольнике Геллибранд приводил, впрочем, с помощью полярного треугольника к случаю трех данных сторон, не сообщая никаких формул. В таблицах, составлявших первую часть «Британской тригонометрии», авторы ввели десятичное деление градуса. Однако в опубликованной одновременно работе «Искусственная тригонометрия» (Trigonometria artificialis) Флакк снова пользовался старым шестидесятеричным делением и образовал тем самым основу всех позднейших таблиц.

Укажем еще на книгу П.- Крюгера «Употребление логарифмической тригонометрии» (Praxis Trigonoraetriae logarithmicae, Данциг, 1634), принадлежащую также и к разбираемому нами периоду, поскольку новые издания ее вышли в 1648 и 1654. Крюгер применял неперовы аналогии в случаях сферических треугольников с данными a, b, f и а, р, с вполне по-современному. Для плоского треугольника с тремя данными сторонами а^>Ь^>с он привел длинное словесное указание, которое в наших обозначениях гласит, что прежде всего нужно определить вспомогательную величину х из уравнения

 

а затем из уравнения

найти угол β и из уравнения

 

угол γ. Здесь х обозначает разность р — q проекций сторон b, с на ВС. Этот обход теоремы косинуса был характерен для всей тогдашней английской тригонометрии (соответствующие чертежи имелись, например, у Оутреда и Дж. Ньютона (см. стр. 322). Восходил он к Descriptio Непера A614) и основывался, по существу, на теореме о том, что

 

которая была известна в различных формах еще древним грекам

и арабам.

Как в алгебре, так и в тригонометрии нового времени прежде всего усовершенствована была форма. И здесь и там совершался постепенный переход от античного изложения с помощью пропорций и нередко длинных вычислительных рецептов к алгебраическому исчислению и уравнениям. В значительной мере этот прогресс был осуществлен теми же учеными. П. Эригон распространил свою символику и на тригонометрию. В качестве образца мы приведем лишь форму, в которой он изложил теорему косинусов для плоскости. Нужно заметить при этом, что на чертежах Эригона в вершинах углов стояли большие буквы, которые часто сами обозначали эти углы, а в тексте — малые, и что D представляет собой основание высоты, проведенной из А. Теорема имела у Эригона следующий вид:

В Англии весьма способствовал более символическому изложению тригонометрии Р. Норвуд. Он ввел впервые сокращенные обозначения для кофункций (наряду с s, t, sec у него имелись сокращения sc и tc для cos и ctg) и нередко опускал знак сокращения между этими символами и знаком угла, который тоже часто отмечал только одной буквой. Еще далее пошел У. Оутред. Правда, до выхода «Тригонометрии» Оутреда (Trigonometria, Лондон, 1657) появился «Очерк тригонометрии, изложенной для употребления юношества»|Aс1еа trigonometriae demonstratae in usum juventutis, Оксфорд, 1654) Сет Уорда, где, между прочим, был введен знак угла Ð (для множественного числа ÐÐ), а суммы и разности обозначались, как у Оутреда, соответственно, через Z и Х, но Уорд это, несомненно, заимствовал у Оутреда. Теорему синусов Уорд записывал в виде ВС • BD: :s, D • s, С (аналогичные записи имелись уже у Норвуда). Теорему тангенсов, по существу открытую уже Т. Финком A583), а в современном виде словесно высказанную впервые Виетом A593), Уорд и Оутред записывали одинаково:

Уорд для ее написания применял также еще более современную форму. Замечательна еще форма, в которой Оутред привел формулу для половин углов плоского треугольника, где, как и выше, Хcru[rum] обозначает разность двух боковых сторон (а, с) треугольника, В — основание (b), a q и Q — действия возведения в квадрат:

Точный перевод ее гласит:

Аналогично записывалась соответствующая формула для cos β/2.

В сочинении Оутреда были даны также первые (геометрические) доказательства обеих аналогий Непера. Непер, а также Бриге и Геллибранд опубликовали только самые формулы, притом в логарифмическом виде.

Аналитический вывод неперовых аналогий дал впервые Джон Ньютон в большом труде «Британская тригонометрия» [Trigono- metria Britanica (sic!), Лондон, 1658]. Впрочем, этот вывод, как и другие доказательства вычислительного характера, приведенные Ньютоном, был еще весьма громоздким. Сочинение Дж. Ньютона представляло собой значительно улучшенное и дополненное новое издание одноименной работы Бригса — Геллибранда. В нем, как и в несколько более ранней «Британской астрономии» (Astronomia Britannica) того же автора (Лондон, 1656/57), впервые регулярно употреблялись термины «косинус» и «котангенс». Для «синуса», «тангенса» и «секанса» это сделал еще Т. Финк A583), так что теперь наименование тригонометрических функций было уже установлено, хотя и не стало пока общеупотребительным.

