Реферат по математике на тему: "Проценты в нашей жизни".

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ НЕКОММЕРЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «АМЕТИСТ»

Школьная научно-практическая конференция

Проценты в нашей жизни.

Авторы: Шермазанов А., 6 класс,

Клемешев М., 6 класс.

Руководитель: Домрачева Е.В.,

учитель математике,

высшей категории.

г. Химки.

2015 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

    Введение………………………………………………………………….2

1.               История возникновения процента………………………………….3

2.               Основные понятия, связанные с процентами …………….………4

3.               Задачи на проценты…………………………………….……… ……8

4.               Проценты в школьном курсе математики……………………..….18

5.               Проценты в нашей жизни............................................................21

6.               Заключение……………………………………   ……………………25

7.               Библиографический список ………….…………………………….26

ВВЕДЕНИЕ

Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что например, в выборах приняли участи 52,5% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленной производство сократилось на 11,3%, уровень инфляции 8/% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира, материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т.д.

Поэтому выбранная нами тема особенно актуальна. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом анализе, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть депозитный счёт в Сбербанке, наши родители интересуются размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции. В торговле понятие «процент» используется наиболее часто: скидки, наценки, уценки, прибыль, сезонные изменения цен на товары, налог на прибыль и т.д. - всё это проценты.

Цель данной работы - показать широту применения процентных вычислений и проанализировать тему «Проценты» в курсе математики.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:

1.     Проанализировать научно – методическую литературу по теме «Проценты и процентные вычисления».

2.     Научиться применять полученные знания на примерах, с практическим содержанием.

3.     Показать разнообразие задач на проценты в школьном курсе математики.

4.     Сделать выводы.

1.    ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПРОЦЕНТА

Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально переводится «за сотню», или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особо много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий в том числе – особой записи десятичных дробей.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Нынче процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского pro mille – «с тысячи»), обозначаемые, по аналогии процентов. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию [3].

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ПРОЦЕНТАМИ

2.1.  Понятие процента.

Процент – это одна сотая часть от числа.

Процент записывается с помощью знака %.

                Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100.

                Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %.

                Чтобы перевести обыкновенную дробь в проценты, нужно сначала превратить её в десятичную дробь.

2.2.    Перевед дробей в проценты.

Проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов. Так, половина - 50%, четверть - 25%, три четверти - 75%, одна пятая - 20%, а три пятых - 60%.

1 = 100%.

Дробь	1/2	1/4	3/4	1/5	2/5	3/5	1/10	1/20	1/50
Десятичная дробь	0,5	0,25	0,75	0,2	0,4	0,6	0,1	0,05	0,02
Проценты	50%	25%	75%	20%	40%	60%	10%	5%	2%

2.3.    Сложение и вычитание процентов.

В повседневной жизни полезно знать разные формы выражения одного и того же изменения величин, сформулированных без процентов и с помощью процентов.

Например, увеличить в 2 раза, значит увеличить на 100%. Разберёмся, почему это так.

Пусть x - это 100%.

увеличив x в 2 раза, получим 2x.

Сравним полученные результаты.

Получилось, что общее количество процентов равно 200%. Увеличить в 2 раза означает увеличить на 100% и наоборот.

Рассуждая, таким же образом, докажем, что увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза .

Уменьшение числа также может быть выражено в процентах.

Пусть x - 100%.

Известно, что x уменьшилось на 80%. Найдём, во сколько раз уменьшилось x.

Вначале найдём, сколько процентов от x осталось.

100% - 80% = 20%

20% осталось от x. Обозначим остаток x за y.

Составим пропорцию. По числовому коэффициенту определяем, во сколько раз уменьшился x.

Таким образом, мы установили, что уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз.

Поняв связь между процентами и «разами», вы без труда сможете понимать о чём так часто говорят в новостях и в газетах, приводя различные статические данные.

Некоторые, наиболее употребимые фразы, желательно просто запомнить, чтобы всегда точно понимать о чём идёт речь. Список таких фраз представлен ниже.

Значение фраз «увеличить и уменьшить на ... процентов»

Увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза.

     на 100% → в 2 раза

     на 150% → в 2,5 раза

     на 200% → в 3 раза

     на 300% → в 4 раза

Уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз.