Упомянем здесь, что формулы, выражающие функции удвоенного угла через функции однократного1), были в это же время дополнены формулой, записываемой в наших обозначениях в виде

Эту теорему привел Джон Пелль в своей книге «Споры об истинном измерении круга» (Controversiae de vera circuli mensura, Амстердам, 1647); там же она была доказана различными способами Робервалем и другими математиками. Более общее правило для tg(a+β) и, кроме того, для sc (a+β)  впервые вывел (геометрически) Я. Герман в Acta Erud., 1706. Забегая вперед, добавим, что формула

появилась лишь во «Введении» Эйлера (1748) и что важные формулы, позволяющие рационально выразить sin 2а и cos 2а через tg a, были установлены еще позднее И. Ламбертом в первой книге его «Очерков об употреблении математики», 1765.

Задачу об определении двух углов (β  и γ ) треугольника по третьему углу а и логарифмам сторон Ь и с впервые решил по словам Томаса Стрита (Astronomia Carolina, Лондон, 1661) Роберт Андерсон, введший для этой цели вспомогательный   угол. Он,  в  переводе  на  наши  обозначения,   положил tg j = b/c, вычислил j и затем определил угол β-γ:

Теорема была передана словесно; доказательство, предполагавшее  известной теорему тангенсов, имело сложный геометрический характер. Отсюда этот прием перешел в большинство учебников.

Из энциклопедических изложений тригонометрии заслуживает упоминания благодаря ее большой ясности «Тригонометрия» (в книге II «Astronomia Britannica», Лондон, 1669) В. Уинга. Уинг опирался на Непера, Норвуда. Для каждого случая он приводил пример, вычисленный с помощью логарифмов, но иногда опускал доказательства. Случай сферического треугольника с тремя данными сторонами был разобран Уингом на основе формулы

как это нередко делали в то время вслед за Непером. Уинг пользовался сокращениями s., cs., t., ct. В «Компендии математики» (A mathematical Compendium, Лондон, 1674), составленном на основании заметок Дж. Мура, Н. Стефенсон писал S., Cos., Т., Cot., но иногда производил сокращения и по-другому (si:, si. со., cos и т. д.). Дж. Валлис в «Трактате об угловых сечениях» (Treatise of angular sections, Оксфорд, 1684; приложение к его «Алгебре», 1685; лат. изд. Opera, 11,1693) пользовался для обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно буквами S, £, Т и т. С помощью этих обозначений он впервые придал основным формулам гониометрии вид уравнений вроде

Нам чужды лишь «целый синус» (R), который долгое время еще продолжали применять, а также употребление функций секанса, косеканса, синус-верзуса (= 1 — cos) и синус-верзуса дополнительного угла.

В то время как у самого Валлиса эти немаловажные новшества играли скорее подчиненную роль (ибо в печати он применил их лишь в одной небольшой статье), Джон Кесуэлл, опираясь на них, составил «Плоскую и сферическую тригонометрии» (Trigonometry both plain and spherical), которая также вышла в приложении к «Алгебре» Валлиса и в которой мы видим первое, более насыщенное формулами, изложение тригонометрии. В этой работе, например, формулы половинных углов по трем сторонам плоского треугольника были впервые выведены с помощью алгебраического преобразования теоремы косинусов. Большой прогресс в приемах Кесуэлла становится особенно ясным, если сравнить с его выводом громоздкие геометрические доказательства тех же формул, которые дал в своих «Математических этюдах» (кн. V) Ф. Скаутен.

Теорему косинусов сферической тригонометрии Кесуэлл вывел из трехгранника, накладывая боковую грань на основание. По-видимому, это был первый случай вывода тригонометрических формул с помощью методов начертательной геометрии. Затем Кесуэлл алгебраически преобразовал теорему, причем получил формулы сферической тригонометрии для половинных углов.

Обозначив основание треугольника, как и Оутред, через В, боковые стороны через m, n, полупериметр через x¹), он, например, нашел для тангенса половины угла при вершине пропорцию

которая без труда переходит в современную форму

Неперовы аналогии Кесуэлл сначала доказал искусственным образом геометрически, но затем он привел четыре теоремы из наследия священника Томаса Бекера, которые аналитически вывел из обычных теорем для прямоугольного треугольника и из которых затем получил с помощью выкладок также аналогии Непера.

Первой графически изображена была функция синуса. Роберваль вычертил ее график в связи с определением площади циклоиды. Именно, он начертил внутри циклоиды и на ее основании, с помощью закрепленного в левом конце основания образующего круга, линию, названную им Trochoidis comes (или также socia—«спутницей трохоиды»), тождественную с полным оборотом синусоиды. Название «линия синусов» встречается впервые у французского иезуита Онорэ Фабри в сочинении «Геометрический труд о линии синусов и циклоиде» (Opusculum geometricum de linea sinuum et cycloide, Рим, 1659; перепечатан в принадлежащем тому же автору «Обзоре геометрии» — Synopsis geometriae, Лион, 1669), опубликованном им под псевдонимом А. Фарбиуса и вообще относящемся к предыстории исчисления бесконечно малых. Валлис в части II своей «Механики» (1670) правильно разобрал вопрос о знаках синуса во всех четырех квадрантах и вычертил два полных оборота синусоиды, отметив при этом, что их бесчисленно много. В другом месте он указал, что линия синусов служит границей развернутой на плоскость поверхности «цилиндрического копыта». Несколько позднее он нарисовал ветви линии секансов, но не заметил, что в вершинах они должны, быть направлены горизонтально, и соединил обе половины под прямым углом. Дж. Грегори в своих «Геометрических этюдах» (1668) представил часть тангенсоиды, лежащую в первом квадранте. Кривые секанса, тангенса и косинуса для первого квадранта были изображены на одном чертеже в «Геометрических лекциях» (Лондон, 1670, 2-е изд., 1674) И. Барроу. Однако линия секансов вычерчена там по крайней мере весьма неточно, а на других чертежах линия тангенсов даже просто неверна. Знаки тангенса в различных квадрантах впервые правильно установил, не приведя ни чертежа, ни доказательства, Ланьи [Mem. Ac. Paris, 1705 1706)]. Котес в «Различных произведениях», приложенных к «Гармонии мер» (опубликовано в 1722), дал правильные графики тангенса и секанса для двух оборотов. Но еще Ф. Майер, обладавший вообще весьма серьезными заслугами в области тригонометрии, считал синус и тангенс тупого угла положительными, а косинус и когангенс отрицательными.

Большие успехи, достигнутые к этому времени в Англии, лишь постепенно укрепились на материке Европы. В Германии в XVII столетии не появилось ни одной сколько-нибудь значительной книги по тригонометрии, и неоднократно выходили только краткие изложения, предназначенные для землемеров и сообщавшие теоремы без доказательства; авторы некоторых даже не пользовались логарифмическими вычислениями. Из этих книг мы назовем только весьма употребительные «Таблицы универсальной математики» (Tabulae per universam mathesin, Виттенберг, 1664) Эгидия Штрауха и «Пандору математических таблиц» (Pandora mathematicarum tabularum, Франкфурт, 1684 и 1688) Грюнебергера, во введении к которым был дан обзор тригонометрических теорем. Aвтор «Ясной математики» (Mathesis enucleata, Нюрнберг, 1689, 1695 и 1711) Иоганн Штурм, кратко говоривший в ней и о тригонометрии, пропустил секансы как линии, без которых можно легко обойтись.

Несколько больше мы находим у французов. Прежде всего мы должны указать на известные уже нам большие энциклопедические работы Дешаля и Озанама. «Курс или мир математики» 1674, три тома; 1690, четыре тома) Дешаля заключал в первом томе полный обзор плоской и сферической тригонометрии, хотя еще в традиционной форме, с геометрическими доказательствами и без сокращенных обозначений. Задачу о вычислении двух углов β  и γ  по их сумме и отношению их синусов он рассматривал несколько иначе, чем Стрит. Он полагал

sin β : sin γ = tg j : tg ψ,

брал j произвольным и отсюда с помощью логарифмов определял ψ. Выведя (разумеется, в старинной форме) из вышеприведенной пропорции новую:

Введение бесконечных рядов (ср. стр. 117 и след.) побудило вновь заняться формулами для sin n_j и cos n_j , уже ранее известными для отдельных целочисленных значений п, и распространить их на случай произвольного п. Основание этим исследованиям было положено главным образом Виетом, который вывел такие формулы вплоть до n =10. Он, как и Бюрги (в одной неопубликованной рукописи), уже заметил закон образования коэффициентов. Хотя Оутред по существу не пошел дальше результатов Виета, но выражения, помещенные в конце первого издания его «Ключа к математике» 1631), вплоть до n = 5, уже значительно превосходили по алгебраической форме изложение Виета.