     на 75% → в 4 раза

     на 50% → в 2 раза

     на 25% → в ≈ 1,33 раза

     на 20% → в 1,25 раза

2.4.    Основные задачи на проценты.

1.                   Нахождение процентов данного числа.

Чтобы найти а % от в, надо в• а:100

Пример. 30 % от 60 составляет: 60 • 30:100 = 18.

2.        Нахождение числа по его процентам.

Если известно, что а % числа х равно в, то  х = в : а*100.

Пример.  3%  числа х составляют 150.

х= 150: 3*100; х = 5000.

3. Нахождение процентного отношения чисел.

Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100 %: .

Пример. Сколько процентов составляет 150 от 600?

.

3. ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

Умение решать задачи на проценты тесно связано с умением решать задачи на отыскание части от целого и целого по его части. И в тех, и в других задачах, анализируя условие, прежде всего, следует определить, какая величина принята за целое (в задачах на проценты – за 100%). Далее следует выяснить, известна ли эта величина. После этого уже нетрудно определить, какая величина приходится на одну долю, и выполнить действия, необходимые для ответа на вопрос задачи.

Прежде чем приступать к решению задачи на проценты, надо ответить на вопросы:

- какая величина принята за 100%;

- известна ли эта величина;

- как найти величину, которая приходится на 1%;

- что требуется найти – процент от числа или число по его проценту?

При этом важно, если величина, которая принята за 100%, известна, при ответе на первый вопрос называли не числовое ее значение, а описывали бы ее словесно, например: не «50 га», а «площадь всего поля», не «230 км», а «длина всего пути».

Решим задачу:

1. «Мотоциклист проехал 120 км, 30% из которых – по шоссе. 60% оставшегося расстояния он ехал по грунтовой дороге, а далее – по лесной тропе.

Прочитайте первое предложение и ответьте на вопросы:

Что принято за 100%?  Известна ли эта величина?

Какая величина приходится на 1%?

Сколько километров мотоциклист проехал по шоссе?

Прочитайте второе предложение и ответьте на вопросы:

Что принято за 100%?  Известна ли эта величина?

Какое расстояние проехал мотоциклист по грунтовой дороге и по лесной тропе?

Чему равен 1% этой величины?

Сколько километров мотоциклист проехал по грунтовой дороге? Сколько километров мотоциклист проехал по лесной тропе?

2. Мотоциклист проехал по шоссе 8 км, что составило 20% всего пути. 45% оставшегося пути он ехал по грунтовой дороге, а далее – по лесной тропе.

Ответьте на вопросы:

Что принято за 100% в первом предложении, а что во втором? Известны ли эти величины?

Чему равен 1% всего пути? Какова длина всего пути?

Какое расстояние проехал мотоциклист по грунтовой дороге и по лесной тропе?

Чему равен 1% этого расстояния?

Сколько километров проехал мотоциклист по грунтовой  дороге? Сколько километров проехал мотоциклист по лесной тропе?

Что общего в условиях предыдущих двух задач и чем они отличаются?»

Основная трудность этих заданий состоит в том, чтобы осознать то, что в первом предложении за 100% принята длина всего пути, а во втором – длина грунтовой дороги и лесной тропы вместе (оставшийся путь). Результатом выполнения этих упражнений является осознание учащимися того, что в одной и той же задаче за 100% могут быть приняты разные величины.

С целью закрепления умений решать задачи с разными процентными базами, даются задания такого типа:

3.    «Весной яблоки, продавались по 35 р. за килограмм, а к осени их цена была снижена сначала на 20%, а затем еще на 15%. Какой стала цена яблок после второго снижения?»

Постепенно уровень сложности задач с разными процентными базами повышается, и, наконец, мы доходим до задач на «сухое вещество».

4.    «Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько получится сушеных грибов из 17 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг сушеных?»

Известно, что такие задачи вызывают у учащихся наибольшие затруднения, поэтому разберем подробно методику работы с этой задачей.

Прежде всего, надо знать, что практически любой продукт: яблоки, картофель, крупа, хлеб,  грибы состоят из воды и сухого вещества. Причем, воду содержат как свежие, так и сушеные овощи, фрукты, сухари или грибы. Очень важно обратить внимание на то, что в процессе высыхания испаряется только вода, сухое же вещество никуда не девается и его масса не меняется. Успешно организовать поиск решения задачи, анализ данных и условия, можно, заполняя постепенно ячейки следующей таблицы.