Последний результат Оутреда здесь имел вид:  

B sin а)в — 5 B sin аK -f 5-2 sin а = 2 sin 5а.

Оутред здесь указывал, что радиус вообще можно положить равным 1; однако осуществил это лишь Эйлер. Во втором издании в 1648 Оутред дал соответствующую формулу для sin 7a. Он составил еще более обширный трактат о «сечениях угла» (опубликован в Opuscula math, hactenus inedita, Оксфорд, 1677). Там формула, соответствующая приведенной нами, гласила:

Скобка служит знаком деления, а делитель стоит слева от нее¹).

В своих работах Ланьи; которые были посвящены «гониометрии», введенной им в качестве новой науки об измерении всех углов.  Первая была почти целиком посвящена одному чисто геометрическому методу, который состоял в том, что отношение между соответствующей углу дугой и полуокружностью представлялось в форме цепной дроби с помощью накладывания дуги на полуокружность, остатка — на дугу и т. д., продолжающегося, пока остаток не окажется уже неприметным. Другой, чисто аналитический прием был подробнее приведен  преимущественно во второй статье. По существу он заключался в употреблении ряда для арктангенса. Но для уточнения вычислений Ланьи почти повсюду ввел замечательные усовершенствования. Так, например, он определял меньший острый угол прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5 с точностью до 1/60 ¹⁰  градуса. В третьей статье он привел выражение для общего члена ряда, получающегося из ряда арктангенса при сложении каждых двух последовательных его членов, и определил границы погрешности, если ряд обрывается на некотором определенном члене.  В четвертой статье Ланьи указал, до каких пор следует продолжать вычисления при определении по его методу одного из острых углов прямоугольного треугольника по сторонам.

Немаловажные успехи были сделаны еще до Эйлера в XVIII столетии и в решении треугольников. В первую очередь все более приближалась к современной форма, хотя иногда еще пропорции  выражались словесно. Пример был подан и здесь И. Ньютоном в его «Универсальной арифметике» 1707. Он занимается задачей о решении треугольника по основанию; сумме боковых сторон и углу при вершине. Ньютон проводит биссектрису угла устанавливает пропорцию

с: (a + b) = sin 1/2γ : sine

В проблемах XI и XII Ньютон задает три стороны, сам вводит строчные буквы, полагая, впрочем, АВ = а, АС=Ь и ВС = с, и словесно устанавливает пропорцию. Выводимые им дальше формулы для половинного угла и формула Герона для площади треугольника были хотя и не новы, но появились у него в привычной для нас форме.

В Германии в это время большое распространение получили сочинения Вольфа. Однако и в них еще не были использованы достижения англичан ни по содержанию, ни в отношении формы теорем. Следует только отметить вид, который сообщил Вольф правилу Непера для прямоугольного сферического треугольника.  Во Франции после сочинений Дешаля и Озанама появилась довольно объемистая книга Депарсье «Новые курсы тригонометрии» (Nou-

veaux traites de trigonometrie, 1741), которая содержала хорошие семизначные таблицы синусов, тангенсов и секансов, значения которых приводились с интервалом в одну минуту, и восьмизначные таблицы логарифмов синусов и тангенсов с интервалом 10 минут.

Наиболее выдающимся представителем тригонометрии до Эйлера был, однако, Ф. фон-Оппель. И он принадлежал к числу последователей Майера. В книге «Анализ треугольников» (1746) Оппель поставил целью аналитически развить всю плоскую и сферическую тригонометрию из немногих предложений, выведенных геометрическим путем. Свое намерение он, действительно, осуществил, хотя буквенное обозначение Майера весьма затрудняет чтение его книги. Наиболее важно, что оба так называемых уравнения Молльвейде приводились здесь в современной нам форме. Оппель вывел их посредством вычислений из геометрически доказанной теоремы тангенсов.

Оппель первый вполне систематически основал сферическую тригонометрию на рассмотрении рассеченного у верхнего ребра трехгранника, обе боковые грани которого накладывались на плоскость основания. С помощью такого чертежа он вывел теоремы синусов и косинусов, заметил, что из этих двух теорем можно вывести все прочие формулы, и показал, как с помощью дополнительного треугольника можно получить для каждой формулы взаимную с ней. Он вывел очень много таких формул, не интересуясь, однако, их приведением к логарифмическому виду, так что, например, аналогии Непера у него отсутствовали.

Заслуги Эйлера в преобразовании и дальнейших успехах тригонометрии

Понятно, что столь ярко выраженный аналитический гений, каким являлся Эйлер, раз занявшись вычислительной тригонометрией, должен был значительно продвинуть ее вперед. Повод обратиться к тригонометрии представился ему в уже неоднократно упоминавшемся «Введении в анализ» (1748). В восьмой главе его первого тома Эйлер впервые ввел в анализ угловые функции как числовые величины, с которыми можно производить вычисления, как со всякими другими, так, чтобы впредь они уже не оказывали влияния на размерность выражений. И хотя Эйлер и не определил нигде тригонометрические функции явно как отношения сторон прямоугольного треугольника, но всегда рассматривал их именно так. Если отвлечься от несущественных мелочей, то изложение и символика Эйлера были вполне современными. Уже в одной работе в Coram. Ac. Petr., 1729 (1735) он записал теорему косинусов сферической тригонометрии в виде

cos : ВС = cos : АВ • cos : AC + cos A • sAB • sAC;

целый синус, который все еще употребляло большинство прежних авторов, здесь уже был принят равным 1. Обозначения тригонометрических функций во «Введении» были таковы: sin. A. z или sin. z (A = arcus), cos. A. z или cos. z, tang. z, cot. z и т. д.

В начале названной главы были впервые систематически установлены формулы для sin (z + ), sin (z+p) и т. д. Написав:

Эйлер раскрыл скобки и получил таким путем формулу для cosnz; аналогично он нашел формулу для sinnz. Беря п бесконечно большим, a z бесконечно малым, так что cosz=l и sinz=z, он вывел из этих формул бесконечные ряды для синуса и косинуса. Отсюда он получил ряды для синуса, косинуса, тангенса и котангенса , отчасти опубликованные им уже в Comm. Ac. Petr., 1739 (1750). Затем он исчерпывающим образом показал, как можно использовать эти ряды для вычисления тригонометрических таблиц. Позднее в Nov. Comm. Ac. Petr., 1754/55 (1760) он вывел дальнейшие ряды для sinⁿj, cosⁿj, sin^mj, cosⁿj, следующие по функциям углов, кратных j. На связь между показательной и тригонометрическими функциями Эйлер натолкнулся уже в одной работе о рядах, помещенной в Comm. Ac. Petr., 1740 (1750). Соответствующую определяющую формулу для синуса он дал в Misc. Berol., 1743, но доказаны были формулы для синуса и косинуса только во «Введении». О результатах Эйлер, очевидно, ничего не знал. Формулы

cos х = (e^ix + e^-ix) и sin x =  (e^ix — e^-ix)

он получил во «Введении» из выражений

 и

полагая п = ¥. К этому он присоединил еще формулу

Определение sin(x+iy) и cos(x+iy) он впервые дал в Mem. Ac. Berl., 1749.

Суммирование рядов синусов и косинусов, аргументы которых растут в арифметической прогрессии, Эйлер произвел уже в Misc. Berol., 1748. Во «Введении» он вновь вернулся к этому вопросу с более общей точки зрения. Позднее (Opuscul. anal., Петербург, 1783) он занялся аналогичными рядами, аргументы которых образуют геометрическую прогрессию. Представлением тригонометрических функций в виде произведений Эйлер начал заниматься уже в Comm. Ac. Petr., 1734/35 (1740), где разложил в бесконечное произведение синус. То же самое он провел для синуса и косинуса  в Comm. Ac. Petr., 1740 (1750) и Misc. Berol., 1743. Все это вместе с некоторыми дополнениями было включено во «Введение», в 14-й главе которого он также детально занялся вопросом об умножении и делении углов, т. е. о тригонометрических функциях кратных углов. Мы указывали в первой части, что в этих разнообразных исследованиях Эйлер действовал более творчески, нежели критически. Это столь глубоко коренилось в его натуре, что он оставил без внимания возражения, сделанные ему главным образом Николаем I Бернулли уже в 1742 и 1743. Эйлер продолжал производить вычисления над любыми бесконечными рядами, распространял теоремы о конечных многочленах на бесконечные и придавал любые значения индексу п, в начале доказательства считавшемуся целочисленным. Несмотря на это, получаемые им результаты обычно бывали справедливы, хотя в некоторых случаях он пришел и к ошибочным выводам, как, например, в упоминавшейся статье в Nov. Comm. Ac. Petr., 1754/55 (1760).