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы			Сушеные грибы
Вода			Вода
Сухое вещество			Сухое вещество

Начинаем рассуждать. Прочитаем первую часть первого предложения: «Свежий гриб содержит 90% воды». Какая величина здесь принята за 100%? Ответ: «Масса свежих грибов». Внесем это в таблицу:

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%		Сушеные грибы
Вода			Вода
Сухое вещество			Сухое вещество

Какую еще информацию из этого предложения можно внести в таблицу? Ответ: «Вода составляет 90% массы свежих грибов». Вносим в таблицу:

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%		Сушеные грибы
Вода	90%		Вода
Сухое вещество			Сухое вещество

Какую еще ячейку можем сразу заполнить? Ответ: «На сухое вещество приходится 10%». Заполним ее:

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%		Сушеные грибы
Вода	90%		Вода
Сухое вещество	10%		Сухое вещество

Прочитаем вторую часть первого предложения: « а сушеный – 15%». Какая величина здесь принята за 100%? Ответ: «Масса сушеных грибов».

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%		Сушеные грибы	100%
Вода	90%		Вода
Сухое вещество	10%		Сухое вещество

Какие еще ячейки можем заполнить? Ответ: «Вода – 15%, сухое вещество – 85%». Заполним их:

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%		Сушеные грибы	100%
Вода	90%		Вода	15%
Сухое вещество	10%		Сухое вещество	85%

Читаем следующее предложение – это вопрос: «Сколько получится сушеных грибов из 17 кг свежих?» В этом предложении есть данные для нашей таблицы? Ответ: «Есть – масса свежих грибов, 17 кг». Заполним очередную ячейку:

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%	17 кг	Сушеные грибы	100%
Вода	90%		Вода	15%
Сухое вещество	10%		Сухое вещество	85%

Какие еще ячейки можем заполнить? Ответ: «Можем найти массу воды и массу сухого вещества в свежих грибах». Найдем эти величины (кстати, какую из них найти проще?) и внесем их в таблицу:

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%	17	Сушеные грибы	100%
Вода	90%	15,3	Вода	15%
Сухое вещество	10%	1,7	Сухое вещество	85%

Следует обратить внимание учащихся на то, что масса сухого вещества в процессе высыхания не меняется. Зная это, мы можем заполнить еще одну ячейку таблицы. Какую? Ответ: «Масса сухого вещества в сушеных грибах». Внесем эту величину в соответствующую ячейку:

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%	17 кг	Сушеные грибы	100%
Вода	90%	15,3 кг	Вода	15%
Сухое вещество	10%	1,7 кг	Сухое вещество	85%	1,7 кг

Для наглядности целесообразно продемонстрировать с помощью стрелки, как мы переносим 1,7 кг из одной ячейки в другую.

Можем ли мы теперь ответить на вопрос задачи? Ответ: «Да. Надо 1,7 разделить на 85, этим мы найдем величину, которая приходится на 1%. Затем полученный результат умножим на 100, этим найдем массу сухих грибов и ответим на вопрос задачи». Завершим заполнение таблицы:

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%	17 кг	Сушеные грибы	100%	2 кг
Вода	90%	15,3 кг	Вода	15%
Сухое вещество	10%	1,7 кг	Сухое вещество	85%	1,7 кг

Теперь давайте запишем само решение.

Решение:

1) 100 – 90 = 10 (%) – приходится на сухое вещество в свежих грибах;

2) 17 : 10 = 1,7 (кг) – масса сухого вещества в 17 кг свежих грибов и в сушеных грибах;

3) 1,7 : 85 = 0,02 (кг) – приходится на 1% массы сушеных грибов;

4) 0,02 × 100 = 2 (кг) – масса сушеных грибов.

Ответ: 2 кг.

Следующий этап – задачи, в которых трудно определить, какая величина принята за 100%. Это задачи, в которых надо выяснить, на сколько процентов одна величина больше или меньше другой, и обратные им.

«Подумайте, что в  следующей задаче принято за 100%.