Во втором томе «Введения» (глава 22-я) Эйлер применил к решению трансцендентных уравнений, вроде s=cos s или s=sin 2s и т. п., правило ложного положения. Как сообщает он сам, он придумал подобные задачи с целью посмотреть, нельзя ли приблизиться таким путем к квадратуре круга. Позднее, когда Ламберт уже доказал иррациональность p, Эйлер вновь занялся подобными рассмотрениями, подчеркивая, что работа Ламберта отнюдь еще не доказала невозможность квадратуры круга.

Прежде чем перейти к заслугам Эйлера в сферической тригонометрии, упомянем еще о двух тригонометрических разложениях, лежащих несколько в стороне. Эйлер нашел их, развивая предложенный Декартом и затем неоднократно открывавшийся вновь способ построения окружности данной длины (Декарт, Opuscula posthuma, Амстердам, 1701, ср. его Oeuvres, т. X). Это бесконечный ряд

tgj + tg +tg +...= - 2ctg2j

[ср. Nov. Comm. Ac. Petr., 1760/61 (1763)] и бесконечное произведение

cos jcoscos... = ,

которое Эйлер другим путем вывел уже в Comm. Ac. Petr., 1737 (1744).

Сферической тригонометрией Эйлер специально занялся в двух больших статьях, подойдя при этом к ней с различных точек зрения. В первой, помещенной в Mem. Ac. Berl., 1753 (1755) он совершенно общим образом построил сферическую тригонометрию как геометрию треугольников, составленных на поверхности сферы линиями кратчайшего расстояния. Эйлер исходил из прямоугольного треугольника, обозначив катет АР через х, катет РМ через у, гипотенузу AM через s [рис. 4]. Если О — полюс большого круга (экватора), на котором лежит АР, а Ор — меридиан, бесконечно близкий к ОР, то

Рис. 4.

Mm = ds, mn = dy, Pp = dx

и линия Мп, лежащая на параллельном круге широты у, равна dxcosy, так что

ds = Ö.

Далее, Эйлер искал условия, при которых интеграл этого элемента дуги будет иметь минимальное значение, и получил, таким образом, 10 уравнений, возникающих из правила Непера. Здесь в первый раз появились обозначения, которые мы теперь склонны считать само собой разумеющимися и отсутствие которых часто придавало такой неудобный вид прежним работам. Мы имеем в виду обозначение трех сторон буквами а, b, с, а противолежащих вершин и углов треугольника буквами А, В, С. То, что мы обозначаем последние по большей части буквами а, b, g, конечно, менее существенно. Греческие буквы были введены лишь в XIX столетии, хотя иногда а, b, g, применялись уже А. Кестнером в его «Основаниях арифметики, геометрии и тригонометрии» (Геттинген, 1759; 6-е изд. 1800). Новые обозначения позволили Эйлеру записать свои десять уравнений вполне в современном виде. Затем он получил из них шесть различных основных уравнений для прямоугольного треугольника. Соответствующим образом Эйлер поступил и в случае общего сферического треугольника. Определив минимум одной из сторон, он прежде всего нашел пять фундаментальных уравнений, из которых затем вывел теорему синусов, обе теоремы косинусов и так называемое правило котангенса (впервые встречающееся у Виета); последнее появилось у него в форме

sin a tg С — sin В tg с = cos a cos B tg C tgc,

переходящей в употребляемую ныне при делении на tgCtgc. Эйлер записывал каждую теорему в трех видах, которые получаются друг из друга циклической перестановкой, хотя сам Эйлер ею не пользовался. О полярном треугольнике Эйлер не упоминал, и вообще, с точки зрения полноты, в статье имелось несколько малозначительных пробелов. Зато применения и преобразования фундаментальных теорем были в высшей степени богатые.

Среди прочего материала здесь имелись все формулы для половинных углов, правда, без сокращенных обозначений полусумм сторон и углов, затем четыре аналогии Непера—Бригса, употребление вспомогательного угла в теореме косинусов, причем последняя приводилась еще в новой форме:

cos a =

сообщалась и формула, полярная с приведенной.

Прибавим, что вслед за этой статьей Эйлер в том же томе Mem. Ac. Berl. поместил работу, подробно излагавшую тригонометрию на поверхности сфероида, особо учитывая вопросы, связанные с измерением земли. Аналогичные исследования были произведены позднее дю-Сежуром [Mem. Ac. Paris., 1778 (1781)].