1) В магазине батон хлеба стоит 6,7 р., а на лотке цена такого же батона 6 р. На сколько процентов дешевле продается батон с лотка, чем в магазине?

2) Определите, на  сколько процентов батон хлеба в магазине дороже, чем на лотке.

Проверьте себя.

1) По условию задачи цена “дешевого” батона сравнивается с ценой “дорогого”.

В таких случаях всегда за 100% принимается то, с чем сравнивают.

6,7 р. –  100%, 1% – 0,067 р. Тогда на сумму 6 р. приходится примерно 89,5%: 

6 : 0,067 » 89,5;      100% – 89,5% = 10,5%.

Значит, на лотке батон на 10,5% дешевле, чем в магазине.

2) На этот раз "дорогой" батон сравнивается с "дешевым". Значит за 100% принимается стоимость "дешевого" батона. 6 р. – 100%, 1% – 0,06 р. Тогда на сумму 6,7р. приходится примерно 111,6%: 

6,7 : 0,06 » 111,6;   111,6% – 100% = 11,6%.

Таким образом, видим, что в магазине батон на 11,6% дороже, чем на лотке» [4].

Задача №1 (Бюджет. Зарплата).

При приеме на работу директор предприятия предлагает зарплату 4200 р. Какую сумму получит рабочий после удержания налога на доходы физических лиц?

Решение:

1)  (4200 - 400) • 0,13 = 494 р. - налог.

2) 4200 - 494 = 3706 р.

Замечание: При начислении налога на доходы физических лиц нужно учитывать стандартный вычет 400 р., налог 13 % берет­ся от оставшейся суммы.

Ответ: 3706р.

Задача №2 (Штрафы).

Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в Сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4 % от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Решение:

Так как 4 % от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если ро­дители просрочат оплату на день, то им придется заплатить

250 + 10 = 260 (р.),

на неделю 250 + 10*7 = 320 (р.).

Ответ: 320 р.

Задача №3.

На сколько % увеличился товарооборот от продажи мебели, если в 2009 году мебели было продано на 5 млн.рублей, а в 2010 году на 8 млн. рублей.

Решение:

1)8000000-5000000=3000000(руб.)

2) (3000000:5000000)·100%=60%

Ответ: на 60% .

Задача №4.

По данным нашего ЗАГСа в 2010 году родилось Х детей. В январе  2010 г. родилось 60 детей, что составило 4% от всего предыдущего года. Сколько детей родилось в 2010 году?

Х – 100%     

60 – 4%      

=  1500 детей.

Ответ: 1500 детей.

Задача №5.

Каждая выкуренная сигарета сокращает жизнь курильщика. В общем, курящие сокращают себе жизнь на 15%, что составляет 8,4 года. Какова средняя продолжительность жизни в России?

Решение:

8,4*100 : 15 =56 лет – средняя продолжительность жизни в России.

Ответ: 56 лет.

Задачи на концентрацию раствора.

Концентрация раствора - это часть, которую составляет масса растворённого вещества от массы всего раствора.

9%-я концентрация раствора соли - это 9 грамм соли в 100 граммах раствора.

Задача из Петерсона 6 класс (2010 г.) № 322 (2)

Килограмм соли растворили в 9 л воды. Чему равна концентрация полученного раствора? (Масса 1 л воды составляет 1 кг)

Используя определение концентрации данное выше, решим задачу следующим образом.

1 кг - масса растворённого вещества (соли)

9 кг - масса воды в растворе (не путать с общей массой раствора)

9 + 1 = 10 кг - общая масса раствора.

Ответ: 10% - концентрация раствора.

Задача из Петерсона 6 класс (2010 г.)  № 353(2)

Сколько соли получится при выпаривании 375 граммов 12%-го раствора?

Чтобы найти массу выпаренной соли из раствора, умножим общую массу раствора на процент концентрации. Не забудем предварительно перевести процент в десятичную дробь.

Ответ: 45 г соли.

Сложная задача на растворы

В растворе 40% соли. Если добавить 120 г соли, то процентное содержание соли станет равным 70. Сколько грамм соли было первоначально в растворе?