Во второй статье по сферической тригонометрии [Comm. Ac. Petr., 1779 (1782)] Эйлер принял для построения системы ее формул элементарную основу. Он исходил здесь из трехгранника, который пересекал соответствующими плоскостями, с тем, чтобы после применить теоремы плоской тригонометрии (подобно Копернику). Он вывел, таким образом, теорему синусов, теорему косинусов для сторон и новую формулу, связывающую пять элементов:

cos A sin с = cos a sin b — sin a cos b cos С,

отметив, что эти три формулы содержат в себе всю сферическую тригонометрию. Полученное здесь третье уравнение Эйлер подверг неоднократным преобразованиям. Он вывел из него так называемую формулу котангенсов, теорему косинусов для углов и, с помощью теоремы синусов, полярную с ней формулу. Лишь после этого он ввел полярный треугольник и объяснил его способ применения, привел, частично выведя их по-новому, логарифмические формулы и с полным правом заявил, что его статья дает полное (можем прибавить: первое полное) изложение системы сферической тригонометрии. [11]

последователи Эйлера а развитии тригонометрии

В числе последователей Эйлера имелся ряд выдающихся математиков. Особенно многое сделал в области сферической тригонометрии петербургский академик А. И. Лексель. Он показал, что геометрическим местом вершин всех треугольников с общим основанием и равной площадью является малый круг [Act. Ac. Petr., 1781, 1 A784)] и что произведения синуса стороны (или, соответственно, угла) и соответствующей высоты имеют постоянную величину d. И с помощью этих равенств, представляющих собой обобщения формулы Герона, он вывел изящные выражения для тангенсов сферических радиусов вписанного в треугольник и описанного кругов, установил формулы для cos ½ (A ± B ± C), доказал теорему, соответствующую в сферическом четырехугольнике, вписанном в круг, теореме Птолемея, распространил на шар еще некоторые другие предложения планиметрии.

Ряд статей по сферической тригонометрии опубликовали два

других петербургских академика — Н. Фус и Шуберт. И. Т. Майер младший дал логарифмическую трактовку плоской теоремы косинусов (Grundlicher... Unterricht zur praktischen Geometrie— «Капитальный... курс практической геометрии», т. 1,Геттинген, 1777). Следует упомянуть и Кестнера с его «Геометрическими статьями» (Geometrische Abhandlungen, 1790/91), хотя он все еще употреблял целый синус. Неудачным в отношении формы было также построение сферической тригонометрии, данное в Mem. Ac. Paris, 1783 ( 1786) Ж. П. де-Гюа.

Лагранж содействовал успехам тригонометрии, применив к непосредственному решению уравнений ряды, что было особенно важно для практических целей астрономии и геодезии. Oн решил с помощью мнимых величин гониометрическое уравнение tg x = m tg y относительно х. Это уравнение он связал с формулами для прямоугольного треугольника и с аналогиями Непера. Подобные разложения в ряды встречались, впрочем, еще у Ламберта.

Превосходной книгой, имевшей в романских странах почти такое же значение, как учебник Клюгеля в германских, оказалась опубликованная впервые в 1786 «Плоская и сферическая тригонометрия» (Trigonometria plana e sferica, итальянское и французское издание, Париж) Каньоли. Каньоли производил вычисления все еще над тригонометрическими линиями, но радиус круга брал равным единице, и если он не перенял обозначения элементов треугольника, введенные Эйлером, то вообще примкнул к нему полностью и всю свою работу построил на аналитической основе. Несмотря на то, что в этом направлении сделано было уже многое, ему все же удалось в ряде пунктов внести некоторые усовершенствования. Стоит упомянуть о его приведении к логарифмическому виду с помощью вспомогательного угла плоской теоремы косинусов (по способу Майера), а также сферической теоремы косинусов. Bывод новых формул для сферических прямоугольных треугольников, имевших назначением ббльшую точность вычислений, и далее установление изящных формул, связывающих элементы сферического треугольника с элементами соответствующего ему треугольника, составленного из хорд. Независимо от Кестнера, Каньоли решил уравнение

a cos А + b sin А = n

с помощью подстановок

а = т cos В и b = т sin В,

он добавил важное отношение между шестью элементами сферического треугольника:

sin с sin a + cos с cos a cos В = sin A sin С — cos A cos С cos b,

а также вывод суммы тригонометрического ряда, причем распространил суммирование на случай n-х степеней таких функций.