Для составления пропорции обозначим за x первоначальную массу соли в растворе, а за y массу воды в растворе. Так как концентрация соли в исходном растворе 40%, то соответственно вода составляет 100% - 40%= 60%

Изобразим графически условия задачи.

Составим пропорцию, связывающую эти величины до добавления соли.

Для решения задачи нам надо определить какая из неизвестных (x или y) остаётся неизменной после добавления соли.

Этой величиной является масса воды в растворе (y).

Выразим её, учитывая изменения в растворе после добавления соли.

(x + 120) г - масса соли в новом растворе

100% - 70% = 30% - процентное содержание воды в новом растворе.

Составим пропорцию аналогично предыдущей, но с учётом изменений произошедших после добавления соли.

Так как масса воды осталось неизменной после добавления соли, приравняем её значения до и после добавления соли и решим уравнение.

Ответ: 48 г - масса соли в первоначальном растворе.

Прежде чем перейти к задачам на вклады и скидки, необходимо разобраться зачем вообще люди кладут деньги в банк и как найти выгодную скидку.

Задачи по вкладам

Естественно, люди кладут деньги в банк (открывают вклад), не по доброте душевной. Вклады открываются с целью получения прибыли. Банк предлагает следующее: вы кладёте в банк определённую сумму на определённый срок. Например, на год. В течение года вы не сможете воспользоваться своими деньгами (ими будет пользоваться банк), но за это банк вам заплатит, вернув через год не только вложенную вами сумму, но и небольшое вознаграждение.

Какова будет сумма вознаграждения? Для её нахождения банк устанавливает процент годовых. Если вы умножите сумму вашего вклада на процент годовых, вы найдёте, какое вознаграждение добавит банк к вашему вкладу.

Задача из Петерсона

Вкладчик внес в банк 1200 р. В какую сумму вклад превратится через год, если банк начисляет доход в размере 4 % годовых?

Решение:

Найдем какое вознаграждение банк доложит вкладчику. Для этого умножим 1200 р. на процент годовых 4%.

4% = 0,04

1200 • 0, 04 = 48 р. - такое вознаграждение доложит банк вкладчику через год.

Теперь найдем общую сумму, которую заберет вкладчик через год.

1200 + 48 = 1248 р. - в такую сумму превратится вклад через год.

Ответ: 1248 р. - в такую сумму превратится вклад через год.

Задачи на скидку (уценку)

Скидка - это понижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах. Поэтому, чтобы найти на сколько в рублях понизилась цена товара, нужно цену товара умножить на процент скидки.

Задача из ГИА 9 класс

Цена изделия составляет 5000 р. На изделие предложена скидка 10%. Найти цену товара с учетом скидки.

Решение:

Найдем скидку в рублях.

10% = 0,1

5000 • 0,1 = 500 р. - скидка в рублях.

Теперь найдем цену товара с учетом скидки.

5000 - 500 = 4500 р. - цена товара с учетом скидки.

Ответ: 4500 р. - цена товара с учетом скидки.

4. ПРОЦЕНТЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

В школьном курсе математики тему «Проценты» проходят только в 5 классе (по учебнику авторы Н.Я. Виленкин и др.) и в 6 классе (по учебнику авторы Л.Г. Петерсон, Дорофеев), а в старших классах уже используют понятие процента при решении различных задач.

По учебнику «Математика 5» авторов Н.Я. Виленкин и др. тема «Проценты» изучается по плану:

1.     В параграфе даётся определение %.

Процентом называют одну сотую часть.

Для краткости слово «процент» после числа заменяют знаком %.

2.     Рассматриваются примеры решения задач и сами задачи.

Например:

№1570. В плодовом саду собирали яблоки. За день было собрано 4840 кг. 25% собранных яблок отправили в магазин, а остальные – на склад. Сколько килограммов яблок отправили на склад?

№1573. Сколько человек было в кино, если 1% всех зрителей составляет 7 человек?

№1576. Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23% числа всех страниц. Сколько страниц в книге?

№1577. Масса медвежонка составляет 15% массы белого медведя. Найдите массу белого медведя, если масса медвежонка 120 кг.

№1578. Сливочное мороженое содержит 14% сахара. На приготовление мороженого израсходовали 35 кг сахара. Сколько сделали порций мороженого, если в каждой порции 100 г?

№1580. В школе 700 учащихся. Среди них 357 мальчиков. Сколько процентов учащихся этой школы составляют мальчики.

3.     В учебнике даётся историческая справка о происхождении и истории процента.

По учебнику «Математика 6» авторов Петерсон Л.Г., Дорофеев В.Г. тема «Проценты» изучается более подробно и на ее изучение отводится больше часов:

2.     Понятие о проценте (2 ч.).

3.     Задачи на проценты (8 ч.).

4.     Простой процентный рост (2 ч.).

5.     Сложный процентный рост (2 ч.).

Больше подробно тема «Процент» не рассматривается в школьном курсе математики. Задачи на проценты встречаются и в других классах, но в основном с этими задачами ученики сталкиваются на ГИА в 9 классе и на ЕГЭ в 11 классе.

Приведём примеры таких задач.

ГИА 9 класс

1.     Оптовая цена чайника 420 руб. Розничная цена на 15% выше оптовой. Какое наибольшее число чайников можно купить по розничной цене на сумму 8000 руб? [6].

2.     На сколько число 598 больше числа 313?

·                                109,4%

·                                45,6%

·                                91,1%

·                                72,9%

·                                18,2% [6].

3.     Число 523 составляет 95% от величины х. Чему примерно равна величина х?

·                                551

·                                441

·                                1020

·                                618

·                                497 [6].

4.     Угол при основании равнобедренного треугольника составляет 75% от угла при его вершине. Найдите величину угла при вершине.

·                                Правильный ответ не указан

·                                72°

·                                120°

·                                135°

·                                90° [6].

5.     Железнодорожный билет для взрослого стоит 3400 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 60% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 8 школьников и 6 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу? [6].

ЕГЭ 11 класс

1.     На сколько примерно процентов число 200 меньше числа 222?

·        11, 8%

·        7, 9%

·        9, 9% [6].

2.     Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 руб. Стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и двух взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу? [2, с.48].

3.     Численность волков в двух заповедниках в 2009 году составляла 220 особей. Через год обнаружили, что в первом заповеднике численность волков возросла на 10%, а во втором – на 20%. В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 250 особей. Сколько волков было в первом заповеднике в 2009 году? [2, c. 59].

4.     Цена книги была 500 рублей. После понижения, цена стала равна 465 рублей. На сколько процентов была снижена цена? [6].

5.     Число 644 составляет 130% от величины х. Чему примерно равна величина х?

·        396

·        774

·        1481

·        837

·        495 [6].

Вывод: Мы подробно рассмотрели учебник по математике за 5 класс, нашли задания из вариантов ГИА и ЕГЭ за прошлые годы и выяснили, что тема «Проценты» в 5 классе рассматривается достаточно подробно. Но вот содержание самих задач на проценты неинтересно. В вариантах экзаменов за 9 и 11 классы встречается по одному заданию на нахождение процента по заданному числу или нахождению числа по его проценту. В учебнике и в заданиях к экзамену, на наш взгляд, необходимо использовать более жизненные и современные задачи на проценты.

5.Проценты в нашей жизни.

Когда мы говорим о предметах о некоторой заданной совокупности – деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктах питания, то процент, разумеется, 100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что она «принимается за 100%».

Если речь идет о проценте от данного числа, то это число принимается за 100%. Например, 1% зарплаты – это сотая часть зарплаты; 100% зарплаты – это 100 сотых частей зарплаты. Т.е. вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13%, т. е. 13 сотых от зарплаты. Надпись «60%» хлопка на этикетке обозначает, что материал содержит 60 сотых хлопка, т. е. более чем на половину состоит их чистого хлопка. 3,2 жира в молоке означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир ( или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира).

Как известно из практики, с помощью процентов часто показывают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характеризующей значимость произошедшего изменения. Например, уровень подростковой преступности повысился на 3%, в этом ничего страшного нет – быть может, эта цифра отражает только естественные колебания уровня. На если он повысился на 30%, то это уже говорит о серьезности проблемы и необходимости изучения причин такого явления и принятия, соответствующих мер [3].