С. Лакруа в своем «Элементарном курсе прямолинейной и сферической тригонометрии и т. д.» (Traite elementaire de trigonometrie rectiligne et spherique etc., Париж, 1798/99) в противоположность Каньоли ввел символику Эйлера, но зато почти всюду сохранил в формулах R.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

К изложению непосредственных успехов тригонометрии мы присоединим краткий обзор формы, которую постепенно приняла система тригонометрии в учебниках. Мы неоднократно отмечали, что, за исключением Клюгеля, все прочие авторы еще вводили в качестве целого синуса радиус г, отчасти, правда, лишь с целью удовлетворить все еще сохранявшуюся потребность в однородности выражений. Только для упрощения формул часто г полагался равным единице. Отнюдь не было еще усвоено большинством математиков и определение знаков отрезков. Поэтому знаки функций углов, бoльших 90°, отчетливо устанавливались лишь при помощи гониометрических формул, причем для тангенса особенно важной являлась пропорция

tg a : r= sin a: cos a

Эта форма пропорции, а также применение радиуса г, часто продолжали сохраняться и в других случаях даже в XIX столетии. Зато получило почти всеобщее распространение современное обозначение функций, данное Эйлером. В больших книгах, вроде «Начал геометрии» (1794) Лежандра, «Теоретической математики» (Mathesis theoretica, Росток, 1760) и «Системы математики»  Карстена, функции отрицательных аргументов рассматривались совершенно правильно, начало чему положило уже «Введение в анализ» Эйлера.

Гониометрические формулы еще часто выводились каждая сама по себе и притом геометрически. Правда, Лежандр и Каньоли вывели основные формулы из теоремы сложения, но только Клюгель ясно выразил основоположное значение этой теоремы. Обосновать самую теорему сложения и для углов, бoльших 90°, счел необходимым один Лежандр. «Высшую тригонометрию» включил в свою работу, кроме Клюгеля, также еще Каньоли. Также поступили Карстен, А. Р. Модюи в своих «Началах сферической астрономии и т. д.» (Париж, 1765), а в особенно широком объеме Л. Бертран во втором томе своего труда, вышедшего под названием «Новое изложение элементарной части математики».

Женева, 1778).

Обозначение углов, предложенное Эйлером, переняли только Клюгель и Кестнер. У других авторов, в силу отсутствия единообразной символики, формулы были ненужным образом усложнены. Наиболее полная система формул для плоского треугольника, включая так называемые уравнения Молльвейде, выведенная при этом совсем по-современному, имелась у Каньоли. Однако даже вычисление плоских прямоугольных треугольников получило современный простой вид только в XIX столетии, когда отказались от целого синуса.

Сферическая тригонометрия излагалась в учебниках почти сплошь аналитически. Исключением явилась «Trigonometrie spherique» (Париж, 1757) С. Валетта, который примкнул к «Построению сферической тригонометрии» Бошковича (см. стр. 332), нашел заново все, что входило в «Аналемму» Птолемея, и графически развил всю сферику. Во всех остальных книгах и после выхода второй работы Эйлера сначала устанавливались все формулы для прямоугольного треугольника, а затем отдельно рассматривался косоугольный треугольник, который для этого разбивался с помощью высоты на два прямоугольных. Применение теорем к составляющим прямоугольным треугольникам давало после исключения высоты систему пяти уравнений, имевшуюся еще в «Началах арифметики и геометрии» (1739) Зегнера и перешедшую во все.

В заключение мы сжато рассмотрим попытки построить всю тригонометрию на возможно более простой основе. Уже Кестнер в позднейших изданиях «Оснований» (например, 3-е изд., 1774) вывел главные формулы тригонометрии из теоремы синусов и того, что А + В + С= 180°, а Оппель еще ранее показал, как можно получить все формулы сферической тригонометрии из теорем синусов и косинусов. Еще ранее Ф. К. Майер указывал на возможность достигнуть этого с помощью одной лишь теоремы  косинусов. Осуществил эту возможность только де-Гюа.

Лагранж, начавший с того же, что и де-Гюа, благодаря значительно более искусному обращению с формулами, впервые придал выводу всех прочих тригонометрических равенств современный вид (1798/99). Прежде всего он доказал соотношение Эйлера. Столь же просто вывел он и правило котангенса. Лагранж подчеркивал, что с помощью этих четырех формул можно решить любую задачу, однако он также вывел, постоянно пользуясь полярным треугольником, все остальные известные уже нам формулы. Статья Лагранжа представляла собой достойное увенчание успехов тригонометрии на пороге XIX столетия.   

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.     Юшкевич. Ю.А. Леонард Эйлер. М. : Знание, 1982.

2.     Юшкевич А.П. История математики в России. М.: Наука,1968 г.

3.     Вилейтнер Г.В. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М.: государственное издание, 1960