Рассмотрим примеры применения процентов в повседневной жизни:

1.                 СЛИВКИ — молочный продукт. Для потребления в свежем виде сливки выпускают в продажу, как правило, пастеризованные с содержанием жира 10-20 % (обыкновенные) и 35 % (жирные). Благодаря высокому содержанию жира сливки являются очень питательным продуктом. Они содержат также 3,5 % белков, 4,3 % углеводов, минеральные соли и витамины(A, E, B1, B2, C, PP и др).

Сливки выпускают с различным количеством жира. 10-процентные предназначены для употребления в пищу. Такие сливки чаще всего добавляют для смягчения вкуса кофе. Они могут продаваться в банках, либо в упаковках-дозаторах по 10 граммов. Сливки жирностью более 20 процентов используют для приготовления соусов. Наиболее жирный продукт предназначен для производства сметаны, масла или крема.

2.                 Сметана.

Жирность сметаны колеблется от 10 до 58 процентов. 40-процентная сметана и выше относится к числу наиболее жирных и по праву называется любительской, а 10-процентная - диетической.

Состав сметаны:примерно на 78% сметана состоит из воды, 3-4% белка, 7-7,5% углеводов, 10-11% жиров.

Калорийность сметаны: 10% жирности – примерно 115,0 кКал, 15% жирности –158-159 кКал, 20% жирности –202-203 кКал.

3.                 Молоко.

Понадобится пробирка, молоко и линейка. На пробирке от дна отмеряется и отмечается 100 мм. Налейте молоко до отметки и оставьте в вертикальном положении на 6 или более часов. Наверху окажется слой сливок, каждый миллиметр высоты которого равен 1% жирности. 4 мм – 4%.

Нужно учитывать, что жирность молока – величина непостоянная, даже от одной и той же коровы. Этот показатель значительно варьируется в зависимости от рациона питания животного и многих других факторов. Потому не удивляйтесь, если утреннее и вечернее молоко, купленное у одной и той же бабушки, покажет разную жирность.

4.                 Творог.

Для расчета жирности творога нужно знать жирность закладываемого молока, его объем, а также вес полученного творога.

За счет отделения сыворотки увеличивается калорийность на единицу веса. В сыворотке жира практически не остается. Поэтому изначальный вес продукта делится на полученный, без учета веса «отходов».

Вес молока разделите на вес творога и умножьте на жирность молока (1 литр молока весит, примерно, 1 кг 30 грамм).

Например, жирность домашнего молока – 4%, вес – 500 г, а вес полученного творога – 100 г.

500/100×4=20%.
5.       Состав ткани.

Хлопковая полиэфирная ткань, как следует из названия, производится путем смешивания хлопка, который является натуральной тканью, и полиэстера, который является синтетической тканью. Смешанные ткани в основном используются, чтобы сделать вечерние платья и одежды. С изменением процента хлопка и полиэстера в полиэфирной хлопчатобумажной ткани меняются и свойства этого «тканевого микса». Наиболее частое соотношение хлопка и полиэстера в ткани – 65% хлопок и 35% полиэстера.

Отправившись за покупками, вы встретите различные смешанные ткани, но микс из полиэстера и хлопка будет наиболее часто встречающимся. Его также именуют поли-хлопком, поскольку он обладает свойствами обоих материалов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение хочется сказать, что умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно. Поэтому считаю, что наша работа найдет практическое применение на уроках математике, как пример решения задач разных видов с практическим содержанием, так и поможет увидеть широту возможных приложений математики, понять её роль в современной жизни.

Цель работы достигнута.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.      Виленкин Н.Я. Математика 5 класс. Учеб. / В.И. Жохов и др. – М, 1998. – 150 с.

2.     Математика. Типовые тестовые задания. ЕГЭ 2012 разработано МИО/  под редакцией Семёнова А.Л., Ященко И.В. - М. 2012 . - 95 с.

3.     http://lib.repetitors.eu/matematika/104-2009-12-19-19-08-30/2374-2010-09-04-03-55-57

4.     Зубарева И.И. Статья «Еще раз о процентах».

5.     http://math-prosto.ru/?page=pages/percent/percent1.php

6.     http://mathist.narod.ru/razmerz.htm

7.      http://oldskola1/narod.ru/PS03/ArufPS0309.htm

8.     http://oldskola1/narod.ru/PS07/ArufPS0703.htm

9.     http://uztest.ru